Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

По той же причине не представляется возможным определить расстоян:

по нормали между уровенными поверхностями в той части пространства, кот

рая заполнена притягивающими массами (т. е. во внутреннем гравитационна

поле), например расстояние между уровенными поверхностями от точкп

до точки С (рис. 54). Конечно, можно написать, что

(' ейк

ВС ~к

?>т

но поскольку

точыо

определить невозможно, написанная формула име*-

лишь формальное значение.

Напротив, расстояние между уровенными поверхностями ОТ), т. е. в тс

части пространства, которая не заполнена притягивающими массами, мож>"

быть определено с любой степенью точности по формуле

/ <?<№

ОБ

, (IX.:

8т

поскольку среднее значение силы тяжести на отрезке силовой линии 01

(т. е. во внешнем гравитационном поле) может быть вычислено. Числител

формулы (IX.4) представляет собой разность потенциалов в точках В

(

%с1к =--

Ц/

— Ш

Определение разности потенциалов силы тяжести имеет важное значенг

для вычисления разностей уровней морей и расстояний между уровенныу

поверхностями.

В. Ф. Еремеевым получена удобная формула для вычисления разнос-

потенциалов

в в

О О

В в в

Г {

-у)йк.

О О О

250'

Ниже будет доказано, что с высокой степенью точности можно положить

13 х>

Произведя эту замену, получим

^ ^ V %

•

2 (7?-Т?)-ДА+2 (^-7) ДА,

(IX.5)

где 7® — среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке ОБ силовой

линии; 70 — значение нормальной силы тяжести на эллипсоиде в точке п хода;

(§ — 7) — аномалия силы тяжести в той же точке.

Поверхность

. Земли.

Геоид

Эллипсоид

Рис. 55

Вычислив разность потенциалов Ио — И

в можно определить разность

средних уровней морей. Эта задача состоит в определении расстояния ко между

уровенными поверхностями, совпадающими со средними уровнями морей.

В соответствии с (IX.4) получим

, Щ-^в

кп = -

Подставим сюда значение разности потенциалов из (IX.5) и ввиду малости

ко заменим ^ на 7°. Получим

в в в

^\Ак- (7?-7?) ДА + -4г-• У. (е—У).Ак. (1Х.6)

Ут

Практически при вычислении ортометрических высот в равнинных районах

обычно ограничивались лишь учетом непараллельности уровенных поверх-

ностей нормального потенциала. Так было принято и в СССР до введения си-

стемы нормальных высот. Исправленную таким образом высоту называют

приближенной Н

Чтобы получить приближенную высоту, проведем через точку О (фут-

шток) (рис. 55) уровенную поверхность нормального потенциала V = 17

251'

обозначим ВР — отрезок силовой линии нормального ноля. Поскол;-

точки О

Р лежат на одной и той же уровенной поверхности, разности н«

мальных потенциалов между точками О

В, В и Р будут равны

А17

= | = | уд,к.

Заменяя переменное значение у ее средним значением у® на отрезке Р:

получим

{ уЛк = у%\ йк=у*-Н*,

так как сумма элементарных превышений на отрезке РВ, очевидно, рав! .

отрезку РВ, который и является приближенной высотой (как видно, приблг

женная высота отличается от ортометрической на величину отрезка СР).

Далее можно написать

откуда приближенная высота

Яв

АС/

•^уЛк. (IX."

" У%

„

Преобразуем полученную формулу так, чтобы в нее в качестве составное

части входила измеренная высота, получающаяся непосредственно в резуль-

тате нивелирования, и гравиметрическая поправка, учитывающая непарал-

лельность уровенных поверхностей нормального потенциала. Имеем

в в в в

Ь 8

Ут

о о

Вычисление гравиметрической поправки при помощи величин у и не

вызывает принципиальных трудностей, однако гораздо проще пользоваться

величинами у

, заданными на поверхности эллипсоида и вычисляемыми непо-

средственно по нормальной формуле. Выполним соответствующие преобразо-

вания. Пусть на рис. 55 точки О

В соответственно начальный и конечный

пункты хода нивелирования, М — текущая точка, Н

— нормальная высота

текущей точки, у и у

— значения нормальной силы тяжести, вычисленные

для текущей точки, а Н%, у

и у

— соответствующие значения для конечного

пункта нивелирования. При интегрировании величины Я

, у и у

следует рас

сматривать как переменные, а величины Н\, у

и у

— как постоянные.

