Соловьев В.И. Математические методы управления рисками

Подождите немного. Документ загружается.

IRR = ЧИСТВНДОХ(<массив >; <массив t

для вычисления внутренней нормы доходности.

ПРИМЕР 2.4.1. Инвестиционный проект предполагает за>

траты 10 000 000 руб. 1 мая 2004 г. и 4 000 000 руб. 1 сентяб>

ря 2004 г. и последующие денежные поступления: 4 250 000 руб.

декабря 2004 г., 3 250 000 руб. 1 февраля 2005 г., 3 250 000 руб.

июня 2005 г., и 2 750 000 руб. 1 ноября 2005 г. и 2 750 000 руб.

февраля 2006 г. Найти чистый приведенный доход, доходность

и внутреннюю норму доходности данного проекта. Стоит ли реа>

лизовывать такой проект, если ставка непрерывных процентов,

выплачиваемых по банковскому счету, составляет i = 10%?

Решение. Расчеты с помощью Microsoft Excel приведены на рис. 2.4.1

(формулы, по которым проводились расчеты, приводятся справа от соот>

ветствующих ячеек).

A B С

Платежи Даты

>10 000 000 01.05.2004

>4 000 000 01.09.2004

4 250 000 01.12.2004

3 250 000 01.02.2005

3 250 000 01.06.2005

2 750 000 01.11.2005

2 750 000 01.02.2006

NPV = 809 078,96

= ЧИСТНЗ(0,10; A2:A8; B2:B8)

NPI = –13 873 568,00

= ЧИСТНЗ(0,10; A2:A3; B2:B3)

r = 0,058

= ABS(B10/B11)

IRR = 0,167

= ЧИСТВНДОХ(A2:A8; B2:B8)

Рис. 2.4.1. Расчеты в примере 2.4.1

Чистый приведенный доход проекта равен NPV = 809 078 руб. 96 коп.,

доходность проекта составила r = 0,058 = 5,8%, внутренняя норма доходно>

сти равна IRR = 0,167 = 16,7%, что превышает ставку банковского процента,

поэтому имеет смысл данный проект реализовывать. 

Обозначим буквой E некоторую обобщенную характеристи>

ку произвольной инвестиционной операции, которую назовем

эффективностью операции (в качестве E можно взять доход,

доходность в процентах от вложенной суммы, доходность в

процентах годовых, внутреннюю норму доходности и т. п.). Час>

то невозможно заранее точно предсказать эффективность той

или иной операции, и такие операции рассматривают как

случайные величины. При этом в качестве ожидаемой

эффективности такой инвестиционной операции используют

математическое ожидание ME случайной величины E.

2.4.2. Измерение риска

инвестиционных операций

Под риском инвестиционной операции мы понимаем откло>

нение реальных значений эффективности инвестиционной опе>

рации от прогнозируемой эффективности (как в меньшую сто>

рону, так и в большую).

Если E — случайная эффективность инвестиционной опе>

рации, и в качестве ожидаемой эффективности операции мы

выбрали математическое ожидание ME случайной величины E,

то в качестве измерителя риска операции естественно взять

среднее квадратичное отклонение

Es=D

(

здесь DE — дисперсия случайной величины E); в финансо>

вой литературе этот показатель s

часто называют изменчиво

стью (или волатильностью) эффективности.

В последние годы стал популярен подход к измерению рис>

ка с помощью стоимости риска (Value>at>Risk, VaR).

Кратко поясним суть этого подхода.

Напомним, что квантилью уровня a случайной величины X

называется такое число u

, что

) = a, (2.4.2)

где F

(x) = P{X < x} — функция распределения случайной

величины X (формула (2.4.2) означает таким образом, что

P{X < u

} = a, т. е. вероятность того, что случайная величина X

примет значение, меньшее чем u

, с вероятностью a); 100a%>ной

точкой случайной величины X называется такое число w

, что

-a

) = 1 – a (2.4.3)

(

т. е. P{X  w

} = a — вероятность того, что случайная величина

примет значение, не меньшее чем w

, с вероятностью a).

