Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Используя соотношение (VIII.141), напишем

а —

найдем, что

йр

гор , 2 Г Йр

В соответствии с (VIII.

148)

и (VIII.

150)

окончательно найдем

Л(Р, ^ Р') = -^-Ч-

3/-'

+ Зр'

соз -ф 1п

(г' +

— р' сое +

-О

(р', -ф).

(VIII.

1»

Получим далее функцию В (р, яр, р'). Подставив из (VIII.137) значение

р2

Т-'

— р'

+ 2рр'

соз гр,

+ 2^0081^-^. (VIII.16

Первый интеграл справа определяется с помощью (VIII.34), положн

а = 1,

= —2р' соз

г|з,

с = р' ,

= +

—р'со8т|>). (VIII.16

При вычислении второго интеграла (VIII. 168) положим

Г^Р_

Г Ор

Г йр

Л г'

]

(Р

Р'

—

2рр'с051|1)

3/!

^ (р2—2рр'С081|)-(-р'

С082г|)+р'

—р

С0321|))'''

Г ^Р

]

[(р —

р'соз1|>)

+р'

зт2я|>]

,/г

и перейдем к новой переменной х при помощи подстановки

р — р" сов!^ = р'зт

г))

х, (VIII.

17».

откуда

8111 Ф

Следовательно,

/ г'

3 _ Р

^^ / (р-

31112

1|)1

-1-р'

з1п21)))'/

С052л;

—1 Г

81Ц2

81П X

соз

хах-

Р"

81П21|).7 р 81112

Поскольку из (VIII.170)

18 Х

р'

81П 1|) '

1ех

р—

р'соз1{>

3111X = ,

. ..

+ У р'

+ р2_2рр'соз'»|>

окончательно найдем

Г Лр ^ 1 р-р'соз1|> _ р-р'соз^ (VIII 171

} г'

' р'

8Ш2г|> /р'2

р2_2рр'С081|) р'

81П21|3.г' '

230'

При вычислении третьего интеграла (VIII.168) воспользуемся соотноше-

•ем, получаемым из (VIII. 137)

Лг' р —р' созг!)

ф,

•ткуда находим

Следовательно,

о йр йг' , , . (1р

"Т^—

+ р 008

Фтяг-

7з~ •

Из (VIII.171)

= +

Р-Р'со^

р'рсо^-р'

^ (VIII. 172)

] г'

3 г

р'

31п2ч|)г' /-'р'Ьтг^

Подставим (VIII.169), (Ш1.171), (VIII.172) в (VIII.168)

Окончательно имеем

Р') - Р'

вШ Ч-

[

(20082Р

С05

'• + 1п+

-Р' созЦ,)] + Е(р*. О.

(VIII.173)

Используя принятые обозначения, перепишем формулу (VIII.166) в виде

= гр, + яр, р')йа

+ С(р', г|>). (УШ.174)

01 О!

Величины С, Б и Е в (VIII.167), (VIII.174) и (VIII.173) появились в резуль-

тате интегрирования по р. Вид этих функций определяется из условий задачи:

«скомая функция Т должна быть регулярна на бесконечности и удовлетворять

уравнению Лапласа вне поверхности 2.

При достаточно большом удалении от Земли возмущающий потенциал Т

можно представить в виде ряда (VI.4), в котором отброшены члены, начиная

с п = 2,

Лр»р- =

ПМ

Мо)

+*^-[г

зтВ + (х

совЬ + у

8тЬ)со8В\, (VIII. 175)

здесь М, М

— массы Земли и эллипсоида; х

, у

, г

— координаты центра

масс Земли относительно центра эллипсоида.

Каждое слагаемое (VIII.175) в отдельности удовлетворяет уравнению

Лапласа.

Рассмотрим, что дает формула (VIII.174) в этом случае.

231'

При достаточно большом р сравнительно с р' можно считать

1 1 , р'созгЬ , .

—

2 , Г'^Р-Р С081|);

р" соз я|);

г' +

—

р'

соз 2

(р

— р'

соз я|>)

2р.

Подставив эти значения в (VIII. 174), получим

1р»р'

"Т^Г

И[Р -

Р"

008

1> + ЗР' соз

ф 1п

2р + 2Б (р',

г)))]

йа

р2 13 р' д8 I

сов2 -ф—-1

<71

Пусть

8Ш1|)

р' + р'зта|;1п2р-)-Я(р',

С (Р'. Ч>)

2Б (р",

я|з)

= 5р' созг|?;

Е(р',

ч|?)

