Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

на скорость потока, одинаковую во всех точках этого сечения,

и определяя скорость с помощью закона Дарси, получаем

следующую формулу для расхода жидкости Qg

(3.43)

где величина Аа определяется для пространства одного, двух и трех

измерений соответственно равенствами (3.19), (3.20) (3.21).

Подставим величину производной, определенную из равенства

(3.26) или (3.27), в равенство (3.43), причем учтем формулу

(1.41), связывающую коэффициенты пьезопроводности, проница

емости и упругоемкости пласта; в итоге получим:

4кt

(!+ < * ]

.- Ё

(3.44)

По определению

vt=]<kdt.

(3.45)

При подстановке величины Q| из (3.44) в (3.45) сделаем замену

переменной t на и, полагая

*2 fc 2 fc

t i — .

. 2 ^ ’

4ки

(3.46)

V g =

/ 1 + а ч

J-

fe!

1 +а

1 ~и л

е du.

(3.47)

Интеграл в правой части равенства (3.47) выражается с

помощью неполной гамма-функции (см.§ 5 П.). Именно на

основании формулы (П.97) равенство (3.47) можно переписать так

1 + a m

(учитывая, что —-— >0):

(3.48)

2 ’ 4i<t '

V /

Проанализируем особенности изменения величин и с

течением времени.

Беря первые и вторые производные по времени от этих величин

и приравнивая их нулю, определяем абсциссы критических точек

(т.е. моменты, когда исследуемые величины принимают экстре

мальные значения) и абсциссы точек перегиба на кривых линиях,

изображающих графики изменения соответствующих величин

(рис. 3.8 и 3.9).

Из физических соображений, подтверждаемых формулами

(3.44) и (3.48) (см. еще формулу (П. 103), очевидно, что в

начальный момент величины Ql и V ^ равны нулю. Из анализа

формул для производных от этих величин оказывается, что при

t - 0 величины и имеют именно минимальные значения,

т.е. соответствующие кривые касаются оси абсцисс в начале

координат.

Рис. 3.8. Графики расхода жидкости через различные коаксиальные сечения;

• — точки максимумов, * — точки перегиба

< Ь < Ь < -

Рис. 3.9. Графики количества перетекшей жидкости через различные коаксиаль

ные сечения

Величина расхода достигает максимума в момент t^,

определяемый из равенства:

. i !

*** 2 (3 + а ) к ‘

(3-49)

На графике зависимости Q| от t (см.рис. 3.8) имеются две точки

перегиба в моменты t перл , t пер 2, равно удаленные от момента

и определяемые равенством:

2 (3 + а ) к

(3.50)

В эти моменты темп изменения величины Q | оказывается

наибольшим.

Величина V ^ при любом заданном значении % монотонно

возрастает с течением времени и асимптотически стремится к

значению V ж:

V |(t ,t)-*vx. (3.51)

t —> оо

Следовательно, через каждое сечение £,= const одномерного

потока должно в конце концов протечь такое количество жидкости,

которое равно объему жидкости V ж, отобранному мгновенным

стоком в начальный момент.

Абсцисса точки перегиба f nep кривой линии, изображающей

график зависимости от t (см.рис. 3.9), определяется равенством

(■ =

____

И (3-52)

пер 2(3 + ос) к *

До момента tnep темп роста величины Vg возрастает, а затем

начинает убывать. Правые части равенств (3.49) и (3.52) одинаковы.

Этого, конечно, следовало ожидать, так как наибольший темп

роста величины V ^ должен быть в тот момент, когда величина

расхода Q g максимальна.

Подставив значение f nep из равенства (3.52) в (3.48), получим

величину ординаты ( V g) пер точки перегиба:

„ г ч 1 + а 3 + а"| (3.53)

( б),^ = ^7 Т Т сП I

Следовательно, одинаковы ординаты всех точек перегиба

графиков зависимости Vg от t\ поэтому на рис. 3.9 все точки

перегиба лежат на одной прямой, параллельной оси абсцисс.

Из (3.48) следует, что V % = V х при ^ = 0.

(^|)пер

Заметим, что с увеличением числа а отношение —

* Ж

увеличивается. Так, например, полагая а равным 0 или 1, или 2,

(V£)n

отношение — Л. пср будет принимать значение 0,083 или 0,135, или

* ж

0,172.

При а = 0, т.е. для прямолинейно-параллельного потока в

пространстве одного измерения, из формулы (3.48) получим,

учитывая равенства (П.8) и (П.109):

( ^ 1 ) 0=0 = V x erfc

где erfc — символ дополнительной функции ошибок (см.§ 2 П.).

