Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 13.18. Графики понижения безразмерного давления в трех сечениях
прямолинейно-параллельного потока в полузакрытом пласте, в котором на стенке
Г галереи задан постоянный ее дебит — см. рис. 13.16а
Все кривые графиков последовательно приближаются к своим
асимптотам сверху (глядя со стороны оси абсцисс), но кривая,
соответствующая графику при х = 1, т.е. давлению на закрытой
границе пласта, приближается к своей абсциссе снизу.
Пользуясь формулой (13.98), можно определить величину х*
для того графика, т.е. для той кривой (на рис. 13.18 эта кривая
не изображена), асимптота которой проходит через начало коор
динат. Именно для этого достаточно принять, что
Решая это квадратное уравнение, находим такое искомое
значение х *, отбрасывая другой корень уравнения, как не имеющий
физического смысла:
На анализе формы кривых и их асимптот пришлось остановиться
столь подробно, чтобы удобнее было в главе 18 провести сопо
ставления с соответствующими графиками зависимости средневзве
шенного давления от времени.
В связи с анализом формы пьезометрических линий нужно
отметить, что, судя по формуле (13.89), градиент давления при
х = 0 оказывается равным постоянной величине
Это означает, что в начале координат касательные ко всем
пьезометрическим кривым имеют одинаковые углы наклона, как и
должно быть, учитывая, что дебит галереи постоянен. Подставив
в формулу (13.89) значение х = L, убеждаемся в том, что градиент
давления все время равен нулю, как и должно быть на закрытой
границе пласта. Сообразно с этими замечаниями на рис. 13.19
схематично изображены пьезометрические линии, соответствующие
различным моментам времени.
На рис. 13.18 и 13.19 условно отмечены значения
^°доп и *доп> соответствующие предельно допустимому значению
Лрдоп или />доп, при котором еще сохраняется модель упругого
режима, о чем ранее уже упоминалось.
Объем жидкости V (х, t) , которая перетечет к моменту t через
поперечное сечение потока, определяемое координатой х, может
быть найден по формуле (13.32а). Подставим значение величины
расхода из формулы (13.87) в формулу (13.32а) и выполним
интеграцию:
Эр (.х, t) Qry R
dt ~ ко
Jx = 0
(13.103)
Рис. 13.19. Схематичное изображение пьезометрических линий в условиях
прямолинейно-параллельного потока в полузакрытом пласте с постоянным
расходом жидкости на открытой границе (в галерее)
V (х, t) = Q,
гу
х Х -
V = 1
, xt 2L2
L пл к
L -I
Из формулы (13.104) следует:
(13.104)
(13.105)
(13.106)
При достаточно больших значениях времени t формулу (13.104)
упрощенно можно записать так:
х
00 Sin V 7t —
L \ //
(13.107)
где У — величина, не зависящая от времени, но зависящая от отно-
шения —.
До тех пор, пока в условиях данной задачи сохраняется
замкнуто-упругий режим пласта, вся жидкость, притекающая в
галерею, извлекается из пласта только за счет уменьшения его
упругого запаса Следовательно, равенство (13Л05) определяет
величину упругого запаса, извлеченного за время t Поэтому
понижение средневзвешенного давления Арср (t) в пласте к моменту
t будет таково:
Итак, понижение средневзвешенного давления пропорционально
времени.
Продифференцируем равенство (13.104) по х:
Полагая в формуле (13.109) последовательно х = 0 и х =* L
и пользуясь известными формулами суммирования рядов — см.,
например, [574], получим:
(13.108)
(13.109)
Рис. 13.20. Схематичное изображение графиков зависимости от времени объемов
жидкости, перетекшей через различные сечения прямолинейно-параллельного
потока в полузакрытом пласте при заданном дебите галереи — см. рис. 13.16а
ЭУ Qc, t)
dx
= ~Qt
х = 0
1 1 £ _ 2L
L + Зк п2кХ
oo
Z.6
V = 1
(13.110)
ЭУ (X, t)
dx
-Qr
x = L
t _ 1 L _ 2L
L 6 k ti2 k
( - l ) v “v *
Рис. 13.21. Схематичное изображение графиков зависимости от координаты
объемов жидкости, перетекшей через различные сечения прямолинейно-парал-
лельного потока в полузакрытом пласте при заданном дебите галереи —
см. рис. 13.16а
При достаточно больших значениях времени будут справедливы
такие приближенные равенства:
ЭУ (X, t)
dx
jc-0
л I L lL
= IL + 3 к
(13.112)
dV (х, t)
~ л
f1_IL)
dx
= Уг
x = L
L 6 k
\ /
(13.113)
На основании анализа формул (13.104)—(13.107) на рис. 13.20
и 13.21 изображены графики зависимости величины V соответст
венно от t и от х.