Квантили и процентные точки связаны между собой оче>

видным соотношением

. (2.4.4)

В пакете Microsoft Excel существуют статистические функ>

ции для вычисления критических границ наиболее распростра>

ненных случайных величин, например,

= НОРМОБР(<a>; <a>; <s>) —

квантиль уровня a случайной величины X ~ N(a; s).

Пусть случайная величина E имеет смысл дохода от инве>

стиционной операции (измеряемого, например, как NPV (1.3.3)

соответствующего потока платежей), эта операция продолжа>

ется в течение некоторого периода времени T, и мы хотим оце>

нить риск этой операции.

В практической деятельности для этого часто рассчитывают

показатель стоимости риска VaR: 100g%>ной стоимостью риска

данной инвестиционной операции за период T называется такое

число VaR

, что с вероятностью g убыток (–E) от проведения опе>

рации в течение данного периода будет не больше, чем VaR

P{–E  VaR

} = g

или

P{E  –VaR

} = g.

Но тогда, согласно формуле (2.4.3),

–

VaR

= w

или, окончательно, с учетом (2.4.4),

VaR

= –w

= –u

1 –

, (2.4.5)

т. е. 100g%>ная стоимость риска — это число, противоположное

100

g%>ной точке случайной величины E, что иллюстрируется

рис. 2.4.2.

–

VaR

(

)

1 –

Рис. 2.4.2. Стоимость риска

Несмотря на ряд недостатков этого показателя, активно об>

суждаемых в финансовых кругах, на сегодняшний день VaR

(2.4.5)

является стандартом де>факто для оценки рыночных

рисков в банках и инвестиционных компаниях. Базельский ко>

митет по банковскому надзору рекомендует банкам резервиро>

вать (для покрытия возможных убытков) средства в размере, в

∏ 5 раз превышающем VaR инвестиционного портфеля банка

(

т. е. всех его операций).

ПРИМЕР 2.4.2. Текущая цена акции равна 15 руб. Стои>

мость акции через 7 дней описывается случайной величиной

Y ~ N(16; 1). Рассчитать недельную 95%>ную стоимость риска

операции по покупке пакета 1000 таких акций и его последую>

щей продаже.

Решение. Доход от данной операции равен, очевидно, E = 1000(Y – 15),

и эта случайная величина E будет распределена по нормальному закону с

параметрами a = 1000, s = 1000. Найдем 95%>ную точку случайной величи>

ны E. Воспользуемся пакетом Microsoft Excel:

0,95

= u

1–0,95

= НОРМОБР(1 – 0,95; 1000; 1000) = –644,85,

поэтому VaR

0,95

= –w

0,95

= 644,85 ден. ед. 

Если при измерении эффективности учитывать стоимость

риска операции, то придем к показателю доходности с учетом

риска RAROC (Risk Adjusted Return on Capital): 100g%>ной до

ходностью с учетом риска RAROC

называется отношение

прибыли к сумме, достаточной (с заданной надежностью g) для

покрытия возможных убытков:

NPV NPI

RAROC

VaR

Рассматривать эффективности инвестиционных операций

как случайные величины можно не всегда, как правило, такой

подход неприемлем для инвестиционных проектов, связанных с

реальными инвестициями. Предположим, например, что инве>

стиционный проект состоит в строительстве жилого дома. Бу>

дущие потоки платежей заранее неизвестны, ведь можно лишь

прогнозировать изменения цен материалов, расценок работ

подрядчиков и, самое главное, цен продаваемых квартир, но нет

никакой гарантии, что прогнозы сбудутся. При этом рассмотре>

ние будущих платежей как случайных величин невозможно,

поскольку невозможно собрать достаточное количество стати>

стической информации: ведь мы впервые строим именно такое

здание именно в этом месте, а ранее квартиры в точно таких же

зданиях никто никогда не продавал. Учету риска таких инве>

стиционных проектов посвящен § 2.5, в котором рассматрива>

ются именно такие ситуации принятия решений в ус>

ловиях неопределенности.

