Соловьев В.И. Математические методы управления рисками

Подождите немного. Документ загружается.

да, если бы сумма S

была в начале года положена на счет, т. е. с

суммой S

(1 + i):

= S

(1 + i).

Рис. 3.1.2. Изменение цены акции за один период времени

Истинные вероятности того, что в течение данного периода

акция подорожает или подешевеет, нам неизвестны, но в пред>

положении отсутствия арбитражных возможностей можно с

помощью только что полученного условия вычислить так назы>

ваемые вероятности, нейтральные к риску: пусть p — веро>

ятность того, что в начале следующего периода цена акции ока>

жется равной S

u, тогда вероятность того, что цена акции будет

равна S

d, составит (1 – p); при этом

= S

up + S

d(1 – p).

Отсюда

up + S

d(1 – p) = S

(1 + i).

Разделим обе части этого равенства на S

up + d(1 – p) = 1 + i

или (u – d)p + d = 1 + i,

поэтому

1 id

. (3.1.5)

Предположим теперь, что рассматриваемый промежуток

времени [0; T] разбит на n периодов, в каждом из которых стои>

мость акции может увеличиться в u или в d раз. Вероятность

того, что стоимость акции увеличится в u или в d раз, неизвест>

на, однако можно вновь воспользоваться принципом вероятно>

сти, нейтральной к риску. Основное отличие состоит в том, что в

соответствии с формулой (1.1.3) корректируются процентные

ставки, т. е. в числителе формулы (3.1.5) вместо (1 + i) будет

(1 + i)

T/n

()

(1 )

(3.1.6)

(

индекс (n) здесь означает, что проведена коррекция годовой

ставки с учетом того, что рассматриваемый отрезок времени

[0; T]

разбивается на n периодов).

Процесс изменения цены акции в течение n периодов (для

случая n = 4) проиллюстрирован рис. 3.1.3.

0 1 2 3 4

Рис. 3.1.3. Изменение цены акции в течение четырех периодов

При этом процесс изменения цены акции в течение n пе>

риодов можно представить как последовательность n незави>

симых испытаний, в которых успехом считается повышение

цены акции в u раз, а неудачей — ее понижение в 1/d раз. Если

в течение n периодов цена акции поднималась k раз и опуска>

лась (n – k) раз, то ее цена к концу последнего периода составит

= S

n – k

. Вероятность наступления k повышений и (n – k)

понижений цены акции составит по формуле Бернулли

() C (1 )

kk nk

kpp

=-P

Вероятность успеха p здесь имеет смысл оценить с помо>

щью нейтральной к риску вероятности p

(n)

, определяемой фор>

мулой (3.1.6). Таким образом, цена акции к концу n>го периода

(

т. е. в момент времени T) может принимать значения

= S

n – k

с вероятностями

. (3.1.7)

0()()

{ } C (1 ) , 0,1, 2, ...,

knk kk nk

Tnnn

SSud p p k

==- =P n

Данная модель (3.1.7), называемая биномиальной моделью

ценообразования акции, была предложена в 1979 г. Дж. Коксом,

Р. Россом и М. Рубинштейном [19].

ПРИМЕР 3.1.2. Составим ряд распределения цены акции к

концу года, разбив этот год на четыре периода, если текущая

цена акции составляет S

= 35 руб., годовая безрисковая про>

центная ставка составляет i = 10% и известно, что в каждом

периоде акция может возрасти в цене или упасть в цене в

u = 1,105

раз.

Решение. Вероятность, нейтральная к риску,

1/4

(4)

(1 )id

1,024 0,905

0,595

1,105 0,905

=ª

, 1 – p

(4)

0,405 (здесь

0,905

1,105

== ª

). Теперь мы

можем составить ряд распределения цены акции к концу четвертого пе>

риода: цена принимает значения S

4 – k

(k = 0, 1, 2, 3, 4) соответственно с

вероятностями

P . Окончательно имеем:

44(4)(4)

() C (1 )

kk k

kpp

(4)

23,478 28,667 35,002 42,737 52,182

0,027 0,158 0,348 0,341 0,126

. 

§ 3.2. ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ

3.2.1. Форварды и фьючерсы

Банковский счет, акции и облигации называются основными

финансовыми инструментами. На их базе могут быть построе>

ны более сложные финансовые инструменты — производные.

Наиболее распространенные типы производных финансо>

вых инструментов — форварды, фьючерсы и опционы.

Форвард — это ценная бумага, представляющая собой со>

глашение о приобретении или продаже в определенный момент

времени в будущем определенной ценности по фиксированной

цене, определяемой в момент заключения контракта.

