Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Формулы (11.103)— (11.105) были впервые выведены в статье

[757]; с их помощью определяются понижения давления в любой

момент в любой точке каждой из трех областей I, II, III потока,

вызванного включением исследуемого объемного полостного ци

линдрического стока с переменной производительностью ( дебитом)

Qa определяемым законом (11.74).

В § 11 Приложения указаны выражения функций ф m и \\г т для

нескольких первых положительных и отрицательных значений

индекса т — см. формулы (П.361)—(П.371) — и даны сведения

по поводу табулирования функций \\гт ( таблица функций ф т

приведена в Приложении — см. табл. П.8).

Формулами (11.103)—(11.105) удобно пользоваться при не

слишком малых значениях времени, что объясняется переходом в

изображениях к их приближенным выражениям с помощью разло

жения в ряды модифицированных функций Бесселя.

Используя при переходе от лапласовых изображений (11.92)—

(11.94) к оригиналам приближенные выражения модифицирован

ных функций Бесселя с помощью их асимптотических представ

лений, получим в результате такие формулы для асимптотиче

ских же представлений понижений давления при малых

значениях времени*:

А , ,4 22П П ' Q c V 4 K f

^ 1(л/)~ 2nbk R l-R \

2л+2

erfc 2,1+2

2Vk£ V r 1

erfc

R2 — r

2Vkt

4k*

------

2 nbk R l - R T

1 ,-2n+2

erfc

r-R l

2а/ кГ

(11.107)

(11.108)

^2 . £ &2~ Г

erfcw

Соответствующие подробные промежуточные выкладки проведены в статье

[758].

2й* п ! Qcix 4itf

2nbk

R l- R l

2п+2

erfc

г —R2

2лЛ<F '

i 20+2 erfc

r-Л,

Ж Т (11.109)

Особый смысл имеет тот факт, что при малых значениях времени

формулы (11.107)—(11.109) для определения понижения давления

во всех трех зонах плоско-радиального потока содержат те же

кратные интегральные дополнительные функции ошибок, что и

формулы (11.32)—(11.34) для определения понижения во всех трех

зонах прямолинейно-параллельного потока. Эта аналогия оказыва

ется особенно заметной, если в формулах (11.107)—(11.109)

величину Qc заменить через Q*ntn, учитывая равенство (11.74). См.

по этому же поводу замечания, сделанные в главе 10 при анализе

формул (10.74)—(10.76).

При п = 0 формулы (11.103)—(11.105) и (11.107)—(11.109)

определяют понижения давлений, когда дебит Qc объемного стока

постоянный. В этом частном случае формулу (11.105), учитывая

соответствующие выражения СКИП-функций (П.361), (П.364),

(П.365), можно переписать, например, так:

АРз (Л t) =

R\ + R2x

Q c\i\

Anbk\

-Ei

4kJ

4к*

-1

£ \ - r \

\2{Rl-R\) (4k? ):

(11.110)

т 2

-Ш

Аналогичным способом можно переписать и выражения для

ЛРь Ар2-

При п = 1, т.е. при линейно изменяющемся со временем дебите

Qc стока, та же формула (11.105), учитывая выражения СКИП-

функций (П.361), (П.362), (П.364), примет такой вид:

Ар з (Л t) =

ОсЦ

4лЪк

r2_ Rl + R\

+ 4кt+ 8к?

-Ei

1 '

I—

4к*

R 62-R 6i

l2(Rl-Rb (4Kt)2

г1

(11.111)

Полагая R2 = R\=Rb формуле (11.106), получаем из нее формулу

(10.49). Если положить, что R{—>R2 = R в формулах (11.103),

(11.107), (11.109), то получаем неопределенности. Раскрывая неоп

ределенности и используя при дифференцировании функций /erfc

и ц/ соответствующие формулы Приложения (П.40), (П.377) и

соотношение (П.381 а), после раскрытия неопределенностей полу

чаем формулы (10.50), (10.71), (10.72). Таким образом, при

R2 ^ R \ = R из формул для объемного цилиндрического стока

получаем ранее выведенные формулы, определяющие понижение

давления внутри и снаружи поверхностного цилиндрического стока,

а следовательно, и формулы для окружной галереи стоков в

условиях плоской задачи.

