Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

При использовании (IX.75) и (IX.76) 21 и Ь должны быть заданы в кило-

метрах.

Ошибки триангуляции. Эти ошибки являются наиболее

опасными с точки зрения их накопления. Их удобно представить в виде «про-

дольного» Р и «поперечного» (2 сдвига.

Л. П. Пеллиненом получена формула, которая позволяет определить сум-

марное действие ошибок триангуляции и «собственно астрономо-гравиметриче-

ского нивелирования» на превышение квазигеоида, т. е. величину т^. Если

через ар обозначить сферическое расстояние от начальной точки ряда до конеч-

ной, через Е — средний радиус Земли в км, [о.

и — продольный и радиаль-

ный случайные километровые сдвиги, то формула Л. П. Пеллинена будет иметь

вид

^ (1 т-

^). (IX.77)

В табл. 13 приведены ожидаемые величины ошибок определения превы-

шений квазигеоида для различных расстояний гр. При расчетах использованы

значения километровых ошибок: |я

= ±5,3 см; щ = ±3 см.

Таблица 13

Ошибки определения превышений квазигеоида в ряде триангуляции,

вытянутом по дуге большого круга

Составляющие ошибки

1|>°

Составляющие ошибки

20 40

60 80 100

Влияние ошибок приращений высот квази-

геоида по звеньям, м

Косвенное влияние продольных сдвигов по

звеньям, м

Суммарная ошибка, м

1.4

0,5

1.5

1,8

1,4

2,3

2,0

2,3

3,1

2,1

3,3

3,9

2,1

4,1

.4,6

На основании данных, приведенных в табл. 13, можно сделать вывод,

что при гр 20° косвенное влияние продольных сдвигов на высоты квазигеоида

становится существенным.

Ошибки астрономических определений. Если звено

триангуляции расположено в меридианальном направлении, то

П1Ъа

= Ща

Чч

где т,

— средняя квадратическая ошибка определения астрономической ши-

роты.

Если же звено расположено вдоль параллели, то

$а

= т

г\ а —

сое <р.

Ошибки определения астрономических координат в настоящее время

составляют ±0,3—0,4".

При Ь — Е, по формуле (IX.73) получим, что ошибки определения астро-

номических координат дают в превышении квазигеоида ошибку порядка 1 м.

Ошибки гравиметрической съемки могут быть систе-

матическими и случайными.

280'

Следует считать доказанным, что гравиметрические определения не могут

быть источником существенных систематических ошибок при астрономо-гра-

виметрическом нивелировании, если гравиметрические поправки вычислены

правильно, т. е. с учетом аномалий в полосе достаточной ширины.

Верхний предел накопления систематических ошибок за счет ограничения

области интегрирования расстоянием В = р1 от середипы звена определен

формулой (IX.68)

где под (§ — у) можно понимать половину систематической части изменения

поля аномалий от начала к концу ходовой линии нивелирования, выраженную

в миллигалах.

Величина этой ошибки не зависит от длины ходовой линии и даже при

— у) ~ 50 мгл н р = 2 остается менее 5

•

10~

. Большие случайные погреш-

ности в определении гравиметрической поправки входят в последующие вы-

соты квазигеоида. Это обстоятельство может иметь место при пересечении

горных районов, где ошибка интерполирования аномалий примерно в 2—3 раза

больше, нежели в равнинных местах.

Случайная часть ошибки гравиметрической поправки для отдельного

звена обусловлена двумя обстоятельствами: ограничением области интегри-

рования и ошибками интерполирования аномалий силы тяжести. Ограничение

области интегрирования вызывает случайную ошибку в определении среднего

наклона поверхности квазигеоида, предельная величина которой согласно

IX,67 менее

4 А"

—V)/и

рз—1 '

эту ошибку можно сделать малой, соответственно выбрав величину р.

