Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Значение величины 8 (fo\ характеризующей степень истощения упругого

запаса жидкости во внутренней области I пласта при различных

значениях параметра /о, т.е. в различные моменты

после пуска окружной галереи с постоянным давлением в ней

/о

0,005

0,01

0,05

0,1

0,2

0,5

О О

5% )

0,1544

0,2156 0,4520

0,6156 0,7820 0,9616 0,9980

На рис. 15.2 изображен график изменения величины 8 (f0\

построенный на основании табл. 15.1.

Рис. 15.2. График изменения безразмерного параметра Фурье /о. Величина Ъ

определяется формулой (15.38)

§ 2. Задание постоянного дебита окружной галереи в

ограниченных открытом и закрытом пластах

В начале предыдущего параграфа указывалось, что в предше

ствующих главах был исследован неустановившийся приток жид

кости к окружной галерее с постоянным и переменным во времени

дебитом, но только в условиях бесконечного (неограниченного по

протяженности) пласта. В данном параграфе приводится строгое

решение задачи, заимствованное из статьи [747], о перераспреде

лении давления после пуска окружной галереи с постоянным

дебитом, но в ограниченном пласте и открытом (т.е. в условиях

упруго-водонапорного режима) и закрытом (т.е. в условиях замк

нуто-упругого режима).

Ограничимся тем же рис. 15.1, но представим себе, что во

внешней области имеется концентричная галерее Г окружность

радиуса Rx > которая служит либо контуром питания — назовем

это случаем «а», либо непроницаемой границей пласта — назовем

это случаем «б».

Будем считать, что до пуска галереи давление во всем пласте

было одинаковым и равным р0; время t будем отсчитывать с момента

пуска галереи с дебитом Qr - const

Ставится задача об определении понижений давления

&Ре = (Ро ~Ре) и APi= (Ро ~Pi) в любой точке внешней Е и внутренней

/ области пласта в любой момент t после пуска галереи. Движение

жидкости будет плоско-радиальным; положение точки достаточно

определять радиусом-вектором г.

Задача решается интегрированием уравнения пьезопроводности

при заданных начальном и граничных условиях в каждой области.

Для большей общности и простоты решения введем такие

безразмерные величины:

~ Г „ кt л~ 2nbk ч

Г Rk' ° R \ ^ ' G rU Р/)’ (15.39)

Яг = JT> Аре = ~Ре) •

Тогда уравнение пьезопроводности (15.1) для внутренней и

внешней областей пласта можно переписать в безразмерной форме

так:

Э З Д 1 д&Р! Э 4Й . - г - - (15.40)

Э Л V В г - - Ш ’° * г<Я" К’>0'

- 0 _ (15,4.)

дг2 г дг дРо

Начальные условия:

Др}=0 при Fo = О, 0<Г< , (15.42)

Граничные условия на стенке галереи:

(15.43)

- (дйр, Э Др£

[ ~

= 1, Apj = АрЕ при r = RtJFo> 0.

На границе пласта должно удовлетворяться одно из следующих

условий:

в случае «а» АрЕ = 0 приг = 1, /^о > 0, (15.44)

ЪЬрЕ _ (15.45)

в случае «б> ^ ~ = 0 при г= 1,го > 0.

Подвергая уравнения (15.40) и (15.41) преобразованию Лапласа

и обозначая через s параметр преобразования и через APjfjr^s),

APE(rts) изображения оригиналов функций AP/(r,f)» ApE(r,t\

получим два таких обыкновенных дифференциальных уравнения,

учитывая начальные условия (15.42) и (15.42а):

d 2 ДР/ 1 d ДР/ 4~ ~ ~ (15.46)

—r ^ i + ~ —r d = s A ph 0 < r < R n

dr т аг

d 2APE 1 dAPE (15.47)

- J 7 ^ + 7 ~ i r = s 4 ffe ,i' < r S “ '

Преобразованные граничные условия (15.43)— (15.45) будут

таковы:

~ (dAP, dAPE

r' dr dr

= j , ДР/ = ДР£ приГ=Лг> О 5-48)

в случае «а» А РЕ = 0 при r = 1, (15.49)

Дифференциальные уравнения (15.46) и (15.47) имеют известные

общие решения — см. уравнения (П. 124) и (П. 125):

APj(r\s)=AjIQ(^s f)+BjKQ(y[s f), 0 <Г<Яг, (15.51)

APE(ns)=AEIQ(^s F )+ B e Kq('Is Г), R r<T<oo, (15.52)

rRcA/tBj,AE,BE — постоянные коэффициенты (не зависящие от пе

ременной величины r )t но они могут зависеть от параметра s; /о,

Kq — модифицированные бесселевы функции I и И рода нулевого

порядка.