2соз2гЬ—

Р ,

81111|>

тогда

О! а%

1п 2р С Г

дН' . , , .С

(р',

1|>)

+-^31

Л7

юг

81П

^ ^г^

•

<Т1

Член в (VIII.176)

1п2р

^(Асовф + ^аШ*)**

(VIII.17

(VIII.

не является гармонической функцией. Для того чтобы (VIII.176), а вместе с те>

и (VIII.174) определяли гармоническую функцию, необходимо, чтобы плот

ность V удовлетворяла условию

ИЧт совф+^вш^Ат^О.

Сравнивая почленно (VIII.176) и (VIII.175), находим

С = }М

81П

В+(х

соз Ь + у

зт Ь) соз В]

(VIII.17

(УШ.17*-

Таким образом, выявлены все элементы формулы (VIII.174), определена

функции С, И и Е, установлено условие (VIII.178), которому должна удовлет-

ворять вспомогательная плотность V, и основная стоксова постоянная (масс

Земли) выражена через плотность V.

232'

С учетом условия (VIII.178) формулу (VIII.174) можно представить так

<71

Подставляя в А (р, гр, р') и В (р, гр, р') значения Б (р', гр) и Е (р', гр) и труп

•

жлруя интегралы с одинаковой обкладкой, получим

Г Г Г

Зг

' I Зр'созгр , г'+р-р'созгр , 5р'соз

гр-|

7 =

—

1п

2р р*—]

ав

1 +

о»

-I- ГГ V дН' Г р' /_1 4_\ 2 сое

гр

—

р'

созгр

33 р' д8 |_ р V г' р /

3111 гр

г' зш

гр

^ ^ ^ г' + р-р'созгр ^

+ [2о з

п в + (Хо соз 1 + уо з

п ц смВ1

(VIII.180)

Но в соответствии с (VIII.152)

_ 2 Зт-' , Зр'созгр,

' + Р р'созгр , 5р'созг|» Г„ „

' ~р2~"г р

—

1п

2р +" ^ 1_<НР, Р;

_|-

Кроме того, введем обозначение

» /

1 \ 2созЗгр—1 р'

созгр , р'зшгр,^ т-' + р-р' созгр

г/п

чТ

У) зТпгр ^"Т^ТЙГ"

2р

• новую вспомогательную плотность связанную с V зависимостью

(VIII.181)

Вместо элемента йа

будем использовать проекцию элемента на сферу

радиуса В — йа. Очевидно, что

, Я

V йОл

Учитывая все это, представим формулу (VIII.180) в виде

о а

(VIII. 182)

Интегральное уравнение для плотности получим после подстановки

•VIII.181) и краевого условия (VIII.163) в интегральное уравнение (VIII.162)

233

Ядро первого интеграла представим на основании (VIII.67)

р§-р'

-н

' , (н

-н

2р

гЗ г» ' 2ро?'

Пренебрегая малыми порядка будем иметь

г* = г$ + (НУ-Ич)\

где

Отсюда

1 _ 1 Г. 3 / Н

'-Н

\а , 15 / Н

'~Н

\« 1

г» гз Ь

2 \ т-о /

8 I го ) ' ' ' Л

Ъ-Р>

ГА 3 / ЯУ'-ЯУ У . 15 / Я^'-ду \4 и

Ро

гЗ ~ • гЦ |_ 2 V г

) "Г 8 V г

) •••_]"Г

(ЯУ-Я^Т Г, 3 / у -1

^ 2р

г? 2 \ г

) "Г •••_)'

Полагая р

= р' = В, формулу (VIII.183) представим в виде

Для решения этого интегрального уравнения В. В. Бровар примени,

метод Молоденского. Перейдем к новой краевой поверхности 2, радиус-вектс

которой в произвольной точке зависит от некоторого параметра к: р' = В -

+ кН

'; р

= В + кЩ. Плотность на этой поверхности обозначим через 6.

которую представим сходящимся при к ^ 1 рядом

6^=1 '*

8п

. (У1П.1&:

п=0

Интегральное уравнение (VIII.184) для поверхности 2 получит вид

ос-

кП+Ч

8п

б^о = 2 + 4гП ^ О - + в зт

со

2 к

п+2

&еп

234

4лЛ

{Щ

~ С

—г

{НУ

ЩГ

•

•] йа.

