Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
О
A(M)Y0
( N
к )
-/о|
“t j
Yi(u)
и2[/\(и) + ¥Пи)
d u .
Е сли в формуле (14.144) принять г - Rc, то определится
величина понижения давления Ар с на стенке скважины, причем
при г - Rc выражение в квадратных скобках в числителе можно
упростить, используя известное из теории бесселевых функций
соотношение (П. 162а):
< I4' ,4 5,
2 к*
1 -е I du
Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение безразмерное
понижение давления, которое обозначим через Ар с (/ 0) и опре
делим так:
ДРс(/о):
( гк f >
Ь ' ^ , 1
du
it2l0u4J\(u) + Y\{u)Y
(14.146)
Величины размерного и безразмерного понижения давления
связаны таким соотношением:
(14.147)
Формулы (14.144)-(14Л46) представляют точное решение задачи,
но для использования они сложны, так как в них входят
несобственные интегралы с громоздкими подъинтегральными вы
ражениями. Поэтому для подсчетов по формуле (14.146) Ван
Эвердинген и Херст воспользовались методом численного интег
рирования и составили таблицу, в которой привели значения
безразмерного давления Арс на стенке скважины для широкого
диапазона изменения безразмерного параметра Фурье /0: от 0,01
до 1000.
Результаты численных подсчетов цитированных здесь авторов
получили широкую известность, так как были сделаны впервые и
причем отражали результаты точного решения задачи, имеющей
большое значение в теориях теплопроводности, фильтрации и
диффузии.
В табл. 14.10 воспроизведена несколько сокращенная таблица
Ван Эвердингена и Херста. Более полно таблица этих авторов
воспроизведена в учебнике К. С. Басниева и соавторов [55].
Таблица 14.10
Значение безразмерного понижения давления А рс на стенке скважины после
ее пуска в работу с постоянным дебитом в условиях бесконечного пласта по
данным [972]
_А_
0,01
0,05
ОД
Ж
05 1
10
60
80
100
500
1000
А р с
0,112
0,229
0,315
0,424
0,616
0,802
1,651
2,476 2,615
2,723
3,516 3,860
Рассмотрим крайние случаи, для которых можно получить более
простые приближенные расчетные формулы.
Основная идея вывода приближенных формул при решении
задач, связанных с нестационерными, причем именно плоско-ради
альными потоками такого типа, какие здесь рассматриваются, была
в 1932 г. предложена Голдстейном [843] и затем использована
последующими авторами [972], [350], [427] и др.
При решении такого рода задач Голдстейн начинал (как это
было принято при использовании операционных методов) упроще
ние не с окончательных сложных формул для оригиналов искомых
функций, а с их изображений. Поэтому и в условиях данной задачи
надо начинать упрощение с формулы 14.143.
Например, учтем, что при больших значениях параметра Лапласа
5 (вернее сказать: при больших значениях величин произведений
5 (вернее ска:
>с) справедлива формула (14.25) для приближенного
определения модифицированных бесселевых функций II рода Kq
и К\. Используя эту приближенную формулу, равенство (14.143)
можно переписать так:
* P ^ ~ f ? R cbk
p. Vk~ j r ~c
> h Ъ V r
R e)
(14.148)
Переходя в этом равенстве от изображения к оригиналу,
используя соответствующую типовую переходную формулу — см.,
например, стр. 585 [427] или стр. 483 [350] — получим
Чтобы определить понижение давления А р с ( t) на стенке
скважины, примем г = Rc в формуле (14.149):
Приближенными формулами (14.149)^(14.151) (как и последу
ющей формулой, которая из них выводится) можно пользоваться
лишь при малых значениях времени t или, правильнее сказать, при
малых значениях параметра /о-
Учитывая соотношение (14.147), на основании равенства (14.151)
получаем такое выражение для безразмерной величины понижения
давления на стенке скважины:
^Полагая в формуле (14.152) _ / 0 = 0,01, находим, что
Арс~ 0,1128. Найденное значение Арс отличается от подсчитан
ного при/о = 0,01 в табл. 14.10 менее чем на 1% (точнее — на
0,75%). При меньших значениях /0 погрешность подсчетов по
простой приближенной формуле (14.152) была бы еще меньше.