Выполним некоторые расчеты. Ошибка в определении среднего наклона

квазигеоида на участке одного звена, равная 0,2", приводит к ошибке в опре-

делении превышения (при расстоянии между пунктами А и В 21 = 100 км),

равной 0,1 м. Ошибка же в определении превышения в конце ходовой линии

в этом случае будет

Если Ь — длина ходовой линии —равна радиусу Земли В, то = 1 м.

Таким образом, можно считать, что ошибка гравиметрического вывода

уклонения отвеса (т^) обусловлена в основном ошибками интерполяции ано-

малий силы тяжести.

Существующая гравиметрическая съемка, выполняемая в интересах раз-

ведки полезных ископаемых, обеспечивает вывод гравиметрических уклонений

отвеса с точностью ±0,5" и выше.

Принимая т&

= ±0,5", при Ь = В на основании формулы (IX.73)

получим

= ± 1,5 м.

При проектировании линий астрономо-гравиметрического нивелирования

ставилось условие, чтобы ошибка на 1 км хода нивелирования была не

больше соответствующих ошибок плановых координат, с тем чтобы астрономо-

геодезическая сеть представляла собой пространственное построение, в котором

вертикальные координаты определены не менее надежно, нежели плановые.

Было принято см на 1 км.

281'

Величину т& определяют по колебаниям разностей астрономо-геодезиче-

ских и гравиметрических уклонений отвеса на соседних астрономических

пунктах. Так, обозначая через А | и Ат) — разности составляющих астроно-

мо-геодезических и гравиметрических уклонений отвеса в меридиане и первом

вертикале, по формуле для разностей двойных измерений находят средние

квадратические ошибки

2 (Д6/-Д&-1)

;

2п

где п — число звеньев в линии астрономо-гравиметрического нивелирования.

Исходя из заданного значения ц,^, по формуле (IX.76) подбирали соответ-

ствующие и 21. Для достижения требуемой точности в зависимости от мест-

ных условий иногда приходилось либо сгущать астропункты по сравнению

с их нормальной плотностью в астрономо-геодезической сети (21 ^ 100 км),

либо проводить специальные гравиметрические съемки сгущения вокруг не-

которых астропунктов (уменьшать т&). Однако, как правило, вдоль линий

астрономо-гравиметрического нивелирования имеется равномерная гравимет-

рическая съемка, созданная для геофизических целей, которая обеспечивает

требуемую точность нивелирования при обычной густоте астропунктов.

Как показало сопоставление (примерно для 1100 астропунктов) гравимет-

рических и астрономо-геодезических уклонений отвеса, на большей части тер-

ритории СССР величина близка к ±0,5", однако в горных и слабо изучен-

ных в гравиметрическом отношении районах она достигает величипы ±1,2".

Уравнивание полигонов астрономо-гравиметрического нивелирования про-

водилось аналогично уравниванию полигонов геометрического нивелирования.

Вес каждого превышения полагали равным

* ~ (20

В результате уравнивания были получены превышения квазигеоида между

астропунктами, а также средняя квадратическая ошибка единицы веса

и средняя квадратическая ошибка на 1 км хода нивелирования, характери-

зующие систему полигонов в целом. Найденные величины лежат в пределах

1,5—4,8 см на 1 км; среднее значение = ±3 см по всей сети.

Ожидаемые невязки полигонов подсчитывались по формуле (IX.74). До-

пустимая невязка принималась равной удвоенной ожидаемой. Фактически по-

лученные невязки в абсолютном большинстве случаев оказались меньше до-

пустимых. Были получены также средние квадратические ошибки высот ква-

зигеоида в различных точках сети полигонов относительно исходного пункта

с учетом как ошибок собственно нивелирования, так и косвенного влияния оши-

бок плановых геодезических координат. Для большей части территории СССР

полученные ошибки не превышают ± 2 м, в самых отдаленных районах они до-

стигают ±6м, в основном из-за косвенного влияния ошибок плановых координат.

