Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Желая проверить правильность выведенных формул, подставим

в соотношение (14.45) г = Rc и учтем равенство (14.49):

(14.54)

Полагая в формуле (14.51) t = 0 и учитывая равенство (14.54),

обнаружим, что

[Л/МП Ъ = о = 0, (14.55)

как и должно быть согласно начальному условию (14.3).

По поводу самой постановки краевой задачи, решаемой в данном

параграфе, и по поводу выведенных здесь формул (14.47),

(14.50)—(14.53) необходимо сделать такие же замечания, какие были

сделаны в § 2 главы 13 относительно постановки аналогичной

краевой задачи для прямолинейно-параллельного потока и отно

сительно формул (13.54)—(13.57). Именно, следует учитывать, что

после пуска скважины с постоянным дебитом давление во всем

пласте должно непрерывно понижаться. Однако очевидно, что

реально этот процесс понижения давления может продолжаться

лишь до того момента, названного в § 2 главы 6 и в § 2 главы 13

допустимым моментом £доп, пока сохраняется лежащая в основе

решаемых задач модель упругого режима. Как только давление,

наиболее интенсивно снижающееся на забое возмущающей сква

жины, достигнет той величины, при которой модель упругого

режима нарушается, так с этого момента следует считать весь

последующий процесс снижения давления, определяемый выведен

ными здесь формулами, только теоретически возможным. Конечно,

если величина понижения забойного давления, опрсделямая равен

ством (14.53), такова, что упругий режим не нарушается, то не

надо делать никакой оговорки о допустимом моменте времени tmi

и можно пользоваться подсчетами по всем выведенным здесь

формулам до t — ОО'

Сопоставляя начальное и граничные условия, которые были

заданы при постановке рассматриваемой здесь задачи, с выводами,

полученными из соотношений (14.52) и (14.53), вполне возможно

представить качественную картину изменения со временем пьезо

метрических линий.

Рис. 14.4. Схематичное изображение пьезометрических линий в плоско-радиальном

потоке при условии задания постоянного дебита скважины и поддержания

начального давления на контуре питания

Такая картина схематично изображена на рис. 14.4. При t = О

пьезометрическая линия изображается горизонтальной прямой DB,

соответствующей начальному пластовому давлению р0.

Так как по условию задачи давление рк на контуре питания

сохраняется все время равным начальному, то все пьезометрические

линии во все моменты должны заканчиваться в точке В, располо

женной на расстоянии (Rk - Rc) от стенки возмущающей скважины

AD. При t = оо на забое понижение давления должно (если это

возможно без нарушения модели упругого режима, о чем выше

было сказано) достигнуть такой величины Ар су, какая равна

понижению давления при установившемся притоке жидкости к

скважине. Величину А р су следует считать равной [А р c(t)]t = oot

т.е. определяемой равенством (14.53). Изображенная на рис. 14.4

пьезометрическая линия АВ есть кривая логарифмического типа.

К этой кривой должны асимптотически приближаться с течением

времени все остальные пьезометрические кривые.

Если считать, что забойное давление в возмущающей скважине

не может быть меньше величины рД011, допускаемой при сохранении

модели упругого режима, причем р Д011 > р су, то и всю пьезометри

ческую линию, начинающуюся на стенке скважины со значения

Рдоп (от точки К на рисунке) следует считать предельной и

соответствующей моменту *Д011. Тогда все нижележащие пьезомет

рические кривые (при t> tД01|) будут только теоретически мысли

мыми и поэтому на рис. 14.4 они проведены пунктиром. На стенке

скважины (на линии AD с ней совпадающей) все пьезометрические

линии имеют касательные с одинаковыми углами наклона, соот

ветствующими постоянному дебиту, с которым пущена скважина.

В точке В уклоны пьезометрических линий увеличиваются от нуля

при t = 0 до максимальной величины, соответствующей уклону

кривой логарифмического типа при установившемся потоке жид

кости от контура питания к скважине (при t = °°). Все болсс длинные

начальные участки пьезометрических линий должны быть парал

лельны самой нижней пьезометрической кривой.

На рис. 14.4а схематично изображены графики зависимости

пластового давления от времени на забое возмущающей скважины

и в точках пласта на разных расстояниях от нес (т.е. в различных

реагирующих скважинах). Так как возмущающую добывающую

скважину мгновенно пускают в эксплуатацию с постоянным

дебитом, то забойное давление в ней сразу же должно начать

снижаться, причем так, что линия соответствующего графика будет

в начальный момент касаться оси ординат. С течением времени

эта линия должна асимптотически приближаться к горизонтальной

прямой на уровне р = р су, определяемом равенством (14.53). Линии,

соответствующие графикам изменения давления в реагирующих

скважинах, также будут иметь горизонтальные асимптоты. Каждая

из этих асимптот располагается на уровне того давления, которое

должно установиться в реагирующей скважине при / = <*>, т.е. на

уровне, определяемом равенством (14.52).

