Соловьев В.И. Математические методы управления рисками

Подождите немного. Документ загружается.

мендует принять решение, приносящее максимальный средний

ожидаемый доход.

ПРИМЕР 2.5.2. Владелец груза должен выбрать одну из

двух альтернатив: страховать груз или не страховать. Риск за>

ключается в том, что с вероятностью 0,1 возможна катастрофа,

в результате которой груз будет утрачен. Если груз застрахо>

ван, то в случае его утраты владелец теряет стоимость груза

(95 000

руб.), но получает компенсацию 100 000 руб., если же ка>

тастрофы не произошло, он теряет 5000 руб, потраченные на

страховой полис. Если груз не застрахован, в случае катастро>

фы теряется его стоимость, при благополучном же исходе вла>

делец не несет никаких расходов. Какое решение принять?

Решение. У владельца груза есть две стратегии: страховать груз или

не страховать его. У внешней среды также есть два состояния: катастро>

фа произойдет либо не произойдет.

Матрица последствий имеет вид

0 5000

95000 0

Êˆ

Á˜

Ë¯

Q .

Вероятности состояний внешней среды известны (p

= 0,1, p

= 0,9),

поэтому ряды распределения дохода при выборе первой и второй страте>

гии таковы:

0 5000

0,1 0,9

95 000 0

0,1 0,9

При этом MQ

= 0·0,1 + (–5000)·0,9 = –4500, аналогично MQ

= –9500.

Таким образом, правило максимизации ожидаемого дохода рекомендует

принять первое решение, т. е. застраховать груз. 

П РАВИЛО МИНИМИЗАЦИИ ОЖИДАЕМЫХ СО-

ЖАЛЕНИЙ. Сожаления при реализации i>го решения пред>

ставляются случайной величиной R

с рядом распределения

ii i i

Rr r r

ppp p



Ожидаемые сожаления оцениваются математическим ожи>

данием MR

соответствующей случайной величины R

. Правило

минимизации ожидаемых сожалений рекомендует принять ре>

шение, влекущее минимальные средние ожидаемые сожаления.

Составим в условиях примера 2.5.2 матрицу сожалений. Максимум

по первому столбцу равен

, по второму — qq,

поэтому матрица сожалений

1,2

max 0

1,2

max 0

0 5000

95000 0

Êˆ

Á˜

Ë¯

R .

Вычислим средние ожидаемые сожаления при указанных выше ве>

роятностях. Получаем MR

= 4500, MR

= 9500. Минимальные средние

ожидаемые сожаления равны 4500, они соответствуют первому реше>

нию — застраховать груз. 

2.5.3. Оптимальность по Парето

Очень редко при принятии решений мы находимся в ситуа>

ции, когда решение принимается по единственному критерию,

гораздо чаще мы встречаемся с многокритериальной

оптимизацией, когда таких критериев много, например, по>

купая квартиру, мы хотим, чтобы она одновременно была как

можно ближе к центру города; имела как можно большую пло>

щадь и т. п. О сложности принятия решений в подобных ситуаци>

ях говорит и народная мудрость: «За двумя зайцами погонишь

ся — ни одного не поймаешь».

Несмотря на то, что приведенные в предыдущем пункте

примеры показали недостатки рассмотрения риска как неопре>

деленности (в особенности, когда речь идет об операциях, эф>

фективность которых можно измерить количественно, но не в

денежном выражении), на сегодняшний день считается аксио-

мой, что при принятии инвестиционных решений инвестор

старается одновременно достичь двух целей:

• получить наибольшую прогнозируемую эффективность;

• избежать риска.

При этом прогнозируемая (или ожидаемая) эффектив

ность операции измеряется математическим ожиданием слу>

чайной эффективности, а риск операции (понимаемый как от>

клонение реальных значений эффективности операции от про>

гнозируемых) измеряется средним квадратичным отклонением

эффективности.

Предположим, что некто должен нам 100 000 руб. и ставит

нас перед выбором — мы можем либо просто получить эту сум>

му, либо сыграть в игру: подбросить монету, и если выпадет

орел, то получить 200 000 руб., а если выпадет решка — то ни>

чего не получить. Какое решение выберет читатель?

Математическое ожидание выигрыша в обоих случаях рав>

но 100 000 руб., среднее квадратичное отклонение в первом слу>

чае равно нулю, а во втором случае оно равно 100 000 руб. Когда

речь идет о значительных суммах, большинство людей отказы>

ваются от игры, предпочитая получение гарантированного до>

хода. В этом проявляется нерасположенность чело>

века к риску.

