Соловьев В.И. Математические методы управления рисками

Подождите немного. Документ загружается.

Если даже считать, что на рынке обращается 500 акций

(

ровно столько акций представлено в популярном фондовом ин>

дексе Standard & Poor’s 500 — см. далее; на самом деле, акций

на рынке обращается больше), то если взять данные за месяц

(22

рабочих дня, по одной котировке в день), то получится

220

◊

500 = 11 000 чисел, а оценить нужно 500 средних

e , 500 во>

латильностей

и 124750 ковариаций



cov( ; )

EE — точность

полученных таким способом оценок будет весьма низкой. Если

брать более длительные промежутки времени, то точность оце>

нок все равно будет невысокой в силу того, что рыночная конъ>

юнктура меняется очень быстро, иногда за неделю происходят

весьма и весьма значительные изменения! Что же делать?

Выход довольно прост: рассматривать зависимость эффек>

тивностей акций от каких>либо ведущих факторов, объ>

ективно характеризующих финансовый рынок в це>

лом. В качестве такого ведущего фактора можно взять, напри>

мер, цены на энергоносители; все компании пользуются энерги>

ей — и в технологических процессах, и в процессе перевозок,

поэтому эффективность работы компаний напрямую зависит от

изменений цен на энергоносители.

Рассмотрим зависимость эффективности акции E от неко>

торого фактора F; в простейшем случае такую зависимость

можно представить в виде модели линейной регрессии

= a

+ b

F + e

, (3.3.12)

где k — номер акции, a

и b

— некоторые постоянные, а

~ N(0; s

) — случайный эффект влияния на доходность E

не>

контролируемых факторов.

Коэффициент b

имеет смысл чувствительности доходности

данной акции к изменениям рыночного фактора F.

В качестве F часто выбирают какой>либо фондовый ин

декс — среднее взвешенное курсов акций важнейших эмитен>

тов рынка акций; чаще всего используются следующие фондо>

вые индексы:

• индекс Доу — Джонса — первый в мире фондовый индекс,

предложенный в 1884 г. журналистом Ч. Доу и его партнером по

выпуску газеты Wall Street Journal Э. Джонсом; в настоящее время

рассчитываются индексы Доу — Джонса для различных групп

компаний, например, индекс Dow Jones Industrial рассчитывается

по 30 крупнейшим промышленным корпорациям США

(

http://indexes.dowjones.com/);

• индекс Standard & Poor’s 500 — взвешенный по рыночной

стоимости индекс 500 акций крупнейших американских компаний,

из которых 400 относятся к промышленности, 40 — к энергетике,

40 —

к сфере финансов, а оставшиеся 20 — к транспорту

(

http://www.standardandpoors.com/);

• индекс обыкновенных акций Financial Times — самый пер>

вый фондовый индекс в Европе, появившийся на страницах газеты

Financial Times

в 1935 г.; рассчитывается как средняя геометриче>

ская котировок акций 100 ведущих британских компаний

(

http://www.ftse.com/);

• индекс РТС; рассчитывается по данным 62 акций (в кон>

це 2003 г.), обращающихся в Российской торговой системе

(

http://www.rts.ru/);

• индекс S&P/RUX; рассчитывается по данным 46 акций

(

в конце 2003 г.), обращающихся в Российской торговой системе

(

http://www.rts.ru/);

•

индекс AK&M; рассчитывается по данным 36 (в конце

2003

г.) ведущих российских эмитентов акций

(

http://www.akm.ru/

Если в модели (3.3.12), в которой в качестве F выбран некото>

рый фондовый индекс, равный усредненной доходности различ>

ных акций, обращающихся на рынке, и оценка значения b ока>

зывается больше единицы, это означает, что данная акция явля>

ется агрессивной, т. е. ее доходность растет в среднем быстрее,

чем доходность по рынку в целом; если оценка b оказывается

меньше единицы, это означает, что данная акция является обо

ронительной, ее доходность растет в среднем медленнее, чем

доходность по рынку; для некоторых ценных бумаг оценка ко>

эффициента b близка к нулю, это значит, что ожидаемая доход>

ность данной бумаги не зависит (или почти не зависит) от пове>

дения рынка. Возможны случаи положительных и отрицатель>

ных коэффициентов b, в этих случаях доходность данной акции

изменяется соответственно в том же направлении, что и доход>

ность по рынку в целом или в противоположном направлении.

