Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Таблица ®

Значение радиусов концентрических зон

№ зоны

Радиусы зон, км

№ зоны

Радиусы зон, км

№ зоны

Радиусы зон. ш

XXI

5,0 198,6

1000,0

XII

198,6

XXII

1000,0

7,3 246,7

1163,7

XIII

246,7

XXIII

1163,7

10,7 305,4

1345,5

III

XIV

305,4

XXIV

1345,5

15,7 357,8

1545,6

XXV

1545,6

22,8 418,1

1763,9

XVI

418,1

XXVI

1763,9

33,3 487,4

2000,0

VI XVII

487,4

2000,0

48,5

566,6

VII

48,5

XVIII

566,6

70,6

656,6

VIII

70,6

XIX

656,6

102,6

758,0

102,6

758,0

128,0 872,0

159,6

872,0

где

= — 0,005" соз А

= — 0,002" соз с* = — 0,0015" соз А

= -0,000871" соз А

VIII 16 XIII 24

Л5-2000 = 2 2 — У)

к+ 2 2 ъ'

(§ — у)

1к

1=1

к=1 /=1Х Ь=1

XXI 24 XXVI 48

+ 2 22 2 (х.:-:-.

/-XIV й=1 <=ХХН к=1

где

== — 0,005" зт = — 0,002" зт А

к<

=- 0,0015" зт А

й'

= - 0,000871" зт А

Для вычисления по этим формулам используют палетки, предложенные

В. Ф. Еремеевым: палетка (рис. 61) для учета аномалий в первой областж.

палетка (рис. 62) для учета аномалий во второй и в третьей областях и палетк±

для учета аномалий в четвертой области.

Палетки изготавливают на прозрачной основе в масштабе гравиметрической

карты.

Как указывалось выше, для целей астрономо-гравиметрического нивели-

рования достаточно принять сферический радиус гр

2—3°, что соответствует

учету XIII зоны палеток Еремеева (305,4 км).

В настоящее время появилась возможность вычислять влияние зон VII —

XIII, т. е. от 48,5 до 305,4 км, на ЭВМ по аномалиям в свободном воздухе,

осредненным по площадям размером 10 X 15'.

300'

Влияние зоны от 0 до 48,5 км на уклонения отвеса пока что вычисляют

вручную, путем численного интегрирования с использованием палеток, для

чего палетку накладывают на гравиметрическую карту таким образом, чтобы

центр палетки совпал с определяемым пунктом, а линия N5 — с меридианом.

Затем в каждой трапеции определяют среднее значение аномалии (д — у)

{к

умножают на соответствующие коэффициенты и подсчитывают суммы получен-

ных произведений.

При этом пользуются методом косвенной интерполяции аномалий в сво-

бодном воздухе через аномалии Буге. Влияние рельефа учитывают отдельно

Рис. 61 Рис. 62

с помощью гипсометрических карт. Переход от аномалий Буге к аномалиям

в свободном воздухе осуществляется по формуле (VII.25)

где 2я/б — коэффициент Буге, равный 0,1119, при плотности б, принятой рав-

ной 2,67 г/см

и 0,0964 при б = 2,3 г/см

Таким образом, в слагаемых формул (Х.25) и (X.26) появляются два члена.

Их вычисляют с помощью палеток, первый член — по картам аномалий Буге,

второй — по гипсометрическим картам, умножая результаты вычислений

на коэффициент 2я/б.

При учете влияния дальних зон с помощью ЭВМ используются осреднен-

ные по трапециям аномалии Фая. В высокогорных районах учитывают также

нелинейную часть влияния на уклонения отвеса топографического массива —

поправки А|

и Дг|

(см. формулы VIII.119 и VIII.120). Для учета влияния

центральной 5-километровой зоны существуют палетки разных типов. Приве-

дем описание нескольких палеток, применяющихся для работы с картами

301'

масштабов 1 : 100 ООО, 1 : 200 ООО, 1 : 300

ООО

и 1 : 1

ООО ООО

Все палеткп

построены по одному принципу. Внутри 5-километровой зоны выделяются

кольцевые зоны такого же влияния на уклонения отвеса, как зоны I—VI:

они названы латинскими буквами А, В, С, Б, Е, Р. Радиусы этих зон даны

в табл. 20.

