Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

три раздельно опубликованные части этой обширной статьи

посвящены углубленному анализу исходных уравнений, формул,

выводов, графиков и таблиц, приведенных в статье Ван Эвердингена

и Херста. Причем в статье Чатаса не только воспроизведены все

графики и таблицы из статьи Ван Эвердингена и Херста, но они

значительно расширены автором, дополнены и обстоятельно про

комментированы.

В отечественной учебной литературе только в учебнике

К. С. Басниева и соавторов [55] изложены постановка и решения

задач из статьи Ван Эвердингена и Херста [972], а также

воспроизведены из нее ценные таблицы.

В 1981 г. опубликована книга Херста [871], в которую включены

многие избранные прежние его статьи. В этой книге Херст поместил

предисловие к одной из своих ранних статей, справедливо

подчеркнув, что в теории нестационарных фильтрационных потоков

он был первым, кто соответствующие задачи о неустановившихся

притоках жидкости к скважине решил строгими методами матема

тической физики, используя разложения искомых функций в ряды

Фурье-Бесселя.

В 1937 и в 1949 гг. были опубликованы на английском языке

первые издания получивших широкую известность книг М. Маскета,

переведенных несколько позднее на русский язык [434], [435].

В главе 10 первой из этих книг и в главе 8 второй Маскст приводит

подробные исследования неустановившихся притоков жидкости к

скважине при различных граничных условиях, используя свои

собственные решения задач, а также решения Херста и других

авторов.

Важно отметить, что первые исследования Херста и Маскета,

посвященные изучению неустановившихся фильтрационных пото

ков, были вызваны интересом, связанным с разработкой открытого

в 1930 г. крупнейшего месторождения США «Восточный Техас»

(это месторождение занимало по величине начального запаса нефти

первое место в США, уступив это место открытому в 1968 году

еще более крупному месторождению Прудо Бэй на Аляске).

Сравнительно быстро после начала разработки месторождения

«Восточный Техас» неустановившийся процесс перераспределения

пластового давления в нем впервые привел специалистов США к

убеждению, что месторождение разрабатывается в условиях упру

гого режима. Для объяснения текущего состояния и прогнозиро

вания последующего хода разработки месторождения «Восточный

Техас» и были проведены гидродинамические исследования Херста

и Маскета в 1933-1934 годах. Большинство формул, которые

выводятся в данной главе, были первоначально выведены Херстом

и Маскетом.

В многократно переиздававшейся книге Карслоу и Егера [350]

на языке теории теплопроводности приведены решения не только

тех задач, которые впервые исследовались в теории фильтрации

Херстом и Маскетом, но и других задач, причем и в более общей

постановке.

С апреля 1955 г. по март 1957 г., в «Известиях нефтяного

института Франции» были опубликованы восемь статей Хупера,

которые составили полное содержание его книги [863], изданной

во Франции в конце 1957 г. В главе 12 этой книги Хупера, как и

в соответствующих трех его статьях [862]*, дается полное, особенно

хорошо систематизированное и доходчивое изложение почти всех

тех задач неустановившегося плоско-радиального притока жидкости

к скважине, которые далее исследуются в данной главе.

§ 2. Задание постоянных давлений

на стенке скважины и на контуре питания

Допустим, что в начальный момент забойное давление в

скважине мгновенно снижено до величины р су, которая затем

сохраняется постоянной; добавление индекса «у» к обозначению

забойного давления подчеркивает, что оно все время поддержива

ется установившимся.

На контуре питания К давление рк все время удерживается

равным начальному пластовому давлению р0.

Дифференциальное уравнение пьсзопроводности (14.1) надо

проинтегрировать при заданном начальном условии

Р=Рс=Ро, ДРс=Ро-/>с = 0 при f =■ 0, Rc<r<Rk (14.3)

и при заданных граничных условиях

Р-Р сУ = const, Ар = А р const при r = RCJ t> 0, (14.4)

Р ~Р к~Р const, Ар = Ар * = 0 при г = Л*, f>0. (14.5)

Здесь приводятся ссылки не только на книгу Хупера, но и на его статью, со

держание которой полностью повторено в главе 12 книги, так как для некоторых

читателей нашей страны может быть проще найти в библиотеках статью Хупера,

опубликованную в известном французском журнале, чем найти его книгу.

Надо определить понижение давления А р (г, t) как функцию

радиуса-вектора г и времени t

Основываясь при интегрировании уравнения (14.1) на методе

разделения переменных, можем использовать формулу (13.51) для

определения общего решения уравнения, учитывая, что для условий

плоско-радиального потока надо в упомянутой формуле принять

а= 1:

&p(r,t) = D 2 + Dllnr + '£lA'vJ0(Xvr)+B'vY0(Xvr)]e~KKt,

V=1 (14.6)

где D2, D i, A 'v, В 'у, X v — пока неизвестные постоянные величины.

