Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Средняя квадратическая ошибка от зоны с номером т (кроме нулевой)

будет вычисляться по формуле

вт

Е =

1п (4т + 2)-'/. Ь

2у зт

' °

Результаты вычислений приводятся в табл. 17.

Таблица 17

№ зоны

Зона

Средняя квадратическая ошибка, вносимая

№ зоны

Зона

зоной, "

зоной и всеми предшествующим:'

зонами, "

21—и ±0,0306?

±0,0306?

41—61

0,0136? 0,0336?

61—81

0,0076?

0,0336?

81—101

0,0056?

0,0346?

101—121

0,0046? 0,0346?

Итак, можно принять, что средняя квадратическая ошибка в уклонении

отвеса, вносимая областью, лежащей за пределами I от определяемого пункта.

равна

Щ = ± 0,062"б^.

Если же область лежит за пределами 21, то

т\ = ± 0,034"б^.

Вопрос о влиянии центральной зоны радиу-

са г

= 21 (или I) на ошибку уклонения отвеса

не может быть решен изложенным способом.

В самом деле, интеграл, выражающий влияние

центральной зоны на составляющую уклонения

отвеса,

Го 2я

Д^ = - Г { -^ЫЦозЛйгйЛ

2лу

81П 1

,) д г

о о

при наличии в этой зоне одного гравиметрического пункта обращается в нуль.

Определим величину ошибки за счет центральной зоны. М. С. Молоден-

ским получена формула для вычисления квадратической ошибки вывода со-

ставляющей уклонения отвеса в случае, когда гравиметрической съемкой по-

крыта вся Земля и когда она повсюду одинакова точна

= т.,

= 0,15"6§\ (Х.8'

где под б^ следует понимать ошибку определения аномалий силы тяжести.

В данном случае под можно понимать ошибку представительства.

Формула (Х.8) является важнейшей при расчете точности в случае равно-

мерной съемки. Эта формула справедлива для случая не только чисто случай-

ных, но и полусистематических ошибок, сохраняющих свой знак в предела::

обширных областей, но случайно меняющихся от одной такой области к другой

Чтобы получить ошибку составляющей уклонения отвеса за счет централь-

ной зоны радиуса 21, необходимо из полной ошибки вывода составляющее

290'

уклонения отвеса вычесть ошибку, вносимую областью, лежащей за пределами

21 от определяемого пункта. Таким образом, получим

Следовательно, в условиях съемки с равномерным по площади распределе-

нием гравиметрических пунктов практически вся ошибка вычисления уклоне-

ния отвеса вызвана ошибкой учета аномалий внутри окружности радиуса 21.

Величина в формуле (Х.9) должна характеризовать точность гравиметриче-

ской карты вблизи исследуемого пункта.

Для приближенной оценки средней квадратической ошибки составляющей

уклонения отвеса, вызванной влиянием центральной зоны радиуса г

, полу-

чена эмпирическая формула

(г

)=±0,15"г;/«, (Х.10)

которая достаточно хорошо характеризует влияние центральной зоны для г

от 0 до 16 и более км (может быть до 30 км). Подсчитаем, с какой точностью мож-

но получить составляющие гравиметрического уклонения отвеса при расстоя-

ниях между гравиметрическими пунктами порядка 30 км. В этих условиях

ошибка представительства составляет мгл.

Вычисление по формуле (Х.8) дает

тп%

= гпц = ±1". Для повышения точ-

ности получения уклонений отвеса следует иметь дополнительную гравимет-

рическую съемку, позволяющую существенно уменьшить величину внутри

центральной зоны (радиуса 21), поскольку, как мы убедились выше, в условиях

равномерной съемки ошибки аномалий за пределами круга радиуса 21 лишь

незначительно понижают точность вычисления гравиметрических уклонений

отвеса.

Рассмотрим, как наиболее выгодно расположить гравиметрические пункты

для вычисления уклонений отвеса при съемке сгущения, проводимой внутри

зоны 2, радиус которой обозначим через Н.

Разобьем область 2

на 11

кольцевых зон радиусами г

, г

, . . ., г

1У

Я,

где г

— радиус центральной зоны. Каждую пг-ю кольцевую зону радиальными

направлениями разобьем на 1

равных частей (трапеций). Положим, что на

каждую трапецию приходится один гравиметрический пункт и что ошибка пред-

ставительства б§- постоянная во всех трапециях.