Форвардный контракт, заключенный на бирже, называется

фьючерсом. Биржа при этом берет на себя роль посредника

между покупателем и продавцом, каждый из которых заключает

отдельный договор с биржей. Эти договоры являются стан>

дартизованными, т. е. их условия (количество и качество по>

ставляемого товара и т. п. одинаковы для всех участников).

ПРИМЕР 3.2.1. Чему равна форвардная цена на облигацию

из примера 3.1.1 с датой форвардной поставки через год (т. е. за

4 года до погашения)?

Решение. Если мы не прогнозируем изменение процентных ставок,

то определить цену такого форвардного контракта очень просто: просто

найдем стоимость потока платежей, связанного с данной облигацией в те>

чение последних четырех лет до даты погашения, приведенную к концу

первого года:

1(10,12)

(1) 0,10 100000 100000(1 0,12) 93 925,30

0,12

=◊ + + =

руб.,

эта цена P = B(1) = 93 925 руб. 30 коп. и будет справедливой! 

3.2.2. Опционы

Опцион — это ценная бумага, представляющая собой дого>

вор, по которому одна из сторон (продавец) продает опцион за

определенную премию, а другая сторона (покупатель или вла

делец) при этом получает право (но не обязанность) в те>

чение срока, оговоренного в условиях опциона, либо купить оп>

ределенный актив по фиксированной цене, определяемой в мо>

мент заключения договора и называемой терминальной стои

мостью опциона (такой опцион называется опционом покупа

теля), либо продать актив по терминальной стоимости (такой

опцион называется опционом продавца). По срокам исполнения

опционы делятся на европейские и американские. Американ

ский опцион может быть предъявлен к исполнению в любое

время до истечения срока опциона, европейский опцион может

быть использован только в день истечения его срока.

Основным отличием фьючерсов и опционов является то, что

первый представляет собой обязательство покупки или

продажи актива по фиксированной цене, а второй — право.

Широко распространены и другие производные финансо>

вые инструменты, в частности, инструменты, производные от

производных, например, опцион на фьючерс.

Важно уметь рассчитывать стоимости производных финан>

совых инструментов, для чего создаются соответствующие ма>

тематические модели этих инструментов. Как мы видели в пре>

дыдущем пункте, рассчитать стоимость форвардного (или

фьючерсного) контракта достаточно просто.

С опционами дело обстоит несколько сложнее. Несмотря на

то, что такие финансовые инструменты известны достаточно

давно, организованная торговля ими началась только в 1973 г.,

когда в работах Ф. Блэка и М. Шоулза [4] и С. Мертона [29] была

впервые построена работоспособная математическая теория

ценообразования опционов.

Рассмотрим вначале ценообразование опционов в рамках

биномиальной модели Кокса — Росса — Рубинштейна.

Рациональной считается такая стоимость финансового ин>

струмента, которая исключает возможность арбитража без

риска; иными словами, доходность безрискового финансового

инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна сов>

падать с доходностью банковского счета.

Найдем рациональную стоимость



 стандартного евро>

пейского опциона покупателя. Очевидно, рациональная стои>

мость опциона в момент его исполнения совпадает с прибылью,

которую можно получить, исполнив опцион. Данный опцион

имеет смысл исполнять, т. е. пользоваться заложенным в

нем правом покупки акции по цене X, лишь в том случае, когда

рыночная цена S

этой акции к моменту окончания срока дейст>

вия опциона, т. е. к концу последнего периода, будет больше

Если рыночная цена акции S

окажется больше X, держатель

опциона, исполнив его, получит доход (S

– X). Если же рыноч>

ная цена акции S

окажется меньше X, держатель опциона про>

сто не будет его исполнять и получит нулевой доход. Таким об>

разом, если цена акции в момент исполнения опциона известна

и равна S

, то доход от исполнения такого опциона составит

(n)

= max{S

– X; 0}. Поскольку цена акции S

является случай>

ной величиной, определяемой рядом распределения (3.1.7), до>

ход от исполнения опциона покупателя также является слу>

чайной величиной, которая принимает значения

= max{S

n – k

– X; 0} (k = 0, 1, 2, … , n)

с вероятностями

() ()

() C (1 )

kk nk

nnnn

kpp

=-P

Оценка опциона происходит перед началом первого перио>

да, поэтому для получения его рациональной стоимости





достаточно дисконтировать ожидаемый доход от исполнения

опциона на срок его действия:



0()

()

max{ ; 0}C (1 )

(1 ) (1 )

knk k k nk

nn n

Sud X p p

M



()

. (3.2.1)

Таким образом, рациональная стоимость



 европейского

опциона покупателя со сроком погашения T (в годах) и ценой

исполнения X, выписанного на акцию с текущей ценой S

, опи>

сывается формулой (3.2.1), в которой i — банковская (годовая)

процентная ставка, срок действия опциона делится на n перио>

дов (в каждый из периодов цена акции, на которую выписан оп>

цион, может повыситься в u или в d раз), p

(n)

— вероятность,

нейтральная к риску, определяемая формулой (3.1.6).