При а = 1, т.е. для плоско-радиального потока в пространстве

двух измерений, из формулы (3.48) получим, учитывая равенства

(П.7) и (П.108):

При а = 2, т.е. для сферического радиального потока в

пространстве трех измерений, из формулы (3.48) получим, учитывая

равенства (П.8) и (П.110):

При а = 3 и а = 4, т.е. для одномерных потоков в пространствах

четырех и пяти измерений, получим:

Формулы (3.54)—(3.58) были выписаны для нескольких значений

а, чтобы подметить определенную закономерность, которая и в

дальнейшем будет неоднократно прослеживаться. Именно для

четных (включая нуль) и нечетных значений а структура этих

формул различна: при а нечетном в формулы входит только одна

трансцендентная функция — показательная; при а четном обяза

тельно входит и другая трансцендентная функция — дополнитель

ная функция ошибок.

Данное замечание о различии в структурах формул вполне

согласуется (и объясняется) с аналогичным замечанием в конце

§ 5 П. о различии структур формул для неполной гамма-фун

кции при полуцелых или целых значениях ее первого аргумента.

Для понимания природы упругого режима наиболее важен

следующий итог анализа выведенных в данном параграфе фор

мул и соответствующих графиков: мгновенный отбор стоком

конечного количества жидкости из пласта мгновенно вызывает

во всем пласте неустановившийся поток жидкости к стоку. Чем

дальше от стока, тем процесс движения жидкости менее ин

тенсивен и тем больше промежуток времени, через который

движение жидкости начинает становиться практически заметным

на этом расстоянии от стока.

V /

(3.57)

(V i) «=4= У Ж

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ВРЕМЕНИ

СТОКООБРАЗНЫХ РЕШЕНИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПОТОКОВ

К НЕПРЕРЫВНО ДЕЙСТВУЮЩИМ ПРОСТЕЙШ ИМ СТОКАМ

ИЛИ ИСТОЧНИКАМ

§ 1. Применение метода интегрирования стокообразного

решения для перехода от включения мгновенного стока

к непрерывно действующему

В § 2 главы 3 была выведена формула (3.26) для понижения

давления в любой точке одномерного фильтрационного потока и

в любой момент (т.е. при любых значениях координаты 5 и времени t)

после включения в начальный момент мгновенного стока или

источника, расположенного в начале координат. Сохраним все те

же условия, но только предположим, что мгновенный сток или

источник был включен не в начальный момент, т.е. при f = 0, а

в некоторый момент t = f . Тогда вместо формулы (3.27) получим:

^ е 4К(,' ° МП

Ар - ± — дут тттг . (4.1)

к к 2 ( t - f ) 2

Напомним, что число а может принимать только целые

положительные значения (включая нуль), причем (1 + а ) равно

числу измерений пространства, т.е. а = 0 соответствует пространству

одного измерения, а = 1 — пространству двух измерений и т.д. Ла —

постоянное число; оно определяется равенствами (3.19)—(3.21) для

пространств одного, двух и трех измерений. Знак плюс перед

правой частью равенства соответствует включению стока, а знак

минус — включению источника. Для простоты будем в дальнейшем,

если не сделано других оговорок, рассматривать сначала процесс

включения только стока V ж — конечный объем жидкости,

мгновенно отобранный стоком в момент t = 0 его включения.

В равенствах (3.19) и (3.20), определяющих числа Аа, отражены

ограничения размеров потоков. Именно при а = 0 одномерный

прямолинейно-параллельный поток считается вызванным неограни

ченным двусторонним плоским стоком в неограниченном простран-

2^АаГ\ 1+“

стве, но рассматривается только часть потока, ограниченная

площадью а плоского стока

Одномерный плоско-радиальный (прямолинейный осесиммет

ричный) поток считается вызванным неограниченным прямолиней

ным стоком в неограниченном пространстве, но рассматривается

только часть потока, ограниченная длиной «й» прямолинейного

стока. Конечно, эта длина прямолинейного стока определяет и

толщину плоско-радиального потока

На одномерный сферический радиальный поток, вызванный

точечным стоком в неограниченном трехмерном пространстве,

никаких ограничений равенством (3.21) не накладывается.

Обобщим сказанное: для исследования не только сферического

радиального потока, но и двух других простейших одномерных

потоков достаточно рассматривать потоки, каждый из которых

вызывается только одним точечным стоком. Действительно, вместо

прямолинейно-параллельного потока достаточно рассмотреть поток

к одному точечному стоку в пространстве одного измерения —

т.е. только вдоль одной прямой линии. Плоско-радиальный поток

можно рассматривать как поток в пространстве двух измерений,

т.е. к одному стоку, расположенному на плоскости.

Аналогично можно интерпретировать одномерные потоки в

пространствах с числом измерений больше трех.