Этим объясняется, что Ван Эвердинген и Херст поместили в своей
таблице, из которой заимствована табл. 14.10, результаты подсчетов
по формуле (14.146) лишь при / 0>0,01.
Наоборот, при малых значениях параметра Лапласа s ' нее
сказать при малых значениях величин произведений • и
Ap(Rc,t) = Apc(t)~
или же
(14.151)
(14.152)
R с) аргументы модифицированных функций Бесселя, входящих
в равенство (14.143), малы, а поэтому на основании соотношений
(П. 136) и (П. 166) можно воспользоваться приближенными выра
жениями этих функций:
1п| + С э „
(14.152)
(14.153)
где С э = 0,57722 — постоянная Эйлера
Используя приближенные равенства (14.152) и (14.153), из
формулы (14.143) получим такое приближенное выражение изо
бражения:
АР(г,5) =
О-Су П
2 л ft *
In Vтс г 1п2-С<
---------------
+ ---------
--------
:
(14.154)
Учтем типовую формулу для перехода от изображения Лапласа
к оригиналу — см., например, формулу № 93 на стр. 588 [427]
или формулу № 32 на стр. 485 [350]:
-1
Ins
S
= -ln t-C,
(14.155)
Перейдем в равенстве (14.154) от изображения к оригиналу:
Этой формулой допустимо пользоваться лишь при достаточно
больших значениях времени, а правильнее сказать при достаточно
к t
724
больших значениях величины
Для определения понижения давления на стенке скважины в
формуле (14.156) надо положить г = Rc:
Apc(R c,t) = Apc(t) =
Q c яИ
In
f \
4 —
R 2C
- C ,
2 nbk
(14.157)
Учитывая соотношение (14.147), на основании равенства (14.157)
величина безразмерного понижения давления на стенке скважины
определится так:
А /с (/о ) s ^ ( In 4/о - С э ) = \ ( ln/о + 0,80907). (14Л58)
Выполним подсчеты величины А рс по формуле (14.158) и
опеределим погрешность результатов этих подсчетов по отношению
к значениям, приведенным в табл. 14.10. Итоги этих подсчетов
сведены в табл. 14.11.
Таблица 14.11
Итоги подсчетов величины Лр с, определяемой приближенным равенством
(14.158), и погрешности этих подсчетов по отношению к величинам,
приведенным в табл. 14.10
/о
А Рс
Погрешность в %
10
1,5556 5,76
50 2,3606 1,15
60 2,4516 0,99
100
2,7071 0,58
1000
3,4539
0,04
Приведенные в табл. 14.11 данные позволяют сделать такой
вывод: при / 0 >60 погрешность подсчетов по приближенной
формуле (14.158), а следовательно, и погрешности подсчетов по
формуле (14.157), менее 1%.
Заметим, что для определения понижения давления Ар (г, t)
в любой момент t в любой точке бесконечного пласта на
расстоянии г от точечного непрерывно действующего стока на
плоскости, работающего с постоянным дебитом Qcу, можно поль
зоваться формулой (4.14), выведенной в § 1 главы 4:
Ap(rJ)--
4nb к
-Ei
.2 Л
4 K t
(14.159)
где Ei — символ упрощенной интегральной показательной функ
ции, определяемой соотношением (П. 49).
Если в окрестности точечного стока взять точку в пласте на
расстоянии Rc равном радиусу скважины, то понижение давления
в такой точке определяется по формуле (14.159) так:
Ap(Rc,t) =
Q су М-
4 тс Ьк
-Ei
Г
СсуИ
- Ei
1 1
4к t
\ )
-
4 п Ь к
4/о
\ J
_
(14.160)
где безразмерный параметр Фурье формально определен тем же со
отношением (14.27).
