Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Формула (13.12) подтверждает сделанное в § 2 главы 12

замечание о том, что размерность величины к v обратна размерности

длины.

(13.13)

На основании равенств (13.9)—(13.13) формула (13.7) примет вид

жу _ Р 0 Рту _ &Ргу

1_ L ~ L '

&p(pc,t) = Apiy- ^ I!Lx + ^ A vsm

V= 1

ТС V

(13.14)

Подставив в (13.14) начальное условие (13.2), получим:

АР]

V = 1

(13.15)

Чтобы определить неизвестные величины коэффициен

тов А у, надо разложить в тригонометрический ряд (ряд

Фурье) функцию от х, входящую в левую часть последнего

равенства:

(13.16)

Пользуясь известными формулами теории рядов Фурье —

см.[382], [587], найдем значения коэффициентов b v:

О о V

. К VX ,

sm — — d x .

(13.17)

Выполняя интегрирование в последней формуле и сопоставляя

равенства (13.15) и (13.16), получим

A v= -b v=-2

А Р гу

itv

( Y Л 2

Ар (л,0 = АРгу

V ) v — 1

Формула (13.19) выражает решение дифференциального урав

нения пьезопроводности (13.1), удовлетворяющее начальному и

граничным условиям (13.2)—(13.4). С помощью этой формулы

можно определить понижение давления в любой точке не-

установившегося прямолинейно-параллельного потока в любой

момент.

При t—»<*> из формулы (13.19) получим

Правая часть последнего равенства соответствует распределе

нию давления в установившемся прямолинейно-параллельном по

токе. Т.е., как и следовало ожидать, с течением времени пластовое

давление в рассматриваемом случае асимптотически приближается

к установившемуся давлению при заданных постоянных давлениях

на двух противоположных границах потока.

Для целей дальнейшего сопоставления процессов перераспре

деления давлений в условиях прямолинейно-параллельного и

плоско-радиального потоков перепишем формулу (13.19) в таком,

несколько более громоздком, виде:

(13.20)

/ v= i

(13.21)

Введем в рассмотрение безразмерные величины:

Ар (х, t) Po~P(x,t)

ДР А >

АРгу Ро-Рог

где Fo — параметр Фурье, характеризующий «безразмерное время»;

х —безразмерная величина, определяющая положение точки в по

токе; Ар — безразмерное понижение давления, зависящее от

х н Fo.

Применяя безразмерные величины, можно, пользуясь

остроумным выражением Хупера [863], «деперсонифицировать»

(«обезличить») формулу (13.19), т.е. представить ее в таком

виде:

Последовательные положения пьезометрических линий, харак

теризующих распределение и перераспределение давлений в

прямолинейно-параллельном потоке, схематично изображены на

рис 13.2 на основании формулы (13.19) или (13.21). Аналогичные

линии, характеризующие зависимости безразмерного понижения

давления Ар от безразмерной координаты х, схематично изображены

на рис. 13.3 на основании формулы (13.23).

На основании тех же формул на рис. 13.4 изображены графики

изменения давления со временем в отдельных точках потока.

Естественно, что совершенно такие же графики изображают

зависимость безразмерного понижения давления р (изменяющегося

от 0 до 1) от параметра Фурье Fo

При больших значениях времени t или параметра Фурье Fo

ряды в формулах (13.19), (13.21), (13.23) сходятся быстро.

Ограничимся, например, в формуле (13.23) лишь первым членом

ряда:

Если, например, принять х = 0,5, Fo = 0,05, то результат под

счета по приближенной формуле (13.24) отличается от подсчета

по точной формуле (13.19) лишь на 2%.

Ap(*,Fo) =

(13.23)

V = 1

(13.24)

Рис. 13.2. Схематичное изображение пьезометрических линий в прямолинейно-

параллельном потоке при заданных давлениях на двух границах — см. рис. 13.1

Рис. 13.3. Схематичное изображение распределения безразмерного понижения

давления в зависимости от безразмерной координаты при различных значениях

параметра Фурье Fo в условиях прямолинейно-параллельного потока при

заданных значениях безразмерного понижения давления на двух границах — см.