Формулу (13.107), если сохранить в ней точный знак равенства,
можно рассматривать как уравнение семейства асимптот для кривых
линий, соответствующих графикам зависимости V от f. На
рис. 13.20 асимптоты изображены пунктирными линиями, наклон
каждой из которых тем меньше, чем больше величина х. Прямая
линия ОА, проходящая через начало координат, соответствует
графику зависимости от t величины V при х = 0, т.е. для стенки
галереи. Все кривые линии касаются оси абсцисс в начале координат
и, видимо, прилегают к ней тем дольше, чем больше х. Пунктирная
линия BD соответствует допустимому моменту гдоп. Физический
смысл величины ?доп, отмечавшейся и на рис. 13.17—13.19, был
ранее пояснен. При t > £доп упругий режим нарушается.
Судя по формулам (13.110) и (13.111), углы наклона касательных
к кривым линиям возрастают с течением времени и при х - 0 и
при х = L, что наглядно изображено на рис. 13.21. Все графики
зависимости V от х справедливы лишь при t < £доп. Поэтому
проведенная при t>tJK0U пунктирная кривая линия (самая верхняя
на рисунке) уже не имеет физического смысла
РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ
УСЛОВИЙ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ПЛОСКО-РАДИАЛЬНЫХ ПРИТОКОВ
ЖИДКОСТИ К СКВАЖИНЕ
§ 1. Пояснения и исторические справки
по поводу постановки и решений задач
В данной главе будут строгими методами исследоваться
неустановившиеся плоско-радиальные потоки жидкости к скважине.
Необходимость задания величины радиуса «укрупненной» скважины
и(или) радиуса внешней границы пласта при формулировке
граничных условий делает неавтомодельной каждую из рассмат
риваемых в данной главе задач.
На рис. 14.1 изображено одно из плоских сечений потока.
Внешняя круговая граница К радиуса Rk концентрична круговому
сечению С скважины радиуса Rc.
Будут рассматриваться задачи трех типов:
I. Когда внешняя граница К является «контуром питания», т.е.
круговой пласт конечных размеров открытый и движение жидкости
в нем происходит в условиях упруго-водонапорного режима;
жидкость может притекать в пласт через контур питания.
II. Когда внешняя граница К закрыта, т.е. перетока жидкости
через нее нет. Движение жидкости в пласте происходит в условиях
замкнуто-упругого режима, т.е. за счет
истощения упругого запаса жидкости
в пласте.
III. Когда внешней границы пласта нет,
т.е. рассматривается приток жидкости к
скважине из бесконечного по протяжен
ности пласта в условиях упруго-водона
порного режима.
Во всех случаях, кроме особо огово
ренных, предполагается, что в начальный
момент t = О распределение давления в
пласте невозмущенное, т.е. во всех точках
пласта давление одинаково и равно Pq.
При различных условиях (первого или
второго рода, т.е. при условиях Дирихле
или Неймана), задаваемых на границах С и
К пласта требуется определить пони-
Рис. 14.1. Горизонтальное
сечение пласта с укрупнен
ной скважиной С в центре;
окружная граница К концен
тричная С
жение давления Ар -р 0-р в любой точке пласта, положение
которой определяется радиусом-вектором г, в любой момент t после
пуска скважины в эксплуатацию в начальный момент t = 0.
Если бы нужно было исследовать работу не эксплуатационной
(«добывающей»), а нагнетательной скважины, через которую
жидкость закачивается в пласт, то вместо определения понижения
давления надо было бы, таким же способом, определять повышение
давления в каждой точке пласта.
