Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
Ap(t,f) = £
а - 1 л0 .
при -"д- полуцелом, т.е. при а = 0,2,4,... .
Известно — это было доказано Лиувиллем (см. § 6 П.), что
функции Бесселя при полуцелом значении их порядка выражаются
в конечном виде через алгебраические и элементарные трансцен
дентные функции, а в простейших случаях — через тригономет
рические функции.
Итак, оказывается, что частные решения уравнения пьезопро
водности при а = 0,2,4,..., т.е, в пространствах нечетного числа
измерений, будут выражаться с помощью тригонометрических
функций, а при а = 1,3,5..., т.е. в пространствах четного числа
измерений, — с помощью Бесселевых функций целочисленных
порядков (с целочисленными индексами)*.
Уравнение (12.29), сопряженное уравнению расхода (12.2), так
же легко приводится к уравнению Ломмеля (П. 185), если принять
- . а + 1 (12.39)
2v + 1 = - а ; v = — —- . х 7
Учитывая формулы (П. 180), (П. 181), (П. 186) и равенство
(12.39), общее решение обыкновенного дифференциального урав
нения (12.29) представим так:
а+1
co(|) = | _2_ |‘ Z)o/ai< ( ^ l) + C’o r s±i(X5 ) j , (1240)
где D0 и С0 — постоянные величины (которые могут зависеть от Я.),
а+1 ^ а+1
когда — — целое число. Если же величина — дробное чис
ло, то следует вместо формулы (12.40) использовать такую форму
лу — см. соотношение (П. 189): .
Напомним — см. § 5 главы 2, что числу а соответствует пространство (а + 1)
измерений.
На основании формул (12.40), (12.41) и равенств (12.28) и (12.31)
найдем частные решения дифференциального уравнения расхода
(12.2) в таком виде:
а= 1,3,5...,
(12.42)
а+1
е
а = 0,2,4...,
а ч )
(12.43)
где Ао и Во — постоянные величины.
На основании формул (12.42) и (12.43) и здесь сохраняются
утверждения, что в случаях одномерных потоков в пространствах
четного числа измерений, т.е. когда а — любое нечетное число,
величина расхода будет выражаться с помощью функций Бес
селя. В случаях же одномерных потоков в пространствах нечет
ного числа измерений, т.е. когда а либо нуль, либо любое
четное число, а следовательно — дробное число, функции
Бесселя вырождаются в более простые функции и в простейших
случаях величина расхода будет выражаться через тригономет
рические функции.
Рассмотрим примеры применения формул (12.37), (12.38)
для понижения давления при нескольких различных значениях
числа а.
При а = 0 и а = 2в формулу (12.38) будут входить Бесселевы
функции и /vfe которые с помощью равенств (П. 171) и
(П. 172) выражаются через тригонометрические функции, и
потому формула (12.38). преобразуется в ранее выведенные
формулы (12.10) и (12.18) соответственно для понижения дав
ления в прямолинейно-параллельном и сферическом радиальном
потоках.
При а=1 формула (12.37) совпадает с ранее выведенной
формулой (12.13) для понижения давления в плоско-радиальном
потоке.
При а = 3, т.е. для одномерного потока в пространстве четырех
измерений, из формулы (12.37) найдем:
A p( | ,0 = | [^ J ri(A .I)+ /?}',(A .|)]e-x,''V (12,44)
При a = 4, т.е. для одномерного потока в пространстве пяти
измерений, из формулы (12.38) получим:
(1 2 -45)
или же, учитывая соотношения (П. 173) и (П. 174),
А р (£ *) =
VtcX | :
Л + cosX|
(12.46)
Перейдем к примерам применения формул (12.42) и (12.43) для
расхода при нескольких различных значениях числа а.
При а = 0 с учетом равенств (П. 171) и (П. 172) формула
(12.43) совпадает с ранее выведенной формулой (12.33) для
расхода в прямолинейно-параллельном потоке (так как функции
Бесселя и выражаются через тригонометрические фун
кции).
При а=1 из формулы (12.42) получим формулу для расхода
жидкости в плоско-радиальном потоке:
e (& o = iM e / i(* 5 )+ * 0r i(* s )]e
-X к*
(12.47)
При a = 2 из формулы (12.43) поручим формулу для расхода
в сферическом радиальном потоке:
G(i.O = !*Uo/M(A.i)+fi0/-% a!)Je-*1*‘'. 02.48)
Или же, учитывая соотношения (П. 173) и (П. 174):
(2(l,0 = V S " l
^0
k t
7-Z-B о
*0
cos k |
-A .Kt
(12.49)
При a = 3, т.е. для одномерного потока в пространстве четырех
измерений, из формулы (12.42) получим;
(2(£,1) = ¥ [ А 0* г (Ш + В 0У2(к%)]е-х2к*. 02.50)
§ 4. Обобщение решений, полученных методом Фурье
В § 2 и 3 методом Фурье разделения переменных были
получены частные решения уравнений пьезопроводности и рас
хода (12.1) и (12.2). Эти дифференциальные уравнения —
линейные и однородные. Поэтому если в любой из формул
(12.37), (12.38), (12.42), (12.43) величине X придавать различные
значения, например X \,Хъ ... Xni то получим п частных решений,
сумма которых будет служить решением уравнения пьезопро
водности или расхода.
