Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

что сжатие а' каждого внутреннего слоя также является некоторой функ-

цией г', т. е.

а' = ф(г*).

Рассмотрим некоторый сфероидальный слой, находящийся на расстоянии г

от центра. Плотность этого слоя обозначим через 6, а сжатие через а.

Клеро получено условие равновесия любого слоя неоднородной жидкой

планеты, находящейся в жестком вращении, с точностью до малых величин

первого порядка, называемое «первичным уравнением».

" $-зЪ 1

' ^-XI

'+(-•>*'•-та(-

0 0 Г

где Я — средний радиус планеты; М — общая масса планеты; д — отношение

центробежной силы на экваторе к силе тяжести.

Первый интеграл, входящий в (VII.59), можно выразить через среднюю

плотность Б шара радиуса г. Аналогично (VII.54) найдем

д = (уп.60)

Введем среднюю плотность планеты б

, поскольку

М = ~яН

тогда (VII.59) можно переписать

г к

о о

Применим полученное уравнение к внешней поверхности планеты, т. е.

напишем условие равновесия жидкой массы в целом. Положим в (VII.61) г =

= N. Тогда сжатие внутреннего слоя а превратится в сжатие а

внешней

поверхности, а О

=н = Ь

Введем обозначение

Этот интеграл, зависящий от неизвестного нам внутреннего распределения

плотностей слоев б' и их сжатий а', является стоксовой постоянной, поскольку

в конечном счете он выражается только через сжатие внешней поверхности а

через отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе д и через

среднюю плотность планеты б

. В самом деле, из (VII.61) получаем

«общ 1

ЪтЧ

з 5Д

или окончательно

Сделаем сопоставление данных наблюдений для Земли с гидростатической

теорией. Знание закона распределения плотности б' внутри Земли, т. е. вид

180'

функции б' = / (г'), позволяет по формуле (VII.62) вычислить сжатие а

, кото-

рое Земля имела бы, если бы находилась в гидростатическом равновесии. В ка-

честве примера вычислим гидростатическое сжатие а

, соответствующее двум

моделям строения Земли: для случая однородной Земли и для случая, когда

неоднородность Земли доведена до крайнего предела и вся масса Земли сосре-

доточена в ее центре. Первый случай был рассмотрен Ньютоном. При б =

= б

= С01181

А = ^ б' Л.(г'

а')(1г' = 6

В*а,

п (VII.62) дает

= "|-<7 = 1:231.

Второй случай рассматривал Гюйгенс. Если около центра выделить сферу

сколь угодно малого радиуса г и считать, что вся масса Земли М сосредоточена

внутри этой сферы, то плотность внутри этой сферы можно считать величиной

постоянной

д, _ Ж

4лгЗ '

тогда

н г

л Г я/ / '5

, ЪМ (* А ,5 , , 3 Мг%а

о о

При г

—у

0 последнее выражение обращается в нуль, и из (VII.62) получаем

= -|— 1:577.

Истинное сжатие Земли находится между этими крайними пределами,

ближе к ньютоновскому, в соответствии с тем, что строение Земли гораздо

ближе к случаю, рассмотренному Ньютоном, чем Гюйгенсом. Покажем теперь,

как можно получить истинное гидростатическое сжатие а

, не зная закона

изменения плотности внутри Земли.

Выполним преобразование первичного уравнения Клеро (VII.59). Путем

двойного дифференцирования по независимой переменной г можно освободиться

от обоих интегралов, содержащих искомую функцию а' =

<р

(г') и ее произ-

водную по г, т. е. от второго и третьего интеграла в левой части (VII.59). Диф-

ференциальное уравнение приводится далее к виду

+ =0. (У11.63)

Интеграл ] б'г'

йг', как мы видели, связан со средней плотностью Б шара

радиуса г (VII.60) и является функцией г. Введя обозначение

'г'

йг'=-^ = Я(г), (VII.64)

181'

дифференциальное уравнение Клеро можно переписать

(22сс , 2бг2 йа. . Г 2бг

йг2 ~ В (г) Лг

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка устанавливает

связь между плотностью б и сжатием а внутренних сфероидальных слоев.

Оно является исходным при всех исследованиях, касающихся внутреннего

строения Земли.

Коэффициенты этого уравнения являются переменными величинами, зави-

сящими от г как непосредственно, так и через плотность б, которая сама яв-

ляется функцией г.