Если в модели (3.3.12) в качестве F выбрать

F = r

– i,

где r

— доходность касательного портфеля p

, i — процентная

ставка безрисковых вложений и заимствований, то получим

следующую регрессионную модель:

= a

+ b

– i) + e

Рассмотрим портфель p, в который входит k>я акция с до>

лей x

и рыночный портфель p

с долей (1 – x

); его доходность

будет равна

= x

+ (1 – x

дисперсия доходности

22 22

(1 ) 2 (1 )

kk k M k k kM

Ex x x x=s+- s+ - sD

среднее квадратичное отклонение (риск)

22 22

(1 ) 2 (1 )

kk k M k k kM

xxxxs= s+ - s + - s

. (3.3.13)

Производная

из равенства (3.3.13) получаем, что

22 2

22 22

(1 ) 2 (1 )

kk M kM kkM

kk k M k k kM

xxxx

s-s +s - s

s+ - s + - s

поэтому

22 22

22 2

( ) (1 ) 2 (1 )

kM kk k M k kkM

kk M kM kkM

Er x x x x

dx x

-s+-s+-s

s s -s +s - s

Точка касательного портфеля означает, что в k>ю акцию

вложена доля x

= 0, поэтому в этой точке

()

kMM

kM M

dE E r

-s

ss-s

. (3.3.14)

Но кривая в этой точке касается прямой, соединяющей точ>

ки e и p

, наклон которой равен

dE r i

. (3.3.15)

Приравняв правые части (3.3.14) и (3.3.15), получим:

()

kMM M

kM M M

Er r-s -

s-s s

откуда

() (

kM kM M

-= s-s

)

или

()

Ei ri

=+ -

Окончательно получаем, что для произвольной акции с но>

мером k

, (3.3.16)

(

kkMM

Ei r i-=b -)

где

, а свободный член равен безрисковой процентной

ставке i.

Модель (3.3.16), описывающая зависимость премии за риск

– i для данной акции с номером k от премии за риск r

– i по

рынку в целом, называется моделью оценки основных активов

(Capital Asset Pricing Model).

Она была предложена в 1964 г.

У. Шарпом (Нобелевским лауреатом 1990 г.) в работе [43]. Ли>

ния, которая задается уравнением (3.3.16) называется рыноч

ной линией ценной бумаги (Security Market Line).

Кроме очевидной задачи, отмеченной в начале пункта, есть и

еще одно важное практическое применение модели оценки ос>

новных активов, которое заключается в том, что данная модель

может позволить выявить неверно оцененные акции: если

реально наблюдаемая доходность акции выше (или ниже) той, что

определяется моделью оценки основных активов, то такая акция

называется недооцененной (соответственно переоцененной); эта

разница образуется в результате рыночного неравновесия и

должна со временем исчезнуть. Таким образом, представляется

выгодной покупка недооцененных акций в ожидании повышения

их доходности, а также игра на высокодоходных, но переоценен>

ных, акциях (которая, конечно, может быть только краткосроч>

ной).

ПРИМЕР 3.3.2. Табл. 3.3.1 содержит данные о значениях до>

ходности некоторой акции E и доходности рыночного портфеля

за последние 10 дней.

Таблица 3.3.1

Изменения доходностей акции и рыночного портфеля

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M, t

0,13 0,15 0,11 0,12 0,14 0,13 0,15 0,13 0,14 0,17

0,16 0,21 0,13 0,14 0,15 0,14 0,24 0,15 0,18 0,23

Какой коэффициент b имеет данная акция, если ставка

банковского процента равна 10% годовых?

Решение. Вначале перейдем от доходностей к премиям за риск:

табл. 3.3.2.

Таблица 3.3.2

Изменения премии за риск для акции и для рыночного портфеля

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

M, t

– i

0,03 0,05 0,01 0,02 0,04 0,03 0,05 0,03 0,04 0,07

– i 0,06 0,11 0,03 0,04 0,05 0,04 0,14 0,05 0,08 0,13

Введем данные табл. 3.3.2. в рабочий лист Microsoft Excel, как показа>

но на рис. 3.3.4, а и воспользуемся программой «Регрессия» инструмента

«Анализ данных». Для этого выберем в меню «Сервис» пункт «Сервис | Ана!

лиз данных…», и из появившегося списка программ анализа данных выбе>

рем программу «Регрессия». В появившемся окне (рис. 3.3.4, б) укажем,

что значения зависимой переменной (премии за риск для данной акции

Y = = E – i) содержатся в интервале $C$1:$C$11(«Входной интервал Y»),

значения независимой переменной (премии за риск для рыночного порт>

феля x = r

– i) содержатся в интервале $B$1:$B$11 («Входной интервал

X»), в первой строке указанных диапазонов находятся наименования пе>

ременных («Метки»), а уравнение регрессии Y = bx + e не содержит сво>

бодного члена («Константа — ноль»). Результаты выведем на новый рабо

чий лист, запросим также построение графика подбора.

Поясним смысл наиболее важных результатов работы программы

(рис. 3.3.4, в).

