Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Если положить в формулах (14.19), (14.32), (14.34), что

то найдем:

In —

[А р( г, t)]f-00— ^ Ар Су = Ар у,

,п^

2 п b к А р г

[Q(r>t)]t=oo = [QC(t)]t-oo— = Q су > ^ 26)

ц1п^

[Vt(l)l, — = “ . (14.3611)

где Ар у — понижение давления, которое было бы на расстоянии г

от скважины в условиях установившегося потока, Qcy — величина

дебита скважины и равная ей величина расхода жидкости через лю

бую боковую поверхность коаксиального скважине цилиндра ради

уса г в условиях установившегося потока несжимаемой жидкости в

несжимаемом пласте*. При t~ «> приток жидкости к скважине дол

жен бы быть равен ее притоку в пласт из области питания.

Действительно, равенства (14.35) и (14.36) совпадают с форму

лами Дюпюи для установившихся притоков жидкости к скважине.

Итак, при t —» понижение давления в любой точке пласта, расход

жидкости и дебит скважины в условиях исследуемого неустановпи-

шсгося потока асимптотически приближаются к соответствующим

величинам, характерным для условии установившегося потока.

На рис. 14.2 схематично изображены пьезометрические линии. В

начальный момент пьезометрическая линия DD горизонтальна. В по

следующие моменты все эти линии начинаются в точке А на стенке

скважины при величине забойного даилснияу;сч. Все они заканчиваются

в точке

В на расстоянии Rk от оси скважины на высоте, соответству

ющей начальному пластовому давлению. Конечно, в моменты, близкие

к начальному, пьезометрические линии как бы касаются горизонталь

ной линии DB на расстояниях, меньших Rkt т.к. на больших расстоя

ниях понижения давлений практически незаметны. С течением вре

мени пьезометрические л и н и и асимптотически приближаются к крп-

При практически интересных нсличинах понижений давлений допустимо пре

небрегать изменениями объемом жидкости при ее установившемся притоке к сква-

жине. Строго говоря, при установившемся плоско-радиальном потоке сжимаемой

жидкости к скважине н сжимаемом пласте одинаковыми будут миссоиыс, а не объ

емные расходы ж ид ко сти через боковые поверхности цилиндров, коаксиальных

скважине.

Рис. 14.2. Схематичное изображение пьезометрических линий в плоско-радиальном

потоке в открытом пласте, в котором на внутренней границе (на стенке С

скважины) давление было мгновенно снижено и затем удерживается постоянным

и на внешней границе К удерживается начальное пластовое давление — см.

рис. 14.1

вой логарифмического типа, соответствующей установившемуся со

стоянию. Заметим, что в условиях прямолинейно-параллельного по

тока пьезометрические линии асимптотически приближались к пря

мой линии.

На рис. 14.3 схематично изображены графики изменения давления

с течением времени на разных расстояниях от эксплуатационной

(работающей) скважины, которую будем называть возмущающей. Та

кого типа графики получаются при исследовании понижений давления

в пьезометрических скважинах после пуска возмущающей скважины.

В пьезометрической скважине, даже ближайшей к возмущающей,

в первые мгновения после пуска возмущающей скважины понижение

давления практически незаметно; затем давление заметно понижа

ется и асимптотически приближается к величине давления, которое

соответствует установившемуся распределению. Чем больше г, тем

дольше изменение давления в пьезометрической скважине оказы

вается сначала практически незаметным, затем давление заметно

понижается, по менее интенсивно, чем в пьезометрической сква

жине, более близкой к возмущающей скважине.

Рис. 14.Э. Схематичное изображение графиков понижения давления в различных

сечениях плоско-радиального потока в пласте с заданными давлениями на

внутренней С и внешней К границах пласта — см. рис. 14.1

Рис. 14.3 качественно напоминает рис. 13.4. Однако есть и

существенные различия: при t = °о в условиях прямолинейно-парал

лельного потока (перераспределение давления в котором отобра

жено на рис. 13.4) пьезометрическая линия в любой точке,

находящейся в середине пласта, т.е. при * = имеет асимптоту

параллельную оси абсцисс на высоте, равной ~ Ар су.

