Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
♦Оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь
из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу,
она хранит все тайны и на вопросы ваши будет
отвечать вам непременно и удовлетворительно*.
Н. И. Лобачевский
♦Сближение теории с практикой дает самые
благотворные результаты, и не одна
только практика от этого выигрывает*.
П. Л. Чебышев
ВВЕДЕНИЕ
Данная монография может быть полезна и интересна не только
нефтяникам, газовикам, гидрологам, гидротехникам и всем, зани
мающимся проблемами, связанными с фильтрацией, но и значи
тельно более широкому кругу специалистов. Объясняется это тем,
что теории фильтрации, теплопроводности и диффузии родствен
ны, так как в них используется один и тот же математический
аппарат и решаются во многом одинаковые по постановке краевые
задачи математической физики.
Неустановившиеся процессы исследуются в данной монографии
на языке (в терминах) теории фильтрации, но все результаты
исследований относятся и к неустановившимся процессам перерас
пределения теплоты и концентрации, которыми занимаются в
теориях теплопроводности и диффузии. Все это пояснено в § 6
главы 1. В § 5 той же главы выведено дифференциальное уравнение
пьезопроводности — основное, которому подчиняются неустано
вившиеся процессы перераспределения давления в пласте. Это
уравнение параболического типа, причем совершенно одинаковое
с основными дифференциальными уравнениями теплопроводности
и диффузии.
Возможности и результаты использования математики при
решении проблем естествознания и техники давно и хорошо
известны. Тем не менее в связи с только что отмеченными фактами
автор хотел бы, чтобы читатели вновь испытали чувство восхищения
мощью математического анализа, позволяющего одинаковыми диф
ференциальными уравнениями охватывать разнородные процессы,
происходящие в природе и изучаемые в совершенно различных
науках. /
В данной монографии используются, во-первых, те результаты,
которые были получены ранее при решении родственных задач
теории теплопроводности и диффузии. Во-вторых, приводятся
решения и таких задач теории фильтрации, которые обогатили
теорию теплопроводности и были включены, например, в получив
шую особую известность книгу Г. Карслоу и Д. Егера [350],
переведенную на многие языки, в том числе и на русский. В-третьих,
в данной монографии приводятся и новые решения, полученные
автором, его учениками и сотрудниками. Около 250 ссылок на их
работы, посвященные исследованиям неустановившейся фильтра
ции, включены в указатель литературы, приведенный в конце этой
монографии. Большая часть этих работ была выполнена с конца
50-х до середины 70-х годов. Аспиранты и сотрудники кафедры
теоретической механики, которой в Московском нефтяном инсти
туте (ныне — Государственная академия нефти и газа) заведовал
автор, были увлечены составленной автором программой исследо
ваний проблем неустановившейся фильтрации.
Перед пояснением этой программы следует сделать ряд
замечаний. Формулы, получавшиеся в результате точных решений
дифференциальных уравнений пьезопроводности, теплопроводно
сти, диффузии, были в большинстве случаев очень громоздкими,
сложными; их было трудно анализировать и весьма неудобно
использовать для практических расчетов.
Для получения простых и эффективных формул наметилось
в основном два пути. Во-первых, использовались специальные
приближенные методы, основные из которых описаны в главе 26
данной монографии. Получение этими методами относительно
простых расчетных формул достигалось либо за счет упрощения
исходной модели неустановившегося процесса, либо (что часто
было равносильно) за счет упрощения исходного дифференциаль
ного уравнения.
Второй путь сводился к тому, что сохранялись исходные модель
и дифференциальное уравнение, но интегрирование этого уравне
ния проводилось раздельно для случаев малых и больших значений
времени. Однако не всегда достаточно подробно и корректно
оценивались возможные погрешности подсчетов по приближенным
формулам, и часто оказывался слишком велик интервал «средних»
значений времени, внутри которого исключалась возможность
использования этих формул.
После этих замечаний становится понятной упоминавшаяся выше
составленная автором программа исследований неустановившихся
процессов. Рекомендовалось:
1. Новые задачи обязательно решать строгими методами мате
матической физики, получая в результате точные формулы.