Для удобства будем вместо X v (имеющих размерность, обратную

размерности длины) пользоваться безразмерными величинами Ху,

полагая, что

Rr’

(14.7)

г 4

X*Rl

V = 1

2К/

хур2

е кс.

A VJо| xVR

(14.8)

Тогда формула (14.6) примет такой вид:

Др (г, t)=D2+D 1 lnr + £

+ B'VY0

Подставим в формулу (14.8) граничные условия (14.4) и (14.5):

оо ^ ^

А р cy = D 2 + D ilnR c + ^[A'yJ 0(х V)+B 'VY 0(х v)] е ,

V — 1

(14.9)

О — D2 ^D j In ^

v — 1

Rk)

f R tл

< 4

Xvirc

\ J

+ B'VY0

*VR~

I Rc)

2 К t

Так как левые части двух последних равенств не зависят от

времени t, то и правые части должны обладать тем же свойством.

Поэтому, во-первых, заключенный в квадратные скобки каждый

коэффициент перед показательной функцией времени должен быть

равен нулю, т.е. при любом значении v = 1,2,3,... «>:

A 'vJ0(xv) + B'vY0(xv) = 0,

A'VJ о

+ B'VY о

VR,

= 0 .

(14.11)

(14.12)

Во-вторых, должны быть справедливы еще следующие равенства:

Apc = D 2 + Dl\nRe, (14.13)

0 = D2 + DllnRt. (14.14)

Из двух последних уравнений определим две неизвестные

постоянные величины:

А р

(14.15)

ln]rf

(14.16)

Исключая постоянные величины A'vviB'v из равенств (14.11) и

(14.12), получаем следующее трансцендентное уравнение:

J0 (* v ) Y0

R*' f Rk)

Xvтге\

V )

-J 0

X^Rl

\ /

Y0(xv)=0.

(14.17)

Следовательно, величины xv, т.е. хи х2, *3... должны быть

корнями этого уравнения.

С помощью этого равенства (14.12) выразим B'v через A'v:

В'=-А'

XvT c

____

£_

R> л

VR<

Учитывая равенства (14.13), (14.14) и (14.18), перепишем формулу

(14.8):

In —

Ap(r,t) = Ар су + X

1 К k

ПЯп

V = 1

(14.19)

( \

R t )

х '1Сс

У 0

X v ~R~

R c j

-Je

x v

У о

2 к/

/ ^

комбинацией двух бесселевых функций с теми же аргументами:

Введем новую функцию £/v , являющуюся линеипои

Uv'XvRc

( г >

Rt)

Rt' ( г >

III

X v irc

У 0

X v T c

- J 0

Х ^ 1

У 0

\ J

\ )

4.20)

причем эта функция, согласно уравнению (14.17), должна удовлет

ворять следующему условию:

R t )

Х у ~

, R c )

Ху п

R c )

Uv(xv)=J0{xv)Yq

Итак, корнями функции Uv

У o ( * v ) = 0 .

(14.21)

при г = Rc служат

величины *i, х2, *3...

Учитывая вновь введенную функцию, формулу (14.19) можно

переписать так:

1 я*

In —

Д/> 0 . 0 = — ТГАР с у + Х

К *

v = !y .

X v

л .

л ,

В этой формуле остались неизвестными коэффициенты

А/, А2\ Л{ ... Однако еще не было использовано начальное условие

(14.3). Подставив это условие в формулу (14.22), получим

Ар

А'

v = l У,

я_к

VR,

(14.23)

Для определения' неизвестных коэффициентов A 'v надо ис

пользовать принципиально тот же самый прием, какой был

использован в § 1 или § 2 главы 8 для определения коэффициентов

Av в формуле (13.15) или коэффициентов Bv в формуле (13.49).

Например, для определения коэффициентов Av перед тригономет

рической функцией sin

KVL

необходимо было разложить в

тригонометрический ряд Фурье функцию, входившую в левую часть

равенства (13.15). Для такой функции разложение в тригономет

рический ряд было известно. Сопоставляя коэффициенты в

разложениях в тригонометрические ряды левой и правой частей

равенства (13.15), можно было определить неизвестные коэффи

циенты

Av.

Существенным отличием здесь от равенства (13.15) является

только то, что в правую часть равенства (14.23) входят не

тригонометрические функции, а более сложные функции

. Поэтому логарифмическую функцию In— , входящую

R к

в левую часть равенства (14.23), необходимо разложить в ряд

Фурье-Бесселя по функциям Uv, являющимся линейными комби

нациями бесселевых функций. Сравнивая ряд с известными

коэффициентами, который получится в результате разложения

левой части равенства (14.23) в ряд Фурье-Бесселя, с неизвестными

коэффициентами A 'v в правой части того же равенства, определим

эти коэффициенты А 'v.

