Соловьев В.И. Математические методы управления рисками

Подождите немного. Документ загружается.

челетием до н. э., зарождение страхования жизни относится

примерно к 600 г. до н. э.

Довольно быстро страховые сообщества трансформирова>

лись в страховые компании, извлекающие прибыль из

страхования. В 1689 г. торговцы, судовладельцы и морские

страховщики стали собираться в кофейном магазине британца

Э. Ллойда для заключения страховых сделок по морским пере>

возкам. В 1774 г. Корпорация «Ллойдс» была официально ут>

верждена Королевским указом, а в 1871 г. — зарегистрирована

Актом Парламента. В настоящее время «Ллойдс» является

крупнейшей страховой корпорацией, оперируя почти со всеми

видами рисков. Сегодня компании типа «Ллойдс» страхуют

(

кроме обычных видов рисков) ноги балерин, пальцы пианистов,

зубы фотомоделей, приемы для гостей на открытом воздухе от

потерь в ненастье и т. п.

В России первая страховая компания, «Страховое акцио>

нерное общество от огня», была организована в Сибири в 1827 г.

В 1835 г. появилось «Российское общество страхования капита>

лов и доходов», которое занималось страхованием жизни и фи>

нансовых операций.

Слово actuarius (актуарий) в Древнем Риме относилось к

тем, кто вел записи актов в Сенате, и к офицерам, которые опе>

рировали с военными счетами и вели контроль военных поста>

вок. В своей английской версии (actuary) это слово претерпева>

ло различные изменения, пока не стало обозначать эксперта по

математике страхования (или актуарной математике), ко>

торая, образуя теоретическую основу страхового дела, изучает

различные вероятностные характеристики возможного ущерба

и методы страхования от этого ущерба.

Первая математическая модель страхования была построе>

на, по>видимому, Т. Барруа в 1834 г., современные актуарные

модели восходят к Ф. Лундбергу, который в 1903 г. опубликовал

диссертацию «Approximerad framsröllning av sannolikhetsfunc>

tionen. Atersf

örsдkring av kollektivrisker», заложив основы ак>

туарной теории риска.

По договору страхования (или страховому полису) одна

сторона (страхователь) платит другой стороне (страховщикэ)

определенную денежную сумму (страховую премию), и за это

страховщик гарантирует возмещение возможных убытков стра>

хователя (в случае их возникновения). Смысл страхового полиса

состоит в том, что страхователь подвержен определенному рис

ку (который заключается в возможном наступлении некоторого

страхового случая) и стремится от этого риска защититься, а

задачей страховщика является предоставление такой защиты. В

качестве страхового случая может выступать болезнь, смерть,

автомобильная авария, потеря имущества при пожаре, потеря

финансовых средств при неблагоприятно складывающейся ры>

ночной ситуации, а также отмеченные выше переломы ног у ба>

лерин, пальцев у пианистов, зубов у фотомоделей и т. п. В стра>

ховом полисе указываются срок его действия, условия и способ

возмещения ущерба. Например, в полисе на страхование граж>

данской ответственности водителя транспортного средства

обычно указывается, что если в момент наступления страхового

случая (при аварии) водитель находился в состоянии алкоголь>

ного опьянения, то страховщик ответственности по полису не не>

сет. Если в указанный в полисе срок страховой случай не насту>

пил, страхователь теряет уплаченную премию.

Таким образом, страхование представляет собой еще одну

схему переноса риска — разделение риска между большой

группой страхователей. Три схемы переноса риска (диверси>

фикация, хеджирование и страхование) в определенном смысле

эквивалентны: мы чем>то жертвуем сегодня в обмен на возрас>

тание определенности будущих потоков платежей: при дивер>

сификации мы вкладываем часть денег в безрисковый актив,

при хеджировании мы обычно покупаем производный финан>

совый инструмент, при страховании мы оплачиваем договор

страхования.