В Приложении приведена формула (П. 51) для разложения в
ряд функции |-E i(-x )], откуда можно сделать вывод, что при
достаточно малом значении аргумента х справедливо следующее
приближенное равенство:
[ -Ei (-х ) ] = -\пх- С<
(14.161)
где Сэ — постоянная Эйлера.
Поэтому при достаточно большом значении t или /0 вместо
(14.160) получаем более простую приближенную формулу:
A p(R„t):
бсуД
2кЬ к
In
K t
1 S g e y It 1п(4/о)-Сэ (14.162)
~ 2nbk 2
Приближенная формула (14.162), выведенная из (14.160), сов
падает с приближенной формулой (14.157), апробированной для
подсчетов понижения давления на стенке скважины конечного
радиуса Rc, пущенной в эксплуатацию с постоянным дебитом Qcу
в условиях бесконечного пласта. Отсюда можно сделать важный
вывод, что исходной формулой (14.160) можно пользоваться даже
с меньшей погрешностью, чем формулой (14.157), для подсчетов
понижения давления на стенке скважины при достаточно больших
значениях t или /0.
Сопоставляя формулу (14.160) с (14.147) получаем такое
приближенное выражение для безразмерного понижения давления:
ЛрЛ/о) =
1
-Ei
1
4/о
(14.163)
Проведя подсчеты по формуле (14.163) и сопоставив их
результаты со значениями, приведенными в табл. 14.10 и 14.11,
легко убедиться в том, что при /0>60 подсчеты по формуле
(14.163) дают даже несколько меньшие погрешности, чем подсчеты
по формуле (14.158). Так, например, при /0 = 100 и /0 = 60
погрешности подсчетов по формуле (14.163) составляют, соответ
ственно, 0,54% и 0,90% вместо приведенных в табл. 14.11 погреш
ностей 0,58% и 0,99%.
Итак, оказывается, что для определения понижения давления
на стенке скважины (конечного радиуса и пущенной с постоянным
дебитом в условиях бесконечного пласта) допустимо, причем с
погрешностью менее 1%, пользоваться простой приближенной
формулой (14.150) при / 0 <0,01 и простой формулой (14.157) или
(14.160) при /о >60.
Т.е., пока, остается еще сравнительно большой интервал
значений параметра Фурье (0,01 </0< 60), внутри которого искомое
понижение давления надо определять либо непосредственно по
сложным формулам, либо пользуясь приведенными выше резуль
татами подсчетов Ван Эвердингена и Херста, выполненными по
этим сложным формулам.
Заметим, что в главе 16 будут указаны не менее простые и не
уступающие по точности подсчетов по ним приближенные формулы
В. Н. Щелкачева [740], В. Е. Влюшина [139], О. Н. Харина [616].
Особенно следует отметить формулы О. Н. Харина, которые,
во-первых, обеспечивают возможность их применения во всем
интервале изменения параметра Фурье/0 (т.е. полностью исключают
необходимость пользоваться при расчетах сложными формулами);
во-вторых, формулы О. Н. Харина позволяют подсчитывать пони
жение давления не только на стенке скважины, но и в любой
точке пласта.
В заключение приведем выводы, относящиеся к основному
содержанию решенной в данном параграфе задачи.
Можно утверждать, что понижение давления в скважине будет
резко снижаться после начального момента, причем, как это следует
из формулы (14.150), подчиняясь первоначально параболической
зависимости от времени (вершина параболы соответствует началь
ному моменту). С течением времени линия этого графика пони
жения давления станет принимать форму кривой логарифмического
типа, что подтверждается формулой (14.162). Схематично линия
этого графика, как и линии графиков понижения давления в
реагирующих скважинах (т.е. в точках пласта на разных расстояниях
от возмущающей скважины), будут иметь такие формы, какие были
изображены на рис. 4.1 и 4.2.
