Соловьев В.И. Математические методы управления рисками

Подождите немного. Документ загружается.

обрел право на получение ежегодного дохода в размере

ден. ед., заплатив за это сумму aV

ден. ед.

Инвестор мог получить точно такой же доход aE ден. ед.,

если бы он приобрел долю a акций фирмы Б, заплатив за эту

долю aS

= a(V

– B

) ден. ед., и долю a облигаций фирмы Б,

заплатил за эти облигации aB

ден. ед. Тогда общая цена

покупки составит

+ aB

= a(V

– B

) + aB

= aV

ден. ед.,

а ежегодный доход, который будет получать инвестор в виде

дивидендов на купленные акции, будет равен E – rB

ден. ед.,

купонный доход на все облигации, купленные этим инвестором,

составит raB

ден. ед., таким образом, суммарный ежегодный

доход от покупки акций и облигаций будет равен

a(E – rB

+ raB

= aE ден. ед.,

т. е. ровно столько же, как если бы инвестор приобрел долю a

акций фирмы А. Итак, в этом случае инвестор приобрел право

на получение ежегодного дохода в размере aE ден. ед., заплатив

за это сумму aV

ден. ед.

Если цена фирмы А меньше цены фирмы Б (V

< V

), то це>

на покупки доли a акций фирмы А составит aV

ден. ед., что

меньше цены покупки доли a акций фирмы Б и доли облигаций

этой фирмы (aV

ден. ед.), а ежегодный доход, приносимый в

обоих этих случаях, одинаков (aE ден. ед.), поэтому никакой ра>

зумный инвестор не будет вкладывать капитал в фирму Б. В

случае V

> V

аналогичные рассуждения приведут к тому, что

никто не будет инвестировать в фирму А. Поэтому стоимости

обеих фирм должны быть одинаковы:

= V

. (3.3.18)

Соотношение (3.3.18), называемое теоремой Модильяни —

Миллера, получено Ф. Модильяни (Нобелевским лауреатом

1985

г.) и М. Миллером (Нобелевским лауреатом 1990 г.) в ста>

тье [30].

Теорема Модильяни — Миллера говорит о том, что стои>

мость фирмы на идеальном рынке не зависит от струк>

туры капитала. Отметим, что мы привели простейший вариант

формулировки теоремы Модильяни — Миллера, не останавли>

ваясь подробно на условиях этой теоремы и лишь наметив схе>

му доказательства. Подробное обсуждение вопросов соотноше>

ния стоимости фирмы и структуры капитала на реальных

рынках проводится в сборнике [31].

ГЛАВА 4. УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ

§ 4.1. ФИНАНСОВЫЕ РИСКИ

4.1.1. Рыночные риски

Повторим (см. п. 2.4.2), что риск инвестиционной опера>

ции — это отклонение реальных значений эффективности дан>

ной операции от ее прогнозируемой эффективности (как в

меньшую сторону, так и в большую).

Рыночные риски связаны с неопределенностью коле>

баний рыночной конъюнктуры и чувствительностью активов и

операций компании к этим колебаниям:

• ценовые и валютные риски (состоят в воз>

можном сокращении выручки или росте расходов, связан>

ном с изменениями валютных курсов или цен товаров и ре>

сурсов),

• процентные риски (состоят в изменениях про>

центных ставок, выплачиваемых по активам с фиксирован>

ной доходностью — прежде всего, по банковским счетам и

облигациям),

• риски ликвидности (состоят в изменениях степе>

ни ликвидности активов компании),

• проектные риски (состоят в неспособности компа>

нии осуществить инвестиционный проект точно в соответст>

вии с его планом) и т. п.

Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 4.1.1. С каким риском сталкивается российская

компания, производящая товар себестоимостью 900 руб., если

обменный курс евро к рублю составляет 30 руб. за евро, а

аналогичный товар в Германии производится с себестоимостью

евро?

Решение. Такая компания имеет дело с валютным риском: ес>

ли, например, курс евро упадет до 29 руб. В этом случае немецкий товар

станет дешевле российского: его себестоимость в переводе на рубли будет

уже не 30◊30 = 900 руб., а 30◊29 = 870 руб., что даст немецкому производи>

телю существенное преимущество на российском и мировом рынках. 