Рассмотрим простейшую модель страхования, предло>

женную Т. Барруа в 1851 г. Пусть u

(x) — функция полез>

ности траховой компании, u (x) — функция полезности од>

ного из ее клиентов, s

— капитал страховой компании, s

— ка>

питал клиента, X — случайная величина стоимости возможного

ущерба, c — стоимость страхового полиса. Тогда страховая

компания согласится застраховать клиента в том случае, когда

)  Mu

+ c – X), (4.2.4)

а клиент пойдет на страхование, только если

– с)  Mu

– X). (4.2.5)

Пусть c

— наименьшее число c, для которого верно (4.2.4), а

— наибольшее из чисел c, для которых верно (4.2.5). Если

< c

, то страхование невозможно. Если же c

 c

, то возникает

проблема выбора c из отрезка [c

; c

]. Если страховая компания

является монополистом, она, естественно, установит c = c

. При

наличии конкуренции (или при государственном контроле за

страхованием) c будет близко к c

Наибольшее развитие получило страхование жизни.

Математические модели такого страхования мы и рассмотрим

ниже более подробно. Договор страхования жизни может быть

обязательным (в силу действия определенного закона) или

добровольным (по взаимному волеизъявлению страховщика и

страхователя), краткосрочным (как правило, на один год) или

долгосрочным.

Основным источником случайности в страховании жизни яв>

ляется неопределенность момента смерти отдельного человека.

Однако в случае, когда одновременно у одного и того же стра>

ховщика страхуется большая однородная (по возрасту, полу, ти>

пу профессии, месту проживания и т. п.) группа страхователей, в

силу закона больших чисел можно говорить об устойчиво>

сти относительных частот и рассматривать продол

жительность жизни как неотрицательную случайную величину

с функцией распределения F(x) = P{X < x}. В актуарной мате>

матике работают с так называемой функцией выживания

s(x) =

P{X  x} = 1 – F(x), (4.2.6)

которая равна вероятности того, что человек из данной одно>

родной группы проживет не менее x лет. Функция выживания

(4.2.6)

предполагается монотонно убывающей (иначе в опреде>

ленных интервалах времени смерть будет невозможна) и не>

прерывной (иначе возможны моменты, в которые смерть насту>

пает с положительной вероятностью). Кроме того, функция вы>

живания (4.2.6) должна удовлетворять всем свойствам, которые

следуют из того, что F(x) = 1 – s(x) является функцией

распределения случайной величины X.

Пусть

T(x) = X – x —

остаточное время жизни человека в возрасте x лет. Символом

= P{T(x)  t}

обозначается вероятность того, что человек в возрасте x лет

проживет еще не менее t лет.

По определению условной вероятности

{} (

{() } { | }

{} (

)

xt sxt

pTxtXxtXx

xpsx

==+= ==







В таблицах продолжительности жизни рассматривается

группа новорожденных одного пола, проживающих в одинако>

вой местности, в количестве l

чел. Пусть X

— продолжитель>

ность жизни k>го человека из данной группы (k = 1, 2, … , l

). Ко>

личество доживших до возраста x обозначим L(x), и в таблицах

продолжительности жизни приводится математическое ожи>

дание случайной величины L(x):

() { } () ()

lLx Xxsxls

== ==

ÂÂ

MP x

Фрагмент такой таблицы продолжительности жизни для

городского населения Российской Федерации в 1993 г. приведен

в табл. 4.2.1.

Таблица 4.2.1

Фрагмент таблицы продолжительности жизни

городского населения Российской Федерации в 1993 г.

Женщины Мужчины Женщины Мужчины

(x)

