Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

При г - Rc выражение в квадратных скобках в формуле (14.100)

тождественно обращается в нуль; поэтому расход жидкости

Q(Rcyt) через стенку скважины, т.е. дебит Qc равен:

что и следовало ожидать.

При г = Rk выражение в квадратных скобках в формуле (14.100)

обращается в нуль, как это следует из уравнения (14.93). Поэтому

обращается в нуль и расход жидкости Qk(Rktt) через внешнюю

границу пласта, как и должно быть, так как эта граница

непроницаема по условию задачи. При достаточно больших

значениях времени формулу (14.100) можно упростить:

Равенство (14.102), если сохранить в нем только знак точного

равенству, представляет собой уравнение семейства асимптот при

различных значениях г, т.е. для всех линий, соответствующих

графикам зависимости расхода жидкости от времени. Все эти

асимптоты параллельны оси абсцисс. Учитывая формулы (14.100)-

(14.102), можно утверждать, что графики зависимости Q от t будут

такими же, какие схематично были изображены на рис. 13.16 для

прямолинейно-параллельного потока в аналогичных условиях зам

кнуто-упругого режима. Изображенные графики полезно сопоста

вить с графиками, представленными на рис. 4.7 для скважины

«нулевого радиуса» в условиях водонапорного режима в бесконеч

ном пласте.

На основании формулы (14.102) можно считать, что при

Рис. 14.9. Схематичное изображение графиков зависимости расхода жидкости

от г в различные моменты в условиях плоско-радиального потока в закрытом

круговом пласте при заданном постоянном дебите скважины

достаточно большом значении времени расходы жидкости через

сечения пласта радиуса г с увеличением этого радиуса уменьшаются

приближенно по параболическому закону — см. пунктирную

линию DM на рис. 14.9. На этом рисунке изображены графики

зависимости расхода Q от радиуса г в различные моменты. Ось

ординат проведена по стенке скважины, т.е. точке 0 соответствует

значение радиуса-вектора г = Rc. Точке М соответствует положе

ние контура питания пласта, т.е. значение г - R При. t>tlion все

линии, изображенные на рисунке, следует считать лишь теорети

чески возможными.

Чтобы подсчитать количество Добьем) V (r, t) жидкости, про

текшей за время t через боковую поверхность цилиндра радиуса /*,

;ацо проинтегрировать по времени равенство (14.100):

~*y\R l-R 2c к

/ \ / \

(x V)Y i x v — —/ 1 x у ~ Y, (x v) p

________

___

K c)

____

___

Kc)

_______

*v -Jlfrv)

К с

По тем же соображениям, какие излагались при анализе

формулы (14.100) для дебита скважины, из формулы (14.103)

получаем такие выводы, которые согласуются с физическими

условиями задачи:

На рис. 14.9а построены графики зависимости V от t. На

основании формул (14.103)-(14Л05) можно утверждать, что для

сечений пласта, соответствующих стенке скважины и контуру

питания, т.е. при г = Rc и г = Rki графиками будут служить

соответственно прямая линия ОАу тангенс угла наклона которой

определяется величиной Qcy, и ось абсцисс. Следовательно, все

остальные линии из семейства графиков зависимости V от t будут

располагаться внутри угла между линией ОА и осью абсцисс.

Штрихпунктирная линия BD соответствует допустимому моменту

времени £доп, что выше уже пояснялось.

Если продифференцировать равенство (14.103) по времени, то

легко заметить, что при достаточно больших значениях времени

величина частной производной не будет зависеть от ty а будет

зависеть только от г, а именно

[v (r,n ]r= *,-v e(r)=e«yf,

(14.104)

[V(r,O],=jt*-V(^to/) = 0,

(14.105)

[У(г,ОЬ-о = 0.