Счет зон ведется к центру палетки. Число зон различно в зависимости от

масштаба карты.

Ближе к центру палетки элементарные площади удобнее заменить точкамп.

Влияние нулевой зоны радиуса г

на уклонения отвеса подсчитывают по анома-

лиям и высотам, снятым в 8 точках, расположенных на окружности произ-

вольно выбранного радиуса р

и в 8 точках на окружности радиуса ?-

ср

= (р

+ г

)/ 2.

При выводе формулы для вычисления влия-

ния на уклонения отвеса зоны радиуса г

в ин-

тервале от 0 до р

применен метод градиентов.

При этом полагают, что аномалия силы тяжестп

внутри окружности радиуса р

может быть пред-

ставлена соотношением

От

Т)о

+ г, (Х.27)

где (§ — у)

— значение аномалии в исследу-

емой точке; д (§ — у)/дг — значение горизон-

тального градиента аномалии вдоль данного

радиуса.

Влияние нулевой зоны на составляющую уклонения отвеса в меридиане

вычисляется по формуле

Ро

2 Я

Го-Ро= (ё-У)т

С08 АйАйг

> <

о о

где р" = 206 265".

После подстановки в (Х.28) значения аномалии (Х.27) получим

2Я Ро

О О

2 Л Ро

о о

где = 0.

При вычислении /

будем считать градиент аномалии для данного азимута

величиной постоянной вдоль всего радиуса р

(8-—У) _ (8—у)—(е—- у)о

дг ро '

Таблица 20

Зона

Радиусы зон, км

5000

3,419

2,338

1,599

1,094

0,748

0,511

Рассчитанные Е. М. Орловой.

302'

где под — у) будем понимать значение аномалии на расстоянии р

от иссле-

дуемого пункта. Тогда

2Я Р

2Я

о оо

2Я 2Я

— | — ?)о

со8

А(1А= ^ (8 — у)созА<1А,

о о

так как

2Я 2Я

^ {8 — У)о

с03

Ав,А = {§~- у)

^ соз АйА = 0.

о о

Таким образом,

2Я

При интегрировании по А воспользуемся формулой трапеций

| / (г) йх = [1 / К) + /(X,) + /(X,) + . . . +/(**-!)+

положив: пределы интегрирования а = О, Ь = 2я, число ординат к = 8,

подынтегральную функцию / (ж) = — у) соз А.

Тогда получим

5о-Ро = --2 ^ ~

008 Аь

и аналогичную формулу для составляющей уклонения отвеса в первом вер-

тикале

Ло-Ро = —2 (2—У)к

з1п А

к-

8у

к=1

При вычислении влияния на уклонения отвеса аномалий силы тяжести,

расположенных в интервале от р

до г

, использовалась формула численного

интегрирования Гаусса.

Приведем окончательную формулу для вычисления влияния нулевой

зоны радиуса г

на уклонения отвеса

к=1 Л=1

где А§

(р

) — аномалия в свободном воздухе в точке с номером к на окруж-

ности радиуса р

; А%

(г

ср

) — аномалия в аналогичной точке на окружности

радиуса г

ср

_ _ Ро+^о .

°р ~~ 2

= пк/4, к = 2, 3, . . ., 8.

303'

Аномалии в свободном воздухе в формуле (Х.29) получают методом косвен-

ной интерполяции, проводя численное интегрирование по картам аномалий

Буге и гипсометрическим картам.

