Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли
Подождите немного. Документ загружается.
При вычислении возмущений в первом приближении примем А)Т =
В)^ = сопз1;. Интегрируя в пределах от щ до и, получим
п
э
(1) = а
{0
+
Ли
+ ^ 4" (
А
?к
Л 81п ки
~
В(
/к
Д 008 ки
),
где
Аи = и— и
0
, Азтки = зтки— 8ш&и
0
, Д соз ки = соз ки — соз ки
0
.
Члены вида А^Аи называют вековыми возмущениями первого пор.'
остальные члены — периодическими возмущениями. Вековые члены перт
порядка в элементах орбиты увеличиваются линейно и поэтому со врем-
могут достичь значительной величины. Они вызывают наибольшие возмущу
в элементах орбит.
Члены пропорциональные А и
2,
называют вековыми возмущениями втс
порядка.
Следует отметить, что при вычислении возмущений в нескольких прж
1
жениях периодические члены оказываются пропорциональными у со?
и узш Ьи, где Ъ — некоторые функции не только индекса к, но и элемен*
орбиты. В случае, если то имеем дело с короткопериодическими во;
щениями, если Ъ < 1 — с долгопериодическими. Довольно часто возник,
случаи, когда при определенном наборе начальных элементов орбиты как.
либо из функций Ъ 0. Тогда соответствующий периодический член бу
иметь очень большие амплитуду и период, т. е. резонанс (или соизмеримос'-
а возмущения называются резонансными.
Все вековые члены стремятся к максимальному значению при I -> 0, вез
вые члены в й равны нулю при I = 90°, в со при г = 63,4° (критический накл'
в М
0
при I = 54,7°. Например, для спутника е е ^ 0,1, г 65° и с высо:
над поверхностью Земли примерно 1000 км вековые члены составля*
2,1° в сутки, 8со « —0,3° в сутки (для
г
< 63,4° — знак +), Ш
0
^ —4.
в сутки (для I < 54,7° — знак+), наибольшая амплитуда периодическ
возмущений в большой полуоси -—-7,4 км, периодические возмущения вен;
водят к колебаниям высоты перицентра ~ ±4,2 км. Чтобы получить воз:-.
щения, обусловленные влиянием зональной части потенциала Земли, преде:
вим возмущающую функцию (XI.3) в виде
К
* = - т 2 ('т-)
П/
»
р
« (°
08 е
)> (
х1
--"
п=2
где р. = /Жз, Мз — масса Земли (масса спутника т принята равной нул?
аз — большая полуось земного эллипсоида.
Для интегрирования уравнений Лагранжа необходимо возмущающую
функцию выразить через элементы орбиты. Это достигается с помощью соохн-:-
шения (см. рис. 67)
соз
В —
зш и
31ПI.
(Х1. :~
320.
Найдем выражение возмущающей функции в оскулирующих элементах
для п = 6
В = - Ь [1
/
2
(3
ЗШ
2
и
81П
2
I
-
1)
+ I /
3
8Ш I
X
X (5 зш
2
1
зт
3
и — 3
зт
и)
+ ^ /
4
(-у-)*
(35
зт
4
г
зт
4
и — 30
8т
2
г
зт
2
и
+
3)
+
+
1
Ъ
(-у-)
5
81
п I (63
зт
4
I
зт
6
и — 70
зт
2
1 зт
3
и
+
15
зт
и)
+
— /
6
(у)
6
(231 зт
6
I зт
6
и - 315 зт
4
ъ
зт
4
и + 105 зт
2
1 зт
2
и- 5)], (Х1.39)
где
г— =р [1 + есоз (и --со)]"
1
.
1
—(— е сое V
г
1 4
"
В этом случае возмущающая функция В является функцией элементов
орбиты а, е, г, со и аргумента широты и
В=}(а, е, г, со, и).
Если вместо аргумента широты и использовать истинную аномалию V, то
В =
ф
(а, е, г, со, V).
Следует отметить, что все элементы, входящие в функцию В (а, е, г, со, г;),
изменяются с течением времени, однако поскольку возмущающие ускорения
обычно сравнительно невелики, изменение элементов орбиты а, е, I, со проис-
ходит значительно медленнее, чем величины V.