2. Упрощать новые и ранее выведенные точные формулы (не
упрощая исходных моделей и дифференциального уравнения),
причем именно так, чтобы полученные в результате приближенные
формулы были просты, удобны для подсчетов и лишь с малой
погрешностью охватывали весь (или почти весь) диапазон изме
нения времени.
3. Сопоставлять расчеты по приближенным и точным формулам,
чтобы можно было с уверенностью указывать для различных
интервалов времени степени погрешности приближенных формул.
Именно по такой программе выполнялись многие из перечис
ленных в указателе литературы работ, например В. Е. Влюшина,
О. Н. Харина, Г. П. Гусейнова, 3. Ф. Карпычевой и самого автора.
Бывало, что полученная вначале форма приближенных формул
также была недостаточно проста, и тогда в последующих иссле
дованиях ее дополнительно упрощали и улучшали.
При написании монографии автор стремился сделать изложение
материала понятным и интересным не только научным работникам
и инженерам-практикам, но доходчивым и для студентов старших
курсов. Доходчивости изложения должно содействовать, во-первых,
то, что почти в каждой главе имеется первый параграф, специально
посвященный вводным замечаниям, кратко освещающим основное
значение материала данной главы и его связь с материалом
предшествующих глав. Во-вторых, значительную помощь читателям
призвано оказать помещенное в конце монографии Приложение.
При составлении Приложения автор учитывал, что в большин
стве технических вузов в программы основных курсов высшей
математики совсем не входит, или входит лишь в малой степени,
теория специальных (высших трансцендентных) функций. Исполь
зование специальных функций было совершенно необходимо для
решения многих задач. Конечно, используя здесь какие-либо
специальные функции, можно было бы ограничиться ссылками на
учебники, учебные пособия или монографии, которые полностью
или частично посвящены теории этих функций. Такие ссылки автор
всегда приводит. Однако автор учитывал и то, что не каждому
читателю данной монографии возможно и необходимо в полном
объеме овладевать теми пособиями, на которые приводятся ссылки;
ведь часть из таких пособий рассчитана на математически широко
образованных читателей и имеет значительный объем.
Поэтому, кроме ссылок на дополнительную литературу, автор
ссылается и на соответствующие параграфы Приложения. В каждом
параграфе Приложения автор, кроме определения соответствую
щего семейства специальных функций, старался кратко и доходчиво
привести лишь такие их свойства и математические соотношения,
которые необходимы и вполне достаточны для понимания матери
ала, излагаемого в монографии.
В § 11 Приложения описаны специальные функции (и приве
дены соответствующие таблицы для их вычисления), введенные
автором и позволившие особенно просто выразить все наиболее
важные формулы, характеризующие неустановившиеся плоско-ра
диальные потоки.
Большое внимание в монографии уделяется не только строгому
выводу формул, но и их анализу и приложениям к решениям
многочисленных задач практики, связанных в основном с исследо
ванием скважин, а также нефтеносных и водоносных пластов,
способами определения коллекторских характеристик пластов и
особенностями их разработки.
По всем наиболее важным формулам автор либо сам проводил
числовые подсчеты, либо собрал воедино подсчеты других специ
алистов; на их основе составлены таблицы и графики. Глава 16
специально посвящена числовым оценкам наиболее полезных для
практики простых приближенных формул.
Автор убежден в том, что итоги числовых подсчетов позволяют
лучше понимать сами исходные формулы. Кроме того, многочис
ленные таблицы и графики могут быть непосредственно исполь
зованы в проектах разработки нефтяных месторождений, а также
при анализе итогов исследований пластов и скважин.
При решении задач, а иногда и при решении одной и той
же задачи автор использовал разные методы, что позволяет
сопоставить и оценить их особенности и возможности. Так,
например, для решения краевых задач, возникающих при интег
рировании дифференциального уравнения пьезопроводности с
учетом начального и граничных условий, применялись методы
операционного исчисления и метод Фурье разделения перемен
ных. Кроме того, следуя Томсону [966] и Рэлею [944], автор
использовал методы интегрирования по времени и по координате
стокообразных решений, расширив круг задач, которые были
решены до сих пор этими методами.