(14.106)

dV(rJ) я \ -г2

dt ~Ut*R l-R y

(14.106a)

Рис. 14.9a. Схематичное изображение графиков зависимости объема жидкости

перетекающей через различные сечения плоско-радиального потока в круговом

закрытом пласте при постоянном дебите скважины

Следовательно, асимптотами линий графиков зависимости

V от t служат прямые линии, углы наклона которых к оси

абсцисс тем меньше, чем больше величина г. На рис. 14.9а так

схематично и изображены прямолинейные продолжения линий

графиков.

Заметим, что при Rc« R b как это обычно и бывает в

большинстве практически интересных задач, формулы (14.100)-

(14.104) упрощаются так же, как упрощались формулы (14.92)-

(14.94).

Для упрощения подсчетов по всем формулам данного пара

графа полезно иметь значения корней xv уравнения (14.93).

В. Д. Поляниным [539] подсчитаны первые 15 корней уравнения

R k

(14.93) при многих различных значениях отношения — от 5 до

R с

5000. Некоторые результаты его подсчетов воспроизведены в

табл. (14.7).

Первые 15 корней xv уравнения (14.93) при различных значениях отношения

Номера корней

Значения корней xv при ^

R с

100 1000 5000

1 0,3941

0,0383 0,0038 0,0008

0,7331

0,0702

0,0070

0,0014

1,0748 0,1018

0,0102

0,0020

1,4189

0,1334

0,0133

0,0027

1,7643 0,1649

0,0165

0,0033

6 2,1107

0,1964

0,0196 0,0039

2,4578

0,2280 0,0228 0,0046

8 2,8052

0,2595

0,0259

0,0052

3,1530 0,2911

0,0290 0,0058

3,5010 0,3226 0,0322

0,0064

11 3,8492

0,3542

0,0353

0,0071

4,1975

0,3858 0,0385

0,0077

13 4,5459

0,4174

0,0416

0,0083

4,8944

0,4489

0,0448 0,0090

5,2430

0,4805

0,0479

0,0096

В данной таблице прослеживаются те же закономерности

изменения величин корней, какие были отмечены в трех

предыдущих параграфах при анализе таблиц (14.2), (14.3),

(14.5).

Очень подробная таблица величин безразмерного понижения

давления Д/?с в скважине в зависимости от /0 для различных

^ к

значений отношения — от 1,5 до 10 составлена Эвердингеном и

R с

Херстом [972] и полностью воспроизведена в статье и книге Хупера

[862], [863].

В таблице 14.8 воспроизведены некоторые данные из таблиц

Эвердингена-Херста.** Эти авторы проводили подсчеты безразмер

ной величины А

рп используя формулу, полученную из (14.94):

Более полно эта таблица воспроизведена в учебнике К. С. Басниева и др. [55].

Значения безразмерного понижения давления Ь р с в скважине

в зависимости от параметра fo при равном ly5Rc или 5/?с, или 10/?с.

Подсчеты выполнены по формуле (14.107)

^ 1

/о

0,06

0,08

од

0,12 0,16 0,20

0,24

0,28 0,30 0,40 0,50

0,55 0,60

0,251

0,288

0,322

0,355

0,420

0,484

0,548

0,612

0,644 0,804

0,964

1,044

1,124

3,0 3,5 4,0

5,0 6,0

7,0 8,0 9,0

10,0

п,о

12,0 13,0

15,0

А /Гс

1,167

1,227

1,281 1,378 1,469 1,556

1,641

1,725

1,808

1,892

1,975 2,059

2,225

12,0 12,5

13,0 14,0 20,0

26,0

30,0

34,0 38,0 40,0 50,0 60,0 70,0

А /Гс

1,732

1,750

1,784 1,801 1,968 2,108

2,194

2,278 2,300 2,401

2,604 2,806 3,008

ЛРс (fo ) = 7 Г ~ &Р с (О =

Vs су

(

где /о определяется равенством (14.27).

По точным данным табл. 14.8 на рис. 14.10 построен график

зависимости безразмерного понижения давления в скважине Л рс

от параметра Фурье/0 (безразмерного времени) для случая, когда

Rk = 5RC. Судя по рисунку, при/0 > 7,0 линия графика практически

прямолинейна. Это подтверждает приведенный выше анализ фор

мул (14.94), (14.96) и (14.107): при достаточно больших значениях

t или /0, понижение давления практически линейно зависит от t

или /о, что было схематично отражено на рис. 14.8.