ПРИМЕР 4.1.2. С каким риском сопряжена покупка по но>

минальной стоимости 1000 ден. ед. 20>летней облигации очень

надежной корпорации, по которой в течение всех 20 лет до по>

гашения будет выплачиваться купонный доход в размере 12%

от номинальной стоимости?

Решение. Данная операция сопряжена с процентным риском:

если, например, через 5 лет на рынке появятся такие же надежные обли>

гации другой компании, которые обеспечивают больший купонный доход,

например, 14%>ный (и продаются по номинальной стоимости), то никто не

заплатит за старую облигацию ее рациональную стоимость (3.1.1)

1(1 ) 11,10

(1 ) 120 1000 1,10 1152

руб.12коп.

0,10

PC F i

-+ -

=++= +◊ª

или номинальную стоимость 1000 руб., поскольку за 1000 руб. можно ку>

пить новую облигацию, обеспечивающую более высокий доход.

Грубый подсчет показывает, что при неизменных остальных рыноч>

ных факторах старую облигацию удастся продать не дороже чем за

11,14

120 1000 1,14 877

руб.16коп.

0,14

=+◊ª

при этом за счет процентного риска держатель старой облигации потеря>

ет 1152,12 – 877,16 = 274 руб. 96 коп. 

ПРИМЕР 4.1.3. С каким риском сталкивается автолюбитель,

приобретающий автомобиль стоимостью 20 000 евро и имеющий

привычку менять автомобиль каждые три года, если стоимость

аренды такого же автомобиля составляет 4000 евро в год, а бан>

ковская процентная ставка равна 10% годовых, и как с этим рис>

ком можно бороться?

Решение. Автолюбитель сталкивается с ценовым риском: не>

известно, по какой цене он сможет продать автомобиль через три года.

Сравним две возможности: покупку автомобиля и его продажу через три

года и аренду аналогичного автомобиля на те же три года. Прежде всего,

необходимо оценить современную стоимость арендных платежей: по

формуле (1.4.1)

4000(1 1,1 )

9947,41

0,1

NPV евро.

Если через три года автомобиль удастся продать дороже, чем за

(20 000 – 9947,41)1,1

= 13, 380 евро, то покупка с последующей продажей

выгоднее аренды, иначе — наоборот. В момент покупки автолюбитель не

может точно предсказать, какие цены сложатся на рынке подержанных

автомобилей через три года, и по какой цене можно будет продать его ав>

томобиль. Кроме того, в течение трех лет эксплуатации автомобиля воз>

можно наступление событий существенно уменьшающих цену его про>

дажи: возможные аварии или периоды слишком интенсивной эксплуата>

ции

. Аренда избавит автолюбителя от этого ценового риска: он будет точ>

но знать, что за все время эксплуатации он заплатит три раза по

4000

евро, и современная стоимость такой трехлетней ренты составляет

не более и не менее чем 9947,41 евро.

Если дилер предлагает автолюбителю рассрочку под 10% годовых на

5 лет с одинаковыми ежегодными выплатами, то через три года остаток

задолженности составит

323

20000 0,1

4620

20000 1,1 (1 1,1 1,1 ) 20000 1,1

11,1 11,1

26620,00 12187,44 14 432,56

евро.

◊

◊- ++ = ◊-

=-=

Если автолюбителю, владеющему автомобилем, удастся перепро>

дать автомобиль через три года дороже чем за 14 432,56 евро, то он оста>

нется в выигрыше по сравнению с тем, как если бы он арендовал автомо>

биль, иначе — в проигрыше.

Если бы заранее была известна цена перепродажи, то сделать выбор

между покупкой и арендой автомобиля очень легко, но цена эта неиз>

вестна, слишком много факторов на нее влияет. В случае покупки точно

предсказать чистую приведенную стоимость операции не представляется

возможным. Поэтому аренда автомобиля выступает средством избавле>

ния от риска: мы точно знаем, сколько, когда и кому мы заплатим, точно

знаем стоимость всех наших платежей. 

ПРИМЕР 4.1.4. Известный автор, 90% предыдущих книг ко>

торого имели успех у читателей, запрашивает у киностудии

1 000 000

руб. за эксклюзивное право съемки фильма по недавно

написанной книге, которая через полгода должна выйти из пе>

чати. При этом стоимость съемки фильма равна 50 000 000 руб.

Если книга будет иметь успех, то доход от проката фильма со>

ставит 100 000 000 руб., в противном случае — 10 000 000 руб. С

какими рисками сталкивается киностудия и как от этих рисков

можно уберечься?

