Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

уравнение по отношению к изображению ДР/ (г, s) понижения

давления во внутренней области:

d 2AP,(r,s) 1 dAPj(r,s) 1 % (15.5)

------

Г-;

-----

---------

------

= -sAP,(r,s),

dr2 г dr к ' "

где s — параметр преобразования Лапласа.

Подвергнем преобразованию Лапласа равенства (15.3) и (15.4):

(156)

APr(0,s)*oo. (15.7)

Обыкновенное дифференциальное уравнение (15.5) имеет такое

известное общее решение — см. уравнения (П. 124) и (П.125):

ДР, (r,s) = Ау /о (Vf Г j + В, г j , (l5-8)

где А1у Вi — неизвестные пока постоянные коэффициенты; /0иАо —

модифицированные бесселевы функции — см. § 6 П.

Величина модифицированной бесселевой функции К0 неогра

ниченно возрастает, когда величина ее аргумента стремится к нулю.

Поэтому, чтобы удовлетворить условию (15.7), надо принять в

равенстве (15.8), что

Bj = 0. (15.9)

Тогда, полагая г - Rr и подставляя величину APj(Rns) из

равенства (15.8) в условие (15.6), определим коэффициент Aj\

А 1 ДРгу (15.10)

Л / -

Учитывая равенства (15.9) и (15.10), решение (15.8) записывается

так:

Используем формулу обращения, полученную при решении

родственной задачи теории теплопроводности — см., например,

стр. 323 [350]:

где L 1 — символ обратного преобразования Лапласа, — корни

уравнения

/0 и J\ — символы бесселевых функций.

На основании формулы (15.12) можно совершить переход от

изображения к оригиналу в равенстве (15.11):

Введем в рассмотрение «безразмерное время», т.е. безразмерный

параметр Фурье:

Тогда формулу (15.14), определяющую понижение давления в

любой момент t в любой точке неограниченного пласта после

пуска галереи с заданным постоянным понижением давления

&ргу, можно переписать в безразмерной форме так:

/ о (* ) = 0,

(15.13)

(15.14)

(15.15)

Расход жидкости Qj через любое окружное сечение неограни

ченного пласта, концентричное окружной галерее, определяется

для внутренней области по формуле Дюпюи:

а ( г , в = 2я* А М > . № 4

Используя соотношение (П. 165) при дифференцировании по г

равенства (15.14) и подставляя найденную производную в формулу

(15.17), получим:

•Л(О у)

,*■2-

/tj

(15.18)

Полагая в формуле (15.18) г - Rr, определим расход

Qh (Rr, t) жидкости в любой момент через стенку галереи:

* 1 КУ

QlT(R„t) = 4iuA/Spry'^i е **?. (15.19)

^ V=1

Объем V 7 (г, t) жидкости, которая перетечет за время t через

окружное сечение неограниченного пласта, получим, интегрируя

по времени равенство (15.19):

Объем жидкости V / (Rn f), которая перетечет изнутри через

стенку глереи, определим, полагая г * Rr в равенстве (15.20),

причем учтем соотношение (1.41), связывающее коэффициенты

пьезопроводности и упругоемкости к и р\*

V lr(Rnt) = 4nR2TbV&pTy1Z Г г

v=i “ v

х „2 J^x

1 Л 2

1 - е

(15.21)

Положим в формулах (15.14), (15.19), (15.21), что t = «>; получим:

[Др, (г, 01 = ДРгу, (15.22)

[0/г(Лп 01^ = 0, (15.23)

t V /г (Л„ 01 (=» = 4яЛ?*Р*4рГУХ ~Ц - (15.24)

V.I a v

На основании формулы (15.22) можно утверждать, что с

течением времени величина понижения давления в любой точке

внутренней области будет асимптотически приближаться к вели

чине понижения давления в галерее, т.е. во всей внутренней области

понижение давления при t = должно быть одинаковым с

понижением давления в галерее. Следовательно, при f = °° пьезо

метрическая поверхность во внутренней области выродится в

горизонтальную плоскость.