Если мы в данной ситуации отказываемся от игры, то мож>

но сказать, что с нашей точки зрения случайная величина (до>

ход) Y с рядом распределения

100000

предпочтительнее, чем случайная величина X с рядом

распределения

0 200 000

0,5 0,5

Сравним таким же образом случайную величину X со слу>

чайной величиной

95000

и, если вновь предпочтен «стабильный» вариант, — со случай>

ной величиной

90000

и т. д. Если, например, варианты X и Y

показались нам эквива>

лентными (выбор какого>либо из них уже вызывает у нас за>

труднения), то можно считать 10 000 руб. платой за устойчи

вость, стабильность дохода.

Знание только математических ожиданий и средних квад>

ратичных отклонений случайных величин довольно>таки важ>

но при анализе группы случайных величин, оно помогает вы>

брать из множества случайных величин оптимальные по

Парето, отбросив заведомо «плохие».

Пусть на финансовом рынке существует возможность осу>

ществить несколько инвестиционных операций, ожидаемые

эффективности и риски которых известны и равны соответст>

венно ME

, ME

, … , ME

и s

, s

, … , s

. Говорят, что i>я операция

доминирует j>ю, если

или

(2.5.2)

s<s

MM

j j

EE>



Операция называется оптимальной по Парето, если не

существует операций, которые бы ее доминировали.

ПРИМЕР 2.5.3. Инвестор рассматривает четыре операции

со случайными эффективностями, описываемыми случайными

величинами E

, E

, заданными рядами распределения

2584

1/6 1/2 1/ 6 1/ 6

2341

1/2 1/6 1/ 6 1/6

3581

1/6 1/6 1/2 1/ 6

1248

1/2 1/6 1/ 6 1/6

Какие из этих операций оптимальны по Парето?

Решение. Ожидаемые эффективности и риски равны соответственно

= 4,81, s

= 1,77, ME

= 4,16, s

= 3,57, ME

= 7,00, s

= 2,30, ME

= 2,81,

= 2,54. Нанесем точки (ME

; s

) на единый график (рис. 2.5.1). i>я опера>

ция доминирует j>ю, если точка, соответствующая i>й операции, нахо>

дится на графике правее и ниже точки, соответствующей j>й операции.

Видно, что первая операция доминирует вторую и четвертую, третья

операция также доминирует вторую и четвертую. При этом первая опе>

рация не доминирует третью, а третья не доминирует первую. Первая и

третья операции, таким образом, оптимальны по Парето. 

Отметим, что операции, оптимальные по Парето, не обяза>

тельно являются «самыми лучшими» (и даже просто «хороши>

ми») — эти операции не являются худшими. Выбор

операций среди оптимальных по Парето осуществляется на ос>

нове склонности к риску лица, принимающего решение.

В некоторых ситуациях предпочтительной оказывается

операция, в которой ожидаемая эффективность вообще

отрицательна. Например, если перед нами стоит выбор из двух

операций:

• потерять 1 руб.;

• с вероятностью 0,5 получить 1 000 000 руб. и с вероятно>

стью 0,5 потерять 100 000 руб.,

то обе эти операции окажутся оптимальными по Парето (ME

= –1,

= 0, ME

= 550 000, s

= 450 000), но, скорее всего, мы

склонимся к выбору первой операции, несмотря на то, что

ожидаемый доход по ней составляет отрицательное число

(–1 руб.), тогда как ожидаемый доход от исполнения второй

операции составляет 550 000 руб. — слишком велик риск у

второй операции, слишком большими могут быть потери.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 2.5.1. График «риск — доходность» в примере 2.5.1

Рассмотренный подход может быть применен и при

анализе других задач многокритериальной оптимизации.

В произвольной задаче выбора операции по нескольким

критериям операция i доминирует операцию j, если операция i

по каждому из критериев не хуже операции j и хотя бы по

одному из критериев — строго лучше.

Операция i называется оптимальной по Парето, если не

существует операций, которые бы ее доминировали.

Например, в ситуации с частичной неопределенностью

можно рассмотреть в качестве критериев ожидаемый средний

доход MQ (операция i не хуже операции j по этому крите>

рию, если MQ

 MQ

, и лучше операции j по этому критерию,

если MQ

> MQ

) и ожидаемые средние сожаления MR

(

операция i не хуже операции j по этому критерию, если

 MR

, и лучше операции j по этому критерию, если

< MR

ГЛАВА 3. ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ

§ 3.1. ОСНОВНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ

3.1.1. Облигации

С целью привлечения денежных средств различные орга>

низации могут выпускать свои ценные бумаги — облига>

ции и акции.