Решение. Риски, с которыми сталкивается киностудия, заключаются

в следующем. Если сегодня не приобретать у автора эксклюзивное право

съемки, а книга будет иметь успех, то автор, зная это, может потребовать

более высокой платы за право съемки фильма или вообще продать это

право другой киностудии. Если же купить право съемки сейчас, то книга

может оказаться неудачной, и тогда съемка фильма потеряет смысл —

фильм будет убыточным. Какой из вариантов реализуется на самом деле,

заранее неизвестно, но в данном случае киностудия может приобрести

реальный опцион: заплатив сегодня автору относительно небольшую

сумму (стоимость опциона), и отложив съемку фильма до того момента,

когда станет ясно, пользуется ли книга успехом, можно гарантировать,

что в худшем случае потери студии будут равны стоимости опциона

1 000 000

руб., а в лучшем случае студия получит доход в размере

100 000 000 –50 000 000 – 1 000 000 = 49 000 000

руб. Оценить рациональ>

ную стоимость такого реального опциона можно с помощью формулы

Блэка — Шоулза (3.2.4) и сравнить полученную оценку с суммой, запра>

шиваемой автором; на его предложение, естественно, имеет смысл со>

глашаться только если он просит не более рациональной стоимости оп>

циона. Подробнее о реальных опционах можно прочитать в книге [5]. 

4.1.2. Кредитные и операционные риски

Кредитные риски связаны с возможной неплатеже>

способностью контрагентов компании.

ПРИМЕР 4.1.5. С каким риском сталкиваются торговые

компании, высылающие заказчикам товары с оплатой по полу>

чении?

Решение. Такие компании сталкиваются с кредитным рис>

ком: покупатель может оказаться неспособным оплатить товар в момент

его получения, далее возможны различные варианты: либо покупатель

оплатит товар с опозданием, либо вернет его, либо не оплатит и не вернет.

Во всех этих случаях продавец несет убытки, предсказать точный размер

которых заранее невозможно. 

Операционные риски связаны со спецификой про>

ведения операций (например, необходимостью расчетов в ино>

странной валюте).

ПРИМЕР 4.1.6. С каким риском сталкиваются компании,

имеющие дочерние фирмы в других странах?

Решение. Такие компании сталкиваются с трансляционным

валютным риском: если, например, российская компания имеет

дочернюю фирму в США, стоимость чистых активов которой на 1 января

2004 г. составила 77 млн. долл., то при консолидации информации в го>

ловном офисе доллары необходимо перевести в рубли, и если в начале го>

да доллар стоил 30 руб., а в конце года — 29 руб., то стоимость активов

дочерней компании за этот год уменьшилась на (30 – 29)77 000 000 =

= 7 700 000

руб. Таким образом, бухгалтерский убыток составит

7,7 млн. руб. 

4.1.3. Процесс управления рисками

Управление рисками обязательно должно включать

в себя такую последовательность действий:

•

согласование требований (

например, собственни>

ки компании и менеджеры по управлению рисками могут иметь

разные предпочтения по рискам, и предпочтения менеджеров

необходимо согласовать с требованиями собственников);

• выявление рисков;

• оценку рисков;

• выбор приемов воздействия на риски и их реа>

лизацию;

• оценку результатов управления рисками.

При управлении кредитными и операционными

рисками необходимо, во>первых, оценить вероятность воз>

никновения неблагоприятных событий и скорректировать пото>

ки платежей в соответствии с этими вероятностями, а во>

вторых, установить лимиты — предельно допустимые суммы

для расчетов с каждым контрагентом, в каждой валюте и т. п.,

эти лимиты должны соответствовать предельно допустимым

суммам наших потерь и превышать эти лимиты категорически

не следует.

Можно потребовать от контрагентов предоставления га>

рантий платежеспособности. Оценка стоимости таких

гарантий может быть произведена на основе рассмотрения га>

рантии как реального опциона и вычисления рациональной

стоимости этого реального опциона.

Действительно, гарантия подобна опциону продавца:

гарант должен осуществить предусмотренный договором пла>

теж, если эмитент этого договора окажется неплатежеспособ>

ным. Поэтому предоставление гарантии можно рассматривать

как продажу опциона продавца и оценивать стоимость предос>

тавления гарантии как рациональную стоимость этого опциона.