В условиях же плоско-радиального потока распределение

давления иное — большая часть давления теряется в ближайшей

окрестности скважины. Поэтому, например, для точки пласта, удаленной

1 & к

от оси скважины на расстояние — — , пьезометрическая линия должна

Z К с

иметь асимптоту, параллельную оси абсцисс на высоте, равной почти

R R

0,70 Ар су или 0,94 Ар соответственно при = 10 или —— = 10 5.

R с R с

При схематичном изображении графиков изменения расходов жид

кости Q с (г, t) через боковые поверхности цилиндров, коаксиальных

скважине, пришлось бы повторить рис. 13.6. График изменения дебита

скважины Qc(t) = Q(Rcit) был бы схематично представлен такой

же линией, какая изображена (самая верхняя) на рис. 13.6, имеющей

две асимптоты — ось ординат и горизонтальную прямую на высоте

Qcy над осью абсцисс. График изменения расхода жидкости, притека

ющей в пласт через область питания, т.е. график изменения величины

Q (R t) со временем был бы представлен такой же линией, как самая

нижняя на рис. 13.6, т.е. имеющей начало в начале координат, прак

тически незаметно отклоняющейся от оси абсцисс при не слишком

больших значениях t, а при t —»«> асимптотически приближающейся

к горизонтальной прямой на высоте Q^

Графики зависимости V (г, t) от t схематично имеют такие же

формы, как это было изображено на рис. 13.7а для плоско-парал-

лельного потока в сходных условиях упруго-водонапорного режима.

Действительно, величина V ( г, t) определяется интегрированием

равенства (14.32) так же, как это было выполнено для определения

Vc(t) интегрированием равенства (14.33). Если продифференци

ровать по времени величины V (г, t) и V с (f )> то легко обнаружить,

Э V{rJ) dVc(t)

что величины производных

----

и — г

--------------- при достаточно

ot at

большом значении t не зависят от Л Т.е. асимптотами всех линий

графиков зависимости V от t служат параллельные прямые линии.

Линия графика зависимости V с от t при t = 0 касается оси ординат,

а все остальные линии этого семейства графиков при t = 0 касаются

оси абсцисс, а затем, имея по одной точке перегиба, постепенно

приближаются (при увеличении t) к своим асимптотам.

Математически строго выведенные формулы для определения

давления, дебита и добычи жидкости из скважины позволили сделать

ряд выводов, отраженных построениями на рис. 14.2, 14.3. Однако эти

формулы очень громоздкие и входящие в них ряды сходятся медленно

при малых значениях времени. В последующих главах будут приведены

значительно более простые приближенные формулы, которые в до

статочно широких интервалах изменения независимых переменных

дают результаты практически достаточно точные.

Для облегчения использования итоговых формул (14.26), (14.28)

приводятся таблицы корней xv функции Uv(xv\ т.е. корней

трансцендентного уравнения (14.17) при различных значениях

д*

отношения радиусов — . Так, например, для этого уравнения

R с

Маскет [434] привел первые семь корней, но лишь для величины

— = 5; в статье В. Д. Полянина [523] приведены первые 15 корней

R с

для таких значений величины ~ 5, 7,5, 10, 15, 20, 30, 50, 100,

R с

200, 500, 1000, 2000. 5000.

В табл. 14.1 приведены данные М. Маскета, а в табл. 14.2 —

данные В. Д. Полянина.