Тогда среднюю квадратическую ошибку составляющей уклонения отвеса

в произвольном азимуте (величины й) можно представить

(20 = У (0,15)

- (0,034)

= 0,15'6$.

(Х.9)

§ 61. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ СЪЕМОК

ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА

М%

= «№;/.)• + ()

1п

Ь-1

Очевидно, для каждой трапеции т-й кольцевой зоны

Д А = А

-А

= ^.

17*

291

Следовательно,

2 [2 зт

соз

= 2 ^ 2

2 0082 Л

ср.

Й=1 Й=1

Заменяя 2 соз

ср

через 1 + соз 2А

ср

, можно доказать, что

2 (1 +

С08

2Л

ср

) = 1

т>

итак, получим

^[2зш соз^+Д

= 2г

зш

Для подсчета средней квадратической ошибки составляющей уклонения

отвеса в произвольном азимуте от т-й кольцевой зоны получим формулу

= Ы^щг У У

^ Ь в А. (XII)

Полная ошибка представительства вычисляется по формуле

где х и у — стороны прямоугольника; т — ошибка наблюдения.

Так как в данном случае ячейки имеют форму трапеций, то под х будем

понимать высоту трапеции, а под у ее среднюю линию. Очевидно,

У — 7~ {

т +

т-1)-

Поэтому

бй. = С» $Гт — Гт-$

Чг

+ (Гт + Гт-^Ч »»

М| = 0,0225т•!/. + -г—Чг^г У, *тЗш

-Д- (1п-^-У X

(2яу 8ШI")

ЛЛ

\ г

т-1

7)1=1

X {с

[(г

- г^у/. + (г

+ /-

/г

]

+ т

}

•

(Х.12)

Для определения наивыгоднейшего расположения пунктов внутри зоны 2

следует найти минимум М% функции 2га + 1 параметров: г

, г

, . . ., г

-1,

» • • •» т-п и та. Эта задача была решена В. В. Броваром [1].

Для упрощения последующих выводов положим, что ошибка то измеренной

аномалии в несколько раз меньше ошибки представительства и потому в (Х.12)

отбросим все слагаемые, содержащие то

Кроме того, предположим, что средняя линия трапеции равна ее высоте.

В таком случае с известным приближением можно считать, что число 1

трапе-

ций в то-й зоне определится из условия

_ „

тЛ'Г

т~

1,1

г г

т 'т-1

где г

— радиус внешней зоны; г

— радиус внутренней зоны.

292

После этих упрощений формулу (Х.12) представим в виде

М% = 0,0225*. + ^^ 2 <'« +

81П2

^ЙТ •

т=1

Подставляя значения коэффициентов, получаем

М% = 0,02257-°/* + 0,00823^ (г

-+г

)зш

^гЩ (Ь-^)

- (Х.13)

т=1

Чтобы найти значения г

, г

. . ., при которых функция М% имеет

минимум, следует (Х.13) продифференцировать по искомым неизвестным и по-

лученные производные приравнять нулю.

Задаваясь величиной радиуса Л съемки сгущения, можно получить такое

решение, при котором величина М® будет наиболее близкой к заданной.

Следует отметить, что, как правило, существующая гравиметрическая

гъемка достаточна для определения уклонений отвеса с точностью, которая

позволяет даже контролировать астрономические наблюдения на пунктах Да-

лласа .

§ 62. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ

К ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ СЪЕМКЕ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ И ПРИ ПОСТРОЕНИИ

АСТР0Н0М0-ГЕ0ДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

Прежде всего рассмотрим требования, предъявляемые к плотности грави-

метрической съемки при выполнении геометрического нивелирования.

Результаты гравиметрической съемки в этом случае используют для по-

лучения поправки в измеренное превышение в соответствии с (IX.28)

Если разбить линию нивелирования на п участков так, чтобы каждая точка,

в которой измерена сила тяжести, находилась в середине участка, гравиметри-

ческую поправку можно представить в виде

1=1

где 8

— длина участка; — угол наклона участка; (§ — у)1

— среднее

значение аномалии силы тяжести на участке з

. Величины аномалий силы тя-

жести при этом определяются по гравиметрической карте путем линейного ин-

терполирования. Примем ошибку определения аномалии равной ошибке ин-

терполяции бдё- Тогда ошибку определения нормальной высоты, обусловлен-

ную ошибками гравиметрической съемки, можно вычислить по формуле

1/71

где р

— средний наклон участков нивелирования; Ь — длина линии ниве-

лирования; 5 — среднее значение 5/.

293'

Обозначим

тогда

ЬН = ъУЬ.