2.4.3. Психология отношения к риску

Предположим, что некто должен нам 100 000 руб. и ставит

нас перед выбором — мы можем либо просто получить эту сум>

му, либо сыграть в игру: подбросить монету, и если выпадет

орел, то получить 200 000 руб., а если выпадет решка — то ни>

чего не получить. Какое решение выберет читатель?

Математическое ожидание выигрыша в обоих случаях рав>

но 100 000 руб., среднее квадратичное отклонение в первом слу>

чае равно нулю, а во втором случае оно равно 100 000 руб. Когда

речь идет о значительных суммах, большинство людей отказы>

вается от игры, предпочитая получение гарантированного до>

хода. В этом проявляется нерасположенность чело>

века к риску.

Представим теперь, что мы должны кому>либо 100 000 руб.

и у нас есть две возможности: либо просто отдать долг, либо

подбросить монету и в случае выпадения орла отдать

200 000

руб. (они у нас есть, хотя расставаться с ними не хочет>

ся), а в случае выпадения решки ничего не отдавать. В этом

случае больше людей предпочтет игру.

Д. Канеман и А. Тверски, занимаясь изучением психологи>

ческих аспектов неприятия риска, предложили испытуемым

выбор между двумя операциями:

Р. Талер провел в двух школьных классах следующий

эксперимент, демонстрирующий зависимость нашего

отношения к риску от начального богатства [3, С. 295]. В одном

классе он предложил школьникам вообразить, что они

выиграли по 30 долл., и теперь есть возможность поставить

долл. на выпадение орла при бросании монеты, т. е. получить

еще 9 долл. с вероятностью 0,5 либо проиграть 9 долл. с

вероятностью 0,5, — 70% опрошенных выбрали игру. В другом

классе был предложен такой выбор: вначале у учеников ничего

• получение дохода в 4000 долл. с вероятностью 0,8 (и ну>

левого дохода с вероятностью 0,2);

• гарантированное получение дохода в 3000 долл.

Хотя выбор рискованного варианта имеет более высокое

математическое ожидание (3200 долл. против 3000), 80% опро>

шенных предпочли гарантированные 3000 долл.

Затем испытуемым предложили выбор между потерей

4000

долл. с вероятностью 0,8 (и нулевыми потерями с вероят>

ностью 0,2) с одной стороны, и гарантированной потерей

3000

долл. — с другой. В этом случае 92% опрошенных выбрали

игру [13].

В другой работе [14] те же исследователи предложили ис>

пытуемым следующую задачу. Представим себе, что некоторый

небольшой городок стал жертвой редкого заболевания, которое

должно унести жизни 600 человек. Есть две программы дейст>

вий: первая обеспечивает гарантированное спасение

200

человек, а вторая с вероятностью 1/3 может спасти всех, но

с вероятностью 2/3 она окажется бессильной и все погибнут.

Если мы избегаем риска, то предпочтем первую программу

(

математические ожидания числа спасенных одинаковы и со>

ставляют 200 чел., при этом в первом случае риск нулевой, а во

втором случае он приблизительно равен 283 чел.). В указанном

эксперименте 72% опрошенных выбрали первую программу.

Посмотрим на ту же ситуацию с другой стороны — так она

была представлена другой группе испытуемых. Если принять

первую программу, то погибнут 400 человек из 600, если же

принять вторую программу, то с вероятностью 1/3 спасутся все,

но с вероятностью 2/3 эта программа окажется бессильной. Ис>

следователи сообщают, что 78% опрошенных предпочли риск>

нуть — они не смогли смириться с непременной потерей 400

жизней.

Результатом исследований А. Тверски стал вывод о том, что

на самом деле, люди «не столько избегают неопределенно

стей, сколько не приемлют потерь» [37, P. 75].

жен такой выбор: вначале у учеников ничего нет, а затем они

могут либо гарантированно получить 30 долл., либо вступить в

игру, в которой выиграть 21 долл. с вероятностью 0,5 или выиг>

рать 39 долл. с вероятностью 0,5, — в этом случае только 43%

выбрали игру.