рис. 13.1

Рис. 13.4. Графики понижения давления в различных сечениях прямоли

нейно-параллельного потока длины L при заданных значениях давления на

двух границах — см. рис. 13.1

Чем меньше значения t и Fot тем менее удобно пользоваться

формулами (13.19), (13.21), (13.23), так как входящие в них ряды

будут сходиться все медленнее и медленнее. Однако при малых

значениях дс и Fo вполне допустимо (с высокой степенью точ

ности) для подсчета давления использовать вместо формул

(13.19)—(13.24) значительно более простые формулы, которые

будут выведены в § 3 данной главы для условий полубеско-

нечного пласта.

Используя закон Дарси, подсчитаем расход Q (дс, t) жидкости

через любое сечение пласта, определяемое координатой х, в любой

момент t:

< > » >

где а — площадь поперечного сечения пласта

Продифференцировав равенство (13.19) и подставив найденное

значение производной в формулу (13.25), получим*:

Gfr.0 = -o L

1 + 2 2

COS

v — 1

п\х

(13.26)

Положим t = oo в последнем равенстве:

[G(*,0],=» = ^a^ r* = Gy,

(13.27)

где через Qy обозначена величина расхода жидкости в любом сече

нии потока, а следовательно, и через стенку галереи в условиях ус

тановившегося потока.

Учитывая равенства (13.22) и (13.27), формулу (13.26) можно

переписать, используя безразмерные переменные:

Q0c,Fo) = Qy

1 + 2^cos(nvx)e

V = 1

(13.28)

Полагая х = 0 в последнем равенстве, получим формулу для

определения в любой момент расхода жидкости Qr (Fo) через

стенку галереи:

Qr(Fo) = Qy

1+ 2 ^ е

V=1

-k2v2F0

(13.29)

На основании последней формулы можно утверждать, что

2г = 00 при F o -0. Этого следовало ожидать, так как при мгно

венном снижении давления в галерее в начальный момент ее дебит

в этот момент должен быть бесконечно большим.

♦

При использовании полученной формулы (13.26) следует учитывать, что вхо

дящий в нее ряд — неравномерно сходящийся при t « 0. А это, как известно, озна

чает, что при t = 0 сумма этого ряда может и не быть равна производной от суммы

ряда, входящего в формулу (13.19).

Рис. 13.5. Схематичное изображение графиков зависимости расхода жидкости

от координаты х в различные моменты t в условиях прямолинейно-параллельного

потока при заданных значениях давления на двух границах — см. рис. 13.1

Анализ формул (13.26)—(13.29) позволил схематично изобразить

на рис. 13.5 и 13.6 графики изменения величины расхода жидкости

Q (х, t) с изменением соответственно координаты х и времени L

Сопоставление пьезометрических линий, построенных на

рис. 13.2 для нескольких последовательных моментов

t\ <t2<h< ..., наглядно подтверждает изображенные на рис. 13.6

особенности графиков изменения расходов жидкости с течением

времени в различных сечениях пласта. Действительно, проследим

за изменением с течением времени углов наклона пьезометрических

линий в каком-либо сечении х = х{ пласта, расположенном ближе

к галерее, чем к контуру питания, т.е. при 0<Х\« ^ . На рис. 13.2

проведена пунктирная линия DC, соответствующая этому сечению.

Опускаясь по пунктирной линии от точки D на прямой АВ (эта

прямая соответствует моменту t = 0), легко заметить, что в

последовательных точках пересечения линии DC с пьезометриче

скими линиями для все больших значений времени углы наклонов

этих линий сначала возрастают, но затем начинают убывать,

Рис. 13.6. Схематичное изображение графиков зависимости расхода жидкости

от времени в различных сечениях прямолинейно-параллельного потока при

заданных значениях давления на двух границах — см. рис. 13.1

достигая наименьшей величины в точке С на крайней пьезомет

рической линии НСМВ, т.е. при t = оо. Углы наклона пьезометри

ческих линий характеризуют величины градиентов давления, а

следовательно, и величины скоростей и расходов жидкости.