(Х.1-

Это выражение аналогично формуле для учета влияния случайных ошиб':

•

нивелирования

8# =

г]

У~Ь. (Х.Г

Для установления предела величины бд'д поставим условие, чтобы 8

< г]/2, т. е. чтобы величина е была вдвое меньше случайной километров;:

ошибки нивелирования.

В равнинных районах при 5 >25 км, а в горах и при меньших расстояния:

ошибку интерполяции можно представить в виде

(Х.1

Тогда на основании (Х.14) и (Х.15) получим верхний предел для расстоя

ний 8 между гравиметрическими пунктами, обеспечивающий необходимую тс -

ность геометрического нивелирования

Щ'п

В табл. 18 приведены значения вычисленные по этой формуле для рь

•личных по характеру рельефа районов и классов нивелирования.

Таблица

Класс нивелирования

Тип района

II III

Тип района к

Значения я, мм/км

0,5

1,0 3,0

Высокогорный

Всхолмленный

Равнинный

0,03

0,01

0,005

100

На основании табл. 18 можно сделать вывод, что в равнинных района:

можно ограничиться имеющейся гравиметрической съемкой, не выполня'

дополнительных определений силы тяжести.

В всхолмленных районах силу тяжести необходимо измерять на во-::

реперах I класса и на многих реперах II класса, а в высокогорных района*

желательно измерять силу тяжести на реперах всех трех классов нивелир.

вания.

Рассмотрим требования, предъявляемые к гравиметрической съемке пг:

обработке астрономо-геодезических сетей. Известно, что при проектированкг

на принятый референц-эллипсоид измеренных на физической новерхносп

Земли базисов и горизонтальных направлений необходимо знать астрономо-ге -

294'

гезические уклонения отвеса и высоты квазигеоида. При этом приходится раз-

•ичать два случая. <•

В равнинной местности, как правило, редукции в горизонтальные напра-

вления ничтожно малы й практически возникает необходимость вводить по-

правки лишь в длины базисов. В высокогорных районах приходится учитывать

г справки как в линейные, так и в угловые измерения.

Исследования, выполненные ЦНИИГАиК, показали, что проектирование

.шнейных измерений производится с достаточной точностью, в случае, если

погрешности высот квазигеоида не превышают 2 м.

При современной постановке астрономо-гравиметрического нивелирования

I СССР это требование выполняется.

В горных районах, помимо поправок в длины базисов, необходимо вводить

гоправки в горизонтальные направления, которые вычисляются по формуле

= (111 СОЗ 0^.2— 8Ш ОС^)

где а

— азимут направления; р

— вертикальный угол по этому направле-

нию. Отсюда средняя квадратическая ошибка редукции горизонтального на-

правления может быть выражена формулой

где — ошибка интерполированного уклонения отвеса; % р

— средний

наклон сторон триангуляции. Согласно (IX.39) положим, что

тт

= 1,3т#

М. С. Молоденский получил зависимость (Х.8), связывающую величину

гредней квадратической ошибки определения составляющей уклонения отвеса

: ошибкой определения аномалий силы тяжести, в случае полного покрытия

поверхности Земли равноточными гравиметрическими измерениями. Это вы-

ражение можно применять также для оценки точности вычисления гравиметри-

ческих уклонений отвеса, обусловленных аномалиями области 2, так как

з условиях равномерной съемки ошибки аномалий в далеких зонах лишь не-

значительно влияют на точность.

Таким образом, положим

Учитывая (Х.16), получим

те

Финт

= 1,3x0,1Ь"к =

Следовательно, _

= МУ^ (Х.17)

По формуле (Х.17) можно установить необходимую плотность гравиметри-

ческой съемки в горных районах для редуцирования горизонтальных напра-

влений с требуемой точностью.

В условиях горного района можно принять |}

= 0,05, к = 2. Макси-

мальное расстояние между гравиметрическими пунктами примем равным сред-

ней длине стороны триангуляции в горах я = 30 км. Получим т

= ±0,15".

Это позволяет сделать вывод, что при указанных выше условиях имеющаяся

гравиметрическая съемка вполне удовлетворяет требованиям обработки угло-

вых измерений, ибо полученная величина ошибки т

= ±0,15" в три раза

меньше случайной ошибки измеренного направления. Лишь в высокогорных

районах потребуются дополнительные измерения силы тяжести.

295'

Следует иметь в виду, что в горных районах осложняется и вопрос редут

ции базисов, так как при больших изменениях высот вдоль редуцируемой

нии становится значительным член {Фй {Н + При расчете точности можь.