При управлении рыночными рисками удобнее всего

переносить эти риски. С тремя схемами переноса рисков

мы познакомимся в следующем параграфе.

§ 4.2. ТРИ СХЕМЫ ПЕРЕНОСА РИСКА

4.2.1. Диверсификация

Принцип диверсификации означает распределение средств

между несколькими рискованными проектами вместо того, что>

бы инвестировать только в один рискованный проект. Суть ди>

версификации выражена известной поговоркой — «Не кладите

все яйца в одну корзину».

Центральная предельная теорема утверждает,

что среднее из достаточно большого числа независимых и при>

мерно одинаковых случайных слагаемых распределено по нор>

мальному закону, причем математическое ожидание среднего

будет равно среднему из математических ожиданий слагаемых,

а среднее квадратичное отклонение среднего будет в n мень>

ше среднего квадратичного отклонения слагаемых.

Данный факт позволяет воспользоваться принципом дивер>

сификации и существенно увеличить определенность будущего.

ПРИМЕР 4.2.1. Строительная фирма для привлечения инве>

стиций в строительство нового дома собирается воспользоваться

банковским кредитом. Вероятность того, что какой>либо банк в

ответ на поступление бизнес>плана примет положительное ре>

шение о кредитовании фирмы, равна 0,3. Строительная фирма

обратилась в 100 банков. Какова вероятность того, что решение о

предоставлении кредита этой фирме примет хотя бы один банк?

Решение. Данную ситуацию можно рассматривать как последова>

тельность из n = 100 испытаний Бернулли, в которых успехом считается

принятие банком решения о кредитовании. Вероятность успеха в единич>

ном испытании равна по условию p = 0,3. Поскольку число испытаний n

велико, а произведение np = 30 > 10, можно воспользоваться инте>

гральной теоремой Муавра — Лапласа: искомая вероят>

ность равна

100

100 100 0,3 1 100 0,3

(1;100)

100 0,3 (1 0,3) 100 0,3 (1 0,3)

(15,28) ( 6,33) 0,99999999988 1.

-◊ -◊

ÊˆÊˆ

ªF -F =

Á˜Á˜

◊◊- ◊◊-

Ë¯Ë¯

=F -F- ª ª

Диверсификация позволила увеличить вероятность получения кре>

дита с 30% почти до 100%, т. е. до практически полной определенности! 

Формирование оптимального портфеля финансовых инст>

рументов также является примером диверсификации: в опти>

мальном решении рисковая часть портфеля устроена так же,

как рынок в целом — если на рынке в целом акции некоторой

компании составляют 2%, то их доля в оптимальном портфеле

также должна быть равна 2%. Инвестор фактически может

лишь выбирать долю вложений в безрисковый актив: чем

больше эта доля, тем меньше эффективность портфеля и

меньше риск.

Диверсификация может позволить уменьшить риск, но

полностью избавиться от него, как правило, не удается: ведь на

самом деле различные проекты не являются независимыми!

4.2.2. Хеджирование

Хеджирование состоит в том, что на определенное время из

некоторого актива и некоторого количества другого актива со>

ставляется портфель, причем второй актив подбирается таким

образом, что одновременно с изменением стоимости базового ак>

тива в противоположную сторону меняется стоимость второго

(

хеджирующего) актива.

Рассмотрим поток платежей

(1; B

), (2; B

), …, (T; B

Его современная стоимость по формуле (1.3.3) равна

. (4.2.1)

(1 )

== +

NPV i

При этом

(1 )

tB i

∂∂

==- +

∂+ ∂

Пусть

(1 )/(1 ) (1 )

ii P

∂

e= =-

∂+ + +

ая

инте

. (4.2.2)

Левая часть равенства (4.2.2) — это эластичность со>

временной стоимости рассматриваемого потока платежей к

изменению процентной ставки. Она показывает, что при

изменении процентной ставки i на 1% от (1 + i) современная

стоимость потока платежей меняется на e%. Но есть и друг

рпретация. Из формулы (4.2.2) следует, что

(1 )

при этом

(1 )

— (4.2.3)

это доля современной стоимости потока, которую вносит пла>

теж, осуществляющийся в момент t. Таким образом, формулу

(4.2.2)

можно переписать как

(1 ) /(1 )

