Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

или расхода для одномерного потока) к двум независимым друг

от друга сопряженным обыкновенным дифференциальным уравне

ниям; в одном из этих уравнений — второго порядка — незави

симой переменной служит координата, а в другом — первого

порядка — независимой переменной служит время.

Надо заметить, что метод Фурье разделения переменных

используется и при решении автомодельных задач, в частности

таких, какие были рассмотрены в главе 6. Однако при применении

этого метода промежуточные выкладки оказываются более громоз

дкими, хотя результирующие формулы получаются, конечно, те

же самые, что и при использовании другого метода.

Итак, и метод Коши, и метод Фурье разделения переменных,

и операционные методы позволяют свести задачу интегрирования

дифференциального уравнения в частных производных к задаче

интегрирования сопряженных обыкновенных дифференциальных

уравнений (одного в методе Коши или операционном методе, двух

в методе Фурье).

Еще Лагранж подчеркнул, что искусство решения уравнений с

частными производными заключается в их сведении к обыкновенным

уравнениям. Именно так формулирует эту весьма важную идею

А. П. Юшкевич в «Историческом очерке» теории дифференциаль

ных уравнений, приложенном в конце книги [565].

Попутно следует отметить, что в монографиях по подземной

гидродинамике наиболее полное и систематическое перечисление

и пояснение различных методов интегрирования дифференциаль

ных уравнений в частных производных математической физики

приведено в книге Бэра и соавторов [110]; в этом перечне почему-то

не упомянут лишь метод Коши замены переменных.

В последующих главах метод Фурье разделения переменных ис

пользуется при решении многих конкретных краевых задач. Поэтому

данную главу автор решил посвятить только пояснению особенностей

самого метода Фурье, а также общим результатам интегрирования тех

обыкновенных дифференциальных уравнений, которые получаются

как сопряженные при интегрировании уравнений пьезопроводности и

расхода для условий одномерных потоков.

§ 2. Интегрирование уравнений пьезопроводности

и расхода с помощью метода Фурье

Дифференциальные уравнения пьезопроводности и расхода для

одномерных потоков в любом многомерном пространстве ( а + 1 )

измерений имеют вид — см. уравнения (5.1) и (5.5):

В2 Ар а Э Ар _ Э Ар

Э12 + | " к Эt ’ (12.1)

Э2(2_ а ЭАС? 1 д(2 (12.2)

Э^2 1 д 1 “ к dt ’

где а = 0, 1,2,3,...

Как и во всех краевых задачах математической физики,

интегрирование этих уравнений проводится при задании граничных

и начального условий; в данной книге всюду рассматриваются

лишь корректно поставленные краевые задачи.

Граничные и начальное условия применительно к конкретным

задачам будут сформулированы далее, а здесь пока поясним

принципиальные особенности метх>да Фурье разделения пере

менных.

Займемся сначала интегрированием дифференциального урав

нения пьезопроводности. Частное решение этого уравнения будем

искать в виде произведения двух пока неизвестных функций

ф(^) и ©(f), одна из которых зависит только от координаты

достаточной для определения положения точки в одномерном

потоке; другая функция зависит только от времени t. Итак, пусть

др(£п = Ф(!)*е(о. (12.3)

Тогда получим

Ш . =4 * .в (п ^ А £

Э | d% ъ%2 d \ 2 (12.4)

ЭДр t d&

Учитывая соотношения (12.4), перепишем уравнение (12.1),

разделяя переменные:

Лfif2Ф а Л

d l 2 + 4d%

JL d@ (12.5)

к 0 dt *

В этом равенстве члены, входящие в его левую часть, зависят

только от а входящие в правую часть — только от t Учитывая,

что | и t — независимые переменные величины, равенство (12.5)

может выполняться только при том условии, что его левая и правая

части равны одной и той же постоянной величине. Эта постоянная

должна быть либо отрицательной величиной, что будет подтвер

ждено дальше, либо равна нулю.

Рассматривая пока первый из двух возможных вариантов, т.е.

