Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Тогда

4пу дБ

1 д

Ро дБ

1о =

\х

С08 В

СОЗ

Ь У

о СОЗ

81П

Ь + 2

8111

В].

вес ЯДО 7)

(г|>)Жв-

4 яу

вес

В д

ро дЬ

Используя формулы (VIII.56), получим

1 ГГ ,

..ч й5(г|))

\х

соз В

соз

Ь + у

соз

В зт Ь + 2

зт 5].

4лу

ДООГ-7)

•

соз А

<2со

_1_

ро

[ж

81П

СОЗ

Ь + у

81П

Ь — 2

СОЗ

Б]

Ло

4лу

81П

ЙСО

+ А- [х

81П

— у

СОЗ

(У1Н.91)

ЭТО формулы Венинг-Мейнеса для случая, когда не ставится предвари-

тельных условий к нормальному потенциалу. Формулы Венинг-Мейнеса сле-

дует рассматривать как первое приближение к определению наклона уровенной

поверхности действительного потенциала

относительно уровенной поверхности нор-

мального потенциала, заданного произ-

вольно.

Для определения поправок к форму-

лам Венинг-Мейнеса (VIII.91) необходимо

МШ,Н)

Тг, Т

в возмуща-учесть слагаемые

ющем потенциале Т (VIII.86). При этом

приходится вычислять производные дТ

/р

дВ

и зес В/р

-дТ

/дЬ, где индексом е обозна-

чены значения внешних предельных произ-

водных возмущающего потенциала Т.

При вычислении производных следует

учитывать, что возмущающий потенциал есть

функция не только координат В и Ь, но

и высоты Н.

Возмущающий потенциал Т в точке М внешнего пространства, радиус-

вектор которой р = В + Н, будем обозначать Т (В, Ь, Н).

Для точки на поверхности 2, радиус-вектор которой р

= В + Щ, потен-

циал будет Т (В, Ь, Щ). В свою очередь нормальную высоту Щ следует рас-

сматривать как функцию координат В и Ь, т. е. считать, что Щ = / (В, Ь).

Вид этой функции нам неизвестен. Потенциал Т на самой поверхности 2 в общем

виде обозначим Т [В, Ь, Щ (В, Ь)].

йТ [В, Ь, (В, Ь)}

При вычислении производных от потенциала

ав

ЗЮ

••Т

[В, Ь, НУ

(

В, Ь V

— " —

следует пользоваться формулой, производной от неявной

С1Л-1

функции, например

АТ [В, Ь, Щ (в, Ь) дТ [В, ь, Щ (В, Ь)\ • дТ [В, Ь, Щ (В, Щ дЩ

тТ

то

с1В ~ дВ дЩ дВ •

Рассмотрим вопрос о значении внешних предельных производных возму-

щающего потенциала Т, причем вывод будем делать только для вели-

чины дТ

/р

дВ, так как производная дТ

/р

дЬ получается аналогично.

Найдем производную от Т [В, Ь, Щ (В, Ь)

]

по направлению I, касатель-

ному к поверхности 2 и лежащему в плоскости меридиана. Получим

*ту,ь.тв.щ

[В, ь,тв, щ

со8 (В>

(У1П 93)

так как

6,1 — р

6В вес (В, I),

где (В, () — угол между касательными к сфере и к поверхности 2 в точке N

(рис. 52).

Производная от Т (В, Ь, Н) во внешней точке по тому же направлению

Ъ-

будет

ат

(

в ь, н)

ат

{

в ь н)

г)

ав

Если внешняя точка (В, Ь, Н) неограниченно приближается к поверх-

ности 2, р -»- Ро, то в пределе мы получим значение внешней предельной произ-

водной возмущающего потенциала Т по касательному к 2 направлению I

, АТ

(В,

Ь, Н) АТ

{В, Ь, Н)

„„,

Т( ^АВ

008 1)

«)• (УШ.94)

Возмущающий потенциал Т определяется формулой (VIII.63). Поскольку

потенциал простого слоя есть функция непрерывная во всем пространстве, то

(В, Ь, И) = Т {В, Ь, Щ). (VIII.95)

При этом условии должны быть равны и производные потенциалов по на-

правлению I, касательному к поверхности 2, т. е.