Во внутренней области оригинал-функции^ ApjiflFo), а следо

вательно, и изображение этой функции APj(r^s) должно быть

конечной величиной во всех точках, включая и центр, т.е. при

г = 0. Известно, что функция Kq (>Is Г) при нулевом значении

ар1умента, т.е. при г = 0, обращается в бесконечность. Поэтому в

равенстве (15.51) необходимо принять

£/ = 0. (15.53)

Учитывая равенства (15.51)— (15.53) и правила дифференциро

вания модифицированных бесселевых функций — см. соотношения

(П. 165) и (П.166), из условий (15.48)— (15.50) получим:

A,h Ы?Rr)-AEh Rr) + BEK\

-Л , /0 (^lsRr)+AEI o ^ R r) + BEKo(ylsRr) = 0, (15.55)

в случае «а*...Л£/о( ^ ) + 2?£/^(\!у)=:0, (15^56)

в случае *б*..АЕ1[ ('Is) + BEKi (>£) = 0. (15.57)

Три (неизвестных) коэффициента AhAEiBE можем определить:

для случая «а» из трех уравнений (15.54)— (15.56),

для случая «б» из трех уравнений (15.54), (15.55), (15.57).

Подставляя найденные значения этих коэффициентов в урав

нения (15.51) и (15.52), в итоге получим:

для случая «а», т.е. для открытого пласта:

• г.-. .-г-. (15-58)

iP ,(r,S) = -

-----------------------------------------------------

/ ,< г * ).

• г.-. l / o ('f )* i < r ''f )- / o (r ''£ ')* i('f). г-. (15-59)

ДР£ ('. *) - ;

-----------------

----------------------------

'• (* Л ■

для случая «б*, т.е. для закрытого пласта:

. - ч 1 /о (R & ) Кх (>£)+/, ( ф Ко (k rf) _ _ Гч (15.60)

Д Л М - j

---------------------------------------------------

IoirS),

lIo ^ )K it ^ )+ Il(^)Ko(rls)rf~ (15.61)

, 1 VoWS^^iNSJ+iilNSjAoirVS) г _,-ч

АР£ (Г, s) = 7 -------------------

----------------------------

/0 (R г VS).

Пользуясь теоремой Хивисайда (из операционного исчисления) для

перехода jc оригиналам £±pl (i\ t) , АрЕ (r\ t) от изображений

АР/ (/7s), АРе (/7s), представленных равенствами (15.58)— (15.61), получим:

для случая «а», т.е. для открытого пласта:

4Р/(г, Fo) = - Intf г - yo(«v) /о(Л г av) /0 (г av), (15.62)

-a*Fo

&Ре(г\ Fo) = - ln r~ - aj x(a~) Jo(R >■ a v )Л>(г a « ) ,

для случая «б» , т.е. для закрытого пласта:

_____

~ R 2 + P 3

Ар/(г, Л>) ~2Fo - Infi г + — -— - ~ +

Ap^r, Fo) =2Fo - Inr + ' v

~ tfjr + r 2 3

тИГл У ^ )Ы Ь ,л r) W ,

“ £ V o(0v)

(15.63)

00 -b^Fo ^

) yi^v) ^ г 1 (15.64)

где 1о,У| — символы бесселевых функций первого и второго

рода нулевого и первого порядков; av, (v = 1,2, 3...) суть корни со

ответственно таких уравнений:

Формулы (15.62)— (15.65), представляющие точное решение

сформулированной выше задачи, позволяют определить безразмер

ное понижение давления в любой точке пласта в любой момент

после пуска в начальный момент окружной галереи с постоянным

дебитом в условиях открытого (упруго-водонапорный режим) или

закрытого (замкнуто-упругий режим) пласта.

Чтобы облегчить использование этих формул, составлена

табл. 15.2, в которой приведены значения первых пяти корней

av, bv бесселевых функций и значения входящих в формулы коэффи

циентов, зависящих только от этих корней ( но не зависящих от

ruFo)y которые обозначены так:

_ У0(Ау) _ Yx(by) (15.67)

v av/, (av) ’ v bvJQ(bv)'

Таблица 15.2

Значения первых пяти корней av,bv бесселевых функций /ои/i и зависящих

от них коэффициентов CV, А-, входящих в формулы (15.62)—(15.67)

a v

Ьм bl

2,40483 5,78318 1,28316

3,83171

14,6819

0,83976

5,52008 30,4713 0,56690

7,01559 49,2185 0,45115

8,65373 74,8870

0,36244

10,1735 103,499

0,30991

4 11,7915

139,040 0,26619 13,3237 177,521

0,23629

5 14,9309

222,932 0,21029 16,1706

271,282 0,19100

Формулами (15.62)— (15.65) удобно пользоваться лишь в тех

случаях, когда безразмерное время Fo не слишком мало.