Положим R{ = 0 в формулах (11.104) и (11.105); тогда получим

такие формулы для случая объемного стока, полностью заполня

ющего цилиндр радиуса R2 — см. рис. 11.13 (область II — внутри

цилиндра, область III — снаружи цилиндра):

Ap2(r,t)=-

n'.QcVi

4кt

Y 1

Г г

(Rl)

4nbk

(л + 1)!

(v!)2

v=0

4 Kt

4Kt

у J

(11.112)

n'.QcH

4nbk

( 2

+ Y 1

(Rl)

( г 2 )

Фл

4к/

V )

" ( v!)2 (v+1)

4к/

V )

ФЛ-V

4кt

\ /

(11.113)

Рис. 11.13. Плоское сечение объем

ного цилиндрического стока (зо

на

11)

Из формул (11.103)—(11.105) и

(11.112), (11.113) следует, что при

t —> ©о понижения давлений во всех

точках внутри объемного стока и

вне его неограниченно возрастают,

как этого и следовало ожидать при

непрерывно действующем стоке; см.

по этому же поводу вывод, получен

ный при анализе соотношения (4.32).

Конечно, полагая Rx = 0, в фор

мулах (11.108) и (11.109) получили

бы для рассматриваемого случая

асимптотические представления по

нижений давления.

При Ri —> 0 и R2 > 0 из равенства

(11.105) или (еще проще) из равен

ства (11.106) получаем следующую

формулу для определения понижс-

ния давления после пуска линейного стока в пространстве или

точечного стока на плоскости с переменным дебитом:

Эта же формула получается при R2 0 и из равенства (11.113).

Как и следовало ожидать, формула (11.114) совпала с ранее

выведенной для точечного стока формулой (4.154).

В статье В. Е. Влюшина [138] исследовалась работа объемного

цилиндрического полостного стока либо с постоянным дебитом,

либо с дебитом, линейно зависящим от времени. Естественно, что

выведенные в цитированной статье формулы получаются как

частные случаи из выведенных выше формул, если положить в

них либо п = О, либо п = 1.

В статье Н. С. Пискунова [515] решалась задача об определении

неустановившегося поля давлений после включения в работу стоков,

непрерывно расположенных на некоторой площади. Н. С. Пискунов

основывался на формуле (4.4 бис) Рэлея для точечного стока на

плоскости и выполнил интегрирование этого стокообразного

решения применительно к кольцевому круговому расположению

стоков. Выведенная Н. С. Пискуновым формула для понижения

давления в центре площадного кругового стока получается как

частный случай из формулы (11.112), если положить в ней п - О,

Необходимо отмстить, что выполненные цитированные работы

сначала Н. С. Пискунова, а затем в более общей постановке

В. Е. Влюшина особенно ценны тем, что в них

впервые исполь

зовано сплошное по объему (для плоских задач — сплошное по

площади) распределение стоков для решения интересных задач

разработки крупных залежей нефти.

Так же точно надо отметить, что использование стоков,

равномерно распределенных по площадям различной формы,

широко использовалось при решении многих задач гидрогеологии

и гидротехники в статьях и монографиях Ф. М. Бочевера, Н. Н. Ве

ригина, В. М. Шестакова, цитированных в конце главы 7; в этих

работах приведена и соответствующая обширная библиография.

Проведенный анализ выведенных здесь формул (11.105)—

(11.109) доказал, что они обладают значительной общностью, так

как из них, при частных допущениях, получаются многие другие

формулы, характеризующие более простые плоско-радиальные

потоки к объемному сплошному цилиндрическому стоку (т.е. и к

сплошному поверхностному круговому стоку в условиях плоской

(11.114)

г = 0.

задачи), к поверхностному цилиндрическому стоку (т.е. и к

окружной галерее) и к расположенному вдоль оси цилиндра

линейному стоку в пространстве (к точечному на плоскости).