ат

(в, ь, Щ) _

Ат

(в, ь, н)

аь ~~ а

Сравнивая (VIII.93) и (VIII.94), получим

АТ

(в, Ь, Н1) _

дт

(В, Ь,

Н) дТ

(В,

Ь, Н) дЩ

ро

АВ

~ ро

дВ

+ дН ро

дВ

отсюда

дТ

(В, Ь,

Н)

АТ (В,

Ь, Щ) дТ

(В, Ь,

Н) дЩ

ро

дВ

—

ро

АВ

дН ро

дВ

(УШ.96>

Используя краевое условие (УШЛО), определим

дТ

(В,

Ь, Н) _

2Т

(В,

Ь, И)

дН ~ ро '

14* 211:

или на основании (VIII.95)

дТ

(В,

Ь, Н) __ , 2Г (В, Ь,

НЪ)

Ш й

от

Подставляя значение -щ- в (VIII.96), получим

дТ

(В, Ь, Н) АТ(В, Ь, НХ) • Г» , 2Т (В, Ь,

НЪ) -|

ддУ

Ро

дВ ро ав

ро

}

9о

дВ'

С учетом формулы (VIII.92), окончательно найдем

•[«йг

дТ

(В, Я) _ дТ (В, ь, Щ) , , 2Г (В, Ь, НЦ)

ро

дВ родВ ' [_ 60 I р

дТ(В, ь, П)1_дн]_ /уш 97)

дЩ ]р одВ' (VIII.У//

Эта формула дает возможность вычислять значения внешних предельных

производных возмущающего потенциала через величины, заданные на самой

поверхности 2.

На основании формул (VIII.63) и (VIII.95) получаем

Т{В, Ь, = (УШ.98)

/•

=Ро + Р'

-2РОР'С08 1|>.

где

Следовательно,

но

Ро

дв ^ ^ Ро

{т) дг _ 1 ег

Ро

дВ ~~ дг

ро

дв 7-2

ро

дВ '

ц согласно (VIII.56)

дг р'япф аг|) _ р'зштр .

7 дВ~ г

С08Л

Используя эти соотношения, получим

V Г ) Р 31

— соз А.

Ро

дв Г3

Введем сюда величину г

, связанную с г|з соотношением

= 2Ввт±,

имеем

л • Ф 'Ф ''О Ф

ЗШ = 2

31П СОЗ

-у = соз -у .

212'

Следовательно^

0 Ф л р'

ЯП =-+008 -^-СОЗ А^—

ро дВ г® 2 Я

На основании формулы (VIII.65) получим прямое значение производной

дТ(В, Ь, Щ) _ 1 Г Г Ф ^у | 1 Г Г,. Р

~Р§ лу

2ро

2 2

Используя точное соотношение (VIII.67) и полагая р'/Д 1, 1/2р

^ .

1 2Н, что вносит ошибку порядка Н

/В, найдем

дТ (В, Ь, /ф

Ро

эв

Ц Ф^|-соз^-СО8 4ЙЕ, (УШ.99)

(УШ.ЮО)

2 2

(я

' - Я

У)

Подставим (VIII.98), (УШ.99) и (УШ.ЮО) в формулу (УШ.97)

дТ

(В, Ь, И)

РО

^ - И

-Й-

С08

С03

^ + [

*о +

_1_

2 В

2 2 2 ^

П'Хгле преобразований получим

РО

дВ

Вместо поверхности 2 примем, как и раньше, поверхность 2, которая

••ределяется преобразованием радиус-векторов согласно (VIII.71). В этом

сгучае необходимо иметь в виду соотношения

р'-р

= к(н

-нъ),

(Р'-Ро)

=й

(БГ'-ЩУ

р'

-р* _ к(н^-Щ) , к* (яу'-яу)

2р

гЗ гз 2р

гЗ

213'

Кроме того, введем новую плотность % и элемент телесного угла йсо. Эле-

мент массы слоя будет

=ЯЧ<1 со.

Для поверхности 2 будем иметь

Я'*'

Н)

= соз 1 соз А

(1<о

Ро дВ

з 2

п с г у Ия

'-я

)

г» гЗ

ЙС0

А;

Ро О В

Подставляя значение 1 /г из формулы (VIII.80) в бесконечный ряд (VIII.77),

получим

Ро °В ,) «3

2 1 г

Л» +

* , ЗЯГГ 2*"

» 1 ,

11 п» г, +

•

+ д. ^ гл-чс, (^Ж

_ 3. ^ (яУ-яДУ

(О

В соответствии с (VIII.76) можно представить

со

дТ

(В, Ь, Я) Г Ь, Я) -1

ро дВ ^ I ро дВ V

п=о

приравнивая множители при к" слева и справа, получим

й(о +

(1а -

дН*

ро дВ

(УШ.Ю1;

ро дВ

дТ

(В,

Ь, Я) П

Г Г Х2 ^

—

яр

= Н \ \ соз соз А

й(0

—

I Ро 9В _|

Л ,) 2

3 Я

Хо

соз соз Л

Ло

н>

(VIII. 102^

214'

Заменим интегралы с обкладками %

на интегралы с обкладками 8%

, для

его используем соотношения (VIII.85).