приравнивая и левую и правую части равенства (12.5) постоянной

отрицательной величине -X 2 (где X — действительное число),

получим два дифференциальных уравнения:

^ + « ^ + ; 2 , й _ 0

d%2 l d | Ф ’ (12.6)

(127)

причем величина X имеет размерность, обратную размерности длины.

Эти два обыкновенные дифференциальные уравнения являются

сопряженными по отношению к дифференциальному уравнению в

частных производных (12.1).

Задача интегрирования сопряженного дифференциального урав

нения (12.6) называется задачей Штурма-Лиувилля (или задачей

о собственных значениях). Величину X называют «собственным

значением» или «собственным числом». Функции, определяющие

решения сопряженного уравнения (составляющие фундаментальную

систему решений), называют собственными функциями. Две'посто

янные величины, которые получаются при интегрировании сопря

женного дифференциального уравнения второго порядка, могут

зависеть от собственного значения X.

Интегрируя уравнение (12.7) и предполагая, что 0 = 0 при t = 0,

найдем

@(f) = ae~x*Kf, <12-8)

где а — постоянная величина.

На основании последнего равенства очевидно, что 0 —> 0 при

t-* о©, а следовательно — см. равенство (12.3) — и Ар —>0

при t оо. А если бы вместо (- X2) в показателе степени

экспоненциальной функции в правой части равенства (12.8) было

положительное число, то тогда бы © —>оо и Ар—> оо при

чего не может быть при решении тех задач теории

нестационарной фильтрации (аналогично и в задачах теории

теплопроводности и диффузии), когда с течением времени

следует ожидать восстановления или выравнивания переменной

величины понижения давления.

Ограничимся сначала решениями уравнения (12.6) применитель

но к трем простейшим одномерным потокам, когда число а

принимает лишь значения 0, 1, 2.

В условиях прямолинейно-параллельного потока, когда ос = 0,

фундаментальную систему решений уравнения (12.6) составляют

функции (собственные функции) cosXl^ и sin^^. Поэтому общее

решение этого обыкновенного дифференциального уравнения

таково:

Следовательно, учитывая формулы (12.3), (12.8) и (12.9), находим

частное решение уравнения пьезопроводности (12.1) для прямоли

нейно-параллельного потока:

где D, С, А, В — постоянные величины (не зависящие от ^ и t> но

могут зависеть от X), причем А = aD, В = аС.

В условиях плоско-радиального потока а= 1, и уравнение (12.6)

примет вид

Последнее уравнение совпадает с уравнением Бесселя

(П. 122) при jc = A,^hv = 0. Фундаментальную систему решений

уравнения (12.11) составляют функции Бесселя нулевого порядка

первого и второго рода / о (^ | ), У о (К 1 ); в рассматриваемых

условиях они являются собственными функциями. Поэтому общее

решение обыкновенного дифференциального уравнения ( 12.11)

имеет такой вид:

Ф (%) = D cos X % + С sin X ^ . (12.9)

Р ( <E*t) = (AcosX'E) + B ь\пХЦ,)е х Kt

(12.10)

(12.11)

Учитывая формулы (12.3), (12.8) и (12.12), находим частное

решение уравнения пьезопроводности (12.1) для плоско-радиаль

ного потока:

p(4,t) = [A J o (H ) + B Y 0(\ % ))e -x2Kt, (12.13)

где между постоянными величинами D, С, А, В сохраняются те же

соотношения, какие были указаны выше.

В условиях сферического радиального потока а = 2, и уравне

ние (12,1) примет вид:

<ш4)

Введем в рассмотрение новую функцию W (£ ) с помощью

такого соотношения:

<P(1) = | V (*). (12.15)

где координата % в условиях сферического радиального потока

представляет собой модуль радиуса-вектора точки в потоке.

Учитывая соотношение (12.15), вместо (12.14) получим такое

уравнение:

<Ц?+х Ч - о . (,2Л6)

Для уравнения (12.16) фундаментальную систему решений

составляют опять функции cos X 4, sin X ^ а потому общее решение

этого обыкновенного дифференциального уравнения будет анало

гично представленному равенством (12.9), т.е.