Приведенный выше вывод всех формул в итоге интегрирования

исходных дифференциальных уравнений пьезопроводности с по

мощью преобразования Лапласа не является, конечно, единственно

возможным. Все эти же формулы можно было вывести, используя

метод интегрирования по координате стокообразного решения.

Именно таким методом, например, можно было перейти от ранее

полученного решения задачи с поверхностным цилиндрическим

стоком (см. § 2 главы 10) к решению задачи с объемным

цилиндрическим стоком.

§ 4. Сферический радиальный приток жидкости

к объемному стоку

Рассмотрим неустановившийся сферический радиальный поток

жидкости, вызванный мгновенным включением непрерывно дейст

вующего объемного шарового стока. Предполагается, что точечные

стоки равномерно и непрерывно заполняют весь объем шара, радиус

которого обозначим через R; внутреннюю и внешнюю области шара

обозначим через / и Е — см. рис. 11.14, на котором изображено

сечение шарового стока.

В начальный момент включения шарового стока поле давлений

предполагается невозмущенным.

Будем считать, что объемный дебит шарового стока (отнесенный

к начальному пластовому давлению) Qc постоянен; дебит стока,

отнесенный к единице объема шаро

вого стока, обозначим через qc.

Qc =

= 4 -% , = o „ sl.

4 kR

Рис. 11.14. Плоское сечение объем

ного шарового стока

Математическая постановка зада

чи об определении понижений дав

ления Ар/(г, 0 и ApE(r, t) в условиях

сферического радиального потока

внутри и вне шарового стока в

любой момент

t в любой точке,

положение которой определяется

радиусом-вектором г, описывается

такими уравнениями (см. пояснения

в начале каждого из двух предыдущих параграфов и в § 7 главы 1):

э ^ , + 2 ^ £ ,= i a^,_u (П.н«)

Эг2 г Эг к dt к

д2АрЕ 2 дАрЕ 1 ЭАрЕ

Эг2 г Эг к dt

Начальные условия:

Др/ = 0, ДрЕ = 0 при t = О

, r>Ryt> О.

(11.117)

(11.118)

На основании физических соображений, связанных с постанов

кой задачи, и исходя из необходимости сопряжения полей давления

внутри и вне шара должны еще удовлетворяться следующие

условия:

Api ^«>,0 <r<R,t<o*t

АрЕ = 0 при г = ©о 11 > 0,

Др/ (R, 0 = АрЕ (R, t) , 0 < t < оо ,

дАр, (г, t) дАрЕ (г, t)

дг

r=R

дг

, 0 < t < ов ,

(11.119)

(11.120)

(11.121)

(11.122)

r=R

Подвергнем уравнения (11.116) и (11.117) преобразованию

Лапласа, учитывая начальное условие (11.118):

d 2AP, 2 d АР] s _дсУ

dr2 г dr к 1 ks ’

(11.123)

d 2 АРЕ 2 d АРе s

где АР/ (г, s), АРе (г, s ) — изображения по Лапласу понижений дав

ления Ap/(r, f) , АрЕ (г, f), s — параметр преобразования.

Общие решения линейных обыкновенных дифференциальных

уравнений (11.123) и (11.124) имеют вид:

2 »

(11.125)

Vi г -Vtr

AРе=А2 ^~~г + В2 С~ ,

(11.126)

где Ль^ь^2»^2 — постоянные величины, которые могут зависеть

только от параметра s.

Чтобы удовлетворить условиям (11.119) и (11.120), необходимо

принять, что

Я ^ -Ai, А2 = 0. (11.127)

Поэтому равенства (11.125) и (11.126) упростятся:

(11.128)

>£”' -л/^г

АР/ = Л, С ~ е +^ К

2 »

АРЕ - -62'

(11.129)

Для определения двух постоянных величин Л\ и В2 используем

два условия (11.121) и (11.122). В итоге получим:

А\ - -

fi+*VTI

(11.130)

Подставим значения Л i и В2 из (11.130) и (11.131) соответственно

в равенства (11.128) и (11.129):

АР,=

Чс ЦК

2кг

-V T

(Я+г)

1 -V T

+ VtCS2 '

(Л+г) i?