Следовательно, если возмущающую функцию В представить в виде ряда
по кратным дугам истинной аномалии V
п
Д = ср
0
(а, е, I,
со)
+ 2 (фл
созиг;
+ /„ зт по), (XI.40)
1
то появляются члены трех родов; вековые, долгопериодические и короткоперио-
дические.
Члены возмущающей функции, в которых аргумент тригонометрической
функции не зависит от времени, называются вековыми членами. Совокупность
этих членов носит название вековой части возмущающей функции.
Члены возмущающей функции, в которых аргумент тригонометрической
функции зависит от времени, называются периодическими членами, причем
члены, зависящие от со, называются долгопериодическими, а члены, зависящие
от V, — короткопериодическими.
Таким образом, член ф
0
в формуле (XI.40) представляет вековое и долго-
периодическое изменение функции В, остальные члены, стоящие под знаком
суммы, дают короткопериодические изменения, зависящие от периода измене-
ния истинной аномалии V в данном возмущенном движении.
Ограничиваясь в (XI.39) зональными гармониками второго, третьего и
| четвертого порядков, получим [30]
I . . ( 5 .
2
. . о . N.. 35 /
4
( а \5
- х ("з I зт-
5
и
— зти^зт!
3
^
5 Х^8т
4
г8т
4
ц — у зт
2
г зт
2
ц +
21 Заказ 1379 321
или после преобразований, используя соотношения
1 1
зт
2
и =~2 —
~2
008
1 3
81П
3
и = — у
81П 3К
+ у
81П
ы;
3 1 1
зт
4
и = у — у соз 2ц +
—
соз 4и,
найдем
— 1^81ПМ — 81П
2
г 81П
Згг^ зш I — -у- (л (у)
6
«! X
К
З з з \ / 3 ^ \ ^
— у зт
2
г + — зт
4
г) + ( — зт
2
г
— у зт
4
П соз2м + у
81П
4
1
соз 4и
Введем вместо аргумента широты и истинную аномалию V, в соответс:
с выражениями
зт и = зт
(со -}- V)
= зт
и
соз
со
+ зт
со
соз V;
зт 3и = зт 3
(со -}-
у)
—
зт Зу соз
Зсо
+ зт
Зсо
соз Зу;
соз 2и = соз 2
(со
+ V) = соз 2р СОЗ
2со
- зт 2и зт 2<а;
соз 4 и — соз 4
(со
+ у)
•=
соз
4ь>
соз
4со
— зт 4У зт 4со.
Тогда
^
=
Т
^ ~~аз
(т) [у ~4"
81п2
*
Т
31п2
* (
со8С082(0
~~
81П
^
8111—
— у (т
-
)
4
^
3
*
~~ 1) (
8
*
П У
СО8С0
+
81ПСОСО8
у) ^у 8Ш
2
IX
Х(З1ПЗУ соз ЗСО + 8т ЗСО СОЗ ЗУ)^ зт I —У- [А (У)
5
а% X
х
[ (ж ~ у
з1пЧ
+4 0+(т
81пЧ
~ т
81п4
О
Х
X (СОЗ2У
соз2со
—зт2узт 2со) + У 31П
4
Г
(СОЗ4УСОЗ4СО —з1п 4У 31П (X: -
Представим далее возмущающую функцию Я как сумму, выделив из г
вековой член первого порядка В
1г
вековой член второго порядка.В
г
, д( л
периодический член В
3
и короткопериодический член Д
4
(считая при . "
коэффициент /
2
второй гармоники потенциала величиной первого поря;;
а коэффициенты /
3
и /
4
третьей и четвертой гармоник величинами в то;
порядка). При этом заменим величины, входящие в (XI.41), а именно (а •
(а/г)
3
зт 2 у, (а/г)
3
соз 2 у, ... их средними интегральными значениями.
Приведем окончательные значения В
х
, В
2
, В
3
, без вывода
Л2
= -1 ^ ( Ж - У
81пЧ
+ 4
81111
0 (
1
+ г
е2
) -
322.