ПРИМЕР 3.2.2. Чему равна рациональная стоимость опциона

покупателя с терминальной стоимостью X = 40 руб. и сроком ис>

полнения 1 год, выписанного на акцию из условия примера 3.1.2.

Решение. Ряд распределения дохода от исполнения опциона при рас>

четах по четырехпериодной биномиальной модели имеет следующий вид:

(4)

0 2,737 12,182

0,027 0,158 0,348 0,533 0,341 0,126p ++=



Ожидаемый доход от исполнения опциона покупателя, равный ма>

тематическому ожиданию случайной величины C

(4)

, составляет

(4) 0 4 (4) (4)

max{ ; 0}C (1 )

0 0,027 0 0,158 2,737 0,341 12,182 0,126 2,468.

kk kk k

Sud X p p

=◊ +◊ + ◊ ◊ ◊ =

M

Окончательно получаем



(4)

2,468

2,24

110,1

==ª

M



руб., т. е рацио>

нальная стоимость такого опциона равна 2 руб. 24 коп. (что существенно

меньше текущей цены акции и цены исполнения опциона!). 

Пусть одновременно заключаются два опционных контрак>

та (опцион покупателя и опцион продавца) с одной и той же це>

ной исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на од>

ну и ту же акцию, стоимость которой в начальный момент равна

, банковская (годовая) процентная ставка равна i и пусть C

— рациональные стоимости этих опционов.

Рациональность стоимости означает, что из инструментов с

такой стоимостью невозможно создать безрисковый портфель,

доходность которого превысит безрисковую доходность. Если

– C

+ S

> X/(1 + i)

, то для получения безрисковой прибыли

можно использовать следующую торговую стратегию: одно>

временно продать акцию, продать опцион продавца на нее и ку>

пить опцион покупателя. Тогда в начальный момент времени

будет получена сумма P

– C

+ S

, а в момент исполнения оп>

ционов необходимо будет выплатить сумму X, текущая стои>

мость которой составляет X/(1 + i)

. Таким образом, будет по>

лучен выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в

банковский счет, что противоречит предположению о рацио>

нальности стоимости опционов. Аналогично, если P

– C

+ S

будет меньше, чем X/(1 + i)

, то для получения безрисковой

прибыли можно использовать следующую торговую стратегию:

купить акцию, купить опцион продавца на нее и продать опцион

покупателя. Тогда в начальный момент времени будет выпла>

чена сумма P

– C

+ S

, а в момент исполнения опционов — по>

лучена сумма X, текущая стоимость которой составляет

X/(1 + i)

, т. е. данная стратегия принесет выигрыш по сравне>

нию с безрисковыми вложениями в банковский счет, что проти>

воречит предположению о рациональной стоимости опционов.

Полученные противоречия показывают, что для рациональной

стоимости опциона покупателя и рациональной стоимости

опциона продавца справедлива теорема о паритете:



(1 )

-+=

PC .

Отметим, что данное соотношение паритета справедливо

только для европейских опционов.

Теперь легко вывести формулу для оценки опциона про>

давца: рациональная стоимость



P европейского опциона про>

давца определяется формулой



0()(

max{ ; 0}C (1 )

(1 )

knk k k nk

nn n

XSudXpp

+--

)

В 1973 г. Ф. Блэк и М. Шоулз в работе [4] и Р. Мертон в рабо>

те [29] получили следующую формулу для оценки рациональ>

ной стоимости опциона покупателя:



() ()e

Sy Xy

-d

=F -F , (3.2.2)

где

Êˆ

=+±

Á˜

Ë¯

, (3.2.3)

s — изменчивость доходности акций, d — интенсивность без>

рисковых процентов,

()

-•

dz —

функция нормального распределения.

Доказательство этой формулы довольно сложное, его можно

найти, например, в книге [36]. Обсудим содержательный

смысл формулы Блэка — Шоулза (3.2.2). Первое слагаемое

F(y

) есть не что иное, как текущая стоимость ожидаемого

дохода от исполнения опциона. Второе слагаемое [–XF(y

–

]

представляет собой произведение цены исполнения опциона на

вероятность того, что он окажется выигрышным, дисконтиро>

ванное по безрисковому проценту к текущему моменту, т. е. не

что иное, как текущую стоимость ожидаемых расходов при ис>

полнении опциона. Таким образом, рациональная стоимость оп>

циона есть разница между текущим ожидаемым доходом от ис>

полнения опциона и текущими ожидаемыми расходами.