'Iks2

(R-r)

<7cHK

2 >

(11.132)

APe =

?сцк’

2кг

1 ~ V?” («Л) 1 ~ (г-Л)

<7c |ixK

2kr

~2 e

s 1

(r-R) 1 •

+ ~2&

S Z

(r+R)

(11.133)

Пользуясь формулой (9.26), перейдем в равенствах (11.132) и

(11.133) от изображений к оригиналам, учитывая еще соотношение

(11.115):

APi (г, t) = ~

Qc\va

'2 Vitf

nR3k

' 2VkT

2-fa

+ 2

(11.134)

+ —

i 2erfc

3 QcV*t

'2 <Kt

2 nR3k

r + R .

'2<rt+l

2erfc:

13erfc 7 7 = - / 3erfc r ^

2Vi<t

2Vid

r-.R

2%ficf

(11.135)

Чтобы определить понижение давления в центре шарового

стока, надо в формуле (11.134) положить г = 0; раскрывая

соответствующие неопределенности, в итоге получаем:

ГЛ , Л1 3 QcV-K

(11.136)

Понижение давления на поверхности шарового стока можно

получить, полагая г = R либо в формуле (11.134), либо в формуле

(11.135); результаты, конечно, получаются одинаковыми, ибо ре

шения дифференциальных уравнений (11.116) и (11.117) удовлет

воряют условию сопряжения (11.121). Итак,

3 Ос И* Kf

Api(Rit) = ApE(RJ) = ^}fP j- x

с R .9 ^ R 1 Vitf 1

~ r ra fc4 Z + ‘ tr,c4 Z -3 b lC + 4

(11.137)

Из формулы (11.135) можно получить предельным переходом

формулу для сферического радиального притока к точечному стоку

в пространстве. Действительно, полагая R —»0 в формуле (11.135)

и раскрывая неопределенность последовательным применением

правила Лопиталя, в итоге получим:

га / 1 Qc№ ~ Г

1АрЕ(г, ?)] *=о- 4 Пкг 2-Ш'

(11.138)

Как и следовало ожидать, формула (11.138) в точности совпала

с ранее выведенной формулой (4.15) для определения понижения

давления после пуска точечного стока с постоянным дебитом.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ

ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПЬЕЗОПРОВОДНОСТИ И РАСХОДА

§ 1. Общие соображения об использовании метода Фурье

В главе 6 был пояснен и использован метод интегрирования

дифференциальных уравнений пьезопроводности и расхода приме

нительно к условиям автомодельных задач. В условиях автомо

дельных задач не задаются линейные величины, определяющие

размеры исследуемого потока, положения его границ. Поэтому

впервые предложенная Коши безразмерная комбинация независимых

величин — координаты времени t и коэффициента пьезопро-

________

£_Y

водности к

к t ’или ^ 7

— была вполне достаточна, чтобы

охарактеризовать неустановившийся одномерный поток, т.е. опре

делить искомую зависимую величину (например, понижение дав

ления) в любой точке потока и в любой момент.

Метод Коши позволил свести интегрирование дифференциаль

ных уравнений в частных производных второго порядка (пьезоп-

роводности и расхода) к интегрированию сопряженного обыкно

венного дифференциального уравнения, в котором единственной

независимой переменной служит введенная Коши безразмерная

комбинация величин. См., например, сопряженные уравнения (6.9),

(6.16), (6.37) для прямолинейно-параллельного потока или более

общее уравнение (6.46) для одномерного потока в многомерном

пространстве ( ос + 1 ) измерений.

При решении неавтомодельных задач задаются граничные

условия, в которые входят характерные линейные (а иногда еще

и временные) величины, определяющие, например, размеры потока.

В условиях неавтомодельных задач координату любой точки

потока надо сопоставлять с задаваемыми линейными величинами,

поэтому для характеристики потока задания безразмерной пере

менной Коши недостаточно.

В условиях неавтомодельных задач при интегрировании диф

ференциальных уравнений в частных производных можно восполь

зоваться методом Фурье разделения переменных. Этот метод сводит

интегрирование дифференциального уравнения в частных произ

водных второго порядка (например, уравнения пьезопроводности