Е
3
= - р ^
а%
[(^ зтЧ~1) в (1 - е
2
)-'/*
8
ш I вш
со
- р
аЬ
а\
X
X (А _ 81П.2
*
)
в
2 (1 _
е
2)-'/, 81П
2
I соз 2со;
+ у
81П
2
I СОЗ
2
(у +
со)^
,
Е^=Е
1
+ Е
2
+ Е
3
+ Е
й
. (XI. 42)
Если подставить значения Е
г
, Е
3
и в уравнения Лагранжа, то полу-
чим возмущения, которые можно легко разделить на вековые, долгопериодиче-
ские и короткопериодические члены.
§ 71. ВЕКОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ УЗЛА И ПЕРИГЕЯ.
СКОРОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ДОЛГОТЫ УЗЛА
И АРГУМЕНТА ПЕРИГЕЯ (& И со)
Из всех наблюдающихся вековых изменений элементов орбиты важнейшее
значение имеют два возмущения: вращения линий узлов и апсид, вызванные
второй зональной гармоникой /
2
, т. е. изменения й и со.
Для вычисления этих изменений по формулам (XI.35) и (XI.36) получим
значения производных дЕ/д1 и дЕ/де, полагая, что Е = Е
г
дЦ-1 3 /о. п • . /
л
9\
3 /
=
^-^Г а
2
81ПI соз
I (1
—
е
2
)-
/*;
Поскольку р, = п
г
а
3
, то
дЯг 3
/г
2
/
2
а| 81111
соз
I
(1 — е
2
)~Ч
г
,
дП
г
9е
пЧ,
де — 2
Подставляя значение дЕ
1
/дг в (XI.35), получим
Зга/оа2
(1
—
й
2)-'
/2
соз г
• з
^
;
2а2
У1—«2
Отбросим члены порядка е
2
и выше. Тогда
Й = — -| /г(-^-)
2
/
2
соз1. (XI.43)
Аналогично подставляя значения дЕ
1
/д1 и дЕ-^/де в (XI.36), получим
*>=Ш
2
(т • - т
з1п2
0 -
е2)2
+4 ^ (
со82
4
(*
-
е2
>~
2
21* 323
и окончательно
ш
= + -|
?
г/
3
(^)
2
[4-55тЧ]. (XI.
Формулы (XI.43) и (XI.44) дают вековые изменения долготы узла О и ар
мента перигея <л с точностью до малых величин первого порядка. Если в ух
нения (XI.35) и (XI.36) подставить значение возмущающей функции
то в результате получим формулы, связывающие скорости изменения ДОЛР"
узла й и аргумента перигея со с зональными гармониками потенциала: /
2
.
и /
4
. Однако при решении ряда задач возникает необходимость учитывать вл-
ние гармоник значительно более высокого порядка. Приведем без вывода ф>
мулы, полученные Кинг-Хили, для вычисления скоростей изменения долг' "
узла и аргумента перигея, учитывающие зональные гармоники до 8-го поря_.
включительно:
Хесозесг|(1-^-/ + ^-/
2
)(1+-|-е
2
) вшю + ~ (1 /) е
2
зш
3®|
-
15
т
( а
3
\з 8Ш8ШШ / . 7 21 ,
2
\ , 105
т
( а
9
\4
—г
1ъ
\т) —« )
+
~
1в
\т)
х
315 , Г«в\Ч* 331 , 2057
2
19 877
3
16 445
4
П
ут
_
"Т~
У
ЧТ/ 1
32
' ~ 512 ' 1024 > ]}'
где /? = а(1
— е
2
),
/ = ет
2
1.
Значение а — большой полуоси орбиты — может быть найдено из выра>ь
ния для драконического периода Та
324.
В уравнениях (XI.45) и (XI.46) орбитальные элементы а, е, и, I не оскули-
ющие, а некоторые средние элементы.
