Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

COS ПУХ к

~ - 2^1 - X 2

3 Т

Введем такое обозначение для безразмерной величины объема

жидкости:

voc:fo) = ^ £ .

v зал

(13.32г)

Учитывая равенства (1.41), (13.22), (13.316), (13.32г), формулу

(13.326) можно переписать в безразмерной форме:

V (х, Fo) = 2

х 2 ~ 1 2 т” cosк\х -кг*гРо

F o+т— - х + - - — > . ---------; — е

v= 1

(13.32д)

Полагая в последней формуле х = 0 и/=1, _о предел им без

размерные величины объемов жидкости У г и У к, перетекшей

за время t соответственно через стенку галереи Г и контур

питания К:

V T(Fo)sV(0,Fo) = 2

V t(Fo)sV(l,Fo) = 2

Р ° Л - —г Ц —г

3 к 2 " 2

v = 1

б v 2

(13.32е)

(13.32ж)

Так как до начального момента жидкость в пласте не двигалась

(поле _ давлений было невозмущенным), то величины

V (х, t) , V (x,Fo) должны быть равны нулю при t » 0, Fo * 0; это

следует и из формулы (13.326) и из формул (13.32д)—(13.32ж),

если учесть равенство (13.32в).

При достаточно больших значениях Fo величинами сумм рядов,

входящих в формулы (13.32д)—(13.32ж), можно пренебречь по

сравнению с другими величинами, заключенными в круглые скобки,

т.е. получим:

У г(/Ъ)н2[Л> + Н

(13.336)

V*(Fo)s2 Fo -

(13.33в)

Из формул (13.326), (13.33а)—(13.33в) следует, что при доста

точно больших значениях t и Fo вличины V и V растут линейно

и, конечно, неограниченно с ростом t и Fo Поэтому формулы

(13.33а)— (13.33в), если считать, что в них левые и правые части

соединены точными знаками равенства, можно рассматривать как

уравнения прямых лдш|£ — асимптот для соответствующих гра

фиков зависимости V, V r,V K от Fo .

Графики зависимости V от Fo для нескольких значений х

изображены схематично на рис. 13.7 а; пунктиром изображены

асимптоты. По этим графикам можно судить, как растут с течением

времени (с ростом Fo) величины объемов жидкости, перетекающей

через каждое из рассматриваемых сечений прямолинейно-парал-

лельного потока.

Рассматривая равенства (13.33 а)— (13.33 в) как уравнения пря

мых линий — асимптот, следует отметить, что угловой коэффи

циент этих асимптот равен 2. Итак, для всех сечений потока все

асимптоты линий рассматриваемых графиков имеют одинаковые

углы наклона а к оси абсцисс, причем tga = 2, а следовательно,

На рис. 13.7а взяты неодинаковые масштабы по оси абсцисс и

ординат, чтобы углы наклона асимптот оказались меньшими и

можно было более удобно проследить за особенностями прибли

жения к асимптотам соответствующих кривых линий.

Бели продифференцировать по времени равенство (13.326) или

по параметру Fo равенство (13.32д), то нетрудно убедиться в том,

что при t = 0, Fo = 0 величины соответствующих производных равны

(13.34а)

или же

Z a = 0,352 к.

(13.346)

Рис. 13.7а. Графики зависимости от параметра Fo безразмерных объемов

жидкости, перетекающей через различные сечения прямолинейно-параллельного

потока при заданных значениях давления на двух его границах — см. рис. 13.1

бесконечности только при х = 0. Так и должно быть: ведь в

начальный момент пласт находился в невозмущенном состоянии и

на стенке галереи мгновенно снижается давление на конечную

величину (с ро до рг). Поэтому дебит галереи в начальный момент

должен быть бесконечным (как это и было выше обнаружено по

формулам), а потому линия, соответствующая графику изменения

V r от Fo , должна касаться оси ординат при Fo = 0. Все остальные

линии зависимости V (х, Fo) при Fo = 0, х ф 0 касаются оси абсцисс.

Есть весьма характерные особенности в том, как именно возрастают

величины V <£ Fo) с ростом Fo при различных значениях* и еще в том,

как линии, соответствующие графикам этих величин, приближаются к

своим асимптотам. Чтобы выявить эти особенности,^определим, при

каком значении х асимптота графика зависимости V (x, Fo) , соответст

вующая этому сечению, проходит через начало координат.

Очевидно, что асимптота, соответствующая равенству (13.33а),

пройдет через начало координат в том случае, если

^ - * + ± = 0. (13.35)

£ «5

Из двух корней этого квадратного уравнения корень при

значении х > 1 не имеет физического смысла. Поэтому остается

физически возможным лишь такой корень уравнения:

< т 6 )

Равенство (13.36) определяет искомую безразмерную координату.