Таблица 14.1

Первые семь корней jcv уравнения (14.17) при ~ = 5

R с

по данным М. Маскста [434]

Номера корней 1

2 3

5 6

Значения корней

0,7632

1,5575

2,3470

3,1352 3,9210 4,7073

5,4933

Таблица 14.2

Первые 15 корней xv уравнения (14.17) при различных значениях ——

R с

но данным В. Д. Полянина [523]

Номера

корней

Значения корни xv при Rt/R с

100 1000 5000

0,3314 0,0280

0,0027 0,0005

0,6858 0,0601 0,0058

0,0011

3 1,0377 0,0921 0,0090

0,0018

4 1,3886

0,1241

0,0121

0,0024

5 1,7390

0,1560

0,0153

0,0030

6 2,0889 0,1879

0,0184 0,0037

7 2,4387

0,2198

0,0216

0,0043

8 2,7883 0,2517 0,0247

0,0049

3,1378

0,2835 0,0279 0,0056

10 3,4872 0,3154 0,0310 0,0062

3,8365

0,3472

0,0342 0,0068

4,1859

0,3790

0,0373

0,0074

4,5352

0,4108

0,0405

0,0081

14 4,8844

0,4426

0,0437 0,0087

15 5,2336 0,4744 0,0468

0,0093

Анализируя таблицы, легко заметить, что величины корней

Я*

уменьшаются с увеличением отношения — . Для одного и того

R с

Rк

же значения — величины корней возрастают с увеличением их

номеров, причем более интенсивно при малых значениях этих

номеров; затем, при больших значениях номеров корней, разности

между корнями соседних номеров стабилизируются*, и корни

начинают расти почти точно в арифметической прогрессии. Так,

например, по табл. 14.2 рост корней в арифметической прогрессии

заметен при — = 10, начиная примерно с десятого корня; при

R к R к R к

—— = 100 — начиная с шестого корня; при ——= 1000 и —— = 5000 —

XV с R с R с

начиная со второго корня. При больших значениях -=т— заметна

К с

еще одна закономерность: величины корней уменьшаются во

Як

столько раз, во сколько раз возрастает величина —-. Так, например,

R с

Я*

при изменении величины —— со 100 до 1000, т.е. в десять раз, все

R с

величины корней уменьшаются во столько же раз — см. табл. 14.2.

Заметим, что в книге Маскета [434] приводится еще решение и

такой задачи, когда забойное давление в скважине не мгновенно

снижено до величины pci которая затем сохраняется постоянной, а

снижается со временем от величины р0 непрерывно, причем по линей

ному закону.

§ 3. Задание постоянного дебита скважины

и постоянного давления на контуре питания

Данная задача отличается от исследованной в предыдущем

параграфе только тем, что в начальный момент t = 0 скважина

пущена в эксплуатацию не с постоянным забойным давлением, а

с постоянным (установившимся) дебитом <2су. Поэтому забойное

Отклонение от такой закономерности можно заметить но табл. 14.1 при пере

ходе от четвертого корня к пятому, что указывает на некоторые ошибки Маскета при

подсчете величин этих корней.

давление рс в скважине будет с течением времени непрерывно

понижаться.

Таким образом, задача математически сводится к необходимости

проинтегрировать дифференциальное уравнение пьезопроводности

(14.1) при том же начальном условии (14.3) и при том же граничном

условии (14.5), какие были сформулированы в предыдущем

параграфе. Но на внутреннем контуре С, изображающем сечение

скважины на рис. 14.1, вместо граничного условия (14.4) надо

сформулировать другое условие, отражающее постоянство дебита

скважины. Используя закон фильтрации Дарси в форме (14.29),

новое граничное условие на стенке скважины запишется так:

Общее решение дифференциального уравнения пьезопровод

ности (14.1) опять может быть записано в форме (14.8). Подставляя

в равенство (14.8) граничное условие (14.5) на контуре питания,

опять получим формулу (14.10), из которой будет следовать

справедливость равенств (14.12) и (14.14).

Продифференцируем равенство (14.8) по г и найденное значение

производной при г - Rc подставим в граничное условие (14.37),

используя правила дифференцирования бесселевых функций ■—

см. формулы (П. 163) и (П. 164):

Так как величина Qcy в левой части этой формулы постоянная,

то и правая часть должна быть постоянной. Следовательно, должны

быть справедливы следующие два равенства:

г=яс = const, t> 0.