0 100 000 1,00000 100 000 1,00000 55 87 007 0,87007 64 338 0,64338

1 98 324 0,98324 97 822 0,97822 60 82 469 0,82469 54 864 0,54864

5 97 922 0,97922 97 416 0,97416 65 76 558 0,76558 44 222 0,44222

10 97 790 0,97790 97 080 0,97080 70 67 118 0,67118 32 706 0,32706

15 97 623 0,97623 96 764 0,96764 75 53 628 0,53628 21 417 0,21417

20 97 278 0,97278 95 804 0,95804 80 36 986 0,36986 11 814 0,11814

25 96 832 0,96832 94 194 0,94194 85 20 192 0,20192 5113 0,05113

30 96 296 0,96296 92 009 0,92009 90 7607 0,07607 1571 0,01571

35 95 572 0,95572 89 008 0,89008 95 1591 0,01591 297 0,00297

40 94 474 0,94474 85 003 0,85003 99 237 0,00237 48 0,00048

45 92 831 0,92831 79 644 0,79644 100 130 0,00130 28 0,00028

50 90 335 0,90335 72 722 0,72722 110 0 0,00000 0 0,00000

Простейший вид краткосрочного страхования

жизни заключается в следующем. Страхователь (некоторый

человек) платит страховщику (страховой компании) страхо

вую премию в сумме c ден. ед., а страховщик соглашается вы>

платить наследникам страхователя страховую выплату (или

страховое пособие) в сумме b ден. ед. в случае его смерти в те>

чение года (и не платить ничего в противном случае).

Величина страховой выплаты, конечно, должна быть много

больше страховой премии.

П РИМЕР 4.2.1. Вероятность смерти тридцатилетнего

мужчины составляет 0,006. Страховая компания заключила

10 000

договоров страхования с мужчинами в возрасте тридца>

ти лет, согласно которым в случае смерти застрахованного лица

в течение ближайшего года его наследникам в конце этого года

выплачивается 120 000 руб. Стоимость одного договора равна

1200

руб, а годовая ставка по банковским депозитам равна 20%.

Каковы вероятности следующих событий: а) к концу года стра>

ховая компания окажется в убытке; б) доход страховой компа>

нии превысит 4 000 000 руб.?

РЕШЕНИЕ. Пусть за год наступило K страховых случаев, тогда доход

страховой компании составит

120000

10000 1200 100000(120 )

1, 2

UK=◊- = -

Поэтому компания окажется в убытке (U < 0), если за год наступит

более 120 страховых случаев (т. е. от 121 до 10 000). Доход страховой ком>

пании превысит 4 000 000 руб. (U > 4 000 000), если за год наступит менее

страховых случаев. Вероятность наступления страхового случая

= 0,006. Всего проводится n = 10 000 испытаний. Поскольку число ис>

пытаний т велико, можно воспользоваться интегральной теоремой Му>

авра – Лапласа:

()()

10000

10000 60 121 60

(121;10000)

60 (1 0,006) 60 (1 0,006)

9 940 61

1287,56 7,90 0,

59,64 59,64

Êˆ

ªF -F =

Á˜Á˜

◊- ◊-

Ë¯Ë¯

ÊˆÊˆ

=F -F =F -F ª

Á˜Á˜

Ë¯Ë¯

т. е. страховая компания окажется в убытке с нулевой вероятностью;

10000

80 60 0 60

(0;80)

60(1 0,006) 60(1 0,006)

20 60

(2,589) ( 7,77) 0,995,

59,64 59,64

Êˆ

Á˜

Ë¯

ÊˆÊˆ

ªF -F =

Á˜Á˜

Ë¯Ë¯

Êˆ

=F -F - =F -F- ª

Á˜

Ë¯

значит, доход страховой компании превысит 4 000 000 руб. с вероятно>

стью 0,995, очень близкой к единице, т. е. почти наверное. 

Одной из важнейших задач актуарной математики являет>

ся вычисление соотношений между страховой выплатой b и

страховой премией c.

Пусть страховщик продал страхователям одного пола, одного

возраста (x лет), проживающим в одинаковой местности, n дого>

воров страхования, согласно которым в случае смерти страхова>

теля в течение ближайшего года его наследникам выплачивается

страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного договора равна

ден. ед., а годовая ставка безрисковых вложений составляет i.

В общем случае страховщик получит доход, не меньший u,

если разность U между суммарной страховой премией и сум>

марными страховыми выплатами за год окажется не менее u.

Суммарная страховая премия, которую получит страхов>

щик от всех n страхователей, равна, очевидно, C = nc ден. ед.