Теперь предположим, что в момент t = f был включен не

мгновенный сток, а сток с объемным дебитом Qc, который

действовал в течение малого промежутка времени df. Объем

жидкости V ж отобранный стоком за элемент времени dt,

определится равенством

Считая дебит стока Qc величиной конечной, a df — малой

величиной, величину V ж, определяемую равенством (4.2), также

надо считать малой величиной. Естественно, что при отборе стоком

малого объема жидкости за малый промежуток времени величина

понижения давления в любой точке пласта с координатой ^ > О

также должна быть малой. Обозначая малое понижение давления

через d(Ap ), из формулы (4.1), учитывая равенство (4.2), получим:

(4.2)

2гоАаГ -Ч р

\ /

Полное понижение давления Ар к моменту t за счет работы

непрерывно действовавшего стока получим, интегрируя по времени

f обе части равенства (4.3):

Ар =

В этом и состоит «метод интегрирования стокообразного

решения»; такое название метода дано в монографии Карслоу и

Егера [49]. Как уже упоминалось в § 1 и 2 главы 3, идея метода

принадлежит У. Томсону [78]; метод был широко развит Рэлеем

[79]. Так, например, если принять а = 1 для условий плоско-ради

ального потока, то из формулы (4.4) получим, учитывая соотно

шения (3.19) и (П.8):

Эту формулу, которая особенно широко используется в

подземной гидродинамике, Рэлей получил, выполнив интегрирова

ние по времени равенства (4.1) при а=1. Формулу (4.4 бис)

используют при изучении поля давления как при работе прямоли

нейного неограниченного стока в пространстве, так и при работе

точечного стока на плоскости (и в том и в другом случаях

обеспечивается плоско-радиальное движение жидкости к стоку).

Интеграл такого типа, какой входит в правую часть формулы

(4.4), иногда называют интегралом Дюамеля (в связи с названием

известной теоремы Дюамеля).

При исследовании в данном параграфе всех вопросов будем

считать, что включенный сток работал с постоянным дебитом. При

этом условии величину Qc можно вынести в формуле (4.4) из-под

знака интеграла

Введем вместо f новую переменную величину м, определяемую

так:

(4.4 бис)

“ 4к (t-f)'

(4.5)

Следовательно,

(t~ f)

1 +а

Ьга—TTct , df -

( 4к)

Аки

Ё2

и = ^ при f = 0; и = °° при f = f .

В результате замены переменной величины, учитывая еще

соотношения (4.5) и (4.6) и условие б с = const, вместо формулы

(4.4) получим:

Ар-

2 1+аЛаГ

1+а

I й

а-3

(4.7)

4к/

Входящий в правую часть формулы (4.7) интеграл можно

заменить неполной гамма-функцией, одно из возможных опреде

лений которой дается равенством (П.97):

J и 2 е и du = \u\ г ) 1 е и du - Г

4кt

l i

4к*

а - 1

2 ’ 4кГ

(4.8)

С учетом равенства (4.8) формула (4.7) примет вид:

£?сИ

Ар=-

21+аАаГ

а -1

а -1 ^

2 ’ 4к*

(4.9)

Формула (4.9) позволяет определить понижение давления в

любой момент времени в любой точке одномерного фильтрацион

ного нестационарного потока в многомерном пространстве после

пуска точечного стока (или источника) с постоянным дебитом.

Формула (4.9) впервые была выведена Г. Б. Пыхачевым [527], а

затем другим способом в статье [762].

По поводу формул (4.7), (4.9) и равенства (4.8) необходимо

сделать несколько замечаний. Именно при определении неполной

гамма-функции с помощью равенства (П.97) всегда указывается,

что входящий в правую часть этого равенства несобственный

интеграл сходится лишь при положительном значении параметра

гамма-функции. Поэтому же надо считать, что формулы (4.7), (4.9)

и равенство (4.8) справедливы только тогда, когда параметр

-----

неполной гамма-функции положителен. Следовательно, при

использованном способе вывода формулы (4.9) ею допустимо

пользоваться лишь при а > 1, т.е. ею нельзя пользоваться для

условий прямолинейно-параллельного и плоско-радиального пото

ков, когда соответственно а = 0 и а = 1.

Однако в § 4 этой главы указывается, что формула (4.9) может

быть выведена из более общей формулы (4.119), причем при таком

а - 1

ее выводе никаких ограничении на параметр ■ не накладывается.

Поэтому формулой (4.9) допустимо пользоваться и при а = 0 и

а= 1.

При использовании формулы (4.9) нельзя забывать и о

многозначности неполной гамма-функции (см. § 5 П.)*.

В формулу (4.9) вместо а подставим последовательно числа О,

1, 2 и вместо коэффициента Аа подставим его значения, опреде

ляемые равенствами (3.19)—(3.21):

4о Г

(4.10)

(АР ) а = 1 -

(Д р)а = 2 =

4пЬГ( 1 )к

СсЦ

1 1

4к2

8яГ

к\

1 11

2 ’ 4к*

(4.11)

(4.12)

Учитывая равенства (П.8), (П.9), (П. 107), (П. 109), (П.111),

определяющие частные значения гамма-функции и неполной

гамма-функции, вместо формул (4.10)—(4.12) получим следующие

формулы для определения перераспределения давления-в одно-

Учитывая только что сделанные замечания, вместо формулы (4.9) предпочти

тельнее пользоваться формулой (4.119), полагая в ней s = 0, что приводит к формуле

(4.119 бис).