Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

ность Н = 1Ц = сопвЪ и учесть их вертикальный градиент, то выражения

(VIII.115), (УШ.116) и (VIII.117) будут более точными.

Л. П. Пеллинен вывел формулы, которые с точностью порядка [(^ — у)Н\

позволяют получить тождественный результат с тем, как если бы при вычисле-

нии в поле полных топографических аномалий применять формулы М. С. М-:-

лоденского в первом приближении. Формулы Л. П. Пеллинена имеют виг

С =

- +

2л

бЯ

* + V) 5(!>) Лв + А?

, (VIII. 121

(О

2 Л Л

=-4гИ~

у)н

+2я/бят

+®

со8

(

упт

122

о о

2Л Л

Т1 =

~4Г1 ^Кг-Ткт.р. + гя/бД' + б^^^втЛЙЛ^ + Алр, (VIII.1231

о о

выражения в квадратных скобках — поправка за вертикальный градиент

аномалий силы тяжести, которая вычисляется по формуле

Д(У-У)н.Т.р. _ Ж* Г Г Уп.

Т.

р. (ё У)п.

Т.

Р.

АН 2зт ^ ^ /*р

Здесь к = Н

' — Ни — разность высот текущей и исследуемой точек,

в которой определяют I,, Е и т|. Индексом 0 отмечены величины, относящиеся

к точкам, в которых определяют По ряду соображений формулы (VIII. 121),

(VIII.122) и (VIII.123) удобнее, нежели те, в которых используются поправки

6^1. При получении члена 8§" не требуется обращаться к карте высот физиче-

ской поверхности Земли, достаточно знать лишь высоты этих точек; отпадает

необходимость в вычислении поправки за наклон в уклонение отвеса.

§ 49. УРАВНЕНИЯ ГРАДУСНЫХ ИЗМЕРЕНИИ

Высоты квазигеоида С и составляющие & и г) уклонений отвеса относи-

тельно принятого референц-эллипсоида вычисляют по формулам (VIII.90)

и (VIII.91), которые содержат четыре постоянные величины: 1У

— 17

, х

У в) На-

значит, может быть поставлена обратная задача: определить эти четыре

постоянные в пунктах, в которых из наблюдений получены \ и т). Градусные

измерения совместно с гравиметрической съемкой позволяют решить эту задачу.

В астрономических пунктах высоты квазигеоида I, определяются методами

астрономического или астрономо-гравиметрического нивелирования, а соста-

вляющие уклонений отвеса вычисляются по формулам (VI.5)

Т]

= (А,— Ц созВ.

Высоты квазигеоида и составляющие уклонения отвеса, вычисленные

через аномалии силы тяжести по формулам первого приближения (см. § 48),

обозначим: I,, г).

220'

Согласно (VIII 90) устанавливаем

= +[зг

со5Дсо5^ + у сое 5 81пХ + 2

8тБ]. (VIII. 124)

или

I _ 2

аг

с08 Я С08 X + г/

соз Я зт Ь +

зт В. (VIII. 125)

В уравнении (VIII.125) левая часть, т. е. величина I, — известна.

В правую часть входят неизвестные

ТРо-^о.

о. го-

Уравнения (VIII.125) можно составить для всех пунктов градусных изме-

рений, в которых известны разности ^ —

При достаточном диапазоне изменения широт и долгот все четыре неизве-

стные определяются из решения по способу наименьших квадратов. Условия

для определения ]У

— 11

, х

, у

, г

можно получить по разностям составля-

ющих уклонения отвеса.

Дифференцируя (VIII.

124)

по широте В, найдем

-Ц-=-Ц— 1

—Хъ&тВсо&Ь — у

а\пВ&тЬ + гсо8 В.

Высота квазигеоида и составляющая уклонения отвеса в меридиане %

связаны соотношением

ЭС . %

дх р

дВ (М+НУ)дВ'

где М — радиус кривизны меридиана.

Таким образом,

следовательно,

(М + №) (1-1) = х

а1пВсовЬ + у

вшД 8шХ-з

со8Д +

(VIII.126)-

Уравнение (VIII.

126)

используют только для определения координат

центра инерции Земли — х

, у

, г

, так как величина — !У

входит в это

уравнение с малым коэффициентом (порядка сжатия Земли).

Дифференцируя (VIII.

124)

по долготе Ь, получим условие для определения

неизвестных по разностям составляющей уклонения отвеса в первом вертикале.