Пусть за год наступит K страховых случаев (умрет K человек

из n страхователей). Тогда суммарные страховые выплаты со>

ставят B = Kb ден. ед. Приведя их к настоящему времени (ум>

ножив на коэффициент дисконтирования v = (1 + i)

–1

), получим,

что искомая вероятность

{}{}

()(1

{}

Kb nc u i

Uu nc u K

=- =

PP P

)

Вероятность того, что любой страхователь, случайно вы>

бранный из n человек, которые приобрели полисы, умрет в те>

чение ближайшего года, можно найти по таблице продолжи>

тельности жизни для данной социальной группы:

(1)

()

sx l

∫= =

где l

— количество доживших до возраста x.

При этом страховые случаи не зависят друг от друга, и

можно рассмотреть биномиальную случайную величину

K ~ Bi(n; p

) — количество смертей в группе из n страхователей.

При n Æ µ можно воспользоваться интегральной теоремой Му>

авра — Лапласа, согласно которой

{}{0 }(0;)

(1 )

(1 ) (1 )

nn n

xx xx

knp

Kk Kk k

np p

np k np np

np p np p

Êˆ

===F

Á˜

Ë¯

Êˆ

ÊˆÊˆ

-F = F +F -

Á˜

Á˜Á˜

Ë¯

Ë¯Ë¯

PP P

В частности,

{}

()(1)

{}

(1 )

((1) ) (1)

(1 )

x x

nc u i

Uu k

np p

np n c i bp u i np

bnp p

Êˆ

Á˜

==F

Á˜

Ë¯

Êˆ Êˆ

+- - +

Êˆ

+F - = F +F -

Á˜ Á˜

Á˜

Ë¯ Ë¯

Ë¯

PP

Таким образом,

((1) ) (1)

{}

(1 )

nc i bp u i np

bnp p

Êˆ

+- - +

Êˆ

=F +F -

Á˜

Ë¯

P 

. (4.2.7)

Вт пакете Microsoft Excel для вычислений по формуле (4.2.7)

можно воспользоваться функцией

F(<x>) =

НОРМРАСП(<x>; 0; 1; ИСТИНА).

Определим такое соотношение между страховой выплатой

и страховой премией c на один договор, чтобы с вероятностью

близкой к единице, обеспечить страховой компании доход, не

меньший u. При этом , поэтому по формуле (4.2.7)

получим, что

{}Uu=gP 

((1 ) ) (1 )

(1 )

nc i bp u i

bnp p

+- - +

Êˆ

Á˜

Ë¯

где

Êˆ

a= +g-F

Á˜

Ë¯

— квантиль уровня a стандартного нормального распределе>

ния N(0; 1).

Отсюда

((1) ) (1)

(1 )

nc i bp u i

bnp p

+- - +

или

((1

(1 )

bnp x np p

))

. (4.2.8)

Естественно, в реальных страховых компаниях стоимость

договора страхования складывается из теоретической оценки

страховой премии (4.2.8) и оценки средних транзакционных из>

держек на один договор. Первое из этих слагаемых одинаково

для всех страховых компаний, действующих на одном рынке, и

компания может обеспечить конкурентоспособность своих

страховых продуктов только за счет снижения транзакционных

издержек.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Стоит внимательно относиться к практическому примене>

нию методов финансовой математики.

Во>первых, теория вероятностей обязательно предполагает

статистическую устойчивость: устойчивость средних

значений, устойчивость относительных частот и т. п. В реаль>

ных задачах этот принцип статистической устойчивости вы>

полняется, конечно, не всегда. Если речь идет о разовых инве>

стиционных проектах, то вообще никакой статистической ин>

формации у инвестора нет, и потому применение вероятностно>

статистических методов бессмысленно, можно лишь пользо>

ваться правилами принятия решений в условиях неопределен>

ности, рассмотренными в § 2.5. Если речь идет о торговле на то>

варных рынках, то статистическая информация также есть не

всегда, поскольку на самом деле на рынке продаются не аб>

солютно идентичные товары, а, как правило, различаю>

щиеся по своим характеристикам. Только на рынке ценных бу>

маг можно говорить о статистической устойчивости, но на самом

деле данные, которые мы можем получить, — это данные о пове>

дении цен в прошлом, и однозначно гарантировать сохранение

прошлой динамики в будущем, вообще говоря, мы не можем.