Регрессионная статистика:

1. Множественный R = 0,88 – такова, судя по наблюдениям, степень

линейной зависимости премии за риск для данной акции Y = E – i от пре>

мии за риск для рыночного портфеля X = r

– i, (множественный R – это

оценка коэффициента корреляции

(; ) ,880XY=r

2. R!квадрат = 0,77 – судя по наблюдениям, 77% вариации котиров>

ки акции Y связано с линейным влиянием курса доллара .

Дисперсионный анализ:

1. В п е р в о й таблице приведены результаты, необходимые для

проверки гипотезы H

: b = 0 (неизвестный параметр b линейного уравне>

ния регрессии Y = bx + e равен нулю). Если Значимость F больше требуе>

мого уровня значимости a (как привило, принимают a = 0,05), то гипоте>

зу H

принимают: линейное уравнение регрессии Y = bx + e лишено

смысла и отвергается; если же Значимость F меньше a, гипотезу H

отвер>

гают: регрессионная модель правомерна. В примере Значимость F соста>

вила 0,0006 — значит, модель правомерна.

2. Во в т о р о й таблице:

а)

!пересечение

0 — это оценка свободного члена уравнения регрессии,

б) Коэффициент r

– i = 1,99 – это оценка коэффициента b,

A B C

–

E –

1 0,03 0,06

2 0,05 0,11

3 0,01 0,03

4 0,02 0,04

5 0,04 0,05

6 0,03 0,04

7 0,05 0,14

8 0,03 0,05

9 0,04 0,08

10 0,07 0,13

а) ввод исходных данных

б) окно «Регрессия»

A B C D E F G

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,88

R!квадрат 0,77

Нормированный

R!квадрат

0,66

Стандартная ошибка 0,019

Наблюдения 10

Дисперсионный анализ

df SS MS F Значимость F

Регрессия 1 0,0111 0,0111 30,32 0,0006

Остаток 9 0,0032 0,0004

Итого 10 0,0141

Коэффициен

ты

Стандарт

ная ошибка

tста

тистика

Pзна

чение

Нижние

95%

Верхние

95%

Y!пересечение 0 #Н/Д #Н/Д #Н/Д #Н/Д #Н/Д

– i 1,99 0,15 13,26 0,0000003 1,65 2,33

0,05

0,10

0,02 0,04 0,06

– i

в) результаты

Рис. 3.3.4. Расчеты в примере 3.3.2

Окончательно линейное уравнение регрессии принимает вид:

Y = bx + e = 1,99x + e

или

E – i = b(r

– i) + e = 1,99(r

– i) + e.

Во второй строке этой таблицы приведена 95%>ная интервальная

оценка параметра b: 1,65 < b < 2,33.

Подведем итог. Модель

E – i = 1,99(r

– i) + e

зависимости премии за риск для данной акции Y = E – i от премии за

риск для рыночного портфеля x = r

– i правомерна, так как гипотеза

: b = 0 отвергается при 5%>ном уровне значимости. Полученное урав>

нение регрессии имеет достаточно хорошие характеристики:

близок к своему максимальному значению, равному едини>

це. Поэтому уравнение можно использовать для прогноза премии за риск

для данной акции Y = E – i при известном значении премии за риск для

рыночного портфеля x = r

– i.

(; ) ,88

0XY=r

Точечная оценка параметра

говорит о том, что при увеличе>

нии (r

– i) на единицу можно ожидать роста премии за риск для данной

акции (E – i) на 1,99, при этом с 95%>ной гарантией премия за риск для

данной акции не увеличится более, чем на 2,33 и менее, чем на 1,65.

1, 9 9b=

График подбора, также приведенный на рис. 3.3.4, в, демонстрирует

соответствие модели (жирная прямая) и реальных наблюдений (точки). 

3.3.3. Стоимость фирмы и структура капитала

Предположим, что мы владеем некоторым бизнесом (фир>

мой) и хотим этот бизнес продать. Возникает важный вопрос оп>

ределения стоимости этого бизнеса. Если фирма представ>

ляет собой открытое акционерное общество, его акции торгуются

на бирже, и мы владеем 100% акций, то вопрос этот решается

очень просто: стоимость фирмы равна рыночной цене одной ак>

ции, умноженной на количество выпущенных акций. Если мы

владеем не всеми акциями фирмы, а некоторой их долей, то на>

ша доля стоит ровно столько, сколько стоят наши акции. Следу>

ет, конечно, учесть тот факт, что многие компании имеют дол>

говые обязательства перед банками и держателями облигаций:

рациональная стоимость такой фирмы должна быть получена

как сумма стоимости всех акций фирмы и суммы долгов.