Так как соответствующее сечение потока является особым (о чем

дальше будет идти речь), то и безразмерная координата, определяющая

его положение, выделена особым обозначением х *. Итак, на основании

равенства(1336) приближенно можно принять, чтох* = 0,42265 . Следо

вательно, см. равенство (13.22), это означает, что особое сечение потока

находится на таком расстоянии от стенки галереи:

х* = 0,423£. (13.37)

Особенность сечения, определяемого координатой х *, состоит в

том, что для всех сечений, расположенных ближе него к галерее, т.е.

при 0 <*<**, линии графиков зависимости V* от Fo имеют по

одной точке перегиба и подходят к своим асимптотам снизу —

см. рис. 13.7а; для всех сечений, расположенных дальше особого от

галереи, линии таких же графиков не имеют точек перегиба и подходят

к своим асимптотам сверху. Особенности сечения с координатой х *

выше уже были отмечены и при анализе величин расходов жидкости

через различные сечения потока.

Для характеристики особенностей неустановившегося потока

интересно сопоставить понижение давления

Ар

в каком-либо

сечении с понижением давления Ару в таком же сечении

аналогичного установившегося потока. Составим отношение вели

чин этих двух понижений давления, используя те же обозначения,

какие были в равенствах (13.30а) и (13.306):

Ap(x[Fo) =p*-pfoFo) (13.38)

Ару (рс) — Ру (х )

В табл. 13.1 приведены результаты подсчетов величины данного

соотношения при трех различных значениях параметра Fo в

нескольких сечениях потока, положения которых определяются

безразмерной координатой

х.

Подсчеты показывают, что, например, при Fo = 0,05 понижение

давления Ар в неустановившемся потоке составляет 0,579 величины

понижения давления Ару в установившемся потоке в одинаковых

сечениях того и другого потока с безразмерной координатой

Рве. 13.76. График зависимости безразмерного дебита галереи (величины ^ ~ ) от

безразмерного времени (от величины я2 Я } для условий прямолинейно-парал

лельного потока при заданных давлениях на двух границах

х = 0,25. При том же значении Fo » 0,05, но в сечениях, опреде

ляемых безразмерной координатой х - 0,75, отношение рассматри

ваемых понижений давления равно только 0,08. Этот пример

подсчетов подтверждает, что, как и следовало ожидать, чем ближе

к галерее, тем скорее давление в неустановившемся потоке

приближается к величине установившегося давления.

Таблица 13.1

Результаты подсчетов отношения

Ар и — д:

давлений при различных значениях Fo и х = 7

АРу L

k 2F o

0,1

0,2

0,5 1

оо

0,01013

0,2026

0,05066 0,1013

0,2026

0,4053

0,5066

оо

х - 0.25

0,112

0,285

0.579

0,848

0.919

0,993

0,997

х - 0,50

0,002

0,028

0,232

0,716

0.828

0,990

0,994

х = 0,75

0,001 0.080

0,532 0.756

0,980

0,992 1

Результаты подсчетов отношения отменяющегося

со временем дебита галереи Qr к ее установившемуся дебиту Qy

я 2 Л>

0,1

0,2

0,4

0,5 1 2 4

оо

От

Q i.

оо

5,605 3,963 2,803

2,507

1,773

1,271

1,037

1,014

1,0001

В табл. 13.2 приведены результаты подсчетов безразмерного

дебита галереи при различных значению параметра Foi

выполненных Хупером [863] по формуле (13.29); соответствующий

таблице график приведен на рис. 13.76.

§ 2. Задание постоянного дебита на одной границе

и давления на противоположной границе

Рассмотрим прямолинейно-параллельный поток, у которого опять

левой границей Г служит галерея, куда жидкость стекает; правой

границей К служит контур питания, через который жидкость прите

кает (рис. 13.8.) Допустим, что в начальный момент t =* 0 поле

давлений было невозмущенным, т.е. во всех точках пластовое давление

было равно ро, а понижение давления Ар =/?0 -р было равно нулю.

Пусть, начиная с момента t - 0, через галерею Г стали отбирать

жидкость с постоянным расходом, т.е. дебит Q^ галереи удержи

вается после ее пуска постоянным. На контуре питания К все

время удерживается постоянное давление р*, равное начальному

давлению ро, т.е. понижение давления А/?к все время равно нулю.

Рис. 13.8. Прямолинейно-параллельный поток при заданном давлении на контуре

питания К и заданном дебите на стенке галереи Г

Требуется определить и иссследовать неусгановившийся про

цесс перераспределения давления в потоке при описанных выше

условиях, т.е. требуется определить понижение давления как

функцию координаты и времени. Для этого необходимо решить

соответствующую краевую задачу, причем на границе К задается

граничное условие I рода, а на границе Г — граничное условие

II рода (задается производная от искомой функции), т.е. задается

условие Неймана.