Приравнивая множители при к в одинаковых степенях, получаем следу-

ющие приближения для определения

2я

дН'

— Я^ — Двшгр-

о 0

дН'

рр Л^-Я?-Л81пф

Э5

= 15Г

4я

3 1 1 д

А-

{

НУ>-Щ)Чв-

1 ГГл ,

(VIII.186)

В этих уравнениях, как уже подчеркивалось выше, опущены члены по-

рядка ДУ/В. Поэтому представляется логичным подобное упрощение сделать

и в формуле (VIII.182). Для этого представим функции (р, г|>, р') ^

и Р (р, г|), р') в виде рядов

5(р, Р')-^=•4-№>-

2{НУ

7-••• (VIII.187)

п г

+ со5-^-(1 — 2 созгр)..., (VIII. 188)

где

1 1

(гр)

= 2

81П гр

'Ф

(

^^^ г|5 ' 2 V 2 ' 2 /

2 81П-Х 8^1+8)11^-) 81П2

Подставив (VIII.187) и (VIII.188) в (VIII.182), получим приближенную

формулу для определения возмущающего потенциала на земной поверхности^

4л Я

2 ЛЯ ^^ и., ^ ^ ии

О О

235'

Применяя метод Молоденского, положим

со со

и=о п—О

В результате получим систему приближений для определения Т

о а

^=-Ш И

*« ^

(*>

~ ч "-^ат П

(д

V'*'

а а

П ^ ^ ^ И -I

соз-|-(1-2 соз^)

а а

4лД

- 2ЙГ И

* ^ ^

(1|,)

-4г П

003

Т -

-^г^

оа '

(VIII. 1&-

Формулы (VIII.186) и (VIII.189) решают задачу Молоденского.

Новый метод решения задачи Молоденского предложен М. И. Марычек.

Вместо составления и решения интегрального уравнения М. И. Марыч испол:—

зует зависимость между разложениями аномалий силы тяжести и возмуща-

ющего потенциала в ряд Тейлора по степеням высот Н рельефа Земли, уста-

навливаемую формулой Стокса. При этом предположение о сходимости эпп

разложений не является обязательным, если только формулы для возмуща-

ющего потенциала построены аналогично формулам Молоденского, т. е. с по-

мощью малого параметра к.

Имеем

где К — радиус отсчетной сферы: р— радиус-вектор точки физической поверх

ности Земли; Н = р — Н — высота точки физической поверхности Земле

Применяя метод разложения по степеням малого параметра к (0 ^ к ^ 1

Молоденского, М. И. Марыч получил формулы для вычисления возмущающего

потенциала в следующем виде:

Г.+ИЧ+И-.+.. [(ф).+*(т?0.+-• •>* +

+т [(т^-)„+••

•

•]'

№

-•• • •}^'М

•-

Ш+Ч^Х+•

•

>4 Ш.+•

•

•]

№

+•

• •

236

Приравнивая между собой члены обеих частей равенства, содержащие к

в одинаковой степени, получаем

* = Ж И

^ ~

1](1<Л

' (VIII. 191)

<утл92)

Сумма всех членов данного разложения

со

Г = 2 т

(VIII. 194)

п=О

дает возмущающий потенциал на физической поверхности Земли.

Формула (VIII.

191)

совпадает с нулевым приближением Молоденского

(VIII.86). Она представляет собой обычную формулу Стокса (стоксово при-

ближение) и соответствует вычислению возмущающего потенциала на поверх-

ности сферы. Формулы (VIII. 192) и (VIII.193) дают последовательные поправки

к стоксову приближению. Для вычисления этих поправок предварительно

должны быть найдены приближения радиальных производных аномалий силы

тяжести и возмущающего потенциала в точках физической поверхности Земли.

Строгие формулы, определяющие нулевое, первое и более высокого порядка

приближения радиальных производных аномалий силы тяжести, были полу-

чены путем разложения этих производных в ряд Тейлора по степеням пара-

метра к, аналогичного разложению (VIII.190).

Дифференцируя граничное условие

дТ , 2Т

по направлению радиус-вектора р, были получены производные д

Т/др

, д

Т/др

и т. д. Представляя их в виде разложений по степеням параметра к и приравни-

вая между собой члены обеих частей равенств, содержащих к в одинаковой

степени, получены формулы, определяющие приближения радиальных произ-

водных возмущающего потенциала.

На практике всегда приходится ограничиваться приближением некоторого

порядка, обеспечивающим требуемую точность. Поэтому для вычислений при-

ближений данного порядка возмущающего потенциала, а также радиальных

производных аномалий силы тяжести целесообразно пользоваться приближен-

ными формулами, в которых учтены лишь главные члены.

Возмущающий потенциал в нулевом приближении определяется формулой

Стокса (VIII.191). В качестве приближенных формул для вычисления первого

и второго приближений служат формулы

т = т

+ Т

1У

т = т

+ т

237'

в которых точные приближения радиальных производных аномалий си."