Теперь преобразуем уравнение (VII.65), имея в виду получить гидроста-

тическое сжатие без использования закона распределения плотностей. Это

преобразование впервые было предложено Радо. Вместо переменной а Радо

вводит новую переменную т|

Л 1п

а г йа ,„„ ...

~оПп7~

а йГ' №66)

Равенство (VII.66) позволяет определить и через новую перемен-

ную Т}

йа, а а, ( йт)

йг г

' А-а

№67)

Подставим полученные значения производных и в уравнение

(VII.65), которое примет вид

*>*

~ ч]

Н"

2бг

+1 >"- Цт

= (

УП

Вместо плотности б введем среднюю плотность Б шара радиуса г. Устано-

вим связь между б и I); после дифференцирования соотношения (VII.60) по г

будем иметь

дВ 9

дг н

Поскольку производная от определенного интеграла по верхнему пределу

равна значению подынтегральной функции, вычисленной при верхнем пределе,

то

Следовательно,

откуда

д_

'дг

дР 3 д 3 в

дг г г '

6 = Л + (VII.69)

3 йг

Используя (VII.69) и (VII.64), приведем (VII.68) к виду

182'

После некоторых преобразований получим

{гЮ ]/ 1 + г)) = 5г*0. (VII.70)

&г

Уравнение (VII.70) можно рассматривать как новую форму уравнения

Клеро.

Дифференцируя (VII.61) по г, получим

г г

Б А<я . а АБ , 1

, А , ,ь , , 1 д Г А

о о

Х(/

а')йг'--^ в'-*-<а')а

' = 0. (УП.71)

В соответствии с правилом взятия производной от определенного интеграла

по верхнему (или нижнему) пределу имеем

Поэтому вместо (VII.71) можно написать

В За а й 1 С й , , , 6а

/лттт точ

— + ——+ — г

= 0

- (

у11

)

Заменив в (VII.72) б через И согласно (VII.69) и через г) в соответствии

(VI

1.66), получим

л л.

Т)

+ 1

б' 4т (г'V) йг'~ ^ = 0.

3 г

' гб ^ йг

' г

Чтобы найти значение параметра т]

, соответствующее внешней поверх-

ности планеты, положим г = К, Б — б„, а — а

, тогда

$6'^|Лх')йг'==Д»<х

(1 - 4-Ло). (УН.73)

Подставив значения интеграла (VII.73) в (VII.62), получим соотношение

г]„ = ^-2, (VII.74)

которое устанавливает связь между гидростатическим сжатием а

и пара-

метром Т]

Используя (VII.74), установим пределы, в которых заключен параметр т)

Для случая однородной планеты а

= (5/4) д и т)

= 0.

183'

Для случая крайней неоднородности (случай Гюйгенса) доказано, что

= .'//2. Следовательно, г|

= 3.

Определим порядок величины т]

для Земли. Полагая, что гидростатическое

сжатие а

^ 1/297, получим, что

% 0,55944.

В свою очередь параметр т]

определяется через момент инерции С Земли

относительно полярной оси.

Известно, что момент инерции эллипсоидального слоя толщиной йт' выра-

жается формулой

Следовательно, момент инерции эллипсоида, состоящего из концентри-

ческих слоев, будет

16я Г с,, й , ,5 1 /

, б —(г а)йг .

•

Второй интеграл справа определяется из (VI 1.73). Для определения первого

интеграла рассмотрим тождество

в в

2 | БгЫг = \

(г

о о

Приняв во внимание (VII.60), согласно которому

#/•3

= 3 \ь'г'

йг\

получим после интегрирования по частям (учитывая, что О

=п —

в к

2 [ Иг* йг = В

- 3 | б V

Дг\

6 о

отсюда

я н

^ 6V

Лг'

= Н

- 1 Дг

йг.

Ц о

Второй интеграл справа может быть вычислен, если проинтегрировать

(VI 1.70)

следовательно, искомыи интеграл

184'

Вернемся к вычислению момента инерции С

С =

8зтД5

Введем выражение для массы Земли

и в результате получим

С 2

-41/Г+Ч7)+

бт(х

° (

-4- чо)

•

(1—Г^+^+^О-ХЧ.)-

МЯ

Учитывая, что

окончательно получаем соотношение между моментом инерции С и параме-

тром Т}

№75)

Если определить момент инерции С Земли, то, решая (VII.75) совместно

с (VII.74), можно найти сжатие, которое имела бы Земля, находясь в состоянии

гидростатического равновесия.