Q cy = - 2 n b ~ \ D i- Y Jx j A v'Ji(xv)^Bv'Yi Uv)]

" i L -1

(14.38)

Av'J[{xv) + Bv'Yi{xv) = 0 (14.39)

Подставляя значение О, из (14.40) в (14.14), найдем

n Q су ц . ~

D'=2n bi'"R‘

Выражая В \ через A 'v с помощью равенства (14.12), т.е.

используя соотношение (14.18), а также используя найденные

значения постоянных величин D\ и D2 из равенств (14.40) и (14.41)

и определение функции Uv равенством (14.20), формулу (14.8)

можем переписать так:

Ар (r,t) = ~ cy^r In — +

2 nbk г

v=iy

а :

VR.

г \ v 2 К /

xv- | e

(14.42)

Исключая постоянные величины В 'v и Л 'v из двух равенств

(14.12) и (14.39), получим такое уравнение:

Rk )

f R k

'о

XVp

I R c)

УI (xv)-j 1 (JCV) Y0

V /

= 0 .

(14.43)

Величины xv должны быть корнями этого трансцендентного

уравнения.

В формуле (14.42) остались неизвестными коэффициенты А V

Для их определения используем начальное условие (14.3), подставив

которое в (14.42), получим:

? су Ц . _г

___

пЪк

v= 1 У

иЛ x v —

(14.44)

Так же, как это было пояснено при решении задачи предыдущего

параграфа, для определения коэффициентов A \ надо входящую

в левую часть равенства (14.43) логарифмическую функцию

разложить в ряд Фурье-Бесселя по функциям Uv, учитывая, что,

в отличие от задачи предыдущего параграфа, величины xv служат

теперь корнями уравнения (14.43), а не (14.17). Воспользуемся

итоговой формулой разложения логрифмической функции в

искомый ряд Фурье-Бесселя:

Подробности вывода формулы (14.45) можно найти в статье

Херста [868] (в которой они были впервые выведены), в статьях

и книге Хупера [862], [863] и в книге Маскета [434].

Подставив разложение в ряд Фурье-Бесселя логарифмической

функции из (14.45) в левую часть равенства^ (14.44) и сравнивая

коэффициенты перед функцией Uv

в левой и правой

частях, получаем возможность определить коэффициенты А

A'v

R л

= -2n

Q су M-

2nb к

U v (x v )

____

4 ~ n2 xl U2 (x v)

(14.46)

Подставим выражение коэффициента A'v из (14.46) в (14.42):

л / ^ \ Q су Ц

4',<г-') = 2 ^

( \

-л

In — + 2 71 2 V

v = 1

Uv(xv) иv

n2xlUl(

Х V р

{ я ел

X V ) - 4

2 К t

-*v7TZ

с R с

(N.47)

Формулу (14.47) можно преобразовать. Для этого выразим

R ir 1

из уравнения (14.43) и ее выражение

функцию Y о

Я,

подставим в равенство (14.20), полагая г = Rc:

R к

X у

С /

Ji(xv

• (14.48)

Если учесть известное из теории бесселевых функций соотно

шение (П. 162а), то последнее равенство примет более простой

вид:

j о

nxv Jl(xv)

Используя соотношение (14.49), формулу (14.47) можно пере

писать так:

Др(г, Г) =

2nbk

1 + 1

In— + л X,—

/о

XVT r

Ji(xv)Uv\xvY

r “ ,*v

VR<

(1450)

Конечно, в этой формуле вместо функции Uv можно подставить

ес выражение из (14.20).

Чтобы определить величину Ар c(t) изменяющегося со време

нем понижения давления на стенке скважины, подставим г = Rc

в формулу (14.50) и учтем еще равенство (14.49):

Apc(t) =

2 кЬ к

1 о у 1

VR,

2 Kf

14.51)

Положив t —> оо в формуле (14.47) или (14.50) и в формуле

(14.51), получим:

г л / <2е . Rk

(14_52)

(14.53)

На основании последних равенств можно утверждать, что при

t~oo давление в пласте должно распределяться по логарифмиче

скому закону, соответствующему установившемуся состоянию пло

ско-радиального потока к скважине.