у ( £) = D cos X | + С sin X | . (12.17)

Учитывая равенства (12.3), (12.8), (12.15) и (12.17), находим

частное решение уравнения пьезопроводности ( 12.1) для сфериче

ского радиального потока:

р(£.0= -fcCosX.! + -r-sinX|

где Д С, А, В — постоянные величины с теми же соотношениями

между ними, какие были указаны выше.

Для исходного сопряженного обыкновенного дифференциаль

ного уравнения (12.14) фундаментальную систему функций (соб

ственных функций) составляют ^ cos А. | и ^ sin X

Сравнивая равенства (12.10) и (12.18), замечаем, что (как это

указывалось в предыдущих главах) решения уравнения пьезопро

водности (12.1) в случаях а = 0 и а = 2 отличаются друг от друга

лишь множителем ^ .

Все формулы (12.6)-(12.18) были получены для того случая,

когда левая и правая части равенства (12.5) приравнивались

отрицательному числу ( - X2). Выше указывалось, что возможен

еще один случай, когда А. = 0.

Приравнивая нулю левую и правую части равенства (12.5),

получим*:

d%2 %dl U’ (12.19)

^ = 0, 0 = const=Co. <12* »

Из соотношения (12.3) очевидно, что при 0 = const должно быть:

Д р (£ ) = const, (12.21)

т.е. исследуемый одномерный поток, установившийся при любом

значении величины а.

Положим, что

<,мг>

♦

Уравнение <12.19) представляет собой уравнение Лапласа. Следовательно, в

рассматриваемом случае <р должна быть гармонической функцией от | .

Тогда равенство (12.19) примет вид

^ Ф ( ^>) = _ — ф ( Ь )

d % | ф < ^ >

откуда, разделяя переменные и интегрируя, найдем

1пФ(|) = -а1п£ + С 1.

Следовательно,

ф ( 1 ) = с 2| - а ,

или, подставляя последнее соотношение в равенство ( 12.22) и ин

тегрируя его, получим

q>(I) = C 2J| -ad| + C 3, (12.23)

где С\у С2, С3 — постоянные величины.

На основании равенств (12.20), (12.23) и (12.3) величина

установившегося понижения давления может быть определена так:

A p (l)~ D J | - “ d| + Z?2l (12.24)

где D\k D2 — постоянные величины, причем D\ - С2С<ь D 2 = С3С0.

В условиях прямолинейно-параллельного потока a = 0, и потому

из (12.24) имеем

A p (D = D lt + D 2. (12.25)

В условиях плоско-радиального потока a = 1, и потому из (12.24)

имеем

A p (l )= D x\n% + D 2. (12.26)

В условиях сферического радиального потока a = 2, и потому

из (12.24) имеем

Л/>(!) = - у + Р 2-

Перейдем к интегрированию дифференциального уравенния

расхода (12.2). Оно отличается от уравнения пьезопроводности

только знаком в левой части. Поэтому, естественно, при применении

метода Фурье разделения переменных к уравнению (12.2) будут

повторяться принципиально те же выкладки, какие были выше

применены к интегрированию уравнения (12.1). Положим, что

Подставив (12.28) в (12.2), в итоге получим два обыкновенных

дифференциальных уравнения:

Эти два обыкновенных дифференциальных уравнения являются

сопряженными по отношению к дифференциальному уравнению

расхода (12.2).

В результате интегрирования уравнения (12.30) найдем

где Ь — постоянная величина.

При а = 0, т.е. в условиях прямолинейно-параллельного потока,

уравнение (12.29) будет таким же, как и уравнение (12.6) при

а = 0, а потому оно будет иметь такое же общее решение:

Учитывая равенства (12.28), (12.31) и (12.32), получим частное

решение дифференциального уравнения расхода для условий

прямолинейно-параллельного потока:

G d .O = 0)(l)T ( O .