Малым значениям Fo в оригиналах функций соответствуют

большие значения параметра s преобразования Лапласа в изобра

жениях функций. При больших значениях параметра s в формулах

(15.58)— (15.61) допустимо заменить цилиндрические функции их

асимптотическими разложениями. Выполнив это и переходя опять

от изображений к оригиналам в формулах (15.58)— (15.61), получим

такие формулы для подсчетов понижения давления при малых

значениях Fo:

. M T L - j r - u , „ , . 12- r - м

’' Ъ 1'И* Т ? Г

- /erfc

2 <Fo

для случая «б», т.е. для закрытого пласта,

г _ , л Ш Г (. , \r~-RA , . г 12-Г-Д

Ap/iE (г, Fo) ~ Л/ Г/?г | гегГс ? ^ + (erfc

(15.69)

Если в формулах (15.68), (15.69) положить r = R n то получим,

учитывая еще соотношение (П.35), такое выражение для безраз

мерного понижения давления Арсг на стснке самой окружной

галереи при малых значениях Fo

A/ Z W 1 1-Лг

Арсгт ~ Ч Я 2 ^ ± i e r f c - ^

(15.70)

где верхнии знак соответствует открытому, а нижнии знак — закры

тому пласту.

В практически интересных случаях радиус галереи Rr значи

тельно меньше радиуса Лк контура питания пласта или его

непроницаемой границы. Поэтому при малых значениях Fo допу

стимо принять, что

(15.71)

Учитывая соотношения (15.71) и (15.39), из формулы (15.70)

получаем для понижения давления &pcr(t)=p0-pcv(t) на стенке

галереи такую формулу, имеющую одинаковый вид как для

открытого, так и для закрытого пласта при малых значениях

времени:

Формула (15.72) совпадает с формулой (10.76), выведенной для

случая работы окружной галереи в условиях бесконечного пласта.

Из физических соображений этого следовало ожидать, так как при

малых значениях времени не должно сказываться влияние границ

пласта на понижение давления на стенке окружной галереи, если

ее радиус значительно меньше радиуса окружной границы пласта.

При анализе формулы (10.76) пояснялось, почему она, а

следовательно, и формула (15.72) напоминают по виду формулу

(4.13) для определения понижения давления на стенке прямоли

нейной галереи.

Итак, поскольку даже на стенке галереи понижение давления

при малых значениях t и Fo не зависит от условий на границах

пласта (при Rr« R k), то тем более это справедливо для понижения

давления в центре галереи. Поэтому для определения понижения

давления Арц (t) в центре галереи (при г = 0) вполне допустимо

пользоваться при малых значениях времени и при Rv« R k такой

же формулой, какая была выведена для бесконечного пласта в § 2

главы 10, т.е. формулой (10.60), которая в принятых в данном

параграфе обозначениях запишется так:

АРц (t) =

(?гЦ

4тФк

r R r j

-E i

4к?

V м

(15.73)

Оценим возможность практического использования выведенных

формул.

При F o »0 ,0 4 с погрешностью не более 1% допустимо

использовать точные формулы (15.62)— (15.65), сохраняя в них не

более четырех членов каждого из рядов в правых частях.

При малых значениях Fo допустимо пользоваться приближен

ными формулами (15.68)— (15.73), которые при Foe0,04 обеспечи

вают погрешность не более 1%.

При / Ь < 0,4(1 -R r)2 величины понижений давления на стенке

галереи в бесконечном и ограниченном пластах (открытом или

закрытом) отличаются друг от друга не более чем на 1%. При

/Ъ = 0,72(1 - R r) 2 это различие может достигнуть уже 5%. При

этом замена открытого пласта бесконечным приводит к завышению

величины понижения давления на стенке галереи, а замена

закрытого пласта бесконечным — к занижению указанной вели

чины.

Используя закон Дарси и дифференцируя понижения давлений,

определяемые выведенными в данном параграфе формулами, можно

получить формулы для подсчетов расходов жидкости в любые

моменты через любые окружные сечения пласта, концентричные

галерее.

§ 3. Задание линейно изменяющегося со временем дебита

окружной галереи в ограниченных открытом

и закрытом пластах

Приведем решение задачи, полученное В. Е. Влюшиным и О. Н. Ха-

риным [140]. Постановка задачи точно та же, что и в предыдущем

параграфе, но теперь дебит Qv окружной галереи считается не

постоянным, а линейно зависящим от времени:

Gr(0 = Qrt+Qnf, (15.74)

где £?го и <2ri — постоянные величины, причем Qr и Ql о имеют

размерности объемного расхода, т.е. — , а величина Qr\ имеет раз-

мерность расхода, поделенного на время, т.е.

Исходные дифференциальные уравнения, обозначения, началь

ные и граничные условия для определения безразмерных понижений

давлений Apj(r\Fo) и ispE(i\Fo) во внутренней и внешней областях

галереи те же, что и в предыдущем параграфе. Используя опять

преобразование Лапласа, решая сначала полученные обыкновенные

дифференциальные уравнения для изображений функций, а затем

переходя от изображений к оригиналам, были получены следую

щие формулы для определения безразмерных понижений давлений

в любой точке пласта и в любой момент (т.е. при любых значениях

ruFo):