Соловьев В.И. Математические методы управления рисками

Подождите немного. Документ загружается.

современная стоимость годовой ограниченной упреждаю>

щей ренты, состоящей из n платежей в сумме C каждый, равна

(1 )

ni ni

iCa Ca=+ =NPV



где величина







23 1

111

(1 ) (1 )

/(1 ) 1

nnn

vv v v

avvvv

vvv

ia i

iii v

---

++++

=+ + + + + = =

---

=+ =+ = =

равная приведенной стоимости годовой ограниченной упреж>

дающей ренты, состоящей из n единичных платежей, на>

зывается коэффициентом приведения такой ренты.

В случае общих рент принцип расчетов не изменяется,

лишь в n раз увеличивается общее число платежей и соответ>

ствующим образом корректируется процентная ставка: i заме>

няется на i

(1.1.3); для общей запаздывающей и упреждаю>

щей рент получаем соответственно

mn i

, (1.4.4)



mn i

ПРИМЕР 1.4.1. Банк выдал потребительский кредит в сум>

ме 50 000 руб. на полгода под i = 21% годовых, причем пога>

шаться кредит должен одинаковыми выплатами в конце

каждого месяца. Каким должен быть размер этой выплаты?

Решение. Поток платежей клиента банку представляет собой огра>

ниченную запаздывающую ренту, состоящую из n = 6 платежей в сумме

C каждый, причем платежи производятся в конце каждого месяца. По

формуле (1.1.3) процентная ставка, взимаемая за один месяц, равна

= (1 + 0,21)

1/12

– 1 = 1,016,

а современная стоимость данной ренты по формулам (1.4.4), (1.4.2) равна

1(1 )

Ca C

==NPV

откуда

1(1 )

◊

NPV

Но современная стоимость данного потока платежей должна быть

равна сумме, взятой в долг, т. е.

NPV = 50 000.

Таким образом, получаем окончательно:

50000 0,016

1761,23

руб.

1(1 ) 11,016

◊◊

== =

-+ -

NPV

Итак, искомый ежемесячный платеж равен С = 1761 руб. 23 коп. 

ГЛАВА 2. ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ОПЕРАЦИИ

§ 2.1. АРБИТРАЖНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Простейшая инвестиционная операция представляет со>

бой покупку и продажу некоторого актива. Если покупка и про>

дажа происходят одновременно на разных рынках (естествен>

но, по разным ценам), то такая операция называется арбит

ражной, если же моменты покупки и продажи не совпадают —

то спекулятивной. Более сложные инвестиционные операции,

связанные с потоком более чем двух платежей, называются ин

вестиционными проектами (рис. 2.1.1).

Арбитраж

(покупка одновременно с продажей)

Длинная продажа

(покупка до продажи)

Короткая продажа

(продажа до покупки)

Спекуляция

(покупка и продажа в разное время)

Инвестиционные

проекты

Инвестиционные операции

Рис. 2.1.1. Классификация инвестиционных операций

Приведем несколько примеров арбитражных операций. В

начале приватизационной кампании в России (начало 90>х гг.

в.) к уже существовавшему теневому рынку иностранной

валюты добавился теневой рынок приватизационных чеков (ко>

торые в народе называли «ваучерами»). Рынки эти действовали

подпольно в крупных российских городах, и автор хорошо пом>

нит момент, когда цена ваучера в Москве была ниже, чем в Ле>

нинграде, а цена доллара — выше. Многие предприимчивые

молодые люди приезжали в Москву, покупали ваучеры, ехали с

ними в Ленинград, продавали их там и на вырученные деньги

покупали доллары; затем в столице эти доллары продавались и

покупались ваучеры, после чего «предприниматель» ехал в го>

род на Неве и т. д. За непродолжительное время, в течение ко>

торого существовала разница в ценах одних и тех же активов в

разных городах, многие из студентов Московского университе>

та, в котором автор в то время учился, заработали таким спосо>

бом весьма значительные суммы.

Чуть позже стал активно развиваться рынок недвижимо>

сти. Одной из самых популярных операций на этом рынке была

операция по расселению коммунальных квартир. К примеру, в

центре Москвы в трехкомнатной квартире, рыночная стоимость

которой составляла, скажем, 100 000 долл., проживало три се>

мьи, которые очень хотели разъехаться и получить по отдель>

ной квартире. Риэлтор покупал этим семьям три однокомнат>

ных квартиры (в отдаленных от центра районах) по 20 000 долл.