Необходимо отметить большие возможности решения задач с
помощью функций Грина. Этот метод весьма успешно использован
в монографии М. А. Гусейн-Заде и А. К. Колосовской [202], а
также в статье А. Грингартена и X. Рэми [847] применительно
именно к решению задач теории упругого режима. Применительно
к широкому кругу задач подземной гидродинамики этот метод
достаточно полно описан в монографии Я. Бэра и соавторов [110].
Начиная работу над написанием этой монографии, автор
предполагал провести исследование неустановившихся процессов
фильтрации, последовательно обобщая и усложняя модели этих
процессов. К сожалению, первоначальный план выполнить не
удалось. Объясняется это тем, что работа над монографией
растянулась на многие годы и велась с большими перерывами.
Автору приходилось длительно отвлекаться на решение других
проблем, связанных с теорией и практикой разработки нефтяных
месторождений и нефтедобычи. В результате автору не хватило
сил и времени выполнить работу в первоначально задуманном ее
плане. Пришлось ограничиться исследованием неустановившихся
процессов в условиях лишь простейшей модели, причем даже
такое исследование определило весьма большой объем монографии.
Простейшая модель неустановившейся фильтрации жидкости
характеризуется следующими признаками: однородная сжимаемая
жидкость движется в однородной, изотропной, сжимаемой пористой
среде; сжимаемость жидкости и пористой среды подчиняется
линейному закону упругости Гука; движение жидкости подчиняется
линейному закону фильтрации Дарси; процесс фильтрации —
изотермический; в процессе фильтрации жидкость ведет себя как
ньютоновская.
Именно такой простейшей физической модели фильтрации
соответствует линейное дифференциальное уравнение пьезопро
водности. Следует подчеркнуть, что при аналогичных простейших
условиях на основе линейного закона Фурье выводится линейное
дифференциальное уравнение теплопроводности. Так же точно,
при аналогичных простейших условиях, на основе линейного закона
Фика выводится линейное дифференциальное уравнение диффу
зии.
Хотя используемые физические модели весьма просты и
идеализируют природу, но на их основе в теории фильтрации,
теплопроводности и диффузии удалось обнаружить множество
таких важнейших особенностей исследуемых неустановившихся
процессов, которые позволили сделать выводы, не только очень
интересные теоретически, но и нашедшие широкое применение на
практике.
Поэтому соответствующие простейшие физические модели
нельзя недооценивать, хотя, конечно, нельзя и переоценивать,
помня об их ограниченности.
Естественно, что развитие теорий фильтрации, теплопроводно
сти и диффузии не могло остановиться на принятии только
простейшей модели исследуемого процесса. Модели усложнялись,
соответственно усложнялись и основные исходные дифференци
альные уравнения. Таков неизбежный путь развития каждой науки,
и в частности сравнительно новой науки — реологии.
Один из основателей реологии — М. Рейнер [538], [539] —
особенно четко указал на закономерность развития моделей,
составляющих иерархию реологических моделей: каждая последу
ющая не исключает предшествующую, а включает ее как частный
случай.
Однако ситуация может быть и другой — новая модель
дополняет прежнюю, не включая ее в себя, характеризуя родст
венный процесс, но иной природы. Так, например, в теории
фильтрации модель трещиноватой среды дополняет, но не включает
в себя модель пористой среды.
При исследовании неустановившейся фильтрации новые модели
появлялись и как естественное усложнение старых моделей,
включая их в себя, и как существенное дополнение к старым.
Так, например, в нашей стране первое указание на возможность
усложнения описанной выше простейшей фильтрационной модели
было сделано в опубликованной в 1948 г. статье Г. В. Исакова
[305], обратившего внимание на необходимость учитывать влия
ние необратимости объемной деформации пласта (пористой среды).
В 1956 г. на IV Международном нефтяном конгрессе в Риме был
сделан тогда же опубликованный доклад А. П. Крылова и Г. И. Ба-
ренблатта [383]. Авторы предложили более сложную модель
деформации пласта — упруго-пластическую. Именно этой модели
особое внимание позднее было уделено А. Т. Горбуновым [169],
[172]. В опубликованной в 1961 г. статье А. Бана, К. С. Баси нова,
В. Н. Николаевского [41] был приведен вывод новых, более общих
дифференциальных уравнений фильтрации жидкостей и газов
в деформируемых пористых средах.