Предполагаются справедливыми такие дифференциальные урав
нения пьезопроводности и расхода Q жидкости, которые получаются
из уравнений (12.1) и (12.2), полагая в них Ъ> = г\
Э 2 Ар 1 Э Ар 1 д Ар
д г2 + Г Эг " к dt ’ (14.1)
d l Q _ l lQ =± lQ (14.2)
Эг2 г Эг к dt
Задачи будут сводиться к необходимости интегрирования этих
уравнений при заданных начальном и граничных условиях, что соот
ветствует типовым по постановкам задачам математической физики.
Здесь необходимо сделать несколько исторических замечаний.
Именно, как уже указывалось в § 1 и 2 главы 3, в теории
нестационарного поля, в работах Фурье, Лапласа, Томсона и других
ученых, исследовались (первоначально применительно только к
теории теплопроводности, а затем к теории диффузии и иным
областям математической физики) только прямолинейно-парал
лельные и сферические радиальные потоки. Впервые в работе
Рэлея (в 1911 г.) были исследованы плоско-радиальные потоки к
прямолинейному стоку или источнику в пространстве (т.е. к
точечному стоку или источнику на плоскости), к поверхностному
цилиндрическому стоку (т.е. к окружному на плоскости).
Плоско-радиальные потоки в полом цилиндре, боковые повер
хности которого коаксиальны, Рэлеем не исследовались. Однако
именно такие задачи имеют исключительно большое значение в
теории фильтрации при изучении притоков жидкости к скважине.
Методами математической физики строгое исследование не
установившихся плоско-радиальных фильтрационных потоков в
пластах, моделируемых полыми цилиндрами, началось лишь с
30-х годов этого века.
Изучение пространственного плоско-радиального (осесиммет
ричного) потока в полом цилиндре сводится к исследованию
плоско-радиального потока на плоскости в круговой области между
двумя концентричными окружностями. Простейшие из такого типа
задач и были сформулированы в начале данного параграфа.
Впервые в статьях Херста [868], [912], опубликованных: первая —
в мае 1933 г., а вторая — в январе 1934 г., были решены задачи
такого типа. Несколько позднее, в марте 1934 г., была опубликована
статья Маскета [916], посвященная решению такого же рода задач.
Эти указания на даты публикаций первых статей по исследованию
неустановившихся фильтрационных потоков в круговых областях
(а следовательно, и в полых цилиндрах) необходимы потому, что
в позднее опубликованных работах часто не приводились ссылки
и на самые первые, и на последующие работы Херста.
В классической монографии Карслоу и Егера [350], в § 10
главы 7, посвященной распространению тепла в полом цилиндре,
приведены выведенные Маскетом формулы со ссылкой на его
статью [916] и монографию [434]. Очевидно Карслоу и Егеру не
были известны исследования, опубликованные как самим Херстом,
так и с соавторами [868], [912], [956]. В работах Херста,
опубликованных с соавторами, математическая часть исследований,
помещенная в приложениях к статьям, принадлежала Херсту.
В монографии Хупера [863] есть ссылки и на статью Херста
[868] и на статью Маскета [916], но в ссылке на статью Херста
вместо января 1934 г. ошибочно указана другая дата ее опублико
вания — март 1934 г., т.е. та же дата, что и для более поздней
статьи Маскета,
Совсем нет ссылок на цитированные выше и последующие
работы Херста в капитальной монографии [110], содержащей
обширный указатель литературы со ссылками более чем на
540 работ в области теории фильтрации.
В 1949 г. была опубликована обширная статья Ван Эвердингсна
и Херста [972], в которой не только новым методом были решены
задачи, ранее решенные в опубликованных в 1933 и в 1934 г.
работах Херста [146], [41 ] и Маскета [42], но и приведены весьма
ценные таблицы и графики, иллюстрирующие результаты решений,
выражавшихся с помощью громоздких формул.
Ван Эвердинген и Херст ссылаются на значительно ранее
опубликованную статью Голдстейна [843], в которой именно
методами операционного исчисления исследовались математически
родственные задачи, связанные с плоско-радиальными диффузи
онными потоками.
Так как в данной работе имеется много ссылок на получившую
широкую известность статью Ван Эвердингена и Херста [972] и
на содержащиеся в ней ценные числовые таблицы, то в связи с
этим надо обязательно указать еще на статью Чатаса [807]. Все