С этими выводами вполне согласуется и вывод из формулы

(15.23): с течением времени величина притока жидкости в галерею

из внутренней области асимптотически приближается к нулевому

значению.

В теории бесселевых функций доказывается, что

оо

1 ^ 5 = 4 . (15.25)

V=1 v

где a v — корни уравнения (15.13).

Учитывая соотношение (15.25), равенство (15.24) можно пере

писать так:

Величина в правой части равенства (15.26) равна упругому запасу

жидкости во всей внутренней области пласта при понижении

давления во всей этой области на Ар^ И этот вывод согласуется

с предыдущими выводами: так как при t- « понижение давления

во всех точках внутренней области должно стать равным Ар^ при

t - оо, то из галереи должен быть отобран к этому времени весь

упругий запас жидкости из внутренней области.

Заметим, что бесселева функция первого рода нулевого порядка

г ^

°*Я

входит множителем под знаком суммы в формуле (15.14).

При всех возможных значениях радиуса-вектора г от 0 до Rr

упомянутая функция имеет при г = О наибольшую величину,

равную 1. Поэтому, основываясь на формуле (15.14), можно

утверждать, что именно при г = О, т.е. в центре внутренней

круговой области, понижение давления будет в каждый момент

наименьшим, по сравнению с понижениями давлений в любых

других точках при г>0. Это и физически очевидно, так как центр

галереи наиболее удален от самой галереи, в которой с самого

начала поддерживается постоянное понижение давления.

При г = Rr рассматриваемая функция принимает значение,

равное нулю, так как величины a v являются корнями уравне

ния (15.13). Поэтому при г = Rr из формулы (15.14) получается,

что Ар (Rrj f) = Аргу, как и должно быть, согласно граничному

условию (15.3).

В начальный момент, при t = 0, из формул (15.19) и (15.21)

получаем:

Q/r (*„ 0) = оо, V /r (Яг, 0) = 0. (15.27)

Как и следовало ожидать, при мгновенном снижении давления

в скважине в начальный момент расход жидкости в этот момент

должен был бы быть бесконечно большим.

На основании проведенного анализа формул, выведенных в

данном параграфе, легко представить себе схематичную картину

пьезометрических линий и линий, служащих графиками изменения

расхода Q/ и объема V 7 жидкости, протекшей за время t через

любое сечение пласта, концентричное галерее.

Именно все пьезометрические линии будут иметь такие же

формы, как это было схематично изображено на рис. 13.12, т.е.

все пьезометрические линии будут начинаться в одной точке

N — в сечении пласта, проходящем через стенку галереи (в рассмат

риваемом здесь случае — внутреннюю стенку окружной галереи).

Завершаться все пьезометрические линии будут на линии КМ,

которую в рассматриваемом случае надо считать проходящей через

центр внутренней области пласта. В этом центре все пьезометри

ческие линии должны иметь горизонтальные касательные, так как

градиент давления в центре равен нулю во все моменты.

Линии графиков изменения давления во всех точках внутренней

области пласта будут иметь именно такие формы, какие

изображены на рис. 13.13, но только для рассматриваемого

здесь потока вместо координат х * 0, хих2,.. .x-L следует

теперь в обратном порядке подставить величины радиусов-векторов

r=Rv>rl>r2

> г = 0, причем горизонтальная линия на высоте

Pry будет соответствовать графику установившегося понижения

давления в галерее (при г = Rr)t а самая крайняя справа линия

(при х =* L ) будет соответствовать графику изменения давления в

центре внутренней области (при г = 0).

Линии графиков изменения расхода в окружных сечениях пласта

будут иметь такие же формы, какие схематично изображены на

рис. 13.14, но только для рассматриваемого здесь потока. Самая

верхняя линия, которая относилась к координате х = 0, будет

теперь соответствовать графику изменения расхода жидкости через

стенку галереи, т.е. при г = Rr.