Соответствующие каждому значению X постоянные величи
ны пусть будут А'ъА 'ъ ...А'п\В'ъВ'ъ ...В'п. Каждая из посто
янных величин A 'v, В 'v может зависеть от собственного значения Xv.
Допустимо суммировать не конечное, а бесконечное число
частных решений, и каждая такая сумма, если она конечна
(если соответствующий ряд сходится), также будет служить
решением.
Поэтому, учитывая перечисленные выше формулы, а также еще
и формулы (12.24) и (12.336), решения дифференциальных урав
нений пьезопроводности и расхода можно представить в таком
виде:
г 1-<* 00
Ap(|,n = ^iJ|-ad| + Z>2 + |_2_£r^,v/<^(Xvl) +
v = iL J (12-51)
+ £'vy<^t(XvS )]e-X'K,) a = 1,3,5,...
Д р (| / )= р J | - “ d | + P 2+ i~ , _ £
v = 1
+B'VJ t-e(Xvl)Je-x'K,) a =0,2,4,...
Q{% *)=D J ? ad|+2>2 + | ^ S p V / a ii(?.vl) +
, v=1>- 1 (12.53)
+2?,„ y a± i a v i ) j e - x''*', a = 1,3,5,...
Qi\jt)=D j ! edl+^2+|i^Xr^'v/Si.(Xv^) +
•’- ,l 1 (12.54)
+B'VJ ^ ( X vl ) j e - ^ Kf, a = 0,2,4,...
В формулах (12.51 )-(12.54) искомые функции Д р(| / ) и
Q ( ^ ) раскладываются в ряды по функциям Бесселя. Конечно, в
определенных случаях, которые были рассмотрены в двух преды
дущих параграфах, разложения могут быть в ряды по тригономет
рическим функциям.
Формулы (12.5!)-(12.54), полученные на основе метода Фурье
разделения переменных, будут использованы в последующих главах
при решении конкретных краевых задач.
Заметим, что формулы (12.51) и (12.52) часто записываются
без первых двух членов в правых частях. Однако введение в
формулы этих двух членов, во-первых, совершенно обоснованно,
т.к. они соответствуют одному из частных решений, полученному
при применении метода разделения переменных (это частное
решение было получено в § 2 для случая Х. = 0, что по существу
соответствовало переходу уравнения пьезопроводности в уравне
ние Лапласа для установившегося движения жидкости). Во-вто
рых, введение в формулы упомянутых двух членов позволяет,
как это выяснится в дальнейшем, более просто получать особо
наглядные результаты. В весьма ценной монографии Хупера
[863J при решении краевых задач в аналогичные исходные
уравнения включается еще большее количество членов за счет
учета фундаментального решения Лапласа и др. — см., напри
мер, стр. 41 цитированной монографии.
Полезно еще отметить, что если в общем уравнении парабо
лического типа (типа уравнений пьезопроводности, теплопровод
ности, диффузии)
(В Я )
использовать подстановку
Ч>(^,П»С^) = С,е"*-1,с'у(| .П .С )» (1236)
где С и к — постоянные величины, то функция уг будет удовлетво
рять следующему уравнению:
V 2y + k 2v = 0. (12*57)
В это уравнение в частных производных не входит независимая
переменная £. Уравнение (12.57) носит название уравнения Покель
са, хорошо известного в теории дифференциальных уравнений
математической физики. Если предположить, что функции <р и
у зависят только от одной координаты, например от радиуса
вектора % точки в одномерном потоке, то для пространства
(а + 1 ) измерений уравнение Покельса (12.57) в полярных коор
динатах примет такой вид:
42ж + а*ж + к 2W_ 0 „ - 0 1 23
| d | V ' а ' 0*1' 2»3—* (12-58)
d 2 tt d
где т г ^ + г -т г представляет собой оператор Лапласа в полярных
« 9 ъ а Ъ
координатах для пространства ( а +1) измерений.
В полном согласии с результатами, доказанными в предыдущих
параграфах данной главы, находятся следующие выводы по поводу
решений уравнения Покельса (12.58):
1. При а = 0, т.е. для пространства одного измерения, два
решения этого уравнения выражаются с помощью таких ос
циллирующих функций, с аргументом А,| с постоянной амплитудой:
С у sinX|; С гСовХ|.