Величина у*^ определяется как среднее интегральное значение нормальной

силы тяжести на отрезке Яд, т. е.

н]

ч"*

Ут'

Л о

252'

Подставив сюда значение у из (У.32) и выполнив интегрирование, получим

= т?—г МЯ+4" -

Коэффициент к

является функцией широты, однако в пределах достаточно

широкой области его можно считать величиной постоянной. Установим пределы

этой области. Продифференцируем формулу (IX.9) для нахождения связи

иежду ошибкой в и ошибкой в коэффициенте к

. Получим

нЪ

б к

.ткуда

6Л

нЪ

Чтобы вычислить нормальную высоту 1Р с ошибкой менее 1 мм при Н

6 км, величину у

нужно вычислять с ошибкой менее 0,2 мгл. Тогда полу-

чим, что допустимая ошибка в коэффициенте к

будет

6*! = 0,00007.

Па основании табл. 3 можно заключить, что коэффициент к

при Н

я»

^ 6 км можно считать постоянным в полосе шириной (по широте) около 20°.

Для высот менее 6 км ширина полосы может быть больше.

Теперь докажем, что интеграл в (IX.8)

а в

а. следовательно,

г в

Ут

5 (у-уВ)4Ь-§ (То-Т?)^ [(V —

То)

—

(7Й

— V?)]ЙЛ

о о

Согласно (У.32) и (1Х.9)

7-То

=-к

+ к

{Н

Ц-Н

+ ±-к

{Н

в?.

•То

Используя эти соотношения, получим

1 С гу.. ..

...» ..„.,„ 1

? [(Т-То)-(Т^-Т тг ? (

НУ

Ут

У т

(

вУ

йк.

с1к 4-

(IX.10)

В этом выражении следует заменить йН через йН

, где йк — нивелирное

превышение, отсчитываемое по направлению отвесной линии, а йН

—

253'

приращение нормальной высоты, отсчитываемое по нормали к эллипсоиду. У"

яовим связь между ними. Для этого продифференцируем выражение (VI

йН\

'•

ду„

дп

.о

Учитывая (VI. 14), найдем

йн\г =

лу%н

Последний член можно представить следующим образом:

8 —У

У%.

йк •йк = + + йк.

Ут Ут

Поскольку

у^уМ-к^Ъ;

то

= V

•

1т 10

Подставляя полученные соотношения в (IX.11), получим

''"1 ТТУ

- Й

М1

йН

или после преобразований

йН

= йк -

йк = йН

йк + йк

кхаш^

2у

{а—у)

Ут

йк

м.

(8 — УУ

Ут

йк.

(IX.

(IX.1_

Из соотношения (IX.12) видно, что измеренное нивелирное превышение с

и приращение нормальной высоты йН

находятся в достаточно сложной зависи-

мости, обусловленной не только непараллельностыо уровенных поверхности

нормального потенциала, но и неравномерным распределением масс внутрг

земной коры.

Соотношение (IX.12) позволяет вычислить приближенное значение конеч-

ного приращения нормальной высоты АН

между близкими пунктами А и В

Считая, что Уа = Уо

Ут, и заменяя

'V и ИЗМ

—

-"ер —

гг

изм ,

гг

изм

На + Нв

, 8-У = (8~У)ср,

получим

йк

•"ср

Ут

]йу

— У)ср

Ут

§йк.

254'

Окончательно

ДНУ ---

Дк —

НЦ

у)ср

Ут Ут

Ак, (IX. 13)

Учет в (IX.

10)

различия между йк и йН

приводит к необходимости вы-

•сления интегралов

в __„ .

НУ

V™

ыну-

Ут

Если линия нивелирования расположена вдоль параллели, первый интег-

рал равен нулю. Для оценки возможной максимальной величины 1

положим,

тто в интервале ОБ высота и нормальная сила тяжести меняются равномерно,

т. е. соблюдаются условия йН

/йВ = с

и йу/йВ = с

- Тогда йу = сйВГ

н1

о у в

§ (НУ)

ШУ—Щ-

•

] НУШУ

••1С

(

вУ (ЧУ

_о о

сН1 (Н1У _ к

(Ув-Уо) (Нр

_ У

-70 « Я^

У?п 12 ^ 12 Ут Ут 12 '

Положим Н% = 6 км, ув — То = Ю00 мгл, к

НЪ ^ 2000 мгл. В этом слу-

чае /

я» 1 мм.