принять, что уклон р измеренной линии I постоянен. В этом случае

Полученная формула позволяет связать относительную ошибку измерение

базиса со средним углом наклона р. Так, полагая величину определенней

со средней квадратической ошибкой получим

При условии

61 1

Положим р = 3°, тогда

1Т

<С

2". Следовательно, в всхолмленньт

районах при средних углах наклона базиса не более 3° необходимо иметь гра-

виметрическую съемку, позволяющую интерполировать уклонения отвес*

между астропунктами с ошибкой не более ±2". Это можно достичь при прове-

дении дополнительной съемки вблизи базисов. При углах наклона р

требования к точности интерполированных уклонений отвеса повышаются

приводя к увеличению объема гравиметрических работ, что в условиях высоко-

горья приводит к большим трудностям. Поэтому целесообразно при проекти-

ровании триангуляции в горных районах накладывать соответствующие огра-

ничения на уклоны базисов.

§ 63. ПАЛЕТКИ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕВЫШЕНИЙ

КВАЗИГЕОИДА И УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА

ПО ФОРМУЛАМ СТОКСА И ВЕНИНГ-МЕЙНЕСА

В настоящее время для численного интегрирования по формулам

Стоке I

и Венинг-Мейнеса при ограничении радиуса области интегрирования сферич-

ским расстоянием т|з

применяется палетка, рассчитанная в ЦНИИГАиК

В. Ф. Еремеевым. При ее расчете В. Ф. Еремеев принял я}з

равным —20

исходя из следующих соображений. Сумма значений () (ф) при

ч|)

от 20 до 18С'"

близка к нулю (см. табл. 11), а потому аномалии силы тяжести, расположенные

за пределами круга сферического радиуса -ф

20°, будут сравнительно слабо

влиять на величины уклонений отвеса и могут учитываться с меньшей точ-

ностью, нежели аномалии, расположенные внутри этого круга.

С помощью палетки В. Ф. Еремеева составляющие уклонения отвеса :

и т) в условиях равнинного района вычисляются с точностью не ниже 0,1

Эта палетка характеризуется следующими свойствами. Пространство вокруг

пункта, в котором надлежит определить составляющие уклонения отвеса, раз-

бивается концентрическими окружностями на пять областей: центральную-

область в виду круга радиусом 5 км и четыре кольцевые области, ограниченны*

окружностями радиусов приблизительно 5, 100, 300, 1000 и 2000 км.

Поскольку функция Венинг-Мейнеса () (ф) при увеличении расстоянн.--

быстро убывает, аномалии силы тяжести в далеких зонах будут меньше влият*

на уклонение отвеса в данной точке, нежели аномалии, находящиеся в близки.

296'

гонах. Поэтому влияние аномалий, находящихся в разных зонах, учитывается

с различной степенью точности.

Каждая кольцевая область подразделена на зоны так, что влияние их на

уклонение отвеса в исследуемой точке примерно одинаково.

Коэффициенты, характеризующие влияние кольцевых зон на уклонение

хвеса, уменьшаются с удалением области от центра тяжести. Каждая область

взбита радиальными направлениями на участки (сферические трапеции),

гчеющие равные площади и влияющие на | и

т]

неодинаково (а именно — про-

порционально косинусу или синусу азимута). Для учета влияния поля анома-

лий всей области 2 на площади каждой трапеции должно быть известно среднее

значение аномалий силы тяжести.

Наибольшие трудности вызывает учет влияния на уклонения отвеса цент-

ральной 5-километровой зоны. В зависимости от точности имеющейся грави-

метрической съемки и сложности рельефа в окрестностях астропункта приме-

няют палетки с более подробной разбивкой.

При учете аномалии в области 2 радиуса

ар

= 20° выражение для функции

Венинг-Мейнеса значительно упрощается. Так, разложив тригонометрические

Функции, входящие в () (ар) [выражение (VIII.61)], в ряд по степеням аргумента

V '2 и удерживая члены с ар в первой степени, получим приближенное значение

функции ()

пли после преобразований, отбросив по малости члены с ар

и выше, получим

Заменив угловое расстояние ар линейным г по дуге большого круга (г = Лор,

где В — средний радиус Земли), получим

О -(

1 Е

49 г

ЧГ1

\ у 81П1" г ~ 2у81п1" "г 24 •узтГЯ/'

Обозначив

=А

п 49 1 __

у зт 1" ' 2у81п1" ' 24 Яу 8Ш1"

получим окончательно

1 =

(± + В+Сг). (Х.18)

Положив у — 981 ООО (среднее значение для Европейской части СССР)

и К = 6371 км, получим значения постоянных коэффициентов А = 1339,6",

В = 0,315", С = 0,000066".