Имеем

= -Ц х

соз

В 8т Ь + у

соз

В соз Ь,

О л-1 и Л/

но

а? _ ас а?

"Л —

—

ду ~ р

соз ВдЬ (Ы+НУ)совВдЬ, '

где N — радиус кривизны первого вертикала.

Отсюда

= + созЯ-т!

221

и аналогично

= — +

соз

В л.

Таким образом, получим

(И + Ш) (Г) - л) = Х

зт Ь — у

со&Ь. (VIII. 12"

Неизвестные х

и у

целесообразно определить из уравнений (VIII. 127

— из уравнений (VIII.126) и из уравнений (VII 1.125) — величину И

,, — С

Возможны также другие комбинации исходных данных.

Знание постоянных — Н

, х, у

, г

дает возможность определить форму

Земли и ее внешнее гравитационное поле.

§ 50. НОВЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ М. С. МОЛОДЕНСКОГО

Трудности, с которыми встретились при практическом применении фор-

мул, полученных М. С. Молоденским, заставляют искать новые способы опре-

деления возмущающего потенциала Земли. При этом наметилось два напра-

вления: одни исследователи пытаются дать точное решение этой проблемы,

другие — приближенное, сколь угодно близкое к точному.

Точные способы решения задачи Молоденского характеризуются следу-

ющими основными особенностями: 1) граничные значения предполагаются

заданными непрерывной функцией на физической поверхности Земли; 2) реше-

ние представляется в виде разложения различных выражений для возмуща-

ющего потенциала по малому параметру.

М. С. Молоденский при составлении интегрального уравнения представил

возмущающий потенциал Земли Т в виде потенциала простого слоя (УТИ.бЗ).

Это — не единственный способ представления возмущающего потенциала.

Можно, например, представить Т в виде потенциала двойного слоя или в виде

линейной комбинации потенциалов простого и двойного слоев, подобрав соот-

ветствующее соотношение между их плотностями.

Для поисков новых интегральных уравнений, решающих поставленную

краевую задачу, можно использовать более простые краевые задачи, чем дан-

ная, а именно краевые задачи с условиями на границе

= А;

где II

V— вспомогательные, гармонические вне поверхности Е функции.

В. В. Бровар показал, что решение краевых задач можно свести к решению

одного интегрального уравнения для определения плотности простого слоя 11.

Если искать решение внешней задачи Дирихле в виде производной потен-

циала простого слоя по р, умноженной на р

(VIII. 128)

ор л д г

•222

то для определения

(х

используется краевое условие, которому на поверхности Е

должна удовлетворять функция II

= А = -2яцсоз(7г, р)4-| (УШ.129)

Найдем решение внешней краевой задачи с условием на границе

.=/» (VIII. 130)

дУ

Эр

где V (р, В, Ь) — искомая гармоническая функция.

Положим, что вне поверхности 2

= = р [с учетом (VIII. 128)],

отсюда

(VIII. 131)

Подставляя (VIII.131) в (VIII.130), найдем

±_

= —

2я|л

соз (п,

р)

+ (VIII.132)

Формулы (VIII.132) и (VIII.131) решают поставленную задачу. Отметим,

что интегральное уравнение (VIII.132) совпадает с уравнением (VIII.129).

Пусть, наконец, нужно решить внешнюю краевую задачу с условием на

границе

2 Т . дТ

Р др

=Л, (VIII. 133)

где Т (р, В, Ь) — искомое решение задачи.

Положим, что функция Т связана с функцией II (VIII.128) условием

Т <рт>=:+

-з™

Ж И ^

(УШШ)

Подставив в краевое условие уравнение (VIII.133), получим интегральное-

уравнение для [1

= —2я|*сов(л,

Р)

+ | (VIII. 135)

Для определения функции Т (р, В

Ь) воспользуемся формулой (VIII.134)

223'

или после интегрирования по р

Г(р, в, ^Н-^г

ь)

• тплзб!

Рассмотрим способ определения возмущающего потенциала Земли, пред-

ложенный В. В. Броваром.

Пусть произвольная точка К земной поверхности 2 (см. рис. 51) имеет

радиус-вектор р' = Я + Н

', а внешняя точка М, в которой вычисляется

возмущающий потенциал Т, радиус-вектор р = В Н. Через В', Ь' обозначим

Координаты текущей точки К, а через В, Ь — точки М.