Рассмотрим случай, когда в центральной зоне (радиуса 5 км) палетки выде-

лены 4 кольцевые зоны (А, В, С и

ТУ)

такого же влияния на уклонения отвеса,

как зоны

—VI.

В этом случае радиус нулевой зоны г

= 1,094 км, р

= 0,300 км, г

ср

= 0,697 км. Влияние нулевой зоны подсчитывается по формуле

8 8

{

и = -°'

02632

" 2 ^ ЦI

Аи }

- °'

" 2 ^

Сер)

{

} •

(

°>

Й=1 к-Л

Если центральную зону разбить на иное число кольцевых зон (3, 2 или 1),

то коэффициенты формулы (Х.ЗО) можно сохранить при соответствующем под-

боре значения р

. Радиус нулевой зоны г

всегда равен внутреннему радиусу

последней кольцевой зоны. Так, если центральная зона разбита только на три

зоны (4* В и С), то радиус нулевой зоны г

= 1,599 км„ если на две зоны (А

и В), то г

— 2,338 км и если — на одну (А), то г

= 3,419 км.

Превышения квазигеоида вычисляют с помощью тех же палеток по тем

же значениям аномалий силы тяжести и высот, что и гравиметрические укло-

нения отвеса.

Формулу (IX.60) целесообразно представить в этом случае в виде

Баг -Баг = +

где

= -0,00449 [(А?л + Д|в) А В + (Лги +

Л*1в) сов

А/,],

Рабочие формулы для вычисления влияния на Д^ (2) зон I—VI и А — Р

имеют вид

16 16

Л^ (2)1-^1 = 0,00014 2 А

ек

(I)

+ 0,000212 Д& (И) +

к=1 к=1

16 16 16

+ 0,00030 2 Аё

(III) + 0,00044 2 А§

(IV) + 0,00062 2 Ае

(V) +

к=Х к=1 к=1

+ 0,00085 2 (VI),

к=1

16 16 16

ДС(2)я_, = 0,000102 А^И)+ 0,000072

[Щ

+ 0,00005 2 А

ёк

(С) +

к"1 к=1 к-1

+ 0,00003 2 +0,000022 Ьёк{Е) + 0,000022 А8к(П

к=1 й-1 к-1 .

где Д^б — аномалия в свободном воздухе в соответствующей зоне, к = 1,

2, 3, . . 16.

304'

Влияние на А^ (2) центральной круговой области, где численное инте-

грирование проводится по точкам, зависит от ее радиуса г

, а также от выбора

радиуса р

дг; (2)

Го

= -На. ^ Дг*

(Ро)

+ 2 М-

к-1 к=1

где (р

) — аномалия в свободном воздухе в точке с номером к, располо-

женной на окружности радиуса р

; А§ь (

ср) —

т0 же

на

окружности радиуса

сР

= (Ро +

о)/2>

к = 1, 2, 3, . . ., 8.

Для палетки с зонами А — Р имеем

Гд = 0,511 км, ро = 0,140 км, г

ср

= 0,326 км,

8 8

А^(2)

Го

= 0,000022 А^(Р

) +0,000042 Д^М-

к=1 к=1

§ 64. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПАЛЕТКИ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ ПОПРАВКИ В РЕЗУЛЬТАТ

АСТРОНОМИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ

Для определения гравиметрических поправок в результаты астрономиче-

ского нивелирования применяют специальные палетки, предложенные раз-

личными авторами: М. С. Молоденским (1937 г.), А. К. Маловичко (1952 г.),

Фан-Цзюном (1958 г.), И. М. Тироном (1963 г.) и др. Все палетки, построен-

ные для вычисления гравиметрических поправок, можно разделить на два вида.

К первому виду относятся палетки, область интегрирования на которых пред-

ставлена рядом точек с вычисленными для них коэффициентами влияния ано-

малий силы тяжести на превышение квазигеоида между конечными пунктами

А и В нивелирования. Ко второму виду относятся палетки, область интегриро-

вания на которых разбита координатными линиями на элементарные площадки.