∂

e= =-

∂+ +

где w

определяются формулой (4.2.3) и

Это означает, что эластичность современной стоимости по>

тока платежей e равна средневзвешенному времени платежей с

весами w

Дюрация определяется как

(1) (1)/(1)

dtw

Pi i i

∂

= = =- =-e

+∂++

ÂÂ

Если иммунизировать портфель, т. е. сделать дюрации ак>

тивов и задолженностей равными, то можно избавиться от рис>

ка изменения процентных ставок. Эта теорема об иммунизации,

принадлежащая Нобелевскому лауреату 1970 г. П. Саму>

эльсону, рекомендует использование трех взаимосвязанных

правил хеджирования процентного риска:

• правило нулевого уровня: приведенная стоимость акти>

вов должна быть не меньше, чем приведенная стоимость

долгов;

• правило первого уровня: дюрация активов должна быть

не больше, чем дюрация долгов;

• правило второго уровня: разброс

()

Vwtd

момента платежа активов должен превышать разброс мо>

мента платежа долгов.

Хеджирование рыночных рисков на рынке

акций можно проводить с помощью финансовых инструмен>

тов, производных от базового, при этом связь базового и хеджи>

рующего инструментов будет четко определенной. Рассмотрим

конкретный пример.

ПРИМЕР 4.2.2. Российская фирма проводит на Украине

крупный консалтинговый проект. Согласно договору, расчет (в

размере 1 000 000 гривен) будет произведен в украинских грив>

нах по окончании работ (через 1 год). Текущий обменный курс

гривны равен 5 руб. Фирма опасается, что через год курс грив>

ны по отношению к российскому рублю уменьшится. Как убе>

речься от возможных потерь?

Решение. Чтобы уберечься от возможных потерь, связанных с

уменьшением курса гривны, фирма может перед началом проекта за>

ключить с каким>либо украинским банком форвардное соглашение на

продажу 1 000 000 гривен через год по курсу 5 руб. за гривну. Таким обра>

зом, что бы ни произошло с гривной, российская фирма получит ровно

5 000 000 руб. При этом, конечно, исполнитель проекта сознательно отка>

зывается не только от возможных потерь, но и от возможной дополни>

тельной прибыли (например, если курс гривны через год возрастет до

6 руб., то исполнитель получит не 6 000 000 руб, а 5 000 000 руб.).

Если же российская фирма до начала проекта заплатит украинскому

банку некоторую относительно небольшую сумму (например,

50 000 гривен) и заключит опционный контракт на продажу

1 000 000 гривен по курсу 5 руб. за гривну, то этим опционом можно будет

воспользоваться только в случае, если курс гривны через год уменьшится

по сравнению с текущим. Если же курс гривны повысится (например, до

6 руб.), то правом, заложенным в опционе, можно не пользоваться, а про>

дать 1 000 000 гривен по рыночной цене и получить 6 000 000 руб. 

Самым важным при хеджировании является определение

рациональной цены хеджирующего актива, которое при хед>

жировании производными финансовыми инструментами про>

изводится с использованием теории их ценообразования, рас>

смотренной в § 3.2.

4.2.3. Страхование

Страхование, согласно А. Н. Ширяеву [47, С. 87], — это «со>

циальный механизм, позволяющий индивидуумам и организа>

циям компенсировать экономические потери, вызванные теми

или иными неблагоприятными обстоятельствами».

Довольно давно стало ясно, что самый эффективный способ

уменьшения потерь от неопределенностей — это объединение

отдельных людей и организаций в страховые сообщест>

ва, поскольку трудно предсказать время, место и характер со>

бытий, способных повлиять на экономическое состояние инди>

видуумов, вместе с тем, по закону больших чисел,

средние (или суммарные) потери большой группы индивидуу>

мов предсказать можно. В страховых сообществах каждый ин>

дивидуум вносит сумму, намного меньшую его возможного

ущерба, и в случае наступления ущерба убытки возмещаются

из средств, собранных всеми членами сообщества, в случае же,

когда для кого>то из членов страхового сообщества ущерб не

наступает, первоначально выплаченная этим индивидуумом

сумма распределяется между теми членами сообщества, кото>

рые понесли убытки.

Иными словами, страхование заменяет неопределенность

будущих возможных потерь вполне определенными (относи>

тельно небольшими) разовыми выплатами в определенные мо>

менты.

Первые формы страхования представляли собой страхова>

ние морских грузов и датируются примерно четвертым тыся>