каждая, а взамен получал квартиру стоимостью 100 000 долл.,

которую тут же продавал по рыночной цене. В результате все

оставались довольны — неискушенные жильцы коммунальной

квартиры, имевшие ранее по комнате, получали по отдельной

квартире, а риэлтор — прибыль в размере 100 000 – 3·20 000 =

= 40 000

долл. за вычетом скромных накладных расходов (объ>

явления о покупке и продаже, оформление документов и даже

организация переезда с оплатой транспорта обходились мень>

ше, чем в 1000 долл.).

Обратим внимание, что описанные примеры арбитражных

операций относятся ко времени, когда рыночные отношения

только начинали развиваться, и рынки были плохо организо>

ванными.

Главной особенностью арбитражных операций является

извлечение дохода при отсутствии риска, т. е. при пол>

ной определенности, поэтому арбитражные операции всегда

выгодны, если цена продажи превышает цену покупки.

В качестве аксиомы примем, что на совершенном

рынке арбитражных возможностей не существует. Ре>

альные рынки при этом допускают возможность соверше>

ния арбитражных операций, но стремятся к тому, чтобы не до>

пускать арбитражных возможностей.

Как только за ленинградскими ваучерами и московскими

долларами начали выстраиваться длинные очереди, торговцы

повысили соответствующие цены, и возможность совершения

арбитражных операций исчезла.

Как только жильцы коммунальных квартир начали дога>

дываться, что риэлторы на сделках по расселению зарабаты>

вают намного больше, чем стоимость каждой из квартир, в ко>

торые эти жильцы разъезжаются, в договорах на оказание ри>

элторских услуг стали четко указывать вознаграждение риэл>

тора — либо фиксированную сумму, либо определенный про>

цент от стоимости продаваемой квартиры.

§ 2.2. СПЕКУЛЯТИВНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Перейдем к рассмотрению спекулятивных операций —

длинной и короткой продажи.

Длинная продажа состоит в том, что некоторый актив вна>

чале покупается (например, в надежде на то, что в будущем це>

на на него возрастет), а затем (когда цена действительно воз>

растает) — продается.

Например, инвестор кладет некоторую сумму на банков>

ский счет (т. е. покупает банковский счет) и знает, что в соответ>

ствии с договором эта сумма через определенное время (после

начисления процентов) увеличится, и тогда деньги со счета

можно будет снять (т. е. продать купленный актив).

В качестве другого примера длинной продажи приведем

покупку акции в надежде на то, что компания, выпустившая

эту акцию, будет работать успешно, цена акции со временем

возрастет, и тогда ее можно будет продать.

Но возможна и иная спекулятивная операция — короткая

продажа: в этом случае инвестор вначале продает некоторый

актив, которого у него в наличии нет (например, в надеж>

де, что цена на этот актив в будущем понизится), а затем (через

некоторое время) приобретает этот актив на рынке и поставля>

ет его покупателю (если при этом надежды сбылись и актив

действительно упал в цене, то инвестор получает прибыль,

иначе остается в убытке).

Пусть текущая рыночная цена тонны бензина составляет

10 000

руб., и мы знаем, что на этой неделе в город прибудет

очень крупная партия бензина, которая будет продаваться по

8000

руб. за тонну. Если бы у нас был какой>либо запас бензина,

мы бы, конечно, постарались его как можно скорее продать по

текущей цене в 10 000 руб., чтобы не потерпеть убытков. А если

у нас бензина нет? Тогда мы можем одолжить у какого>нибудь

крупного торговца бензином несколько тонн (у него этот товар

все равно пока находится на складе и в ближайшую неделю

распродан не будет, а мы пообещаем ему за пользование каж>

дой тонной в течение недели заплатить по 200 руб.), этот бензин

тут же продать по 10 000 руб., а затем, когда ожидаемая круп>

ная партия бензина придет в город и средняя цена бензина по>

низится до 9000 руб. за тонну, — купить бензин по 9000 руб.,

вернуть торговцу этот бензин, а также по 200 руб. за пользова>

ние каждой тонной одолженного бензина. В результате мы без

всяких денежных вложений заработаем по 10 000 –

– 9000 – 200 = 800

руб. за каждую тонну бензина, которую нам

одолжил торговец. Если же наши ожидания не оправдаются, и

цена бензина, вопреки нашим ожиданиям, останется на преж>

нем уровне, то тогда нам придется купить бензин по 10 000 руб.,

вернуть торговцу этот бензин, а также по 200 руб. за каждую

тонну, — и на каждой тонне мы потеряем 200 руб. В случае же,

если рыночная цена повысится, мы потерпим еще большие

убытки. Как правило, чтобы уберечься от чрезмерных повыше>

ний цены в договоре на короткую продажу указывается, что в

случае неисполнения обязательств с нарушителя условий дого>

вора взимается штраф (в нашем случае, например, 5000 руб. за

тонну), тогда если цена повысится, но не выше, чем до

14 800 руб. за тонну, то нам проще будет этот бензин купить на

рынке, и наши потери окажутся (с учетом платы за пользова>

ние бензином) не более 5000 руб. за тонну, а в случае, когда цена

возрастет более чем до 14 800 руб., мы заплатим штраф, и наши

потери составят ровно 5000 руб. за тонну.