Коэффициент второй зональной гармоники потенциала Земли определяется

из наблюдений искусственных спутников Земли (ИСЗ)

г С-А

1 9.

Ма2

Астрономические наблюдения позволяют определить постоянную прецес-

сии, иначе называемую динамическим сжатием Земли

„_ С-А

Величина С/(Ма

) находится из соотношения

С — А

М<& Н

'» №76)

Приняв Н — 0,00327237, /

= 1082,86 (по данным наблюдений ИСЗ), найдем

—^ = 0,3309.

Ма2

Если с этим значением величины С/(Ма

) по формулам (VII.75) и (VII.74)

вычислить гидростатическое сжатие а

, то получим

= 1/299,8.

Отличие фактического сжатия а от значения а

представляет собой, как

указывал Каула, крупную аномальную особенность гравитационного поля

Земли.

185'

Глава VIII

ПРОБЛЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗМУЩАЮЩЕГО

ПОТЕНЦИАЛА ЗЕМЛИ, ЕГО ПРОИЗВОДНЫХ,

АНОМАЛИЙ ВЫСОТ И УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА

§ 42. КРАЕВОЕ (ГРАНИЧНОЕ) УСЛОВИЕ

Для того чтобы найти краевое (граничное) условие, необходимо устано-

вить связь между возмущающим потенциалом Т и какой-либо величиной,

которую можно найти из наблюдений на физической поверхности Земли. Такой

величиной является аномалия силы тяжести. Выразим силу тяжести § в данной

точке М земной поверхности через потенциал IV

= + (VIII.1)

где п — направление внешней нормали к уровненной поверхности потенциала

силы тяжести, иначе — направление отвесной линии {§). Следует иметь в виду,

что если речь идет о вычислении величины силы тяжести, то практически без-

различно, по какому направлению брать производную от потенциала: по отвес-

ной линии касательной к силовой линии нормального поля у, или нормали Н

к поверхности эллипсоида. Если, например, взять производную от IV по напра-

влению нормали Н к уровенному эллипсоиду, то получим

--V

Угол Н) очень мал и имеет тот же порядок, что и величина уклонения

отвеса. На земной поверхности этот угол не превосходит 1'. Следовательно,

в радианах угол (д, Н) < 1/3000, а ^ - < 72

•

10"

. Поэтому можно считать

\дн1м

Аналогично можно доказать^ что и нормальная сила тяжести может вы-

числяться как

•м \дН )м'

поскольку угол между направлением касательной к силовой линии нормального

поля у в точке М и направлением нормали Н к эллипсоиду в той же точке весьма

мал (У.47).

186

Учитывая вышеизложенное, представим (VIII. 1) в виде

дН

Здесь справа стоит чистая аномалия силы тяжести. Если бы геодезическая

высота Н точки М была известна, то величину ум можно было бы вычислить

по формуле (У.32). В этом случае (VIII .2) можно рассматривать, как граничное

условие, которому возмущающий потенциал Т удовлетворяет в точках физи-

ческой поверхности Земли. Однако вместо геодезической высоты Н мы распола-

гаем лишь приближенным значением — нормальной высотой Н

. Поэтому

и нормальную силу тяжести мы фактически можем вычислить не в точке М

физической поверхности Земли, а в точке N

Уп = У. + (ш)

Ег

- (

уш

Величину ум можно представить рядом Тейлора, аналогичным (УШ.З),

с учетом величин первого порядка малости

Ъ = Ъ + (УШ.4)

где ^ — аномалия высоты.

Тогда, принимая во внимание (VI. 19), представим (VIII.2) в виде

м ^о—^о

(дн)м~ 8м + Уп + (д]г)

V* Ум

или

Разность §м — ул

представляет собой смешанную аномалию силы тя-

жести. Что касается члена, содержащего ду/дН, то его в соответствии с (У.38)

можно вычислить по формуле

(УШ.6)

Рлг

^ = (VIII.7)

Полученное граничное условие (VIII.5) удовлетворяется в точках физи-

ческой поверхности Земли и имеет вид

(•!г)

>*-/.

что по форме соответствует третьей краевой задаче теории потенциала. Однако

необходимо отметить и существенное отличие (VIII.5) от обычного условия

для третьей краевой задачи.

В последнем случае производная от гармонической функции берется по

направлению нормали п к заданной поверхности. В уравнении (VIII.5) произ-

водная от искомой функции Т берется не по нормали к заданной поверхности 8,

а по нормали к уровенному эллипсоиду. Угол (п, Н) между этими направле-

ниями равен углу наклона земной поверхности и может достигать значительных

величин, особенно в горных районах.