Аномалии силы тяжести в элементарной площадке считаются постоянными во

всех ее точках. Каждой площадке соответствует свой коэффициент влияния

аномалий силы тяжести на превышение квазигеоида между астрономо-геодези-

ческими пунктами А и В.

К первому виду относится палетка, построенная Молоденским в системе

биполярных криволинейных координат с фокусами в точках А и В.

Вся область 2, подлежащая интегрированию, системой софокусных эллип-

сов (с полуосями: а

= 1,1547, с

= 0,5744, а = 3,00, с = 2,83, а = 4,00,

с = 3,87; за единицу принято I — половина расстояния между астрономо-гео-

дезическими пунктами А и В) разбивается на 10 участков, обозначенных на

рис.63 через 8

, 8%, 8

, 5

, 8

Для выделения околофокальных участков 8А и 8В (на рис. 63 они заштри-

хованы) вокруг пунктов А

В, как фокусов, проводятся софокусные эллипсы

(с полуосями а

)

гипербола (с полуосями Ь

ж й

Исходя из условия, чтобы внутри фокальных участков аномалии силы

тяжести изменялись линейно, Молоденский остановился на следующей сис-

теме значений (принимая I = 1):

00 = 1.1547, с

= 0,5744,

= 0,9041, й

= 0,4274.

20 заказ 1379 305

Каждый околофокальный участок оказался заключенным внутри пря

угольника по оси х со сторонами 0,2506 (а

— Ъ

= 0,2506) и 0,4936 по

у (2у = 2с

= 0,4936). Таким образом, при расстоянии АВ, равном 100 :-

сторона прямоугольника по оси х достигает 12,5 км, а по оси у — 25 км.

Влияние околофокальных участков вычисляется особо, а влияние

остальных участков — по формулам численного интегрирования Гаусса. Со<

ветственно этому поправка разбивается на три поправки: Д^д, Д 1,в и Д^

Первые две и Добусловлены влиянием околофокальных участков, огр

ниченных координатными линиями а

и Ь

, третья Д^

— влиянием остальн:.

части области 2. Таким образом,

Формула для учета влияния околофокальных участков имеет вид

2Дш1'

= +0-02755" [{& - у)

й0

- - у)

Ьо

}л + {(* - V)». У )«.}в

1 •

Точки а

и Ь

около пунктов А и В, в которых должны быть определен"-

значения аномалий — у), показаны на рис. 63.

Для вычисления поправки Д^

Молоденским получена формула

I /

Коэффициенты Ац в этом выражении вычисляют по формуле численно:

интегрирования Гаусса.

Окончательная рабочая формула для вычисления превышений квазигеопд

имеет вид

= - у № + <г) + 0,02755" [{(* - у)

, -(в- 7)*о}А +

+ {(г - у)ь. -{§- ?)а.}в

+ 2 А

(в - у)

306'

где (§ — у)а

и (д — у)ь

— аномалии силы тяжести, определяемые в точках

и 6

по гравиметрической карте; (§ — у)ц — аномалии силы тяжести в точ-

ках г]; Ац—коэффициенты влияния аномалий на превышение квазигеоида,

относящиеся к точкам г/ и выраженные в 0,00001 долях секунды.

Для вычисления гравиметрической поправки изготовляется целый ком-

плект эллиптических палеток с различными расстояниями между пунктами

А ж В.

Эти палетки вычерчиваются на прозрачной основе, на них наносятся

фокусы координатных линий — пункты А и В

те точки г], для которых с гра-

виметрической карты должны быть сняты аномалии. Рядом с этими точками

подписывают соответствующие коэффициенты АЭта палетка изображена

на рис. 64. Палетку накладывают на карту таким образом, чтобы точки А и В

палетки совпали с астропунктами на гравиметрической карте. Далее, в отме-

ченных точках палетки определяют с карты значения аномалий (д — у),/ и

умножают на соответствующие коэффициенты Ац.