Нужно отметить, что некоторые из членов в уравнениях (XI.45) и (XI.46)
являются строго вековыми, поскольку содержат периодические множители
<5
и, соз 2со и т. д. Периодические члены могут дать уравнения для определе-
я нечетных зональных гармоник /
3
и /
5
(влияние четных гармоник может
ь;ть при этом исключено). Так, каждая наблюденная амплитуда колебания
лементов й и со дает одно уравнение для определения нечетных коэффициен-
те /
3
, /
5
, . . .
Строго вековые члены в уравнениях (XI.45) и (XI.46) можно использо-
вать для получения четных коэффициентов /„. Влияние нечетных коэффициен-
тов 1
п
, как правило, достаточно мало, поскольку все члены, содержащие нечет-
ные коэффициенты, имеют множители вида езтсо, езтЗсо... порядка 0,1.
Если влияние нечетных членов 1
п
все же велико, то в дальнейшем его можно
уменьшить выбором интервала времени, в течение которого среднее значение
*ш со, 8Ш Зсо. . . мало. Следовательно, члены /
3
, /
5
(в XI.45) и (Х1.46) часто
«ожно отбросить или если отбросить нельзя, то учесть, подставив в соответст-
вующие уравнения приближенные- значения /
3
и /
5
. Таким образом, уравнение
•
XI.45) с наблюденным значением й в левой стороне и приближенным значе-
нием для Ц дает одну линейную связь между четными /„. Имея г наблюденных
значений й, получим г уравнений, из которых можно определить значения
/,. /
4
, . . ., /
2Г
, если 1
2г+2
, 1
2Г
+
4
. . . принять равными нулю. Чтобы полу-
тать надежные результаты, наблюденные значения Й должны быть вычислены
шо спутникам с различными значениями наклона г и р.
Подобные выводы применимы и к уравнению (XI.46).
Таким образом, периодические члены в уравнениях (XI.45) и (XI.46)
годятся для определения нечетных /„, тогда как вековые члены тех же урав-
нений позволяют определить четные /„.
Получим формулу для определения четных зональных гармоник по наблю-
денным значениям й. При этом надо иметь в виду, что й всегда берется как
некоторое среднее значение. Значит, если осереднить й по ряду значений со
таким образом, что среднее значение ат со, зт Зсо. . . будет равно нулю, то
влиянием нечетных зональных гармоник /„ в (XI .45) можно практически пре-
небречь. Условимся, что для определения величины й начальный момент вре-
мени и конечный момент времени 1
Х
выбраны таким образом, что либо
~ ®о было кратно 2л, либо, если такой широкий ряд наблюдений невыпол-
ним, со
х
и со
0
имели вид я/2 + N п, где N — целое число (например, со
0
= 270°,
= 90°). В этом случае в (ХГ.45) исключатся долгопериодические члены при
четных /„ (е
2
соз 2со, е
4
соз 4со, . . .) и в выражении для й останутся лишь веко-
вые члены
-Т «(•?)• (•-!')]+• •• <
Х1
-«>
325.
Для кратности запишем его в более общем виде
• = -7Г(^-)
2
СО81[Л/
3
+ Д/
4
+ С/
6
+ Д/
8
+,Е/
10
4-^/1
2
+ С/
14
+ Ф/1]. (XI -
Можно получить аналогичную формулу для векового изменения Й:
мента перигея со.
§ 72. ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ
СЕКТОРИАЛЬНЫМИ И ТЕССЕРАЛЬНЫМИ ГАРМОНИКАМИ
ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА
Анализ приведенных выше формул показывает, что различные парами
гравитационного поля Земли по-разному влияют на движение искусственг
спутников. Четные коэффициенты зональных гармоник /
2
, /
4
, 1
в
, ... в осг •
ном вызывают вековые изменения узла и перигея, тогда как нечетные к*
фициенты /д, /
Б
,. . . приводят к долгопериодическим изменениям элемент
Таким образом, эффекты зональных гармоник накапливаются в течение у-. •
цев и сравнительно легко могут быть обнаружены в результате наблюдем
Тессеральные и секториальные гармоники приводят лишь к корот
периодическим возмущениям в движениях искусственных спутников. Поэт
определение параметров гравитационного поля, зависящих от долготы, :
тессеральных и секториальных гармоник, из анализа возмущений орбит я?