(12.28)

rf2co ad (о

« a w , , 2 n

IT TtT + *- °> = o,

d t 2 M S

(12.29)

(12.30)

(12.31)

<o((|) = P ocos^| + CosinXS. (12.32)

Q (|,^) = (AocosX| + fi0sinX.|)e ь**', (12.33)

Это решение уравнения расхода вполне аналогично решению

(12.10) уравнения пьезопроводности.

При а = 1 и а = 2, т.е, для условий плоско-радиального и

сферического радиального потоков, решения дифференциального

уравнения расхода будут получены в следующем параграфе; они

(в противоположность случаю а = 0) будут отличаться от решений

уравнения пьезопроводности.

Следует еще отметить, что при к = 0 результат интегрирования

дифференциального уравнения расхода (12.2) отличается при

любом значении а = 0, 1,2,... от результата интегрирования диффе

ренциального уравнения пьезопроводности. Действительно, при

Х = 0 из уравнения (12.29), рассуждая совершенно так же, как и

при интегрировании уравнения (12.19), получаем следующую

формулу, которая отличается от формулы (12.23):

w (!) = C 2J V r f t + C 3. (12.33а)

При X = 0 уравнение (12.30) опять приводит к выводу, что

т = const = C q, т.е. поток оказывается установившимся. Поэтому на

основании формул (12.33а) и (12.28) получается формула, так же

отличающаяся от формулы (12.24):

Q (| ) = I> J | “ d i + D 2> (12.336)

где D\ и Г>2 — постоянные величины, причем D\ = С2Со, D2 = С3С0.

§ 3. Использование метода Ломмеля для интегрирования

обыкновенных дифференциальных уравнений,

сопряженных уравнениям пьезопроводности и расхода

В предыдущем параграфе с помощью метода Фурье разделения

переменных интегрирование дифференциальных уравнений (в

частных производных) пьезопроводности и расхода (12.1) и (12.2)

было сведено к необходимости интегрирования обыкновенных

дифференциальных уравнений (12.6), (12.7), сопряженных уравне

нию пьезопроводности, и (12.29), (12.30), сопряженных уравнению

расхода. Были получены общие решения уравнения (12.6) только

при а = 0,1,2 и уравнения (12.29) только при а = 0.

В данном параграфе с использованием метода Ломмеля — см.

стр. 183 [563], стр. 21 [60] — будут получены общие решения

сопряженных обыкновенных дифференциальных уравнений (12.6),

(12.29) при любых значениях а = 0,1,2» 3,..., т.е. для одномерных

потоков в любом многомерном пространстве.

Уравнение (12.6) легко преобразуется в уравнение Ломмеля

(П. 185), если принять:

2v+1 =а, v .S — , <|2-м >

но тогда, согласно формуле (П. 186), общее решение уравнения

(12.6) представится в таком виде:

I-а

Ф(1) = | 2 I D J ^ a D + C Y ^ a i )], (12.35)

где D и С — постоянные величины (которые могут зависеть только

от X) и в квадратных скобках заключена линейная комбинация фун

кций Бесселя I и II рода порядка когда €~ * — целое число.

Произведение этих Бесселевых функций и степенной функции

1-а

Е, 2 образуют фундаментальную систему собственных функций.

Если величина - выражается дробным числом, то вместо

(12.35) следует использовать такую формулу — см. соотношение

(П. 189):

4»(D=|i 2S^i?/ti(XS)+c/1?(X|)j. <12*36)

Формулы (12.35) и (12.36) определяют общие решения обык

новенного дифференциального уравнения (12.6), сопряженного

уравнению пьезопроводности (12.1). Частные решения уравнения

пьезопроводности (12.1) получим, используя равенства (12.3), (12.8),

(12.35) и (12.36):

д р ( £ * ) = ! '

I -а

A J ^ ^ X D + BY а-, (XI)

е-хгк t (12.37)

а ~ 1 I о г

при —-— целом, т.е. при а = 1,3,5;