При схематичном изображении общий вид графиков изменения

давления в реагирующих скважинах, представленных на рис. 14.4а,

качественно таков же, как и на рис. 14.3, так как задачи, решавшиеся

в данном и предыдущем параграфах, имеют одинаковые условия

начальные и на внешней границе. Различаются эти задачи условиями

только на внутренней границе — на стенке скважины. Поэтому

линия графика изменения давления на забое возмущающей

скважины на рис. 14.3 горизонтальна, а на рис. 14.4а имеет

совершенно иную форму.

Количественные данные, необходимые для более точного

построения и исследования графика понижения давления в

возмущающей скважине, будут приведены далее.

Рис. 14.4а. Схематичное изображение графиков зависимости пластового давления

в возмущающей скважине и на различных расстояниях от нее в плоско-радиальном

потоке при условии задания постоянного дебита скважины и поддержания

начального давления на контуре питания

Продифференцируем по г равенство (14.47), учитывая соотно

шение (14.31):

Э А p(r,t) QcvM I 1 . 2 л 2

кг,т) _ \г cv и _ i z л- у

)r ~2nbk\ г Rc ^ п 2.\

X у U у { X у )

v= 1

XyUy(x у) - 4

(14.56)

+ J с

vRr

R,-

Для определения расхода жидкости Q{ry t ) в любой момент

через боковую поверхность цилиндра радиуса г, коаксиального

скважине, подставим в формулу (14.29) выражение произвол нон из

равенства (14.56), причем учтем соотношение (14.49):

J 1 I X V g

r \

^ V /?

-Jt

\ /

1£l

J2o\xv^

-хгЧ

- / Hxv)

Если в последней формуле принять, что г = Rk, то можно

определить расход жидкости Q к (R ь t) через внешнюю границу

пласта в любой момент; учитывая еще соотношение (П. 162а),

упрощающее вывод формулы, получим:

Qk(Rk,t) = Qсу

1-21-

f X —

L_ ^ с J

/l(jCv)

A x ^

°{ VR C

-J2\{xv)

2 Kf

е Кс

(14.57а)

Чтобы определить объем жидкости V(г, t), перетекшей за

время t через боковую поверхность цилиндра радиуса г, надо

проинтегрировать по времени равенство (14.57):

V(r,0 = Je(r,<)* = (2cy

I? 2

/ 0

, Rc)

Jl(xv)

JC2

^ о

L *£

VRC

V j

-J2i(xv)

2KM

1 - e *'*

Полагая в равенстве (14576) г = Rk и учитывая соотношение

(П. 162а) или непосредственно интегрируя равенство (14.57а),

определим объем жидкости V k(Rht \ притекшей в пласт за время t

через его внешнюю границу:

Vk(Rbt) = Q

су

« оо

Я?

V = 1 Y-3

J\ (Ху)

2KM

1 -e

(i4.57b)

По условию задачи дебит скважины Qcy постоянен. Поэтому

объем жидкости Vc(Rc,t\ притекшей в скважину за время t

линейно зависит от t:

' (14.58)

Vc(Rc1t) = \Q cydt=Qcyt.

~х2Ц

С течением времени экспоненциальная функция е v*c бы

стро стремится к нулю; поэтому, судя по формулам (14.576) и

(14.57в), объемы жидкости V(r, t) и Vk(Rht\ начиная с

достаточно большого значения времени, приближенно оказыва

ются линейно зависящими от времени. На рис. 14.5 схематично

изображены графики зависимости объема жидкости

V (г, t) для

различных значений г. При г = Rc графиком зависимости объема

Vc(Rc,t) от времени служит прямая линия с угловым коэф

фициентом, численно равным Qcy —- см. равенство (14.58). При

r>Rc все асимптоты параллельны этой прямой. На рис. 14.5

все асимптоты изображены пунктирными линиями. Штрих-

пунктирная линия DB соответствует допустимому моменту

^доп, смысл которого был выше пояснен. Чтобы не изменить

изображение асимптот пунктирными линиями, все сплошные

кривые линии доводятся до мест их видимого слияния с

асимптотами.

Рис. 14.5 полезно сравнить с рис. 4.10 для скважины нуле

вого радиуса с постоянным дебитом в условиях бесконечного

пласта.

Чтобы определить дебит скважины из формулы (14.57),

следует принять г = Rc, но тогда сумма ряда в этой формуле

Рис. 14.5. Схематичное изображение графиков зависимости объема жидкости,

перетекшей через различные сечения плоско-радиального потока в пласте при

постоянном дебите скважины и поддержании начального давления на контуре

питания

на основании уравнения (14.43) обращается в нуль и получается,

что

Q(R«t) = Qcy, (14.59)

т.е. дебит скважины с течением времени не изменяется, как это и

должно быть согласно граничному условию (14.37).