Поскольку аномалии в свободном воздухе получают методом косвенной

интерполяции через аномалии Буге, то вычисления с помощью палетки выпол-

няются последовательно по гравиметрической карте аномалий Буге и гипсо-

17*

307

метрической карте. Высоты Н в точках палетки при этом умножаются

0,0963 и на коэффициенты Ац палетки. Сумма результатов вычислений по к.

аномалий Буге и гипсометрической карте определяет гравиметрическую "

правку.

Аналогично выполняется интерполирование аномалий в неполной топе

фической редукции.

Ко второму виду палеток относятся палетки, предложенные Малови*

Фан-Цзюном и Тироном. Они построены в системе прямоугольных коорднв:

Например, А. К. Маловичко была рассчитана квадратная палетка. -

область интегрирования разбита на квадраты со сторонами 0,41, 0,21,

0,051. Размеры квадратов увеличиваются с удалением их от астропунк*

Для каждого квадрата палетки коэффициенты вычисляются по формуле

А„ —

4яу

8Щ

?+/(*+!)

+г/

+ у 1п

.*+ 1+1 )

+г/

«1-1

где х

уI — прямоугольные координаты углов квадратов палетки, выра—

ные в единицах половины расстояния между астропунктами I. Влияние г "

ральных зон, расположенных вокруг астропунктов, учитывается с поые-ш

дополнительной палетки.

Гравиметрические поправки с использованием квадратной палетки

деляются по формуле

2г

= {0,02949" [(Д& - А

ёа

)

+ (А^

- Д^Ы + 2 А

ёп

где и А^ь — значения аномалий силы тяжести для точек а и Ъ пале?™

Глава XI

ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ

В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

§ 65. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ.

ВОЗМУЩАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ

Законы движения небесных тел, открытые Кеплером в начале XVII века

на основании обработки многочисленных наблюдений, являются по сути следст-

вием закона всемирного тяготения Ньютона. Эти законы не получили в то

время теоретического объяснения и их динамический смысл был выявлен Ньюто-

ном после того, как он сформулировал свои законы движения. Ниже будет

показано, что если тело совершает движение под действием силы ньютониан-

ского тяготения, то орбита этого тела должна лежать в плоскости, занимающей

неизменное направление в пространстве, и являться одним из конических

сечений, в частности эллипсом. Он получил наименование Кеплерова эллипса.

Законы Кеплера справедливы лишь для тел, создающих центральное

силовое поле, примером которого является силовое поле ньютонианского тяго-

тения, создаваемое материальной точкой. Другим примером центрального

силового поля является поле, создаваемое однородным шаром или сферически

симметричным телом.

Если бы Земля была сферически симметричным телом, движение спутника

вокруг Земли совершалось бы по Кеплеровым эллипсам. В действительности

Земля по своей форме является значительно более сложным телом и гравита-

ционное поле Земли не является центральным. Поэтому в движении спутника

вокруг Земли наблюдаются отклонения от Кеплерова эллипса, или, как го-

ворят, возмущения. Величины возмущений зависят от степени отличия грави-

тационного поля Земли от центрального и в некоторых случаях бывают значи-

тельными. Чтобы убедиться, рассмотрим выражение потенциала тяготения

Земли, считая, что начало координат совмещено с центром масс Земли. В этом

случае /

= 0 и на основании (IV.34)

р 00 00 П

= ^

- 2 (т )"

со8 0

)

+ 2 2 (т)" ^

008 кК

81п

пь

(

)

[_ п=2 п-2

к=1

(Х1.1)

где г — радиус-вектор орбиты спутника.

Главный член этого ряда Щ- соответствует случаю центрального поля,

а вся совокупность последующих членов представляет собой отличие потен-

циальной функции Земли от потенциальной функции шара.

309.