В опубликованных в 1961 и в 1964 гг. статьях В. Н. Николаев
ского и А. Т. Горбунова была значительно развита нелинейная
теория упругого режима фильтрации [476], [168], [478].
Учету проницаемости кровли и подошвы пласта, а также учету
неоднородности пласта в условиях упругого режима были посвя
щены начиная с 1961 г. работы М. А. Гусейн-Заде и его учеников
[193]—[202], [263]—[266]*.
Большой вклад в изучение неустановившихся процессов филь
трации внесли гидрогеологи.
Начиная с 1962 г. в работах В. М. Шестакова [699], [704], [705]
и других авторов была развита теория упругого режима водоносного
пласта при учете упругости перекрывающей его кровли и много-
слойности.
Вопросы уплотнения грунтов под нагрузкой и теории грави
тационно-упругого режима начали исследоваться с 1961 г. Н. Н. Ве
ригиным [122], [127].
Неустановившейся фильтрации безнапорных грунтовых вод и
решению задач собственно упругого режима были посвящены
*
Пояснение термина «упругий режим» см. в примечании в конце введения.
многочисленные, начатые с 1956 г., работы Ф. М. Бочевера [88],
[90], [96] и др.
В связи с упоминанием о неустановившейся фильтрации
безнапорных грунтовых вод следует указать, что дифференциальное
уравнение, которому подчиняется этот процесс, впервые было
выведено и опубликовано Буссине в 1877 г. Это дифференциаль
ное уравнение Буссине было нелинейным. Было предложено много
способов его линеаризации. В результате линеаризации получалось
линейное дифференциальное уравнение, совпадающее с уравнением
пьезопроводности.
В 1929 г. Л. С. Лейбензон вывел нелинейное дифференциаль
ное уравнение движения газа в пористой среде и в дальнейшем
развил теорию фильтрации газа и газированной жидкости [413]—
[415]. Это уравнение Л. С. Лейбензона совпало с упомянутым выше
уравнением Буссине. Оно также было подвергнуто линеаризации
несколькими способами и в результате совпало с уравнением
пьезопроводности.
Таким образом, оказалось, что к неустановившимся процессам
фильтрации безнапорных грунтовых вод и газов в пористой среде
допустимо (с некоторым приближением, определяемым линеариза
цией дифференциальных уравнений) применять весь разработанный
математический аппарат и все выводы, полученные применительно
к условиям упругого режима.
Новая, получившая широкую известность, модель фильтрации
жидкости в трещиноватых породах была разработана и опубликована
в 1960 г. в статье Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова, И. Н. Ко-
чиной [52а].
Открытие в конце 50-х годов крупных нефтяных месторождений
в трещиноватых пластах в окрестностях города Грозного вызвало
развитие теории упругого режима применительно к трещиноватым
породам. Начиная с 1962 г. по этим вопросам были опубликованы
работы Н. П. Лебединца, В. Н. Майдебора с соавторами [408а],
М. С. Багова, В. И. Цоя [36а], Э. В. Соколовского [561а],
Р. Г. Исаева [298], Л. Г. Наказной [465], [466].
В монографии Р. М. Минчевой [786а] были учтены итоги
исследования упомянутых выше грозненских специалистов, а также
приведены результаты собственных исследований автора и сс
сотрудников в связи с разработкой болгарских нефтяных место
рождений в трещиноватых коллекторах в условиях упругого режима.
В работах Р. Г. Исаева в комплексе исследовались процессы
неизотермической фильтрации жидкости и в трещиноватой и в
трещиновато-пористой горных породах с усложненными реологи
ческими характеристиками [299]—[304].
Большие работы по фильтрации неньютоновских жидкостей
были проведены в Баку А. X. Мирзаджанзаде и его учениками
[444], [18], в Москве В. М. Битовым [274—277], М. Г. Бернадине-
ром [69], в Уфе В. В. Девлекамовым и его учениками [251].
Очень важное развитие теория упругого режима получила в
исследованиях по релаксационной фильтрации, проведенных кол
лективом казанских ученых: Ю. М. Молоковичем, Н. Н. Неприме-
ровым, В. И. Пикуза, А. В. Штаниным [452]—[454].