Полагая в формуле (14.57) t—> получим

lQ(r,t)]t = ^ = Qcy, (14.60)

т.е. при t = oо расход жидкости через любую боковую поверхность

цилиндра коаксиального скважине, оказывается равным дебиту сква

жины, как это и соответствует условиям установившегося потока.

Графики изменения с течением времени расхода жидкости, соответ

ствующие формуле (14.57), будут иметь качественно такую же фор

му, как это было изображено на рис. 13.9.

Чтобы выполнять подсчеты по формулам (14.47), (14.50),

(14.57)-(14.57в), необходимо знать значения корней jcv трансцен

дентного уравнения (14.43). В статье В. Д. Полянина [523]

выполнены сведенные в таблицы подсчеты первых 15 корней

этого уравнения при многих различных величинах отношения

— от 5 до 5000; некоторые результаты этих подсчетов восп-

роизведены в табл. 14.3.

Таблица 14.3

Первые 15 корней xv уравнения (14.43) при различных значениях —

R с

Номера

Значения корней xv при ^

R с

корней

10 100 1000

5000

1 0,2448

0,0241 0,0024

0,0005

0,5726

0,0552

0,0055

0,0011

3 0,9096

0,0866

0,0087 0,0017

4 1,2510 0,1180 0,0118

0,0024

1,5949

0,1495 0,0149 0,0030

6 1,9403 0,1810 0,0181 0,0036

2,2866

0,2125

0,0212

0,0072

8 2,6335

0,2440

0,0244

0,0049

9 2,9809 0,2755

0,0275 0,0055

10 3,3286

0,3070 0,0306

0,0061

3,6765

0,3386 0,0338

0,0068

12 4,0247 0,3701 0,0369

0,0074

4,3730

0,4017

0,401

0,0080

4,7213

0,4333

0,0432

0,0086

5,0698 0,4648

0,0463

0,0093

Анализируя табл. 14.3 можно сделать совершенно такие же

замечания по поводу закономерностей изменения величин корней,

как в предыдущем параграфе при анализе табл. 14.2.

В предыдущем параграфе уже отмечалось, что выведенные

там формулы не только громоздки, но и входящие в них ряды

сходятся медленно при малых значениях времени. Такой же

вывод можно сделать и по поводу формул (14.47), (14.50),

(14.51).

Громоздкость формул и сложность подсчетов по ним побудили

Ван Эвердингена и Херста [972] решать рассматриваемую в данном

параграфе задачу и другие аналогичные задачи иным способом —

пользуясь операционным методом. Однако полученные новые

формулы также оказались достаточно сложными и некоторые

подсчеты по ним пришлось выполнять с помощью численного

интегрирования.

Особо подробные подсчеты Ван Эвердинген и Херст выпол

нили для определения понижения давления на стенке скважины

применительно как раз для условий решаемой в данном пара

графе задачи*. Чтобы воспользоваться результатами этих под

счетов, преобразуем формулу (14.51), введя новые безразмерные

величины. Именно для безразмерного параметра Фурье восполь

зуемся равенством (14.27), а для безразмерного понижения

давления А рс на стенке скважины воспользуемся таким его

определением:

Л ~ ч 2 nbk . , _ , . (14.61)

ЬРс(/о)= п „ Ар(Дс,/о)-

vcyl1

Пользуясь введенными новыми обозначениями, формулу (14.51)

можно переписать так для определения безразмерного понижения

давления на стенке скважины:

Лрс(/о) = 1 п |^-2Х ^

'R.

' = i vJUxv)-J20

-те xv/o.

(14.62)

V* c

Для подсчета понижения давления в любой точке пласта и на

стенке скважины при условии, что Rc« R kl Маскет [434] вывел

Результаты подсчетов Ван Эвердингена и Херста полностью воспроизведены в

статьях и в монографии Хупера [862], [863].

приближенные упрощенные формулы. Этот вывод Маекета, повто

ренный и в книге Хупера [863], не вполне строг. Приближенные

формулы Маекета, которыми можно пользоваться вместо формул

(14.50) и (14.51), но только при

Rc« R k (высокая степень точности

подсчетов обеспечивается при Rc< 0,02 R к), таковы:

A p(r,t) =

QcvH

2 nbk

In — -2

2 ” Jo[XvRc

^ R,

^ lxU 2i

г Kt

_ X V n 2

; e K*

((14.63)

Як

1П^ - 2

v = l X2J}

’ R,

(14.64)

где jcv — суть корни уравнения

'R,

= 0.

(14.65)

Значения первых 40 корней бесселевой функции J0 первого

рода нулевого порядка приведены в книге [428].

Конечно, при t^oo из формул (14.63) и (14.64) получаются те

же соотношения (14.52) и (14.53), что выше были получены при

анализе точных формул.

Пользуясь определениями безразмерных величин в соотноше

ниях (14.60) и (14.61), формулу (14.64) можно переписать так:

'Л *'

V /

v Jo(xv) -xlf о .

-------

7— F 7 4 e > (14.66)

’ R<

В статье Ван Эвердингена и Херста [972] приведена таблица,