7Пд|

}

Ат1 =

Глава X

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ СЪЕМОК.

ПАЛЕТКИ

§ 59. ОШИБКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АНОМАЛИЙ

СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Точность определения аномалий силы тяжести зависит от точности измерен-

ных значений силы тяжести § и точности вычисления нормальной силы тяжести

у. Однако можно полагать, что они значительно меньше ошибок, обусловлен-

ных дискретностью гравиметрической съемки.

Расстояния между гравиметрическими пунктами могут изменяться в зна-

чительном диапазоне от десятков и сотен метров до нескольких тысяч кило-

метров. Если разбить всю изучаемую территорию на квадраты (или трапеции)

со сторонами, равными среднему расстоянию между гравиметрическими пунк-

тами, то на каждый квадрат (трапецию) будет в среднем приходиться один

гравиметрический пункт. Следовательно, при решении практических задач

аномалию силы тяжести, вычисляемую для конкретного гравиметрического

пункта, относят не только к этому пункту, но и используют для представления

гравитационного поля на некоторой площади (большей или меньшей, в зависи-

мости от плотности гравиметрической съемки). Это приводит к ошибкам полу-

чившим название ошибок представительства.

Назовем среднюю квадратическую разность между наблюденным значе-

нием аномалии силы тяжести Ад в каждой точке внутри данного участка и сред-

ним значением аномалии Д^

ср

для этого участка полной ошибкой представи-

тельства '

=У -^-4=1 ' (Х.1)

где п — число гравиметрических пунктов, расположенных в пределах участка.

Поскольку

Д^ср

= > п

Д&р

= 2 2Д^

= «

то

[2 V-

или окончательно

283'

Эта формула удобнее (Х.1) в том отношении, что не требует вычислений

для каждого участка величины Д#

ср

Развитием формулы (Х.2) является формула Хирвонена

где 6, О — соответственно среднее квадратическое значение точечной аномалии

и аномалии по участку. Если на участке несколько гравиметрических пунктов,

под О понимается среднее квадратическое значение средней аномалии, полу-

чаемой по этим пунктам. Величины С

& легко получить по данным статисти-

ческого анализа силы тяжести, в связи с чем формула Хирвонена ныне полу-

чила очень широкое распространение.

Величина полной ошибки представительства §§ включает в себя и ошибку

измерения силы тяжести т. Если исключить из ошибку измерения т, то по-

лучится «чистая» ошибка представительства

6*8=1/V-»»

При расчетах, связанных с проектированием гравиметрических съемок,

необходимо знать зависимость между величиной «чистой» ошибки предста-

вительства и площадью участка, которой она соответствует.

Де Грааф Хентер [8] получил выражение, определяющее величину «чи-

стой» ошибки представительства, как функцию размеров участка, который она

«представляет».

Вид этой функции определялся эмпирически. Для различных прямоуголь-

ников со сторонами х и у по измеренным аномалиям силы тяжести вычислялись

соответствующие значения

Для определения вида функциональной зависимости = / (х, у) подби-

ралась такая функция / (х, у), чтобы отношение у) было примерно

одинаковым для различных значений х и у. В результате получено

бев = с№+Уу), (Х.З)

где стороны прямоугольника х и у задаются в километрах; С — постоянный

коэффициент.

Коэффициент С определяется для каждого исследуемого района. В районах

средней аномальности (например, в равнинных районах СССР) С =

= 0,54 мгл/км

,/г

. В районах повышенной аномальности (например, в гор-

ных районах) коэффициент С может быть в 2—3 раза больше. Если участки,

на которые разбивается исследуемый район, имеют форму квадратов, можно

пользоваться формулой

= 2С/г. (Х.4)

В зависимости от степени аномальности района и принятой плотности

гравиметрической съемки определяется точность измерений силы тяжести.