Аналогичная операция может быть проведена, если мы най>

дем кого>нибудь, кто согласится сегодня заплатить нам по

9800 руб. за тонну бензина, а сам бензин получить через неделю.

Если при длинной продаже актив не успел достаточно высо>

ко подняться в цене, то можно еще подождать, и такая операция

может продолжаться сколь угодно долго (до тех пор, пока инве>

стор не решит продать актив) — потому она и называется

длинной. При короткой продаже покупатель не согласится

ждать нас бесконечно долго; как правило, крайний срок операции

специально оговаривается, т. е. короткая продажа может про>

должаться лишь в течение короткого срока. Покупатель го>

тов ждать поступления купленного и уже оплаченного им бензи>

на в течение недели, но не в течение неопределенно долгого сро>

ка.

Короткая продажа возможна только на организован>

ных рынках, участники которых гарантируют исполнение

сделки определенными обязательствами. Например, сложно се>

бе представить торговца продовольственными товарами, со>

вершающего короткую продажу — ведь никто из покупателей

не поверит, что через три дня он принесет на это же место обе>

щанную колбасу.

Иное дело — организованные площадки по торговле цен>

ными бумагами, участники которых уплачивают значительный

вступительный взнос, обязуются соблюдать определенный ко>

декс поведения, и где есть действенные меры борьбы с наруши>

телями этого кодекса — о таком нарушителе информируются

все аналогичные площадки, и он уже ни на одной из них нико>

гда не сможет работать. Впрочем, и на таких площадках часто

стремятся избежать рисков, связанных с короткими продажа>

ми — если, например, короткая продажа совершается на бир>

же, инвестор должен положить на свой денежный счет на этой

бирже определенную долю от стоимости операции — маржу.

§ 2.3. ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ПРОЕКТЫ

Инвестиционная операция, с которой связан поток плате>

жей, состоящий более чем из двух выплат, называется инве

стиционным проектом. Такие инвестиционные проекты могут

быть связаны с инвестициями в финансовые активы, но гораздо

чаще встречаются инвестиционные проекты, связанные с ре

альными инвестициями (т. е. не в финансовые инструменты, а

в основные производственные фонды), когда в течение доста>

точно длительного периода в проект производятся крупные

вложения, и лишь по прошествии определенного срока и при

успешном ходе проекта он начинает приносить доход, причем

величину дохода до того, как проект закончится, точно назвать

невозможно.

Реализация проекта основывается на принимаемых

решениях и должна осуществляться по заранее намеченному и

четко сформулированному плану, однако объективно сущест>

вующая и принципиально неустранимая неопределенность

внешней (по отношению к проекту) среды оказывает воз>

мущающее воздействие на движение к намеченной цели,

изменяя время (а иногда и принципиальную возможность)

осуществления запланированных событий, содержание этих

событий и их количественную (денежную) оценку, что может

привести к нежелательному развитию событий и повлиять на

конечный результат.

§ 2.4. ЭФФЕКТИВНОСТЬ И РИСК

ИНВЕСТИЦИОННЫХ ОПЕРАЦИЙ

2.4.1. Измерение эффективности

инвестиционных операций

Измерить эффективность инвестиционной операции можно

например, при помощи такой характеристики, как доход

SS-

т. е. разность между ценой , по которой актив был продан в

момент t

, и ценой , по которой он был куплен в момент t

Если оценивается эффективность инвестиционного проек>

та, то в доход включается не только сумма, уплаченная при по>

купке актива и сумма, полученная при его продаже, но и все

промежуточные выплаты по проекту.

Эта характеристика не очень удобна, поскольку, например,

следующие две операции:

• купить актив за 1000 руб. и продать его за 2000 руб.;

• купить актив за 1 000 000 руб. и продать его за

1 001 000

руб.

приносят инвестору одинаковый доход в 1000 руб., однако здра>

вый смысл подсказывает, что первая операция эффективнее

второй.