Итак, если w

— доля акций в структуре капитала фирмы,

— суммарная стоимость всех акций в настоящий момент

времени, w

— доля долговых обязательств в структуре капи>

тала фирмы, B

— суммарная стоимость всех долгов компании в

настоящий момент времени, то средняя взвешенная стоимость

капитала WACC (Weighted Average Cost of Capital) определя>

ется как

WACC = w

+ w

. (3.3.17)

Можно решать и обратную задачу: вначале опреде>

лить стоимость фирмы, а затем вычесть стоимость долговых

обязательств и разделить остаток на количество акций компа>

нии — при этом мы получим рациональную стоимость одной

акции. Если рыночная цена акции окажется ниже этой величи>

ны, то такие акции имеет смысл приобрести, потому что в на>

стоящий момент рынок их недооценивает, но со временем их

цена должна стать ближе к рациональной стоимости.

ПРИМЕР 3.3.3. Фирма имеет капитал, в структуре которо>

го 30% составляют облигации и 70% — акции. Всего было выпу>

щено по 10 000 акций и облигаций, текущая рыночная цена од>

ной акции равна 1000 руб., а текущая рыночная цена облигации

равна 400 руб. Чему равна средняя взвешенная стоимость ка>

питала этой фирмы?

Решение. По формуле (3.3.17) имеем: WACC = w

+ w

. =

= 0,3◊10 000◊400 + 0,7◊10 000◊1000 = 8 200 000. 

Акционерные общества создаются для извлечения доходов,

доходы эти выплачиваются акционерам в форме дивидендов,

поэтому стоимость компании должна совпадать с современной

стоимостью всех будущих дивидендов по акциям и процентных

выплат по облигациям. Если бизнес имеет форму, отличную от

корпорации (акционерного общества), то его стоимость можно

рассчитать точно так же — как современную стоимость потока

платежей, соответствующего деятельности фирмы. Можно

пойти и другим путем: исходя из информации о стоимости со>

поставимого акционерного общества.

ПРИМЕР 3.3.4. Бизнес одного из первокурсников состоит в

том, что он установил копировальный аппарат в здании универ>

ситета. Одна копия стоит 3 руб., студенты заказывают в сред>

нем 20 000 копий в год. Оборудование обошлось предпринима>

телю в 40 000 руб., при этом ежегодные расходы на амортиза>

цию равны 10 000 руб., арендная плата за университетское по>

мещение составляет 20 000 руб., а ставка банковского процента

равна 10%. Стоит ли открывать такой бизнес, если считать, что

через пять лет, когда предприниматель закончит университет,

этот бизнес придется продать, а срок службы копировального

аппарата составляет 10 лет (для упрощения расчетов принять

предположение, что поступление доходов и осуществление

расходов происходит строго в конце каждого года)?

Решение. В конце каждого года из будущих десяти лет предпринима>

тель будет получать доход

C = 20 000◊3 – 10 000 – 20 000 = 30 000 руб.

Чистая приведенная стоимость потока платежей, поступающих за

весь период работы фирмы, по формуле (3.3.1) равна

30 000(1 1,1 )

184 337,01=

0,1

==NPV

184 337

руб. 01 коп.,

и поскольку открытие такого бизнеса обходится всего в NPI = 40 000 руб.,

бизнес это выгоден.

Через пять лет стоимость бизнеса будет равна

30 000(1 1,1 )

113723,60

руб. 113723 руб.60коп.

0,1

===

NPV ;

именно за такую сумму справедливо продать бизнес. При этом суммар>

ный приведенный доход, который за пять лет будет получен владельцем

бизнеса, равен

 



начальные

приведенный доход

инвестиции

от продажи бизнеса

приведенный доход

от использования бизнеса

в течение пяти лет

30 000(1 1,1 )

40000 113 723,60 1,1

0,1

40000 113723,6

-=- + + ◊=

=- +

NPV NPI

0 70 613,41 144 337,01руб. 144 337 руб. 01коп.+= =



Таким образом, бизнес открывать стоит. 

Обсудим теперь, каким образом стоимость фирмы зависит от

структуры капитала, т. е. от соотношения между w

и w

Рассмотрим две фирмы: А, которая имеет стоимость

ден. ед., финансируется только за счет выпуска акций общей

стоимостью S

ден. ед., и Б, которая имеет стоимость V

ден. ед.,

финансируется и за счет выпуска акций общей стоимостью

ден. ед., и за счет выпуска облигаций общей стоимостью

ден. ед. С точки зрения эффективности бизнеса обе фирмы

абсолютно одинаковы, т. е. приносят инвесторам одинаковую

прибыль E ден. ед. за базовый период времени (например, за

год). Долговые обязательства рассмотрим самые простые: фир>

ма обязуется в течение бесконечно долгого периода времени

выплачивать кредитору ежегодные купонные платежи в раз>

мере rB, где B — сумма долга.

Пусть инвестор приобрел долю a акций фирмы А и запла>

тил за это aS

ден. ед.; при этом V

= S

, так как фирма А фи>

нансируется только за счет акций. В результате инвестор при>