тяжести заменены их приближенными значениями

/дЩ

\ _ 1

Г Г

Г/ \ / д6ц

\(0)-| о!(о

I Эр2 Л 2яД Ц др /о I йр Уо _1 гЗ '

~- ткИ [* (V).-'. (4П*

О)

Производная

(дТ/др)

находится из граничного условия, в котором вместо

подставлено Г

, и вместо р — К

( дТ Л

2Г

Величины (д

7удр

)

о и (дТ/др)

вычисляются по приближенным формула-

( д*Т \ _ / д6

ё0

V а

2 Л V а

/о'

Формулы, определяющие первое приближение составляющих уклонениг

отвеса на физической поверхности Земли в плоскости меридиана 1 = |

Н" г

и в плоскости первого вертикала т) = т)

+ получены исходя из формул?

для возмущающего потенциала

[»».- »]

«»•-+ (ж). •"

(О

Они имеют вид

4яу ^ др /

ау у вав у вдв

и ль?.»

у В соз ваь

Здесь первые члены вычисляются по формулам Венинг-Мейнеса, причеу

в аномалии силы тяжести вводится поправка за вертикальный градиент ано-

малии силы тяжести. Последний член в формуле для \ представляет собог

поправку за искривление силовой линии нормального поля.

Следует отметить новые подходы к решению задачи Молоденского, которы-

наиболее удобны при использовании ЭВМ.

В теории Молоденского аномалии силы тяжести рассматриваются как

результат действия простого слоя плотности (х, распределенного на физической

поверхности Земли. Это обстоятельство создает определенные трудности, так

как приходится иметь дело со значительными величинами: распределение

плотностей слоя в горных районах весьма сложно и неустойчиво даже при

спокойном поле аномалий силы тяжести, а процесс приближений сильпо за-

238'

кедляется. Трудности теории значительно уменьшатся, если из аномалий силы

тяжести выделить их региональную часть и интерпретировать ее простым

моем, расположенным на уровенной поверхности Н

= сопз!, принимаемой

ю сферу и проходящей ниже физической поверхности.

В результате такого выделения на физической поверхности Земли при-

годится иметь дело с остаточными аномалиями, т. е. с величинами, меньшими

:•

абсолютной величине, чем сами аномалии силы тяжести.

При подборе аномалий на поверхности Н

= сопз! может быть использован

и->тод Аронова — Бьерхаммара.

Соответствующие простому слою аномалии Д^ на физической поверхности

3--мли связаны с аномалиями А§

на поверхности Н

= сопз! формулой, выте-

кающей из интеграла Пуассона (11.41),

пе р — радиус-вектор точки физической поверхности; В — радиус поверх-

ности Н

— сопз1; г — расстояние от исследуемой точки до текущей точки

юверхности Н

= сопзЪ.

В. И. Аронов принимал значения Ад

постоянными для некоторых стан-

дартных квадратов. При таком предположении

Методом последовательных приближений В. И. Аронов подбирал систему

значений Ад

, наилучшим образом соответствующую значениям Ад в точках

гпзической поверхности, проекциями которых на поверхность Н

= сопз!

"ьляются центры стандартных квадратов Да,-.

Таким образом, система региональных аномалий Ад, определенных по

*~тоду Аронова, соответствует той, которая получилась бы, если построить

гравиметрическую карту по измерениям лишь в точках, использованных при

т нечетах, причем в промежуточных точках аномалии находить путем интер-

г лпрования с помощью формулы (VIII.195).

В. И. Ароновым приведены вычисления как на моделях, так и в конкретном

г >рном районе. В последнем случае использованы значения аномалий, задан-

ные для узлов квадратной сетки 2x2 км.

Оказалось, что величины (Ад — Ад) во всех узлах не превысили 0,3 мгл,

что в два раза меньше ошибки интерполяции силы тяжести в данном районе.

Т.-кпм образом, при съемке, которая имеется в данном районе, найденная си-

стема значений Ад

. на поверхности Н

= сопз1. практически эквивалентна

:гстеме наблюденных значений аномалий.

Можно полагать, что если расстояние 5 между соседними гравиметриче-

скими пунктами больше высоты Ь, физической поверхности над поверхностью

Н_ = сопзЪ, то значения аномалий и высот, принятых в узлах квадратной

:-?тки (сторона которой с1 отвечает условию К), полностью представят

наблюденное гравитационное поле и сглаженную физическую поверхность

ж их можно считать исходными при любых последующих вычислениях харак-

теристик гравитационного поля Земли,

239'