Ценная бумага понимается в общем как законодательно

признанное свидетельство права на получение ожидаемых в

будущем доходов при конкретных условиях.

Часто ценные бумаги называют также финансовыми инст

рументами. Три основных вида финансовых инструментов —

деньги, облигации и акции, существуют и другие виды ценных

бумаг.

Облигация представляет собой долговое обязательст>

во — владелец (или держатель) облигации номинальной

стоимостью F, выпущенной на срок T лет, покупая ее по неко>

торой начальной цене P, получает от эмитента (организации,

выпустившей эту облигацию) подтверждение задолженности в

размере номинальной стоимости, которую эмитент обязуется

ликвидировать в момент погашения T. При этом номинальная

стоимость превышает начальную и, кроме того, обычно эмитент

обязуется периодически (как правило, раз в год, раз в полгода

или раз в квартал) выплачивать держателю облигации так на>

зываемый купонный доход C — определенный процент от но>

минальной стоимости.

Облигация с точки зрения инвестора очень похожа на

банковский счет:

• эмитент обязуется выплачивать купонный доход в раз>

мере, определенном при выпуске облигации (точно так же

банк обязуется выплачивать проценты по банковскому счету

в размере, определенном в момент заключения договора);

• инвестор покупает облигацию только в том случае, если

он уверен в платежеспособности эмитента, в том, что эми>

тент выполнит свои обязательства по погашению облигации

и выплате купонного дохода (точно так же и с банковским

счетом: инвестор положит деньги на счет, только если уве>

рен, что банк выполнит свои обязательства по возврату ос>

новной суммы и выплате процентов);

• государство осуществляет строгий контроль за эмитен>

тами облигаций, как и за коммерческими банками, тем са>

мым предоставляя покупателям облигаций, как и вкладчи>

кам банков, определенные гарантии.

Как назначить рациональную (справедливую) цену облига>

ции P, если ее номинальная стоимость равна F, до момента по>

гашения осталось T лет, и по облигации в конце каждого года

выплачивается купонный доход в размере C?

Рассмотрим поток платежей, связанный с такой облигацией

(рис. 3.1.1).

C B

C ··· B

T – 1

0 1 2 3

–1

Рис. 3.1.1. Поток платежей, соответствующий облигации

Современная стоимость этого потока платежей равна сумме

стоимости годовой ограниченной запаздывающей ренты, со>

стоящей из T платежей в сумме C каждый [эта стоимость рас>

считывается по формуле (1.4.3)] и приведенной стоимости вы>

платы номинала в последний момент времени T [которую легко

рассчитать по формуле (1.2.3)]:

1(1 )

(1 ) (1 )

Ca F i C F i

=++= ++

NPV .

Именно эту величину и имеет смысл взять в качестве

справедливой цены такой облигации:

1(1 ) 1

(1 )

PC F i C Fv

-+ -

=++=

. (3.1.1)

Поскольку номинальные стоимости различных облигаций

могут существенно различаться между собой (например, в

США выпускаются облигации с номинальными стоимостями от

25 долл. до 1 000 000 долл.), обычно принято говорить не о цене

облигации, а о ее курсе

= — (3.1.2)

выраженном в процентах отношении цены облигации к ее но>

миналу; при этом и купонные выплаты также выражают в до>

лях (процентах) от номинальной стоимости:

= . (3.1.3)

Из формул (3.1.1) ~ (3.1.3) следует, что

1(1 )

(1 )

Kc i

=++

. (3.1.4)

Чтобы измерить внутреннюю норму доходности по облига>

ции, купленной по данному курсу K, нужно, как обычно, решить

уравнение (3.1.4) относительно i.

Аналогичные формулы имеют место и для облигаций с бо>

лее частыми купонными выплатами.

В пакете Microsoft Excel существует функция

NPV = ДОХОД(<t

>; <t

+ T>; <c>; <P>; <F>; <m>; <b>)

для вычисления современной стоимости потока платежей от

покупки по цене P в момент t

облигации номинальной стоимо>

стью F с погашением в момент t

+ T и купонными выплатами в

размере cF, выплачиваемыми m раз в год; при этом параметр b

означает способ расчета дат (при b = 0 считается, что в году 360

дней, а в месяце 30 дней, при b = 1 используется фактическое

количество дней и в году, и в месяце, при b = 2 используется

фактическое количество дней в месяце, а год считается равным

360

дням, при b = 3 используется фактическое количество дней

в месяце, а год считается равным 365 дням).