Чтобы можно было пренебречь влиянием ошибки измерений на величину

полной ошибки представительства, поставим условие, чтобы ошибка измерений

т была в три раза меньше «чистой» ошибки представительства. Действительно,

если

284'

то

в* = |/(бЫ

+{(бЫ

= ± вив = Ьев.

Определим, какова примерная точность измерений при различной плот-

ности гравиметрической съемки, считая, что С = 0,54 мгл/км

,/г

. В этом слу-

чае

= 1,08 Ух, т = 0,36 Ух.

Значения необходимой точности измерений при различной плотности гра-

виметрической съемки приведены в табл. 14.

Из таблицы следует, что при редкой гравиметрической съемке, когда один

пункт приходится на трапецию 10 X 10° (х 1112 км) имеет смысл определять

силу тяжести с точностью поряд-

ка ±10 мгл; при увеличении плотности

гравиметрической съемки точность на-

блюдений соответственно должна повы-

шаться.

Вычисление ошибок представитель-

ства производилось неоднократно как

за границей, так и в СССР.

Так, по данным ЦНИИГАиК

(1943 г.) в равнинных районах СССР

при расстояниях между гравиметрическими пунктами порядка 30 км. «чистая»

ошибка представительства, вычисленная как по аномалиям в свободном воз-

духе, так и по аномалиям Буге, оказалась равной ±7,1 мгл.

В горных районах величина «чистой» ошибки представительства значи-

тельно больше. Так, например, по тем же данным ЦНИИГАиК, в горах «чи-

стая» ошибка представительства при расстояниях между пунктами —30 км

оказалась по аномалиям в свободном воздухе ±25 мгл, а по аномалиям Буге

±12,8 мгл.

При гравиметрических съемках большой плотности, когда расстояния

.между пунктами меньше 20 км, следует учитывать, что изменение аномалий

от пункта к пункту носит в общем линейный характер, поэтому в промежуточ-

ных точках, находящихся между пунктами наблюдений, становится возможным

определять значения аномалий методом линейной интерполяции.

В этом случае на гравиметрических картах следует проводить так назы-

ваемые изоаномалы, т. е. линии

соединяющие точки с равными аномалиями.

Определенное при помощи изоаномал значение аномалии называется интерпо-

лированным. Конечно, интерполированное значение аномалии отличается от

действительного, полученного в данной точке измерением силы тяжести. Сред-

няя квадратическая разность между действительными значениями аномалий

и снятыми с карты называется полной ошибкой интерполяции аномалий силы

тяжести В нее входят ошибка измерений т и погрешность, обусловленная

предположением о линейном изменении аномалий силы тяжести между пунк-

тами 8дв (последняя величина называется «чистой» ошибкой интерполяции).

Таким образом,

б §з=У{8ёУ-т\

Определим полную ошибку интерполяции. В районе, где выполнена гра-

виметрическая съемка, исключается половина всех пунктов, т. е. густота еети

285'

Таблица 14

Расстояние меж-

Ье, мгл

ду пунктами (ж),

Ье, мгл

т, мгл

км

1112,0 36,0

12,0

114,2 11,4

3,8

31,6 6,0

2,0

разрежается вдвое, и по оставшимся пунктам строится карта изоаномал. Зате:

по этой карте интерполированием между изолиниями определяют аномалии

в местах исключенных пунктов и сравнивают их с наблюденными аномалиям:

в этих пунктах. Аналогично определяется ошибка интерполяции для съемк;.

разреженной в 4, 8, 16 раз относительно первоначальной.

«Чистая» ошибка интерполяции может быть выражена эмпирической з;

висимостью

б = кх,

где к — постоянный коэффициент; х — расстояние между пунктами.