Расстояние г' между точками К и М определяется соотношением

г'

+ р'

- 2рр" соз 1)). (VIII. 137)

Когда внешняя фиксированная точка сливается с точкой то ее радиус-

-вектор р

= В + 'Щ, а расстояние г между точками N

р2

+ р'

-2р'р

со81(

. (VIII. 138»

Проекцию г на сферу радиуса В обозначим г

= 2Взт^-. (VIII. 139)

Рассмотрим решение внешней задачи Дирихле для некоторой функции

,Я, +

(уПШ0)

2 2

Первое слагаемое правой части представляет собой потенциал простого

слоя с плотностью (1/4я) р.'; второе — произведение р на производную потен-

циала простого слоя с плотностью (1/2:гс) (х'. Оба слоя распределены по поверх-

ности 2. Функция V (р, В, Ь) является гармонической во внешнем пространстве

и регулярной на бесконечности.

В соответствии со свойствами производной от потенциала простого слоя

[см. формулу (1.85)] второе слагаемое на поверхности 2 терпит разрыв, вели-

чина которого будет равна

— 2я ц.' соз (п,

Ро)

= — р.'

соз

(ге,

где п — направление внешней к поверхности 2 нормали.

Формуле (VIII.140) придадим иной вид, используя соотношение (VIII.137).

Поскольку

д —

г' _ 1 дг' дг'

—р'созф

др

др ' др г' '

легко доказать, что

±_

(УШ.14П

224'

Подставляя полученное соотношение в (VIII.140), получим

7(р, В, = (VIII.142)

На поверхности 2 (при р -> р

) функция V (р, В, Ь) должна удовлетво-

рять уравнению

Г(р

, В, Ь) = ^'созК

Ро)Ро

+ 4г1^' (VIII. 143)

' 2

Интегральное уравнение (VIII.

143)

позволяет определить функцию ц/,

если на поверхности 2 задано V (р

, В, Ь). Подставляя найденное значение р/

в (VIII. 142), получим решение внешней задачи Дирихле.

Отметим, что поскольку р' = р

, соз (п, р

) = 1, уравнение (VIII.143)

хтя сферы принимает простой вид

У(р

, В, /,) = -р

'. (VIII. 144)

Применяя тот же метод, рассмотрим задачу определения возмущающего

потенциала Т.

Введем функцию

V (Р, = ГЛ = 2Т + Р^-. (VIII. 145)

Эта функция гармоническая, регулярная на бесконечности и на поверх-

ности 2 в соответствии с (VIII. 10) принимает значение

V (Ро, В, П) = -р

б?

Подставляя последнее равенство в (VIII.143), получим интегральное урав-

нение для определения [х'

соз (гс, = + (VIII. 146)

Для нахождения Т подставим (VIII.145) в (VIII.140). Получим

7(Р, В, = = +

Интегрируя по р, найдем

Г(р, и'

4п

^2+

Гх{В

Ь)

•

(VIII.147)

Внутренний интеграл в формуле (VIII.147) можно представить

15 Заказ 1379 225

При вычислении второго интеграла применим формулу иптегрированн*

по частям

положив

| и йи =

ил)

— |

Ли,

ц = 2р

; =

йи = 4рф;

получим

Таким образом,

г( .

Обозначив

получим

д± г

и^. (VIII. 14-

7-(р, В, Ц = (VIII.IV

Для определения функции Е' воспользуемся известными формулами ин

тегрального исчисления (VIII.33) и (VIII.34). Полагая

у = р; а — 1;

= — гр'соз'ф, с — р'*,

получим

^ _р_йр

=г

+ р

со8

^ ^

= г

+ р

соз

1п + р

со8

^ (VIII.15.

Следовательно,

' =^ +^^ 1п (г' + Р- р'.соз

о]))

-у,— ЗЕ' — -р •— ^рГ^ 1п(г- + р-р'соз^). (VIII. 15:

Полученную В. В. Броваром функцию удобно выразить через обобщенну

функцию Стокса. Предварительно представим обобщенную функцию Стоке

в виде

п=2

— 1

(."+

/•'

р р2

5р'совг[) Зр'соа^ ^

т-'

—р'

собг|з

(VIII I"-'

р2 р2 2р '

Функция (VIII.152) при р' = К совпадает с обычной обобщенной функппе>

Стокса.

226'

Сравнивая (VIII.151) с (VIII.152), найдем

А_ЗЯ'=*(Р,

Ы2Р..