Все пьезометрические линии, снижаясь с течением времени,
должны иметь одинаковые углы наклона касательных к ним в
точках на стенке скважины (см., например, рис. 14.4 и 4.4);
объясняется это тем, что градиенты давления в этих точках (при
г = Rc) должны быть одинаковы во все моменты, так как дебит
скважины остается по условию постоянным.
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ
УСЛОВИЙ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ПРИТОКОВ ЖИДКОСТИ
К ОКРУЖНОЙ ГАЛЕРЕЕ
§ 1. Задание постоянного понижения давления на стенке
окружной галереи в пласте неограниченной протяженности
Задача о притоке жидкости к окружной галерее в пласте
неограниченной протяженности исследовалась и решалась разными
методами в § 9— 11 главы 7, § 4 главы 8, § 2 главы 10, но лишь
при условии задания дебита галереи. В данном параграфе задача
решается при другом условии: на стенке галереи задается давление,
а не дебит.
Предположим, что окружная галерея Г радиуса Rr расположена
в однородном пласте неограниченной протяженности. На рис. 15.1
изображено плоское сечение галереи и пласта; внешняя и
внутренняя по отношению к галерее области пласта обозначены
буквами Е и I. Радиус-вектор любой точки М пласта, находится
ли она во внешней или внутренней области, обозначается через г.
До некоторого момента,
принимаемого за начальный,
состояние давления в пласте
считается невозмущенным. В на
чальный момент давление в
галерее мгновенно снижается
до заданной величины Ар1уу и
это давление в дальнейшем
удерживается установившимся
(постоянным): Ар vy=p0 -p vy,
где ро — начальное пластовое
давление.
После понижения давле
ния в галерее жидкость к ней
будет притекать независимо
и из внутренней и из внеш
ней области. Поэтому для
каждой из этих областей бу-
Рис. 15.1. Плоское сечение окружной дем решать операционным
галереи Г в неограниченном пласте; I — МРТПППМ rnnin KTw n v»n н п п -
впутренняя область, Е — внешняя область мет°Аом свою краевую неав
томодельную задачу. Трсбу-
ется определить в каждый момент t понижения давления
& P i(rt t) и ДрЕ (г, t) в каждой точке соответственно внутренней
и внешней области пласта. Однако задача о притоке жидкости
из внешней области оказывается уже ранее решенной. Дейст
вительно, приток жидкости к галерее из внешней области
будет таким же, как и приток к скважине с заданным в ней
постоянным понижением давления. Л эта неавтомодельная задача
была решена в § б предыдущей главы; там была получена
точная формула (14.116) для определения понижения давления
в любой момент в любой точке пласта в области, которая может
быть названа внешней и по отношению к скважине (скважина
имеет только внешнюю область притока), и по отношению к
галерее. Там же была получена точная формула (14.122) для
определения объема жидкости, притекшей в скважину за время
t после понижения в ней давления. Были рассмотрены и
возможные упрощения этих сложных точных формул.
Поэтому будем здесь исследовать нестационарный поток жид
кости только во внутренней области L
Понижение давления во внутренней области должно удовлет
ворять дифференциальному уравнению пьезопроводносги
3 g L + 1 ^ £ , = Ш > , (15.1)
Эг2 г дг к dt
начальному условию
Api (г> 0 = 0 при t = 0,0 < г < Rn (15.2)
граничному условию
&Pi (Л 0 = АРгу = const при r = Rr,t> 0 (15.3)
и условию конечности величины понижения давления в любой точ
ке, и в частности в центре 0, внутренней области пласта, т.е.
Apj Ф оо при г = 0, t > 0. (15.4)
Как и в § 6 предыдущей главы, подвергнем уравнение пьезоп
роводности (15.1) преобразованию Лапласа, учитывая начальное
условие (15.2); получим такое обыкновенное дифференциальное