В монографиях А. Хупера [863], Э. Б. Чекалюка [673]* было
указано на возможность использования строго выведенных формул
для расчетов, позволяющих определять границы пласта. Этим
закладывались основы метода пьезометрической разведки пласта.
Именно по этому пути пошел Н. Н. Непримеров с сотрудниками
[471—473]. Их уникальные прецизионные промысловые исследова
ния неустановившихся процессов фильтрации на Ромашкинском
месторождении позволили доразведывать нефтеносный пласт при
его разработке: определять границы пласта, следить за продвиже
нием контура нефтеносности.
Полученные Л. Г. Кульпиным и его сотрудниками [392]—[396]
результаты широкомасштабного использования ЭВМ для обработки
итогов промысловых исследований специально создаваемых н су ста
новившихся процессов перераспределения пластового давления
послужили очень хорошей апробацией пьезометрической разведки
пластов.
Выше были кратко отмечены только первые этапы начавшегося
с 50-х годов развития некоторых принципиальных положений теории
и приложений неустановившейся фильтрации. В тексте монографии
об этих этапах сказано кратко, но с несколько более подробными
ссылками на указатель литературы. Все эти и некоторые иные
этапы развития теории и приложений автор первоначально включил
в план написания своей монографии, но, как выше уже было
отмечено, не смог это осуществить.
Хотя в монографии исследуется в основном простейшая модель
неустановившихся процессов фильтрации, в главе 1 выведены
дифференциальные уравнения для значительно более общих
моделей. Из них, в частности, получается основное уравнение
пьезопроводности.
Заботясь о доходчивости изложения, о том, чтобы наиболее
просто выявить главные особенности неустановившихся процессов,
Книгу Э. Б. Чекалюка [673] следует отметить особо. При изложении теории
упругого режима в книге приведены многие ценные оригинальные результаты твор
ческой работы ее автора.
автор проводил исследования, главным образом, только одномерных
потоков. В монографиях Я. Бэра, Д. Заславского, С. Ирмея [110],
Ст. Георгица [840], [841], Г. Карслоу и Д. Егера [350], Т. Оровяну
[926], П. Я. Полубариновой-Кочиной [519], А. Хупера [863],
X. Шеллера [952] и во многих статьях, приведенных в указателе
литературы, даны математически строгие решения задач, связанных
с неустановившимися неодномерными потоками в условиях упругого
режима или безнапорных вод.
В данной монографии автор уделил большое внимание пра
вильному историческому освещению развития и решения наиболее
важных задач теории неустановившихся процессов. Этому очень
способствовало изучение автором первоисточников, начиная с
классических работ основателей теории теплопроводности:
Ж. Фурье [836], П. Лапласа [896], Г. Ламе [894], [895], У. Томсона
[966], Ж. Рэлея [944] и работ основателей математической
теории упругого режима: У. Херста [868]—[876], М. Маскета [434],
[435] и др.
В книге известного математика и историка наук Ван Дер Вардена
[111а, с. 13] высказаны по этому поводу следующие весьма
правильные суждения, имеющие значение не только для истории
математики: «Сколько утверждений в книгах по истории математики
списывалось из других подобных же книг без всякой критики и
без изучения первоисточников! Сколько находится в изучении
побасенок, которые считаются общепризнанными истинами!», «Чи
тать классиков в полном их тексте гораздо более поучительно,
нежели читать их в современном изложении, да к тому же это и
гораздо приятнее».
К сожалению, при изложении вопросов истории развития
подземной гидродинамики, и в частности теории упругого режима,
автор давно обнаружил много неточностей и «побасенок» (упот
ребляя выражение Ван Дер Вардена), что и побудило его во многих
главах давать исторические справки и даже посвящать историческим
замечаниям отдельные параграфы.
Примечание 1. Выше неоднократно употреблялся термин «упругий режим»,
который широко используется и в очень многих главах монографии. Для тех
читателей, которые не знакомы с теорией разработки нефтяных месторождений и
напорных (артезианских) водоносных пластов, приведу пояснения этого термина.
Воспользуюсь для этого теми определениями, которые были даны в главе 1 книги
автора 1739].
Режимом нефтегазо водонос но го пласта называется проявление доминирующей
формы пластовой энергии в процессе разработки. Указание режима является
необходимым, но далеко не достаточным для полной характеристики поведения
пласта.