За исследования психологии риска Д. Канеману в 2002 г.

была присуждена Нобелевская премия в области экономики.

§ 2.5. ПРИНЯТИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ

В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

2.5.1. Принятие решений

в условиях полной неопределенности

Предположим, что лицо, принимающее решение,

может выбрать одну из возможных альтернатив, обозначенных

номерами i = 1, 2, … , m. Ситуация является полностью неопре

деленной, т. е. известен лишь набор возможных вариантов со>

стояний внешней (по отношению к лицу, принимающему

решение) среды, обозначенных номерами j = 1, 2, … , n. Если бу>

дет принято i>e решение, а состояние внешней среды соответ>

ствует j>й ситуации, то лицо, принимающее решение, получит

доход q

. Матрица Q = (q

) Œ R

называется матрицей

последствий (от реализации возможных решений).

Именно с такой ситуацией сталкиваются банки, когда

рассматривают возможность инвестиций в m проектов

(

i =1, 2, … , m) и анализирует бизнес>планы этих проектов. При

анализе рисков проекта можно классифицировать состояния

внешней среды в зависимости от рисков: макроэкономических,

экологических, социально>опасных, связанных с непредви–

денными срывами и др. В результате получится набор из n

таких состояний (j = 1, 2, … , n). Теперь можно составить

матрицу последствий Q (каждый элемент которой q

будет

представлять собой эффективность NPV i>го проекта при j>м

состоянии внешних условий) и выбрать проекты с

использованием критериев, описанных далее.

Взаимоисключающие проекты следует сравни>

вать именно по значению NPV, а не IRR, поскольку последний

показатель существенно зависит от масштаба проекта:

возможна ситуация, когда один проект имеет более высокую

внутреннюю норму доходности, чем другой, обеспечивая,

скажем 30%>ный доход на вложенную сумму в 1000 руб., а

другой проект предполагает вложения в размере 1 000 000 руб.

и обеспечивает 20%>ную доходность — мы конечно же выберем

второй проект, хотя внутренняя норма доходности у него

меньше, чем у первого.

В ситуации с полной неопределенностью могут

быть высказаны лишь некоторые рекомендации предваритель>

ного характера относительно того, какое решение нужно при>

нять. Эти рекомендации не обязательно будут приняты. Многое

будет зависеть, например, от склонности к риску лица, прини>

мающего решение. Но как оценить риск в данной схеме?

Допустим, мы хотим оценить риск, который несет i>e реше>

ние. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы мы знали,

что осуществляется j>е состояние внешней среды, то выбрали бы

наилучшее решение, т. е. приносящее наибольший доход

1,2, ,

max

…

Значит, принимая i>e решение, мы рискуем получить не q

а только q

, т. е. если мы примем i>е решение, а во внешней сре>

де реализуется j>е состояние, то мы будем сожалеть о

недополученном доходе в размере

(2.5.1)

1,2, ,

max

ij jij kj

rqq q q

=- = -

…

(по сравнению с тем, как если бы мы знали точно, что

реализуется j>е состояние внешней среды, и выбрали бы реше>

ние, приносящее наибольший доход

1,2, ,

max

…

Матрица R = (r

) Œ R

, где сожаления r

рассчитаны по

формуле (2.5.1), называется матрицей сожалений (или матри

цей рисков).

ПРИМЕР 2.5.1. Сидя в отправляющемся на курорт поезде,

перед самым отправлением Петя вдруг вспомнил, что, кажет>

ся, забыл выключить дома утюг. Можно еще успеть сойти с поез>

да и исправить ошибку, но тогда пропадет путевка (10 000 руб.).

Если же уехать, утюг, если он действительно включен, может

стать причиной пожара, и тогда придется ремонтировать квар>

тиру (150 000 руб.). Петя не уверен, включен утюг или выключен.

Составить матрицу последствий и матрицу сожалений.

Решение. У Пети есть две стратегии: поехать отдыхать или вернуть>

ся домой. У внешней среды также есть два состояния: утюг выключен ли>

бо утюг включен.