Дифференцируя их по Б, получим

!д

ф 1 ©

Ро

дВ

ЯП

\ Г

/ 1 дг

Ро

дВ ГI Ро дВ •

Поскольку

7*0

= 2В 81П -у-, то

дг о В \|)

дВ

—

~ро

С08

ТЖ

Полагая = 1 и Ц = —соз А, получим

дг

0 Ф л

= —соз соз А,

ТЕ» — ^ул о

Ро дВ 2

следовательно,

Поэтому

— ) соз-^-со ЗА

\ Г о / 2

дВ

Ро дВ

со

^-^-йш! = Л

Л -§-соз А соя 4 А»;

Ро дВ

) 4л

со ) со

со

Таким образом, получаем соотношение

1 5 ^-соз соз А А» = - ^ 6*„соз А Ао, (УШ.ЮЗ)

СО 0)

юторое используем для преобразования формул (VIII. 102).

Получим аналогично соотношение для случая п = 0. Используя соотно-

ваае (VIII.85), найдем

^ ^ ж соз 4 соз Л Ао = - { $ 6,0 соз 4 Ао + ^ Ш. (УШ. 104)

СО 0)

215'

Произведя в (VIII.102) замены в соответствии с соотношениями (VIII.!

и (VIII.104), получим

Здесь

[

дТ

(В, Ь, Н)

Ро

ев

•]„

*- - 4г И ^г

С08 Аё(0 +

ж ж

(О

дН]_

2в ) ро ад.

ЗД2

3 3 Хо" ^— С08-|-С08 4Л» +

+0+5

]

дН]_

Ро дВ

в соответствии с обозначениями, принятыми ранее.

Нулевое приближение совпадает с полученными ранее формулами Венинг-

Мейнеса (VII 1.91). Поправки к нулевому решению будут иметь вид

у \р

дВ Л Ыу 3 3

ду

зт

\ дн1

1г=~

(//*'- У/.Т)

ЗД2

2у

Хо *

соз -у

соз Ай(.о

—

дН]_

Ро дВ

. (VIII. 106)

216'

Аналогично определяются поправки гц, х\

. . .

1 / зесВ дТ \ 1 Г Г

У V

Ро

дь Л о з

ЗГ

2Я

вес

В дН%

Ро

дЬ

1 /

вес

В дТ \ 1 Г Гс (ф) . . , ,

ЗЛ2

Хо

— г—соз

81П

с1(й -

г* 2

374

Л вес

5 (ЗЯ?

2Н

Ро

дЬ

(VIII.107)

Составляющие уклонения отвеса, таким образом, находятся по формулам

(VIII. 108)

=11о+

"41

112

Исследование на моделях, проведенное В. Ф. Еремеевым, показало, что

в сильно аномальном районе учет поправок и г^ уменьшает погрешности |

п >1 от 1,5—2,2" до 0,3—0,2". Следующие приближения снижают ошибку, но

менее существенно. Формулы (VIII.106) и (VIII.107) позволяют вычислять |

п I] с ошибкой, меньшей 0,1", независимо от аномальности района и сложности

его рельефа.

§ 48. ФОРМУЛЫ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Приведем формулы М. С. Молоденского первого приближения для общего

земного эллипсоида. На основании (VIII.87) получим, что возмущающий по-

тенциал на физической поверхности Земли будет вычисляться по формуле

(VIII. 109)

Поправка в аномалию силы тяжести, учитывающая влияние рельефа,

в соответствии с (VIII.83) имеет вид

(й

(УШ.ИО)

Вспомогательную функцию %

на основании (VIII.84) вычисляют как

-V , 3

Хо

2л

(VIII.111)

217

Учитывая вышеизложенное, а также формулы (УШ.88), (VIII.91

(VIII.106), (VIII. 107) и (VIII.108), при вычислении высот квазигеоида и сост

вляющих уклонения отвеса можно пользоваться формулами

= -ЙЛ $

От

+ «й)

Я (ф) Ж».

(VIIIЛ1-

а>

С Г

/ , , > й») . , , 1 / . \

вес

(VIII.114;

Практические вычисления по приведенным выше формулам оказались

достаточно сложными ввиду большой зависимости поправок от рельефа.