Поэтому вводят относительную характеристику эф>

фективности операции — доходность

которая равна отношению дохода к цене покупки.

Доходность первой из рассмотренных выше операций

составляет

1000

100

1000

= %

, а доходность второй —

1000

0,1

1000 000

= %

Доходность является вполне адекватной характеристикой

арбитражных операций, но в качестве характеристики

эффективности спекулятивных операций она не очень удобна,

поскольку, например, такие две операции:

• купить актив за 1000 руб. и продать его через год за

2000

руб.;

• купить актив за 1000 руб. и продать его через пять лет за

2000

руб.

имеют одинаковую доходность, равную 100%, при том, что пер>

вая операция явно эффективнее второй.

Поэтому вводят доходность в процентах годовых

◊

- t

(

где все сроки измерены в годах); если операция продолжалась

менее года, то доходность в процентах годовых вычисляют

обычно как доходность, умноженную на 365 и деленную на срок

проведения операции в днях.

Первая из данных операций приносит

1000 365

100%

1000 365

◊=

го>

довых, а вторая —

1000 365

20%

1000 5 365

◊=

◊

годовых.

Эта величина является наиболее употребительной

характеристикой эффективности спекулятивных опера>

ций, в частности, регулирующие органы требуют от инвестора

рассчитывать именно ее, однако и она не лишена недостатков.

Она никак не учитывает инфляцию, которой можно пре>

небречь в случае краткосрочных операций, но в случае дли>

тельных операций, например длительных инвестиционных

проектов, инфляция может оказаться весьма существенной.

Доходность в процентах годовых никак не учитывает нало>

гообложение, однако одну и ту же операцию может провести

закрытое акционерное общество, аккуратно уплачивающее на>

логи, составляющие в современной России 35% от дохода, и

предприниматель без образования юридического лица, упла>

тивший в начале года налог на вмененный доход (патент) в раз>

мере около 12 000 руб., который после этого считается полно>

стью уплатившим все налоги за всю свою деятельность в тече>

ние данного года. Кроме того, согласно законодательству многих

стран, некоторые инвестиционные операции облагаются нало>

гом, а другие — не облагаются.

Доходность в процентах годовых никак не учитывает про>

центную ставку, начисляемую на депозитные счета надежными

банками — а ведь при рассмотрении многих инвестиционных

проектов может иметь смысл рассматривать эффективную до

ходность — доходность в процентах годовых за вычетом про>

центной ставки (также в процентах годовых), начисляемой на>

дежным банком на сумму, лежащую на банковском счете в те>

чение соответствующего времени — имеет смысл инвестиро>

вать только в такие рискованные операции, эффективная

доходность которых положительна.

При расчете доходности в процентах годовых срок опера>

ции (в знаменателе) может исчисляться в календарных

днях, и тогда в числителе должно стоять число 365, или в

рабочих днях — тогда в числителе должно стоять число

250 (

число рабочих дней в году). В этом есть определенный

смысл — зачем учитывать дни, когда рынок не работает, и цены

финансовых инструментов не изменяются.

При анализе эффективности инвестиционных

проектов все издержки и денежные поступления

приводятся к одному и тому же моменту времени (как правило,

начальному) и суммируются, в результате получается со>

временная стоимость NPV (1.3.3) потока платежей, соответст>

вующего данному инвестиционному проекту, или чистый при

веденный доход инвестиционного проекта.

Если разделить чистый приведенный доход проекта NPV

на абсолютную величину суммарных инвестиций, приведенных

к начальному моменту NPI, то получим доходность инвестици>

онного проекта:

(1 )

NPV

NPI

Часто бывает удобно оценивать эффективность инвестици>

онных проектов не с помощью чистого приведенного дохода, а с

помощью внутренней нормы доходности IRR (Internal Rate of

Return),

которая определяется как решение i уравнения

NPV(i) = 0

или, согласно (1.3.3),

. (2.4.1)

(1 ) 0

Внутренняя норма доходности IRR равна такой процентной

ставке i банковского счета, которая обеспечивает поток плате>

жей с той же современной стоимостью, что и поток платежей,

соответствующий данному инвестиционному проекту.

Уравнение доходности (2.4.1) может, вообще говоря, иметь

несколько действительных корней. Интерпретировать как про>

центную ставку можно, конечно, только те из них, которые не

меньше –1. Если уравнение доходности имеет несколько корней

или не имеет ни одного корня, то считают, что внутренняя нор>

ма доходности не определена.

Внутреннюю норму доходности можно, конечно, использовать

и в качестве характеристики любой спекулятивной операции.

В пакете Microsoft Excel существует функция