Чтобы решение было возможно, необходимо исключить негармонические

члены в выражении для возмущающего потенциала, т. е. удовлетворить условие

у ^ц'р'созгН^О

•ли

|ц'р'созг|)й2=0. (VIII.153)

Следовательно, в формуле (VIII.

149)

сферические функции первой степени

будут отсутствовать.

Поэтому окончательно

Т(Р, В, = [я

(р

, р')-±]^+

Г1(

ь)

. (VIII.154)

* 2

Введем новую плотность [г, определяемую из соотношения

соз (п', р') —•

Обозначив через йа проекцию элемента йЕ на сферу радиуса В, будем

а меть

<*Зсо8 {п', р') Д

р'*

Элемент массы слоя

р/ йЕ =

(г д,а

• основные формулы (VIII.146), (VIII.153) и (VIII.154) в этом случае примут

вид

^-[ЛСОЗ= + (VIII.155)

I / (Яр'соз

Лр

йа =

О,

(VIII. 156)

Т(Р, В, ^С*

^ (VIII. 157)

Применяя метод Молоденского, Бровар получил соотношения для опре-

деления величин (х и Т

И, = Ц„ (*, Р„) + П^ + I &

а а

15* 227

1 С Г — Н

3 ГР (Я^'-ЯУ)

1 Г Г (ЯУ- Я*)'

-^гЗ 3

аа+

^я 3 3

111

<*а,

о а

= (*) -11 +

ЯМ*<+)-11 -И^

(ЯТ

,)2

4яЯ

= 4Й- И

«*»

<+>

^ -5Г И ^ "^Г^

Эти выражения проще аналогичных формул Молоденского, поскольку

интегральное уравнение решается при помощи одних лишь функций р„, тогд;

как в решении Молоденского приходится вычислять две функции 8@„ и х-

В. В. Броваром рассмотрен также случай, когда возмущающий потенциал

представляется суммой интегралов с ядрами Е и ЛЕ/йп'. Здесь п' — внешняя

нормаль к поверхности 2 в текущей точке, а Е — фундаментальная гармони-

ческая функция, имеющая вид

Е{

р,

'+Р-Р'соз^ (VIII.158)

Не делая подробного вывода, опишем его основные этапы. Найдем решение

внешней задачи Дирихле для земной поверхности 2 в виде

а —

и (Р, В, Ь) = Л V Й2 + Л

2, (VIII. 159

2 2

где V — неизвестная плотность двойного слоя, распределенного на 2; р. =

= V сов (п', р')/2р' — плотность простого слоя, зависящая от V, положения

и наклона элемента поверхности в текущей точке.

Все обозначения даны в соответствии с рис. 51.

Если исследуемая точка стремится к поверхности 2, то р ->• р

, г' -»- г.

При р = р

потенциал двойного слоя испытывает разрыв, равный 2пу [см.

(1.89)], а Нт II (р, В, Ь) равен заданной функции / (В, Ь). Сделав указан-

ный предельный переход, получим интегральное уравнение для плотности \

НВ, Ь) = П (VIII. 1601

228'

После некоторых преобразований получим

О, сг

Ц^у + ^-^Ъ+^^Я^Ъ. (VIII. 162)

СГ! 01

Здесь йа

— проекция элемента й2 на сферу радиуса р', йа

= сов (п',

<22, а дН'/дЗ — наклон земной поверхности в текущей точке.

| Искомая плотность V находится в результате решения интегрального

I сравнения (VIII.162). Решение внешней задачи Дирихле дается формулой

' VIII.161).

Воспользуемся данным методом для решения задачи Молоденского. Поло-

' рНМ, что

~е Т — возмущающий потенциал Земли, удовлетворяющий на земной поверх-

ности 2 краевому условию (VII 1.62).

Функция Л на поверхности 2 принимает значения

= -Р

в*о. (У1И.163)

Поскольку во внешнем пространстве функция II определяется по формуле

VIII. 164), получим

ТЖ = И й РШ)

О,

Плотность V определяется из уравнения

-р^о^^-Ь^*!^^^ ДО V ^ (VIII.165)

01 С,

На основании (VIII.164) напишем

01 ^ 01

я-'и после интегрирования по р

+ 5$ •V 7Г (

з1п

* $

р) + С (р\

115).

(VIII. 166)

Введем обозначения:

В{Р, гр, Р') = Р'8Ш^ Г-4-ф.