ется значительно более трудной задачей, чем определение зональных гармо!
так как в этом случае периоды возмущений относительно коротки и состав."
часто лишь доли оборота спутника, а их амплитуда редко превышает 151
В соответствии с (XI.2) возмущающая функция от долготной части :
потенциала имеет вид
сх> п
=
-г 2 2
со8 кК8Ш кК) Рпк (0)
'
71= 2 к=1
где р, = {М
ь
, М
3
— масса Земли; а
3
— большая полуось земного эллипсог;
По аналогии с изложенным выше, величины 0 и X, входящие в (XI.-
необходимо выразить через элементы орбиты и подставить преобразован;
таким образом значение возмущающей функции Ех в уравнения Лаграи
Проинтегрировав в первом приближении, получим возмущения произвольн
элемента орбиты э в форме
6 =
У / зшЦДУ + Рв + У)*]
где р, а = 0, ±1, ±2, ±3, . . . целые числа; у — некоторая функция г, Е.
— коэффициенты, зависящие от начальных значений элементов орбп~:
п — среднее движение ИСЗ; V — угловая скорость вращения Земли.
Вследствие того, что время I входит явно под знаком тригонометричес:• I
функций, долготная часть потенциала не может привести к вековым возму;
ниям в движении ИСЗ. Особый интерес вызывает случай, когда какой-.": '
из делителей в (XI.50) становится очень малым
326.
а\ 4- + 7—>-0.
Это случай так называемого резонанса, о котором уже говорилось выше.
У спутников, период обращения которых соизмерим с периодом вращения
Земли, резонансные возмущения от соответствующих гармоник потенциала
кроявляются наиболее ярко. Классическим примером является 24-часовой
спутник: гармоники потенциала с коэффициентами с
21
, $
21
, с
31
, $
31
, с
32
, х
32
. ..
•узывают резонансные возмущения вдоль орбиты с амплитудой порядка 150 км
• периодом около года.
Рассмотрим общий член разложения потенциала, зависящий от долготы
у
пк
= Ь
{Спи
соз
кХ
+
8
пк
ЯП Щ Р
пк
(9). (XI.51)
Иногда вместо с
пк
и 8
пк
используются параметры 1
пк
и Х
пк
и тогда общий
ялен разложения потенциала, зависящий от долготы, принимает вид
у
пк
= ^ (1п
к
соз к
{X
-\
к
) Р
пк
(6). (XI.52)
Связь между параметрами с
пк
, $
пк
и параметрами 1
пк
, Х
пк
устанавливается
жз равенства
1
пк
соз к
(X —
Х
пк
) = с
пк
соз
кХ
+ з
пк
вт кХ,
1
пк
соз
кХ
соз кХ
пк
+ 1
пк
зт кX зт кХ
пк
—
с
пк
соз кХ + $
пк
зш кХ,
то дает
Спк
= 1,гкС08кХ
пк
, з
пк
= 1
пк
вткХ
пк
. (XI.53)
а
п
Если множитель в (XI.52) представить как
„
Это выражение для У
пк
более удобно, чем (XI.52), поскольку отношение а/г
•ожет быть разложено в ряд по косинусам кратных дуг средней аномалии М
айда
(X)
А = ^ЛсозгеМ,
11=1
где к — некоторые коэффициенты.
Для определения возмущений в элементах орбиты спутника, вызываемых
генеральными и секториальными гармониками, следует получить производ-
ные от соответствующих функций У
пк
ио орбитальным элементам. Предвари-
тельно необходимо выразить через орбитальные элементы геоцентрические
координаты спутника г, 0, X. Для полярного расстояния 8 спутника восполь-
зуемся формулой (XI.38), а долготы X (рис. 71) получим из равенства
X
= а
— 8
Х
,
1гзе а — прямое восхождение спутника; 8.
х
— звездное время в точке пересече-
ния оси х с поверхностью Земли.
Но
а =
Й
+ %
где = ^ 0,Ь (см. рис. 71) — долгота спутника, измеренная вдоль экватора
от восходящего узла Й. Из сферического треугольника ЙСЬ
1(з
= и соз
г
327.