Интеграл /

при Нв = 6 км и (§ — т)

200 мгл оказывается того же

грядка.

Таким образом, в первом интеграле правой части (IX.

10)

можно не делать

различия между йк и йНУ. С еще большим основанием это относится и ко вто-

рому интегралу (ввиду малости коэффициента /е

Поэтому

• 5 [ (т - То) - № - т = -^\(ну-^-)шу+

г\ Чт г.

•I

(НУ)

(ЧУ

йНУ

т1

НУШУ-

кхН1

%Ут

\ (НУ)

йНУ

—"

[Ш

т % 3у

3 Ут

0 0

Следовательно, в (IX.8) можно заменить член

в в

Ут

Окончательно

\(У-Ут)^ через -4-С(То-тЛ^.

^ Ут $

Ут А

(IX. 14)

255'

Как уже отмечалось, в СССР в настоящее время принята нормалы

•система высот. В Англии, США и других странах продолжают применять ог

метрическую систему высот; имеются и другие системы, которые нашли г-

менение на практике.

Так, в 1957 г. Франция приняла систему высот, основанную на предлг

нии Виньяля, практически совпадающую с нормальной системой.

При решении практических задач, связанных с изучением уровеню

поверхностей (например, при гидротехнических работах), очень важно пу-

высоты, которые были бы одинаковыми для всех точек одной и той же уровенв! .

поверхности. Этому условию не удовлетворяют ни ортометрические, ни н<

мальные высоты.

Так, для точек, расположенных на одной и той же уровенной поверхнос

в формулах (VI.14) и (IX.3) будут разные знаменатели. Поэтому ортомет;

ческие и нормальные высоты в точках одной и той же уровенной поверхнс

будут изменяться различным образом, а именно: ортометрические выс«

в соответствии с изменением а нормальные высоты по закону, опреде."

емому нормальной формулой силы тяжести.

Нормальные высоты будут одинаковыми лишь в случае, когда точки ОДЕ

и той же уровенной поверхности расположены вдоль какой-либо ОДЕ

параллели.

Разность нормальных высот двух точек А и В, расположенных на ОДЕ

и той же уровенной поверхности, всегда можно вычислить. Из соотношен"

АИ^

= Н\Ут = НвУт (IX.

следует, что

НЪ-Н\= н

А- (

1Х

Ут

Если разность широт точек А и В 1°, то у^ — у^ я» 90 мгл и при Н'

^ 1 км будем иметь Н

— Н\ «а 9 см.

При определении разностей уровней воды в различных водоемах испо."

зование нормальных высот может внести погрешности, которые превосхо"

ошибки нивелирования.

Так, например, использование нормальных высот при определении р;

ности уровней верхнего и нижнего течения Волги приводит к погрешнос"

порядка 0,3 м.

Поскольку значение потенциала вполне характеризует положение точк

по высоте, можно условиться находить высоту как разность потенциале

деленную, на некоторое постоянное значение силы тяжести. Такие высоты пт

перемещении точки по уровенной поверхности не изменяются и называют:

динамическими высотами (Н

При этом за постоянное значение силы тяжести обычно принимают знач

ние нормальной силы тяжести на широте ф = 45°. В этом случае

(IX. Г

Поскольку динамические высоты не имеют отношения к задаче определенн

высот точек земной поверхности над принятым эллипсоидом, при определенн:

фигуры Земли они не используются.

256'

Динамические высоты применяют при определении разностей уровней

воды в различных водоемах. Эта задача сводится к определению расстояния

между уровенными поверхностями (например, между уровенными поверх-

ностями, проходящими через исток и устье реки) и к вычислению разности

динамических высот.

Для определения расстояния к по нормали между уровенными поверх-

ностями, проходящими через точки А и В, выразим разность потенциалов

через разность динамических высот

| ^ = (^-#1)745°,

Т'л

да на основании (1.41)

Ъ -

ей

Динамические высоты можно получить через нормальные, используя

соотношение

Н«

=-^НЪ = НЪ Н1=Нв-дН1, (IX. 18)

^45° 7

где

У^5°

Коэффициент д выбирается из специальных таблиц.