Матрица последствий имеет вид

0 150 000

10 000 10 000

Êˆ

Á˜

Ë¯

Q .

Составим матрицу сожалений. Максимум по первому столбцу равен

= , по второму — , поэтому

1,2

max 0

1,2

max 10 000

==-

0 140000

10000 0

Êˆ

Á˜

Ë¯

R . 

Не все случайное можно «измерить» вероятностью. Не>

определенность — более широкое понятие. Неопределен>

ность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик, отли>

чается от неопределенности того, каково будет состояние рос>

сийской экономики через 15 лет. Кратко говоря, уникальные

единичные случайные явления связаны с неопределенно>

стью, а массовые случайные явления обязательно допуска>

ют некоторые закономерности вероятностного характера.

Ситуация с полной неопределенностью характеризуется

отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации.

Существуют следующие правила — рекомендации по при>

нятию решений в таких ситуациях.

П РАВИЛО В АЛЬДА ( ПРАВИЛО КРАЙНЕГО ПЕС-

СИМИЗМА

). Рассматривая i>e решение, будем полагать, что

на самом деле складывается ситуация, наихудшая с нашей точ>

ки зрения (т. е. приносящая наименьший доход ) и

выберем решение i

с наибольшим a

1,2, ,

min

…

Итак, правило Вальда рекомендует принять такое реше

ние i

, что

(

)

1,2, ,

1,2, , 1,2, ,

max max min

im im

…

……

Так, в примере 2.5.1 имеем: a

= –150 000, a

= –10 000. Теперь из двух

чисел (–150 000), (–10 000) находим наибольшее. Это (–10 000). Значит, пра>

вило Вальда рекомендует принять второе решение, т. е. вернуться домой.

П РАВИЛО С ЭВИДЖА ( ПРАВИЛО МИНИМАЛЬ-

НЫХ СОЖАЛЕНИЙ

). При применении этого правила ана>

лизируется матрица сожалений R. Рассматривая i>e решение,

будем полагать, что на самом деле складывается ситуация мак>

симальных сожалений , и выберем решение i

с наи>

меньшим b

1,2, ,

max

…

Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять такое ре

шение i

, что

(

)

1,2, , 1,2, ,

1,2, ,

min min max

imim

……

…

В примере 2.5.1 имеем: b

= 140 000, b

= 10 000. Из чисел 140 000,

10 000 находим наименьшее. Это 10 000. Значит, правило Сэвиджа так же,

как и правило Вальда, рекомендует принять второе решение, т. е. вер>

нуться домой.

П РАВИЛО Г УРВИЦА взвешивает пессимистический и

оптимистический подходы к анализу неопределенной ситуации.

По правилу Гурвица, принимается решение i

, на котором

достигается максимум выражения

1,2, ,

min (1 ) max

ij ij

l+-l

…

где l Œ [0; 1]. Значение l выбирается из субъективных соображе>

ний; если l приближается к единице, то правило Гурвица при>

ближается к правилу Вальда, при приближении l к нулю прави>

ло Гурвица приближается к правилу розового оптимизма.

Читатель может убедиться, что в примере 2.5.1 правило Гурвица при

l = 0,5 так же, как правила Вальда и Сэвиджа, рекомендует принять вто>

рое решение, т. е. вернуться домой.

2.5.2. Принятие решений

в условиях частичной неопределенности

Предположим, что в рассмотренной схеме известны веро>

ятности p

того, что реальная ситуация развивается по вариан>

ту j. Именно такое положение называется частичной неопреде

ленностью. При принятии решений в таких ситуациях можно

выбрать одно из следующих правил.

П РАВИЛО МАКСИМИЗАЦИИ ОЖИДАЕМОГО ДО-

ХОДА

. Доход, получаемый при принятии i>го решения, явля>

ется случайной величиной Q

с рядом распределения

ii i i

Qq q q

pp p p



Ожидаемый доход при принятии i>го решения оценивается

математическим ожиданием MQ

соответствующей случайной

величины Q

. Правило максимизации ожидаемого дохода реко>