или для малых наклонов можно
Следовательно,
•ф
= и —г 81 п 2и.
а -- й-1- и —1 зш 2и.
Тогда долгота к будет выражена через орбитальные элементы
•у 1I
3111
2ц. (Х1.5"
Подставив полученные соотношения для 9 (XI.38) и для X (XI.55) в фор-
мулу (XI.51) или (XI.54), получим выражения для общего долготного член.
разложения потенциала в орбитальных
элементах.
Здесь не представляется возможных:
дать аналитические выражения для ко-
роткопериодических возмущений из-з;
их громоздкости.
Рассмотрим несколько подробнее
лишь долготный член, характеризующий
экваториальное сжатие Земли.
В главе IV было показано, что если
потенциал Земли представлять рядо!
(IV.31), то этот член является по суще-
ству секториальной гармоникой второго
порядка с коэффициентом
ГринЗичскии
меридиан
Рис. 71
Д
22
' (Б-Л),
где А и В — моменты инерции Земли относительно прямоугольных осей х и ..
лежащих в плоскости экватора. Если же потенциал Земли представлять рядоу
(^.33), то коэффициент, стоящий при секториальной гармонике второго по-
рядка, будет '
С
22 = АМп 2 ' (XI.5».
4Ма2
что легко получить, сравнивая почленно оба ряда разложения. Следовательно'
долготный член, характеризующий экваториальное сжатие Земли, можно пред-
ставить
008 2%р
™ (
0
)- <
х1
-
57
Выражая 0 и % через элементы орбиты и учитывая равенство
П
- аз '
получим
У
22
= За
2
?г
2
(-у)
3
(соз
2
1 -(-зт
2
1 соз
2
и) соз — 28
х
+ 2и
—
После некоторых преобразований выражение для ДОЛГОТНОГО члена У
:1
можно привести к виду:
328
I зт
2ц ^
.
7
а2
= а'а%п
2
(1 - е)~зш
2
г соз 2 (8
Х
- О). (Х1.58)
где а' — экваториальное сжатие Земли.
Долготу восходящего узла можно представить в виде линейной функции
времени
Й =
Й
0
+
Й
—
где й
0
— долгота восходящего узла в начальный момент времени й — ско-
рость изменения долготы узла й.
В свою очередь звездное время 8
Х
аналогично можно представить
где — звездное время на оси х в момент V — угловая скорость враще-
ния Земли.
Следовательно,
8
Х
-
Й
= - Й
0
+ (V - й)(1 - д. (XI. 59)
Введем долготы I, отсчитываемые от Гринвичского меридиана. Тогда со-
гласно рис. 71
где 1
Х
— долгота оси х, отсчитанная от Гринвича.
Фазовый угол 1
Х
определяет положение большой оси экватора относительно
Гринвичского меридиана. Этот угол входит в разность 8
Х
— й, поскольку
8
Ха
= ^гр
0
~Ь 1x1
где 5
гРо
— гринвичское звездное время в начальный момент
Формулу (XI.59) можно представить
8
Х
-С1 = 1
Х
'+ (8
тРо
-Й
0
) + (V - Й) (*- д. (XI.60)
Подставляя функцию (XI.58) в дифференциальные уравнения орбитал'ьных
элементов (XI.35), (XI.36) и произведя интегрирование, получим возмущения
в элементах орбиты, обусловленные экваториальным сжатием Земли а'
бсо = а"
геа
«
(3
Т
5
^зш2(^-й)|
(XI.61)
бй = а' ^
Й1П
2 (8
Х
— й) '
й) />2
Аналогично можно получить
81
= а' ^ соз 2 (5.-Й)
. (XI.62)
' 5М = д' ашг^-д)
где введены сокращения: с = соз г, 5 = вт г.
Полученные уравнения позволяют найти постоянные, характеризующие
эллиптичность экватора: экваториальное сжатие а' и фазовый угол 1
Х
, опреде-
ляющий положение большой оси экваториального эллипса относительно Грин-
вичского меридиана.
329.