§ 54. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАЗНОСТЕЙ НОРМАЛЬНЫХ ВЫСОТ.

ОТСТУПЛЕНИЯ ГЕОИДА ОТ КВАЗИГЕОИДА

Разность нормальных высот между пунктами А и В можно вычислить

но формуле

А. В ^ ^ А В ^

Ут

А С ? е*Ь =

Ут

(1Х.19)

Ут • Ут

Ут

Ут Ут

Используя выражение (1Х.9), преобразуем первый член соотношения

•IX. 19)

Ут —V

то

г ту .

~А

Ут Ут

,,А „В

кг Н

В(Н1-Ч) ,

в [(

А)

в)

]

= Уо -То

• (IX.20)

Ут Уй

Ут

17 заказ 1379 257

Преобразуем далее второй член выражения (IX. 19)

в в в в

4 Г = 4 { = + [ (е-у)*ъ

Ут

А 1 X

+ 4 ? (У-Уй)М. (IX.-

Ут ^

При помощи этого преобразования удается в явной форме представг"

главную часть выражения — ^ §йк, а именно — измеренное превышен;

между пунктами А и В: _[ йк — А/г

изм

Используя соотношения (У.32) и (IX.9), преобразуем последний чл-

•

формулы (IX.21)

(IX...

В двух последних интегралах нивелирное превышение йк заменим щ

вышением йН

. Расчеты, аналогичные сделанным выше при преобразовавЕ;

формулы (IX. 10), доказывают, что подобная замена возможна.

После выполнения интегрирования выражение (1Х.22) примет вид

ф 1 (У-У&)Ш = 4 I (Уо-У^-ф

'га д

Ут

д Ут

ьвЫП-И) 1 ,

. I

Ут I

Подставляя в (IX.19) полученные соотношения (IX.20), (IX.21) и (IX.2с

после сокращений найдем

Ут ? Ут

+ 4 [ <*-Т)Л. (IX..

Ут V

У... ^

Получим другое выражение для разности нормальных высот, в котор

вместо множителя 1/у^ стоял бы множитель 1/у^. Для этого примем А за ноне

ный пункт, а В за начальный пункт линии нивелирования (поскольку крапнг

пункты равноправны), тогда формулу (1Х.24) запишем в виде

А А

{

(70

- 7?) ^ + 4 (ув _

А) П1

[(

-у)М.

• т

^ У

У™

258'

ив, меняя все знаки на обратные, получим окончательно выражение для раз-

ности нормальных высот

в в

НЪ-Я*

ДЛизм

+ 4-

Г(То-Т?)<1А

Ут X Тт Ут Л

(IX. 25)

Для того чтобы получить формулу для вычисления нормальной высоты,

жтаточно совместить пункт А с пунктом О — начальным пунктом нивели-

>и во к.

В этом случае

Н\=нъ=о

а на основании формулы (IX.25) получим

в в

Я5 = ЯГ+ 4- Г (Уо-Т?)ЛА + 4- Г (1Х.26)

Тт $ Ут ^

Чтобы привести формулу (1Х.25), выведенную для вычисления разности

запальных высот, к рабочему виду, необходимы некоторые упрощения. При

а^-5ольпшх расстояниях между реперами А

а л

У (^-?МА = (#-7)с

| йк = ($—7)

ср

ДА

ИЗМ

А А

В в

(Уо

-7?)<*А = (7о - 7?)ср У <*А = (7

- 7?)ср Дй

из

„ =

(То

~(ЯГ- Н

А А

Среднюю величину разности (7

— у^) можно определить, если учесть,

тто в точке А разность (у

— принимает значение (7^ — у^), а в точке В

:на равна нулю.

Среднее значение разности определится как полусумма крайних значе-

елн, т. е.

— V

Вместо 7^ возьмем среднее значение у

для данного участка, а в поправоч-

ных членах вместо Я

изм

и Я

будем писать просто Я без индекса, понимая

зод этим приближенное значение нормальной высоты. После этих упрощений

Формулу (IX.25) можно представить в виде

нъ - Н1=дл

изм

+ (н

- н

)+н

+ ЬЬ Д^изм.

*Ут Ут Ут

•ли после преобразования

НЪ—Н\ = Д к

иш

+Я

ср

+ ^^ ДА

ИЗИ

, (1Х.27)

Ут Ут

где

В +

ср

— 2 '

17* 259