Значение коэффициента к, как и значение коэффициента С формулы (Х.З)

зависит от степени аномальности гравитационного поля в данном районе ь

должно определяться из специаль-

Таблица 15

бе', мгл

Л, мгл т, мгл

X, км

0,2

0,5

0,07

1,7

0,4

1,0

0,13

, 3,3

0,8

2,0 0,25

6,7

1,2

3,0

0,38 10,0

1,6

4,0

0,51

13,3

2,0

5,0

0,63 16,7

ных исследований. Если гравитацион-

ное поле средней аномальности, можн<

принять к — 0,11 мгл/км.

Обычно при проектировании грави-

метрической съемки со средним расстоя-

нием между пунктами <20 км исходя:

из величины полной ошибки интерпо-

ляции, которая устанавливается длг

данной площади путем теоретических

расчетов. Эта ошибка, очевидно, пол-

ностью характеризует точность грави-

метрической карты.

По величине полной ошибки интерполяции устанавливается сечент

изоаномал к, необходимая точность наблюдений т. и плотность гравиметриче-

ской съемки, т. е. среднее расстояние между пунктами х. Если принять, чт<

ошибка наблюдения должна быть в три раза меньше «чистой» ошибки интер-

поляции, т. е. = 3 т, то т = б^-'/|/Т0, х — 8§'/0,12. Примем также к =

= 2,5 6*'.

В табл. 15 приведены сечения изоаномал, ошибки наблюдений и требуемое

расстояние между пунктам при различных величинах полной ошибки интер-

поляции.

На основании многочисленных исследований, выполненных различным

авторами, можно сделать вывод, что при расстояниях между пунктами < 20 к у

ошибка интерполяции примерно в два раза меньше ошибки представительства.

Это означает, что линейное интерполирование аномалий дает вполне ощутимый

выигрыш в точности.

Напротив, при расстояниях порядка 30 км даже в равнинных районах

средней аномальности ошибка интерполяции оказывается равной ошибке

представительства ±7,0 мгл. Это обстоятельство означает, что при указанных

расстояниях (а тем более больших 30 км) аномалии силы тяжести от пункта

к пункту изменяются не по линейному закону и потому производить линейное

интерполирование аномалий не следует.

Интересно отметить, что в горных районах величина «чистой» ошибки ин-

терполяции при расстояниях между пунктами порядка 30 км, определенная

по аномалиям Буге, оказывается значительно меньшей ошибки интерполяции,

определенной по аномалиям в свободном воздухе (по аномалиям Буге —

= ±10,6 мгл, а по аномалиям в свободном воздухе 6$'

— ±28,2 мгл). Это

266'

означает, что в горах аномалии Буге изменяются более плавно, нежели анома-

лии в свободном воздухе и линейная интерполяция аномалий Буге предпочти-

тельнее линейной интерполяции аномалий в свободном воздухе.

§ 60. ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА

Для оценки влияния погрешностей аномалий силы тяжести на точность

вычисления гравиметрических уклонений отвеса будем исходить из нулевого

приближения к формулам (VIII. 108), совпадающего с формулами Венинг-Мей-

неса (VIII.59), поскольку точность вычисления уклонений отвеса определяется

в основном точностью формул нулевого приближения. Более того, можно вос-

пользоваться соответствующими выражениями для плоскости (IX.56) и (IX.57).

Все расчеты будем делать лишь для составляющей так как формулы для

получаются аналогично после замены соз А на зт А.

Учитывая, что элемент поверхности в полярных координатах йа = г йг

д.А

формулу (IX.56) перепишем в виде

Довольно просто можно оценить ошибку той части уклонения отвеса, кото-

рая получается от учета аномалий в области, лежащей за пределами центральной

зоны., принимаемой за окружность радиуса г

= 21 (21 — среднее расстояние

между гравиметрическими пунктами в условиях равномерной, съемки).

Для вычисления интеграла (Х.5) методом численного интегрирования

разобьем всю область интегрирования на достаточно малые ячейки, имеющие

форму трапеций, внутри которых можно было бы считать

— у) = сопз!..