ПРИМЕР 3.1.1. Чему равна текущая цена P облигации но>

минальной стоимостью F = 100 000 руб. с купонным доходом

c = 16%

годовых (выплачиваемым в конце каждого года), если

до ее погашения осталось ровно 5 лет, а ставка банковского

процента равна i = 10%.

Решение. По формулам (3.1.1), (3.1.3) имеем:

1(1 )

PcF

1(10,12)

(1 ) 0,10 100 000 100 000(1 0,12) 92790,45

0,12

- -

++ = ◊ + + =

руб. Итак,

справедливая цена такой облигации равна 92 790 руб. 45 коп. 

3.1.2. Акции

Акция — это долевое обязательство: ее обладатель по>

лучает право долевого участия в управлении акционерной ком>

панией, выпустившей эти акции (каждой акции соответствует

определенное число голосов на ежегодном общем собрании ак>

ционеров — высшем органе управления компанией), в активах

и прибылях (дивидендах) этой компании.

Спекулятивные операции с акциями, как правило, обеспе>

чивают существенно большую доходность, чем банковские про>

центные ставки или купонные выплаты по облигациям. Так, в

России за 1996 г. цены на акции выросли в среднем более чем в

четыре раза, т. е. средняя доходность по операциям с акциями

была выше 300% годовых, что было намного выше доходности

по вложениям в банки или облигации (инфляция за этот год со>

ставила около 20%, и примерно такой процент (20% годовых)

начисляли надежные банки по депозитным счетам). Доходность

с учетом инфляции составила, таким образом, 280% годовых,

эффективная доходность — также 280% годовых.

Отметим, что средний рост стоимостей акций в четыре раза

не означает, конечно, что все акции подорожали в четыре

раза: цены некоторых акций росли очень быстро, другие акции

дорожали менее заметно, а какие>то акции даже упали в цене.

При этом заранее невозможно точное детерминированное пред>

сказание будущей доходности. Поэтому акции являются наибо>

лее рискованными ценными бумагами (вложения на банковский

счет и в облигации — менее рискованные операции: банковский

счет предполагает начисление заранее оговоренных процентов

в заранее оговоренные сроки и возврат вложенной суммы и на>

копленных процентов в заранее оговоренный срок, облигация

предполагает погашение по заранее оговоренной номинальной

стоимости в заранее оговоренный срок, а также выплату купон>

ного дохода в заранее оговоренные моменты времени, поэтому в

финансовой математике банковский счет и облигацию считают

безрисковыми финансовыми инструментами, хотя, конеч>

но, и здесь присутствует риск, что мы все наблюдали на приме>

ре кризиса 1998 г.).

Предположим для простоты, что на рынке обращается од>

на ценная бумага (для определенности — акция), и ее стои>

мость в конце периода времени t составляет S

Предположим также, что инвестор имеет возможность:

• размещать средства на банковском счете и брать с него в

долг;

• покупать и продавать акции.

Тогда для этого инвестора на рынке существует безрис>

ковый актив (банковский счет) B и рисковый актив

(

акция) S.

Будем считать, что проценты на банковский счет начисля>

ются по схеме сложных процентов с постоянной ставкой

i(t) = i = const,

так что в конце каждого периода сумма на счете

увеличивается в (1 + i) раз:

= B

t–1

(1+i).

Будем предполагать, что операционные издержки, связан>

ные с переводом средств между активами, отсутствуют, а так>

же что активы являются безгранично делимыми, т. е. можно

купить и продать любую часть акции, положить на счет и снять

с него любую его часть.

Функционирующий по таким правилам рынок будем назы>

вать (B, S)рынком.

Рассмотрим поведение стоимости акции S

на (B, S) рынке в

течение года, т. е. в течение промежутка времени [0; 1].

Предположим, что в течение данного периода времени стои>

мость акций может увеличиться в u раз или увеличиться в d раз

(

уменьшиться в 1/d раз), причем d < 1 < 1 + i < u (рис. 3.1.2).

На идеальном рынке отсутствуют арбитражные возможно>

сти, т. е. невозможно извлечь безрисковый доход, больший чем

процент, начисляемый на банковский счет.

Предположение о том, что на рынке отсутствуют арбит

ражные возможности, означает, что математическое ожидание

цены акции на таком рынке к концу года MS

должно совпадать

с суммой, которая оказалась бы на банковском счете к концу го>