In связано с простыми по идее, но громоздкими выкладками.

R с

Ради краткости не будем приводить здесь эти выкладки, ограни

чиваясь указанием на то, что подробности можно найти в § 4

главы 10 книги Маскета [434], в § 11.4 книги Хупера [863], в статьях

Хупера [862], в § 10 главы 7 книги Карелоу-Егера [350]. Оконча

тельный итог разложения упомянутой функции в ряд Фурье-Бес

селя таков:

ш - = - я

v R,

3 0 ( X v ) j

------------Uv

(14.24)

Следовательно, сопоставляя равенства (14.23) и (14.24), получим:

А /

= — nAp

X v

Jo(xv)

(14.25)

С»

г2

•^О

VR,

Поэтому вместо (14.22) получим такую окончательную искомую

формулу для определения понижения давления А р ( г, f ) в любой

точке пласта в любой момент:

i ^ к

In—

,п^

71 **

I R

bpir,t) = —^-APcy-n ^ty!E / в

' ‘

Так как функция Uv \ х

Jo(Xv)

- J q (x v)

Ху,

-2 Kt

—JCy .

(14.26)

I v v равна нулю при г = Rc — см.

равенство (14.21), то из формулы (14.26) следует, что

&p(.r,t)r = Rc = Apcy, (14.26а)

как это и должно быть согласно граничному условию (14.4).

Введем в рассмотрение безразмерный параметр Фурье / 0)

который играет роль «безразмерного времени»:

/о г» 2 ‘

(14.27)

Тогда в безразмерной форме формулу (14.26) можно переписать

так:

ln-f-

Ар

_ Др(г,г)_ Rc_

R е

&рс,

- * Г

XvV

R c)

'Jl

/o(*v) ,

-----------

~ J 0 ( x v )

'Rc

(14.28)

где, напоминаем, величины *v являются корнями трансцендентного

уравнения (14.17), т.е. корнями функций Uv

VR,

определяемой

равенством (14.20) при г = Rc.

Только что введенная безразмерная величина Ар, играющая

роль «безразмерного давления», указывает, во сколько раз по

нижение давления Д р (г, t) в любой точке пласта в какой-либо

момент t меньше установленного в начальный момент постоян

ного понижения забойного давления Арсу в скважине.

Чтобы определить расход жидкости Q ( г, t) в момент t через

боковую поверхность радиуса г цилиндра, коаксиального сква

жине, можно воспользоваться законом фильтрации Дарси:

Q(rJ) = -2nrb

к_ д А р (г, /)

(14.29)

где b — высота цилиндра, равная толщине пласта, а остльныс обоз

начения — обычные для теории фильтрации.

d&p(r,t)=_

су

г In

+ лДрСуХ'

X у

Jo(xv) dUv

VR>

- H ( X V)

-Х2Ц

Учитывая равенство (14.20), определяющее функцию Uvy и

учитывая правила дифференцирования бесселевых функций — см.

формулы (П. 163) и (П. 164), получим

R <

( т \

( r A

-J 1

х* г с

\ У

У о

XvTc

V У

(14.31)

R у

V У-1

или, заменяя величину У0

венства (14.21),

d£/v

. ^ I

v*,

ее выражением с помощью ра-

/ \

XvB~

Rc J

X у J Q

X v ~R~

I J

-Ji)(xv)Y j

RcJ0(xv)

г '

XvTc

\ У

Yo(xv)-

(14.31а)

Подставив найденные выражения из формул (14.30) и (14.31а)

в равенство (14.29), определим искомый расход жидкости:

Q(r,t) =

2nrbkAp

г In

U q(xv)Y i

X v n *^o(*^v)

^ 1

( г 1

y0(^v)] е

V /

Чтобы определить расход жидкости через стенку скважины, т.е. ее

дебит Q с ( t) в момент t, подставим в последнюю формулу г = Rc и учтем

соотношение (П. 162а) из теории бесселевых функций. В итоге получим

( r ^

1 '5

Qc(t) =

2кЬ к Ар

■ 2 l

----------

v~1Jq(X v ) - / 0

Xv-

(14.33)

Полагая r = Rk в формуле (14.32), можем из нее определить

меняющийся с течением времени расход жидкости Q (R kf t) через

боковую поверхность цилиндра, соответствующую контуру питания.

Определим количество (объем) жидкости Vс(0> которое может

быть добыто из скважины с момента t = 0 ее пуска в эксплуатацию

и до любого текущего момента t. Для этого придется проинтегри

ровать равенство (14.33):

ЦК

Г ~ 2nbR}k Ар су

Vc(t) = \Qc(t)dt=

--------

,,ck.— 4

ОО

- 2 1

кг

RtR?

г 2

/ \

Д * 1

{ К с 1

[ 1 " е cR2c

Y 2

Л у

Jl(xv)-Jl

( Rk V

(14.34)