При малых значениях г первый член в () значительно превосходит по ве-

личине остальные и потому при интегрировании в центральной зоне можно

принять

р, 1 Я _ А

" у 81п 1" Г Г

297'

Учитывая сказанное выше и принимая во внимание, что йф = йг]К, форму-»

Венинг-Мейнеса (VIII.59) для учета аномалий силы тяжести в области, огр

ниченной окружностью радиуса 2000 км, можно привести к виду

Го-

/•„=5„

2Я

0-2000'

2пу

81П

аии

»км «

ш) } (§-?)<?! соз А ал

Лг

Г 0-5„

5=«км

231

1 Г Г 1

'®"

2000

= - 2ЯУ ВШ1" 1 1 ^ - V) •7" ЯШ А ЛА Лг

2яЯ

Го=5

км

(Х.1-

Поверхность, заключенная между окружностями радиусов г

= 5 к>

и г — 2000 км, разбивается на четыре концентрические кольцевые облаетг

1) от 5 до 100 км, 2) от 100 до 300 км, 3) от 300 до 1000 км и 4) от 1000 до 2000 кх

В свою очередь каждая из этих областей разбивается на концентрические зое^

равного влияния. Радиусы этих зон определяются из условия

/1 '8 п

г 0 Г1 г

(Х.2«.

где Р — постоянное число.

Обозначим неопределенный интеграл через Р (г). Подставляя дал с:

значение из (Х.18) и произведя интегрирование, получим

= = + + (Х.2:

Представим условие (Х.20) в виде

Р = Р(

Г1

)-Р(г

) =Р(г

)-Р(г

) =... = Р(г„)-Р(г

Р(гг) = Р(г

) + Р,

Р(г

) = Р(Г

) + 2Р,

Р{г,) = Р{г

) + 1Р,

Р(г

) = Р(г

) + пР.

Из этих соотношений, если задана величина Р, определяются радиуск

всех зон. Так, например, радиус г-й зоны с учетом (Х.21) определится

Тогда

1п т

1п г

+ ^

г1

+ ^

-А

2 А

(Х.21

298'

После перехода к десятичным логарифмам и подстановки численных зна-

чений г

= 5 км и коэффициентов А, В

С получим окончательное выражение

1п

= 0,69948 + 0 0003242Р, — 0 000102г

(

-0,00000001(Х.23)

По этой формуле методом последовательных приближений определяется радиус

:-й зоны, выраженный в километрах.

Разбивая первую область интегрирования на 16 равных секторов, вторую

и третью — на 24, а четвертую на 48, получим

Й-2000 = —

16Я

1» 2 2 ^

008 Ак

I к-1

-24 /з1ш" 22^-^ сое л,-

{пГ

I А=1

х22(^

008 л

~ шскг 2 2'^

•-

со®

I к=1 I к=1

Здесь коэффициенты РР\, Р\ и Р\ определяются из условий:

Жг-

0015

(Х.24)

а средние азимуты соответствующих секторов для каждой области по формулам

от 5 до 100 км А

= ^~,

от 100 до 1000 км =

от 1000 до 2000 км

к = ^-

Для расчета радиусов зон необходимо по формулам (Х.24) получить зна-

чения постоянных Р\,

Р~2,

Рз и Р\ и, подставив эти значения в формулу

(Х.23), методом последовательных приближений вычислить радиусы концент-

рических зон равного влияния для соответствующих областей интегрирования.

Полученные, таким образом, радиусы зон приведены в табл. 19.

Первые восемь зон занимают первую область интегрирования, зоны IX—

XIII — вторую, зоны XIV—XXI — третью и зоны XXII—XXVI — чет-

гертую.

Вычисление составляющих уклонений отвеса, обусловленных влиянием

аномалий в области, ограниченной окружностями радиусов 5 и 2000 км, про-

изводится по формулам

VIII 16 XIII 24

?5-2000 = 2 2 а

(§—у)

1к

+ 2 +

1=1 Ь=1 «-IX й-1

XXI 24 XXVI 48

+ 2 0?-тЬ+ 2 (х.25)

»'=Х1У Ь=1 «=ХХП к-1

299'