В. Н. Тутубалин метко замечает, что ценные бумаги, в том

числе, опционы, являются мощным средством для достижения

некоего макроэкономического идеала, который состоит в том,

что все очень много работают и очень много зарабатывают, но

живут впроголодь, потому что все деньги вкладывают в ценные

бумаги; экономика же за счет этих вложений бурно развивает>

ся (см. [39, С. 8]). Если значительная часть инвесторов захочет

перестать «голодать» и перевести свои ценные бумаги в налич>

ные деньги и товары, то это приведет, конечно, к тому, что ни

денег, ни товаров им не хватит — к кризису.

Финансовая система является лишь одной из сторон эконо>

мики, и «делаются» деньги не в финансовой системе, а в ре>

альном секторе экономики — там где производятся станки, ав>

томобили, компьютеры, магнитофоны, продукты питания и т. д.

Только инвестиции в реальный сектор приводят к тому, что в

будущем растет национальное богатство, что приведет и к рос>

ту огатства инвесторов. Если же осуществлять только фи>

нансовые инвестиции, то кризиса не миновать!

ЛИТЕРАТУРА

1. Башелье Л. (Bachelier L.) Théorie de la spéculation // Annales de l’Ecole

Normale Sup

érieure. – 1900. – V. III. – № 17. – P. 21>86. (Англ. пер. в сб. The ran

dom character of stock market prices / Ed. P. H. Cootner. – Cambridge, USA: MIT

Press, 1964. – P. 17>78).

Белых Л. П. Основы финансового рынка: Учеб. пособие. – М.: Финансы,

ЮНИТИ, 1999.

Бернстайн П. Против богов: Укрощение риска. – М.: Олимп>Бизнес, 2000.

Блэк Ф., Шоулз М. (Black F., Scholes M.) The pricing of options and corpo>

rate liabilities // Journal of Political Economy. – 1973. – V. 81. – № 3. – P. 637>659.

Боди З., Мертон Р. Финансы: Учеб. пособие. – М.: Вильямс, 2000.

Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов: Учебник. –

М.: Олимп>Бизнес, 1997.

Галиц Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления

финансовым риском. – М.: ТВП, 1998.

Голубин А. Ю. Математические модели в теории страхования: По>

строение и оптимизация. – М.: Анкил, 2003.

Грачева М. В. Анализ проектных рисков: Учеб. пособие. – М.: Финстат>

информ, 1999.

10.

Де Ковни Ш., Такки К. Стратегии хеджирования. – М.: ИНФРА>М, 1996.

11.

Джорион П. (Jorion P.) Value at Risk: The New Benchmark for Control>

ling Market Risk. – Chicago, USA: Irwin Professional, 1996.

12.

Диксит А., Пиндайк Р. (Dixit A., Pindyck R.) Investment under uncer>

tainty. – Princeton, USA: Princeton University Press, 1994.

13.

Канеман Д., Тверски А. (Kahneman D., Tversky A.) Prospect theory: An

analysis of decision making under risk // Econometrica. – 1979. – V. 47. – № 2. –

P. 263–291.

14.

Канеман Д., Тверски А. (Kahneman D., Tversky A.) Choices, values, and

frames // American Psychologist. – 1984. – V. 39. – № 4. – P. 342–347.

15.

Капитоненко В. В. Инвестиции и хеджирование: Учеб.>практ. посо>

бие. – М.: ПРИОР, 2001.

16.

Капитоненко В. В., Золотарёва Н. Л. Финансовая математика в при>

мерах и задачах: Учеб. пособие / ГУУ. – М., 2002.

17.

Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная математи>

ка: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА>М, 2002.

18.

Касимов Ю. Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бу>

маг. – М.: Филинъ, 1998.

19.

Кокс Дж., Росс Р., Рубинштейн М. (Cox J., Ross R., Rubinstein M.) Op>

tion pricing: a simplified approach // Journal of Financial Economics. – 1979. –

V. 7. – № 3. – P. 229>263.

20.

Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник. – М.: ЮНИТИ>

ДАНА, 2002.

21.

Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы рас>

чета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. – М.: Дело, 1998.

22.

Линтнер Дж. (Lintner J.) The valuation of risk assets and the selection of

risky investments in stock portfolios and capital budgets // Review of Economics

and Statistics. – 1965. – № 2. – P. 13>27.

100

23. Малыхин В. И. Финансовая математика: Учеб. пособие. – М.: ЮНИТИ>

ДАНА, 2003.

24.

Марковиц Г. (Markovitz H.) Portfolio selection // Journal of Finance. –

1952. – V. 1. – P. 77>91.

25.

Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА>

М, 2002.

26.

Мельников А. В. Риск>менеджмент: Стохастический анализ рисков в

экономике финансов и страхования. – М.: Анкил, 2003.

27.

Мельников А. В., Волков С. Н., Нечаев М. Л. Математика финансовых

обязательств: Учеб. пособие. – М.: ГУ ВШЭ, 2001.

28.

Меньшиков И. С. Финансовый анализ ценных бумаг: Курс лекций. –

М.: Финансы и статистика, 1998.

29.

Мертон Р. (Merton R. C.) Theory of rational option pricing // Bell Jour>

nal of Economics and Management Science. – 1973. – № 4. – P. 141>183.

30.

Модильяни Ф., Миллер М. (Modigliani F., Miller M.) The cost of capital,

corporation finance and the theory of investment // The American Economic Re>

view. – 1958. – V. 48. – P. 261>297. (

Рус пер. в сб. [31, С. 36>85]).

31.

Модильяни Ф., Миллер М. Сколько стоит фирма? Теорема ММ. – М.:

Дело, 1999.

32.

О’Брайен Дж., Шривастава С. Финансовый анализ и торговля ценны>

ми бумагами. – М.: Дело, 1995.

33.

Рэдхэд К., Хьюс С. Управление финансовыми рисками. – М.: ИНФРА>М,

1996.

34.

Рогов М. А. Риск>менеджмент. – М.: Финансы и статистика, 2001.

35.

Самуэльсон П. (Samuelson P.) Rational theory of warrant pricing // In>

dustrial Management Review. – 1965. – V. 6. – P. 41>49.

36.

Соловьев В. И. Стохастические модели математической экономики и

финансовой математики: Учеб. пособие / ГУУ. – М., 2001.

37.

Тверски А. (Tversky A.) The psychology of risk // Sharpe. – 1990. – P. 73–

77.

38.

Тобин Дж. (Tobin J.) Liquidity preference as behavior towards

risk // Review of Economic Studies. – 1958. – V. 1. – P. 65>86.

39.

Тутубалин В. Н. Вероятностная финансовая математика: Новые тео>

ретические и прикладные возможности. – http://mech.math.msu.su/probab/

staff/stumat2/youngre.pdf

, 2002.

40.

Фалин Г. И. Математические основы теории страхования жизни и пен>

сионных схем. – М.: Анкил, 2002.

41.

Фалин Г. И., Фалин А. И. Актуарная математика в задачах: Учеб. посо>

бие. – М.: Физматлит, 2003.

42.

Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учебник. – М.: Дело, 2000.

43.

Шарп У. (Sharpe W.) Capital asset price: A theory of market equilibrium

under conditions of risk // Journal of Finance. – 1964. – V. 29. – № 3. – P. 425>442.

44.

Шарп У., Гордон А., Бэйли Дж. Инвестиции: Учебник. – М.: ИНФРА>М,

1997.

45.

Шведов А. С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг: Пособие

для студентов, изучающих портфельную теорию и теорию финансовых дери>

вативов. – М.: ГУ ВШЭ, 1999.

46.

Шведов А. С. Процентные финансовые инструменты: Оценка и

хеджирование. – М.: ГУ ВШЭ, 2001.

47.

Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики: В 2>х

т. – М.: ФАЗИС, 1998.

101