Поэтому изображенные на рис. 13.6 кривые линии, соответствующие

графикам расхода жидкости в сечениях х ближайших к

галерее, имеют критические точки максимумов, по две точки

перегиба, асимптотически приближаясь к горизонтальной прямой

с ординатой Q = Qy.

Проследим теперь за изменением углов наклона пьезометриче

ских линий в каком-либо другом сечении пласта, например х = x3t

расположенном ближе к контуру питания, чем к галерее, т.е. при

“ «jc<L. На рис. 13.2 провелена пунктирная линия NM4 соот-

ветствующая этому сечению. Опускаясь по пунктирной линии от

точки N на прямой АВ, легко заметить, что в последовательных

точках пересечения линии N M с пьезометрическими линиями углы

наклонов этих линий только монотонно возрастают, достигая

наибольшей величины в точке М на крайней пьезометрической

линии НСМВ, т.е. при <». Поэтому изображенные на рис. 13.6

линии, соответствующие графикам расхода жидкости в сечениях

•••> не имеют критических точек максимумов, но имеют

по одной точке перегиба, также асимптотически приближаясь к

той же горизонтальной прямой с ординатой Q = Q r

Итак, анализ формул и рис. 13.2— 13.6 приводит к выводу, что

в рассматриваемом параллельно-прямолинейном потоке есть особое

поперечное сечение, координату которого обозначим через х*.

Левее этого сечения (т.е. при 0 < х < х *) графики изменения расходов

жидкости с течением времени имеют совершенно иную форму,

чем графики изменения расходов через сечения, расположенные

правее сечения х -х *.

Аналитическое определение координаты х* особого сечения

потока, исходя из формул (13.19), (13.26), затруднительно потому,

что для этого необходимо решать трансцендентные уравнения, из

этих формул получающиеся. Величина координаты х * будет далее

определена с помощью других формул.

Как выше было установлено, рассматриваемый неустановивший

ся плоско-параллельный поток при t —> стремится к такому

состоянию, которое соответствует установившемуся потоку в пласте

при постоянном давлении на контуре питания рк, равном начальному

давлению р0 и при постоянном давлении р т на стенке

галереи Г. В*таком установившемся потоке понижение давления

на всей длине L потока ^Ргу=Рк~Рг- Если обозначить через

Ру (х) и Ару (х)=рк-р у(х) давление и понижение давления в сече

нии с координатой jc в установившемся потоке, то будут справедливы

следующие известные из подземной гидродинамики простейшие

соотношения, которыми здесь придется воспользоваться:

Определим средневзвешенное давление p^Mb в рассматриваемом

установившемся потоке, используя соотношение (13.30а):

Ру (*) —Рг + фж. Рт) £ ~Рг + АРгу £

(13.30а)

(13.306)

Рср.ВЗВ —

в Р г + ~ 2 ~ = ~ 2

-Рт Рж. + Рт

(13.30B)

т.е. средневзвешенное давление в установившемся плоско-парал

лельном потоке равно среднеарифметической величине от величин

давлений на границах потока.

Величина объема упругого запаса жидкости, который мог

бы быть извлечен из пласта при изменении в нем давления от

начального Ро=р* до средневзвешенного Рср.юв> определяется на

основании формулы (1.34) так:

где Р * — коэффициент упругоемкости пласта, — объем пласта,

равный в рассматриваемой задаче произведению его поперечного се

чения на длину, т.е. равный o L .

Подставив значение Рср.юв из равенства (13.30в) в (13.31а),

получим

Определим объем V (х, t) жидкости, которая за время t перетечет

через сечение с координатой х неустановившегося плоско-парал-

лельного потока:

Подставим в формулу (13.32а) значение расхода жидкости

Q(x,t), определяемого формулой (13.26):

Известно следующее выражение для суммы ряда — см.,

например, стр. 277 1547]:

(13.31а)

V Mn = p 'e^ V m = ±p*oL&Piy.

(13.316)

(13.32а)

1 -е L }

(13.326)