Линии графиков изменения объема жидкости V h перетекшей

за время t через различные окружные сечения пласта, будут иметь

такие же формы, какие изображены на рис. 13.15, но только для

рассматриваемого здесь потока самая верхняя линия, отмеченная

значением координаты х = 0, будет теперь соответствовать ради

усу-вектору г = Rr, т.е. окружной галерее. К оси абсцисс, которая

на рисунке была отнесена к координате х> теперь надо отнести

радиус-вектор г.

Рассмотрим случай, когда можно существенно упростить самый

вид некоторых основных формул, выведенных в данном параграфе.

Начнем с возможного упрощения формулы (15.11), в которой

определяется изображение ДР7 (г, s) понижения давления.

При достаточно большой величине не только аргумента

(л/£ 1 (\ft~ 1

у к R г , но и аргумента V к Н (следовательно, величину

^адиуса-зектора г берем не малой, ^а близкой к R„ причем и

R Р» 0 ), бесселевы функции от этих аргументов можно заменить

их асимптотическими представлениями из соотношения (П. 145),

ограничиваясь сохранением в нем лишь одного и именно первого

члена ряда. Тогда вместо формулы (15.11) получим следующую

приближенную ее замену:

(15.28)

Для перехода от изображения, представленного равенством

(15.28), к оригиналу можно воспользоваться известной табличной

формулой — см., например, № 8 на стр. 483 [350] или № 50 на

стр. [427]:

Надо учесть, что если приближенная формула (15.28) справед

лива лишь при достаточно большом значении параметра Лапласа

s, то формула (15.30) справедлива лишь при достаточно малом

значении времени f, причем еще оговаривалось, что величина

радиуса-вектора г не мала, но близка к Rri причем и Rr» 0.

Следовательно, приближенной формулой (15.30) допустимо поль

зоваться для определения понижения давления для точек внут

ренней области пласта лишь в ближайшей окрестности окружной

галереи, причем в ближайшие моменты после ее пуска с постоянным

понижением давления. Этими ограничениями возможного исполь

зования формулы (15.30) и объясняется тот факт, что она аналогична

формуле (6.29) для определения понижения давления в условиях

притока к прямолинейной галерее после ее пуска с постоянным

понижением давления.

Следовательно, в течение малых промежутков времени в

ближайшей окрестности окружной галереи достаточно большого

радиуса понижение давления подчиняется такой же закономерности,

как в условиях прямолинейно-параллельного потока.

Полученный вывод вполне аналогичен тому выводу, который

был сделан при анализе приближенных формул (14.128) и (14.129),

(15.29)

Следовательно,

(15.30)

связанных с исследованием притока жидкости к скважине конечного

радиуса.

Если за основу принять не точную формулу (15.14), а

приближенную (15.30), то, используя соотношение (15.17), можно

получить такое приближенное асимптотическое представление для

определения величины Qj(r,t) расхода жидкости при малых

значениях времени:

1 — ткг- 1 Rr-r

- г * * / »

(15.31)

Рассматриваемая задача о нестационарном притоке жидкости к

окружной галерее из внутренней области пласта вполне аналогична

важной задаче теории теплопроводности о нестационарном процессе

перераспределения температуры в объеме неограниченного по

высоте круглого цилиндра после мгновенного установления изме

ненной температуры на его боковой поверхности. В специальной

литературе по теории теплопроводности этой задаче уделяют

особое внимание. В частности, Карслоу и Егер в § 3 главы 13

[350] приводят еще одну приближенную формулу, хотя и несколько

более громоздкую, чем (15.30), но дающую меньшую погрешность

при решении исследуемой здесь задачи. Именно при упрощении

формулы (15.11) модифицированные бесселевы функции при

больших значениях аргументов заменяются их асимптотическими

представлениями из соотношения (П. 145), но при этом не ограни

чиваются только первыми членами ряда, как это было сделано

при выводе формулы (15.28). Тогда вместо формулы (15.28) из

(15.11) получается:

Т Г Г +

bp,, 8V* r 128

----

ГГ

----

----------

--------

2 + "'

8 \ к Я г 12 8 (л/Г я г]

или же

RT-r 9R2-7r2-2Rtr л

Ч и ~ / m±Rir>

Подвергая равенство (15.33) обратному преобразованию Лапласа,

используя для этого табличные формулы — см., например, № 11,

стр. 483 [350] или № 54, стр. 585 [427], находим такое выражение

для оригинала, т.е. для понижения давления:

Конечно, приближенная формула (15.34), в которой учтены три

члена ряда, может обеспечить меньшую погрешность, чем прибли

женная формула (15.30), в которой учтен только один член ряда.

В связи с этим отмечу, что в многочисленных таблицах Ван

Эвердингена и Херста [972] подсчеты аналогичных величин

начинались при значении безразмерного параметра Фурье /0> не

меньшего, чем 0,01, т.к. при меньших значениях /0 простые

приближенные формулы типа (15.30) обеспечивали столь высокую

степень точности, что не требовалось пользоваться более слож

ными, но точными формулами. Итак, если приближенная формула

(15.30) гарантирует высокую степень точности при /0< 0 ,01, то

Карслоу и Егер указывают [350], что использование формулы (15.30)

гарантирует высокую степень точности подсчетов (предполагается,

что с погрешностью не более 1%) при в 20 раз больших допустимых

значениях, а именно пми/0<0,2. Однако при этом остается в силе

сделанная выше оговорка: такая погрешность упомянутых прибли

женных формул будет, если понижение давления определяется в

точках пласта в ближайшей окрестности галереи, т.е. когда

величина отношения -- близка к ]. К сожалению, в цитированной

работе [350] нет количественной оценки допустимых размеров этой

окрестности. Такая оценка была выполнена в работе О. Н. Харина

[616], которая будет обсуждаться в последующих параграфах этой

главы.

Простые приближенные формулы для подсчетов можно указать

и для больших значений параметра Фурье/q. Именно если сохранить

(15.34)

в формулах (15.16), (15.19), (15.21) только первые члены каждого

ряда и учесть, что а{ = 2,405, J{ (oti) = 0,5191, то упомянутые формулы

примут вид:

АР/(Л/о)

Лр ,

= 1 - 1,602У0

гу

-5 ,7 8 4 /0

Q/r (Rr,fo> = 4 л * ~ АРгу е "" S,7M/“ ,

(15.35)

(15.36)

V h (/гг,/0) = 4nR jf Ь р* Ар,, ^ - 0,1729 е ' 5,7M/j . (,5 37)

Подсчеты доказывают, что использование этих трех прибли

женных формул обеспечивает погрешность не более 1%, если

/о>0,2.

Итак, с малой погрешностью можно использовать приближенные

формулы (15.35)— (15.37) при /0 ^0,2 и приближенную формулу

(15.34) при /о <0,2.

Чтобы физически оценить упоминаемое числовое значение

параметра Фурье, отметим, что при /0 = 0,2 из галереи оказывается

уже отобранным объем жидкости, составляющий 78,2% от всего

упругого ее запаса во внутренней области пласта. Это подтверж

дается результатами подсчетов, приведенными в табл. 15.1

В таблицу сведены результаты подсчетов безразмерной вели

чины 5 (fo), определяемой как отношение величин

V/(/?r,/o)H[V/(/?r,/0)]/o=w т.е., учитывая формулы (15.21), (15.25)

и (15.26),

Pff\- . У 1 -Ду/«

^ пм Лп/о)],.=- ~ (15-38)

Следовательно, значение величины 5 (/о) указывает, какую долю

от всего упругого запаса жидкости во внутренней области пласта

составляет объем жидкости, уже отобранный из галереи к моменту t,

соответствующему значению параметра Фурье /<>.