2. При а = 1, т.е. для пространства двух измерений, два решения
опять выражаются осциллирующими функциями, но уже с умень
шающимися амплитудами — Бесселевыми функциями с таким же
аргументом
CXJ0(4 ), c 2Y0a i ) .
3. При а = 2, т.е. для пространства трех измерений, два решения
опять выражаются такими осциллирующими функциями, амплитуды
которых убывают быстрее, чем амплитуды Бесселевых функций:
sinX£ cos
Cl 1 С2 Х£ ’
В главах 4 и 5 решения дифференциального уравнения пье
зопроводности получались совершенно в иных формах, но они
были справедливы для автомодельных задач в условиях бесконеч
ных пластов.
РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УСЛОВИЙ
ОГРАНИЧЕННОГО НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ
ПРЯМОЛИНЕЙНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПОТОКА
§ 1. Задание постоянных давлений
на двух противоположных границах пласта
Рассмотрим изображенный на рис. 13.1 прямолинейно-парал-
лельный поток жидкости в пласте, левбй границей которого Г
служит прямолинейная галерея, куда жидкость стекает. Правой
границей потока служит прямолинейный «контур питания» К, через
который жидкость притекает в пласт.
Длину пласта обозначим через L. Необходимость задания
длины пласта при формулировке граничных условий в ограни
ченном пласте делает каждую из таких задач неавтомодельной.
Считаем, что в начальный момент t = 0 поле давлений р во
всем пласте было невозмущенным, т.е. во всех точках пласта
давление было одинаковым и равным р0. Пусть в начальный момент
давление в галерее Г было мгновенно снижено до величины
Рту , причем в дальнейшем оно удерживается постоянным. На
контуре питания К все время удерживается начальное пластовое
давление, т.е. Рк-Р о- При этих условиях во всем пласте
возникнет неустановившийся поток жидкости к галерее. По
местим начало координат О на контуре Г и ось х направим вдоль
по потоку в направлении, противоположном его скорости.
Требуется определить давление р (х, t) или понижение давления
Ар (jc, t)=pQ -~р (x, t) в любой точке потока с координатой х в любой
момент t.
В такой постановке (причем именно применительно к нестаци
онарной фильтрации) задача была подробно исследована в работе
автора [722] в 1946 г. и Хупера [863] в 1957 г.
Дифференциальное уравнение пьезопроводности (12.1), если в
нем для рассматриваемого случая |=х, примет вид:
0<x<L,t>0. <ш >
а х 2 к &
Поставленная задача является типовой краевой задачей мате
матической физики с граничными условиями первого рода (усло-
Рис. 13.1. Прямолинейно-параллельный поток при задании давлений на контуре
питания К и на стенке галереи Г
виями Дирихле), т.е. когда на границах задаются значения искомой
функции.
Начальное и граничные условия запишутся так:
При t = 0 ...р=р0, Дрз/>о-/> = 0, х *0 ,x*L. (13.2)
При * = 0 ...р=ргу = const, Дргу =Ро - Pry = const, t> 0 . (13.3)
При x = L *..р =рж=р0, Арк=Ро-Рк = 0, t> 0. (13.4)
Воспользуемся, полагая а = 0, формулой (12.52), определяющей
решение дифференциального уравнения пьезопроводности методом
Фурье разделения переменных:
На основании формул (П.171) и (П.172) перейдем от бесселевых
функций к тригонометрическим:
Др (х, t) = £>2 + А х + V x £ [ A v/_ й (К V*) +
(13.5)
Тогда формула (13.5) примет вид:
- x Ik t (13.7)
Ap(X,O = J02 + A * + X[^vSinA.v*+5vcoSA.v* jc ” ,
V = 1
где новые постоянные A v, В v связаны с прежними постоянными
А\,В\ так:
А у, — Vje X v В v$ В v — i4 v •
Подставим в уравнение (13.7) граничное условие (13.3):
оо 2
V 1 тл — А-V К/
+ (13.8)
V = 1
Величина Адолжна быть постоянной, поэтому для соблю
дения равенства (13.8) необходимо принять
Bv = 0. (13.9)
Следовательно, оказывается, что
Z^2 — Аргу ~Р 0 ~Ргу • (13.10)
Учитывая (13.9) и (13.10), подставим в равенство (13.7) граничное
условие (13.4):
0=Po-Pry + £>|£ + X ^ vSin(XvZ,)e * . (13.11)
V = 1
В равенстве (13.11) не должно быть слагаемых, зависящих от
времени, т.е. необходимо принять, что sinXvL = 0; откуда
пу_ (13.12)
L