187'

В граничном условии (VIII.5) потенциал Т и его производная дТ/дН отно-

сятся к точке М земной поверхности /5, которая сама подлежит определению.

Для решения краевой задачи необходимо граничное условие (VIII.5) отнести

к какой-либо известной поверхности. От того, насколько близка будет выбран-

ная поверхность к поверхности Земли, зависит степень приближения возмуща-

ющего потенциала, найденного из решения краевой задачи, к действительному

значению Т.

Возможны два варианта.

Первый вариант. Отнесем граничное условие к поверхности Т

Земли в первом приближении (см. рис. 36). Откладывая от поверхности уро-

венного эллипсоида но направлению нормали к нему нормальные высоты Н

строят эту поверхность. В этом случае

В таком виде граничное условие впервые было получено М. С. Молоден-

ским. Полученный в результате решения краевой задачи возмущающий потен-

циал Т достаточно близок к действительному так, что в настоящее время прак-

тически нет необходимости решать задачу во втором приближении.

Второй вариант. Положим, что нормальные высоты точек земной

поверхности всюду равны нулю. Это означает, что в любой точке М земной

поверхности \Ум = = сопзЪ, т. е. поверхность <5 Земли принимается

за уровенную, а соответствующая ей поверхность 2 за поверхность эллипсо-

ида о.

В этом случае производная (дТ/дН)г будет равна производной (дТ]дп)

и краевое условие (VIII.5) принимает вид

Если принять поверхность о за сферу, то 1/у-ду/дН = —2/В. Аномалии

силы тяжести заданы на самой поверхности сферы.

Решение краевой задачи для этого случая получено Стоксом. Значение

возмущающего потенциала Т

, найденное Стоксом, следует рассматривать, как

приближенное, нуждающееся в исправлении, поскольку граничное условие

(VIII.9) составлено для поверхности а, значительно отличающейся от физиче-

ской поверхности «У Земли.

Рассмотрим краевую задачу, заключающуюся в определении возмуща-

ющего потенциала Т, удовлетворяющего на поверхности сферы радиуса В

граничному условию (VIII.9), которое представим в виде

(Л.)

\ дн ^N \ у дн

Я'

-ех

Ъ-^-м)^.-^. (VIII.8>

Ш - (т-Й)/' — Л+1» - (4 (УШ.9)

§ 43. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД СТОКСА

(УШ.Ю)

где

= 8м

— Уя

2(Ж

-Ц

)

(VIII.11)

188'

Заметим, что 6#

отличается от аномалии силы тяжести — Ум) только

на постоянное слагаемое. Как и всякую функцию, заданную на сфере, можно

разложить в ряп по сферическим функциям в соответствии с формулой (111.25)

со

6*0 = 2 6.(6, X), (VIII .12)

11 "О

где в соответствии с (111.21)

ёп (0,

Я)

= -^-^6г

Р„(со8ф)Л

. (VIII. 13)

Поскольку функция Ь§

задана, все члены §

(0, X) ряда (VIII.12) счи-

таются известными.

Определим первые члены ряда (VIII.12). Положив в (VIII.13) п = 0, полу-

чим сферическую функцию нулевой степени

ёо (0-

а,)

=55 ЬёоРо (соз -ф)= "^гИ

6ёо а<0

(О ©

Подставляя значение из (VIII.11), получим

(О (О

Но (1(0 = 4л, поэтому

*о(9. Я)=П (ём -

Ум)

Ло -

. (VIII. 14)

со

Формула (VIII.14) есть среднее интегральное значение величины на

сфере, 1/4я П' (§м — Ум) йсо — значение средней аномалии силы тяжести.

(О

Рассмотрим теперь гармоническую функцию первой степени. Как

будет установлено, она должна равняться нулю, т. е.

(О

Это условие распадается на три независимые, если вместо соз

г|>

подставить

его значение

соз

г|>

= соз

6 соз

б' + зт

зт 0' (соз

соз X' + зт

зт X').

Выразив йсо через сферические координаты 0' и X'.

Й(О

= 8Ш0*

получим

соз 0

6^0

соз 0' зт 6' ав' Ах' + соз

зт 0 ^ соз X' зт 0'

•

зт

О" <20'

йХ' +

СО (О

+ зт

зт

вЭД

зт X' зт 0' зт 0'

•

й0' йХ' = 0.

(О

189'