В этом случае формулу (Х.5) можно представить в виде

где суммирование распространяется на все трапеции, число которых обозна-

чим г, кроме центральной зоны радиуса г

Выполняя интегрирование в указанных пределах, получим

|= - — АйгАА.

(Х.5)

соз АЛА

—

1п

(зш Аь

—

зш

_т)

т~1

к-1

= 21п

Гы-*

СОЗ

Ак+Аь-1

Введя обозначения

Ак + Ак-1 _ л

Ак — Ак-1

2 2

287

л полагая по малости угла зт АЛ/2 = А4/2, получим

п=1

? = - 2

ОТ

?>»

1п

008

п= О

Обозначив коэффициенты при аномалиях — у)„ через /,„ будем иметь

2лу 51П

п=0

Поскольку в каждой ячейке, на которые разбита область интегрирования,

имеется лишь один гравиметрический пункт, среднюю квадратическую ошибку

определения аномалии положим равной полной ошибке представительства 6г

(см. § 59).

Тогда для расчета средней квадратической ошибки составляющей уклоне-

ния отвеса получим формулу

^ = (х-*»

Подставив значения постоянных, будем иметь

т\ = 0,0335" Щ (Х.Т)

Коэффициенты /„ определяют степень влияния соответствующей аномалии

на величину уклонения отвеса.

Рассмотрим несколько схем для подсчета средней квадратической ошибки

составляющей уклонения отвеса.

Схема А

Разбивка зоны интегрирования на элементарные площадки и расположе-

ние гравиметрических пунктов показано на рис. 59. Радиусы окружностей

равны (2т ± 1) I, где т — номер зоны. Число трапеций в зоне г равно 8т.

Заметим, что для каждой зоны с номером т отношение

/г

-г = (2т + 1)/(2т — 1) является величиной

постоянной.

Поэтому в соответствии с формулой (Х.6)

и принятыми обозначениями средняя квадратпче-

ская ошибка, вносимая зоной с номером т.

будет

с » 1 1 2»»-|-1

= А"

соз

ер

(А4)

Рис. 59

Очевидно, что

2яу 81111" 2т—1

так как число трапеций г в зоне равно 8т, то

А А

2л

8 т

4 т

Так как

соз

(ДЛ)^*'

= А А у 2 соз

ср

+ соаЛ

соз

288'

то

2 л л/ 1 + С08 2Л1

+ СОВ2Л»

соз А

ср

= I/ I 22 _| I 2Е-4-

+ соз

= У (

С03 2А

°Р +

008 2А

°*> +

•

008 2л

ср).

Поскольку сумма косинусов, стоящих в скобке, равна нулю, то

, соз

===

"2",

при г = 8т

8т

Окончательно

1/2

Г (-87

Л./1

бта? — :—77

4у 81П 1

СОЗ

ТП

соз

ср

= -^-т~

/к

Это выражение используют для подсчета средних квадратических ошибок

от каждой зоны, кроме нулевой (центральной). Результаты вычислений приве-

дены в табл. 16.

Таблица 16

№ зоны

Зона

Средняя квадратическая ошибка, вносимая

№ зоны

Зона

зоной, "

зоной и всеми предыдущи-

ми зонами, "

1 1—31 ±0,0588? ±0,0586?

31—51

0,0196? 0,0616?

51—71

0,0106? 0,0626?

11—91

0,0076?

0,0626?

Ш—Ш 0,0046? 0,0626?

Схема В

Радиусы окружностей, ограничивающие зону с номером т, равны 2

тп1

и 2 (т + 1) Число трапеций в зоне равно 4 (2т + 1); (рис. 60). Имеем

А А

2я

4(2т+1) 2(2т+1) '

_ 2(го+1) I _ го+1

-х 2 тп1 тп

Так как АА для зоны с номером т есть величина постоянная, то

соз

ср

(АЛ)

= А л |/"2 соз

А,

я т /~ 4(2/ге+1) я

2(27/1+1) V 2

19 Заказ 1379 289