Важно отметить, что в формулу для оценки опционов не

входит ожидаемая доходность акции r; рациональная стоимость

опциона зависит лишь от стоимости акции в данный момент,

времени, оставшегося до исполнения опциона, цены исполнения

опциона, изменчивости доходности акции и безрисковой про>

центной ставки.

Теорема о паритете опционов покупателя и про>

давца в модели Блэка — Шоулза принимает вид

– C

+ S

= Xe

–

а аналог формулы для европейских опционов про>

давца записывается так:



()e (

)

-d

=F- - F-P y

, (3.2.4)

где y

и y

–

определяются соотношением (3.2.3).

Формула (3.2.1) при

= , d = 1/u и n Æ • переходит в

формулу Блэка — Шоулза — это и дает ответ на вопрос, кото>

рый уже, наверное, задал себе любознательный читатель: от>

куда берутся u и d в биномиальной модели стоимости акции?

Теория оценки производных инструментов имеет широкие

приложения, выходящие далеко за пределы рынка ценных бу>

маг. Банки и инвестиционные компании, разрабатывающие но>

вые производные инструменты, в том числе по заказу клиентов,

используют описанную методику для оценки рациональной

стоимости этих инструментов. Аналогичные методы могут быть

использованы для оценки страховых контрактов и гарантий,

так как они являются своего рода производными инструмента>

ми, предоставляя своим держателям право, но не обязательство

их использования.

Эти методы могут быть использованы и при оценке эффек>

тивности реальных инвестиций (см. § 4.1).

Метод, предложенный Ф. Блэком, М. Шоулзом и С. Мер–

тоном, причисляют к самым крупным достижениям экономиче>

ской теории XX в. Его авторы М. Шоулз и Р. Мертон были удо>

стоены Нобелевской премии в области экономики за 1997 г.

(

Ф. Блэк умер в 1995 г.).

§ 3.3. ПОРТФЕЛЬ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

3.3.1. Оптимизация портфеля

финансовых инструментов

Рассмотрим ситуацию, когда в некоторый момент времени t

инвестор может часть своих средств оставить на банковском

счете, а другую часть потратить на приобретение ценных бумаг.

Портфелем финансовых инструментов на (B, S)>рынке назо>

вем вектор

, (3.3.1)

012

(,,,,

xxx x= …p )

где x

Œ R — доля капитала инвестора, вложенная в безриско>

вый актив (банковский счет или облигацию), x

Œ R — доля ка>

питала инвестора, вложенная в акцию с номером k

(

k = 1, 2, … , n), при этом, очевидно,

Числа x

могут быть как положительными, так и отрица>

тельными, в последнем случае инвестор берет средства в долг с

банковского счета либо совершает короткую продажу акций

(

конечно, эти числа могут быть и нулевыми).

Эффективность портфеля финансовых инструментов

вычисляется, очевидно, как

Exi xE

где i — эффективность банковского счета (процентная ставка),

— эффективность k>й акции (ее доходность).

Ожидаемой эффективностью портфеля финансовых ин>

струментов называется математическое ожидание его эффек>

тивности, а риском портфеля — среднее квадратичное откло>

нение его эффективности.

Возникает задача оптимизации портфеля с це>

лью получения максимальной эффективности при минималь>

ном риске. К сожалению, одновременно этого достичь невоз>

можно, поэтому инвестор, оптимизирующий свой портфель,

должен выбрать один из критериев:

• либо минимизировать риск Es= D

при за>

данном уровне эффективности портфеля,

• либо максимизировать ожидаемую эффек>

тивность при заданном уровне риска портфеля. EM

В общем случае математическая формулировка задачи

минимизации риска портфеля ценных бумаг при задан>

ной допустимой ожидаемой эффективности выглядит так: r



min

xi xE

Êˆ

+Æ

Á˜

Ë¯

(0,1,2,,)

xi xE r

Êˆ

Á˜

Ë¯

Œ=



…R

, (3.3.2)

,),

Воспользовавшись тем, что квадратный корень — возрас>

тающая функция, и применив свойства математического ожи>

дания и дисперсии, эту модель можно переписать в виде

, (3.3.3)

min

kl k l

sÆ

ÂÂ

,1,

k k

x x x

ÂÂ

(0,1,2,

ix r x r k n+= Œ=



…

где r

= ME

— ожидаемая эффективность k>й акции

(k = 0, 1, 2, … , n), s

= cov(E

; E

) — ковариация эффективностей

k>й акции и l>й (k = 0, 1, 2, … , n, l = 0, 1, 2, … , n); очевидно, что

kk k k

Es= =sD