Задача математически сводится к решению дифференциального

уравнения пьезопроводности (13.1) при следующих начальном и

граничных условиях, с началом координат на границе Г:

При f = 0...p=/>o, &Р=Ро~Р = 0> x * 0 , J (13.39)

где о — площадь поперечного сечения потока, L — его длина, а

все остальные обозначения прежние.

Искомая функция Ар (х, t) , удовлетворяющая дифференциаль

ному уравнению пьезопроводности, может быть определена с

помощью формулы (13.7).

Подставим в (13.7) граничное условие (13.40):

Т.к. дебит галереи принят постоянным, то в правую часть

равенства (13.42) не должны входить величины, зависящие от

времени, т.е. следует положить, что

(13.40)

При L = 0...р =р*=р0 = const, Дрк = 0, f>0,

(13.41)

Ciy = ~ - o A + l,(^v*-ve ’ J . (13.42)

(13.43)

следовательно, получается, что

Учитывая (13.43) и (13.44), подставим в (13.7) граничное условие

(13.41):

ОО ^

Q- D 2-^ j * ^ L + '£,Byco&(\yL)e *'*. (13.45)

V = 1

Очевидно, что и в равенство (13.45) не должны входить

величины, зависящие от времени. Поэтому приходится принять,

что

Xv = (2 v -l) ^ (1346)

и, следовательно,

d 2= % * l . (13-47)

ка

Учитывая (13.43)—(13.47), перепишем (13.7):

4Р (*, О = (£-*) +

o v П „ - ^ ' V rf • (13.48)

+ X g vCos^ е « ’

v= 1

Подставив в (13.48) начальное условие (13.39), получим

v = 1

(13.49)

Чтобы определить неизвестные постоянные коэффициенты

В у, необходимо разложить в тригонометрический ряд по косинусам

функцию/ (дс), приравниваемую левой части последнего равенства:

/(X) = ^ (L- * )= £ flvC№^ P ^ (13.50)

V = 1

На основании теории рядов Фурье можем определять коэффи

циенты а у, с помощью такого равенства:

Подставляя выражение функция / (* ) из (13.50) в (13.51) и

выполняя интеграцию, в итоге найдем:

а,=

8(?п,ц£

(2v- 1 )2кгка'

(13.52)

Приравнивая друг другу правые части равенств (13.49) и (13.50)

и учитывая равенство (13.52), получим:

S , = - a , =

(2v- 1)2к2ко'

(13.53)

Подстановка (13.53) в (13.48) приводит к окончательному

решению задачи — определяется понижение давления в любой

точке пласта в любой момент:

bpb,t)

бгуЦЬ

ка

L я2у^ (2 у -1 )2‘

(2v-l)nx

XCOS 2L е

(2у - 1) 2я2 xf

(13.54)

Продифференцируем по х равенство (13.54):

ЭАр (у, /) _ 6гу Ц

etc А: а

ао

я ^-2у -1

V = 1

(2v-l)2*2 кt

. (2v-l)lCJC 4 /2

Х5Ш 2L е

(13.54a)

При х - 0 последнее равенство примет вид:

gryH

*=0

ко

= const.

Для определения понижения давления Дрст на стенке галереи

в любой момент надо положить х « 0 в формуле (13.54);

следовательно,

1 _ 1 у

-----

*% Г,(2 у -1 )2

(2v-1) it ttf

(13-55)

хе

При t-+°o процесс перераспределения давления будет асимп

тотически приближаться к установившемуся распределению дав

ления. Обозначая установившиеся понижения давления в любой точке

потока и в галерее соответственно через Ару^(х) и &рг усТ9 из

формул (13.54) и (13.55) при ?=<*> получим

д„ /V4 Qrr^Lf х )

* ’ ” w " i T [ ' ' Z

4 р , . „ М = ^ ;

(1356)

(1357)

Формулы (13.54)— (13.57) формально вполне правильно дают

решение поставленной краевой задачи. Однако надо сделать

существенную оговорку и по поводу самой постановки рассмат

риваемой краевой задачи, и по поводу упомянутых формул.

Действительно, на основании равенства (13.57) можно утверж

дать, что чем больше задаваемая величина Qry, тем меньше

оказывается величина рт§ уст установившегося давления галереи,

и даже эта величина может оказаться отрицательной, что

физически бессмысленно. В конце § 2 главы 4 указывалось, что

при снижении пластового давления ниже определенной величины

может нарушиться модель упругого режима. Поэтому в условиях