При R c« R k решение задачи, сформулированной в начале

параграфа, было получено и в несколько другой форме, приве

денной в книге Хупера:

(14.107а)

где xv являются корнями уравнения

Рис. 14.10. График зависимости безразмерного понижения пластового давления

на забое скважины от безразмерного параметра Фурье в плоско-радиальном

потоке в закрытом круговом пласте, когда задан постоянный дебит скважины,

причем Rk ш 5Rc — см. рис. 14.1

Во избежание недоразумений напомним, что в формулах

(1А92)-(1А103) xv были корнями уравнения (14.93). Для определения

понижения давления A pc(t) на стенке скважины в формуле

(14.107а) следует положить г ^ Rc и тогда надо учесть, что можно

первым слагаемым в квадратных скобках пренебречь и принять,

R , '

что / 0

= 1, так как R с» R к-

2 кЬк

з я *

Rt 4 Я с

2 К*

. ~Ху^2

x h i(x v)

(14.107b)

Понижение давления А р к ( t) на границе закрытого пласта

определим из формулы (14.107а), положив г = Rk.

При больших значениях времени t суммы рядов, входящих в

последние формулы, будут малы; ими можно пренебречь и тогда

получим, переходя к безразмерным понижениям давления, такие

приближенные формулы (надо помнить различный смысл обозна

чений параметров Фурье /0 и F0):

Оценка погрешностей последних приближенных формул при

ведена в § 2 главы 16. Если исследуется пуск такой укрупненной

скважины, для которой радиус Rk границы пласта незначительно

превосходит радиус скважины Rc, то нельзя пользоваться форму

лами (14.107а)-(14.107ж), выведенными в предположении, что

Rc« R h а надо пользоваться формулами (14.92)-(14.94). Диффе

ренцируя равенства (14.107д)-(14.107ж) по параметру Fq, т.е. по

«безразмерному времени», обнаруживаем, что

Это означает, что скорости изменения давления практически

одинаковы и постоянны во всех точках пласта при больших

значениях F0, когда наступает равномерно-неустановившееся состо

яние пластового давления.

(14Л07д)

где г = —

(14.107з)

dАр (r,F0) ^ dApc(F0) _ d Apk(F 0)

dF0 ~ dF0 ~ dF0

(14.107и)

§ 6. Задание постоянного давления на стенке скважины

в пласте бесконечной протяженности

Рассматриваемая здесь задача относится к сформулированной

в начале § 1 данной главы задаче III типа, т.е. исследуется

неустановившийся поток жидкости к скважине в пласте бесконечной

протяженности — не имеющем внешней границы. Для рассматри

ваемой задачи на рис. 14.1 следует представить, что R k—>°°*

В скважине задается постоянное понижение пластового дав

ления А р су.

Для определения понижения давления Ар в любой точке пласта

в любой момент требуется проинтегрировать дифференциальное

уравнение пьезопроводности (14.1) при соблюдении начального

условия (14.3), граничного условия (14.4) на стенке скважины С —

на окружности радиуса Rc — см. рис. 14.1 и еще учитывая

особенность, т.е. такое «условие на бесконечности»:

р=р о, Ар=р 0-р = 0 при г - оо, 0<t<co. (14.108)

Задание конечной величины радиуса скважины делает задачу

неавтомодельной. Будем решать ее операционным методом.

Как и в § 3 главы 9 подвергнем преобразованию Лапласа

дифференциальное уравнение (14.1), учитывая начальное условие

(14.3) и обозначая через А Р ( г, s ) изображение функции

где s — параметр преобразования Лапласа.

Также подвергнем преобразованию Лапласа уравнения (14.4) и

(14.108), выражающие граничные условия:

A p(r9t):

(14.109)

(14.110)