По расчетам Л. П. Пеллинена поправки по своей величине могут превы-

шать аномалии силы тяжести. Исследования Е. М. Орловой показали, что для

получения надежного результата эти поправки необходимо вычислять для всех

экстремальных точек физической поверхности.

Вопрос значительно осложняется, если в формулах М. С. Молоденского

учитывать последующие члены.

Поправки 8%

, . . . определяются в основном рельефом местности,

непосредственно окружающем исследуемую точку, и при их вычислении не

требуется производить интегрирование по всей поверхности Земли, однако

при переходе от 8%

к 8$

необходимо предварительно определить %„_

по формулам (VIII.84), для чего возникает необходимость вычислить 8§-„ _

по поверхности всей Земли.

В настоящее время при решении ряда практических задач нашли широкое

применение формулы Стокса (VIII.53) и Венинг-Мейнеса (VIII.59), которые

можно рассматривать в качестве нулевого приближения к формулам М. С. Мо-

лоденского. Однако формулы нулевого приближения дают удовлетворительную

точность только для пунктов, расположенных на равнине.

Так, например,, уклонения отвеса по формулам нулевого приближения

в равнинных районах получаются со средней квадратической ошибкой ±0,3—

0,5", тогда как в горах — с ошибкой ±1,0—1,4"

. Чтобы получить в горных

районах такую же точность, как и в равнинных, необходимо тем или иным спо-

собом исключить из аномалий силы тяжести влияние топографических масс

и все вычисления (высот квазигеоида и уклонений отвеса) производить в поле

остаточных аномалий. Затем необходимо восстановить влияние исключенных

масс непосредственно на высоты квазигеоида и уклонения отвеса. Таким обра-

зом, высоты квазигеоида и уклонения отвеса определяются как сумма двух

слагаемых — влияния топографических масс и аномальных масс, которое

вычисляется по формулам Стокса и Венинг-Мейнеса.

По исследованиям Е. М. Орловой.

218'

Наиболее удобны для вычислений формулы, предложенные Л. П. Пел-

лпненом

^ = К^-

Т)н.

X. р. + 2л/6НЦ 8 М

йсо

+ де„, (VIII. 115)

(О

2Я Я

| =

|[(?-7)н.т.р.+2я/бЯ

](?(ф)с08Л^Л|; + Д5

, (УШ.116)

о о

2Я Я

Т|

--|г1 {Ке-Ткт.г. + ^^^^^^^ + Ч- (VIII. 117)

о о

Стоящие в квадратных скобках выражения представляют собой аномалии

Фая, вычисленные методом косвенной интерполяции через аномалии в неполной

топографической редукции [см. формулу (VII.29)].

Высоты квазигеоида и составляющие уклонения отвеса, вычисленные

с использованием аномалий Фая, соответствуют случаю, когда топографические

массы сконденсированы на поверхности Н = Щ = соп§1, проходящей через

исследуемую точку.

Поправки в высоту квазигеоида и составляющие уклонения отвеса, явля-

ющиеся разностью влияний топографических масс на | и г] при их действи-

тельном расположении и конденсации на поверхности Н = Щ, = сопз1, вычи-

сляются по формулам

со

где б — плотность топографических масс; к = Н

' — Н1\ г — расстояние

между исследуемой точкой и текущей точкой физической поверхности; г

—

расстояние между их проекциями на отсчетную поверхность.

По исследованиям Л. П. Пеллинена член не превышает 0,5 м, вели-

чины А

Ер

и Ат)

в горах могут достигать нескольких секунд. Для вычисления

поправок А

и Ду]

имеются таблицы, составленные Е. М. Орловой

Формулы (VIII. 115), (VIII.116) и (VIII.117) получили распространение

при вычислении уклонений отвеса в пунктах геодезической сети СССР; точ-

ность вычислений вполне соответствует современному состоянию гравиметри-

ческой съемки в горных районах. Однако после исключения влияния топо-

графических масс не учитываются уклонения физической поверхности Земли

от поверхности Н = Щ = сопзЪ, проходящей через исследуемую точку. Иными

словами, остаточные аномалии силы тяжести, получившиеся после удаления

топографических масс, без всякого изменения переносят на поверхность Н —

= Щ = сопв!. Если перенести аномалии с физической поверхности на поверх-

Е. М. Орлова. «Тр. ЦНИИГАиК». М., «Недра», 1965, вып. 157.

(VIII. 118)

(VIII.119)

(VIII. 120)

219'