Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Учитывая (4.57) и (4.58), перепишем формулу (4.56):

Ар.

2 * Л , т [ ^

а -1

кк 2

sin ( со t + в ) J CQS Ш

----

о и 2

sin со ие

1 + а

U 2

Для вычисления интегралов воспользуемся следующими фор

мулами, приведенными в книге [962]*:

оо fc 2

Ju~v_1e “* cos ((а и )du = 2V

-Щ?- ( ПГ *

+е ^ V к|е т

\ У

со

I7TV

V f | e ? V

(4.60)

_ si

J u _v _1 е “ sin ((0 u ) = i 2V

iVT|e-!

CO 2

■VVIi

ITCV

(4.61)

где i — мнимая единица, Xv — функция Макдональда (или, как ее

же по-другому называют, модифицированная функция Бесселя вто

рого рода) порядка v (см. § 6 Приложения).

Полагая

1 +а , а-1

— — = V + 1 , V = ~

(4*62)

и учитывая равенства (4.60) и (4.61), можно вычислить интегралы,

входящие в формулу (4.59):

См. формулу (21) на стр. 16 и формулу (31) на стр. 75 книги [962]. В этой книге

оговаривается, что формулы справедливы при со > 1, v > - 1; ^ должно быть дей

ствительным числом. Все эти условия в рассматриваемой здесь задаче выполняются.

С учетом равенств (4.63) и (4.64), формула (4.59) примет

следующий вид:

1 -а а -1

На основании известных формул Эйлера, связывающих показа

тельную функцию (с мнимым показателем степени) и тригономет

рические функции, имеем:

• / ^ ч / ^ ч . *(Wf+£)

sin (со t + е) - 1 cos (со t + e) = — i e ,

(4.66)

sm (о t + e) + 1 cos (со t + e) = i e

Учитывая равенства (4.66), вместо формулы (4.65) окончательно

получим:

Формула (4.67) впервые была выведена автором (этим же

способом) в статье [765].

Лиувилль доказал, что любая функция Бесселя, в том числе

и функция Макдональда, сводится к алгебраическим и элементар

ным трансцендентным функциям в том и только в том случае,

если ее порядок полуцелый. Итак, заранее можно ожидать, что,

когда а — четное число или нуль, формула (4.67) должна

упрощаться, так как в нее вместо Бесселевых функций будут

входить элементарные функции.

Действительно, при а = 0, т.е. для условий прямолинейно-па-

раллельного потока, из формулы (4.67), учитывая соотношение

(П. 173), получим

<K(iVic .

Ap-2 o k ^

sin (0f+£

Л/ ]Г я

* 2к "4

(4.68)

Формула такого типа была выведена Рэлеем в 1911 г. [944].

При а = 2 из формулы (4.67) для условий сферического

радиального потока получим, учитывая соотношение (П. 179):

. Qtv- .

-Vis

(4.69)

Формула (4.69) была выведена Томсоном в 1850 г. и впервые

опубликована им в 1884 г. [966]*.

При а=1 в формуле (4.67) получается функция Макдональда

нулевого порядка Kq . Соответствующая формула для плоско-ра-

диального потока, вызванного линейным стоком в пространстве,

была добавлена авторами — Карслоу и Егером — на стр. 259

Томсон, помимо этой задачи, рассмотрел также плоский сток в пространстве и

поверхностный сферический сток, дебиты которых изменяются со временем по гар

моническому закону.

второго издания их монографии [350]. Известно, что функция

Макдональда нулевого порядка Kq может быть выражена через

функции Томсона II рода нулевого порядка, т.е. через функции

кег и kei (см. § 7 Приложения). Поэтому при а = 1, т.е. для условий

плоско-радиального потока, получим:

Формулу, аналогичную (4.70), но для более общего случая

скважины конечного радиуса, вывел другим способом Э. Б. Чека-

люк [673]. Кроме того, Бузинов и Умрихин [105] также вывели

другим методом формулу более общую, чем формула (4.70), учтя

начальный неустановившийся период после пуска скважины (стока),

дебит которой изменяется по гармоническому закону.

Подчеркнем, что известные формулы (4.68)—(4.70) выведены

здесь как частные случаи более общей формулы (4.67).

Проанализируем сначала только формулы (4.67) и (4.68), как

более простые, чем формула (4.70), ибо в них входят лишь

простейшие трансцендентные функции — показательная и триго

нометрическая.

Судя по этим формулам, в обоих потоках происходит перио

дический процесс изменения давления в каждой точке, причем с

периодом, равным периоду

Т изменения дебита стока (см.равенства

(4.55). От стока, дебит которого изменяется по гармоническому

закону, распространяются волны изменения давления. Длина этих

волн

Ар = — sin (cof + e)kei

4nbki

{ Щ

+ cos (со t + e)kei

(4.70)

(4.71)

или же, учитывая равенства (4.55),

(4.72)

Скорость v* перемещения волны определится так:

(4.73)

Об интенсивности затухания этих волн с расстоянием | от стока

свидетельствуют множитель е в формуле (4.68) и множитель

в | раз меньший — в формуле (4.69). Затухание амплитуды волны

на расстоянии X длины волны в прямолинейно-параллельном потоке

равно:

— ^ X — 2к

е ж = е =0,0019,

т.е. на упомянутом расстоянии амплитуда убывает несколько более

чем в 535 раз. В сферическом радиальном потоке волны затухают

еще более интенсивно.

Так как в показатель степени величины е входит угловая

частота колебаний со, то можно сделать вывод, что чем больше

со, а следовательно, и чем больше частота N , тем интенсивнее

убывают волны изменения давления.

Сравнивая аргументы синусов в формулах (4.54), (4.68) и

(4.69), можно утверждать, что по отношению к фазе дебита

стока фазы изменения давления сдвинуты на величину

'Vi.

для условии прямолинеино-параллельно-

VFi

2 к1 в условиях сферического

го потока и на величину ^ V2S1

радиального потока. Конечно, сдйиг фаз изменяется на вели

чину 2к на расстоянии одной длины волны.

Только в условиях прямолинейно-параллельного потока изме

нение давления при ^ = 0, т.е. в любой точке самого плоского

стока, остается конечной величиной и, судя по формуле (4.68),

равной:

(4.74)

Сравнивая формулы (4.54) и (4.74), легко заметить, что даже

на самом плоском стоке понижение давления сдвинуто по фазе

на величину — по сравнению с фазой дебита стока.

Судя по формулам (4.69) и (4.70), изменение давления

Ар —> оо при > 0 (следует учесть, что при и —>0величина her и —>«>,

а величина kei и остается конечной). Это понятно, так как конечная

величина дебита точечного стока на плоскости или в пространстве

теоретически может быть получена лишь при снижении давления

в точечном стоке (а в точечном источнике — при повышении

давления) на бесконечно большую величину.

Подсчитаем расход Q| через любое плоское сечение ~ const

площадью а в прямолинейно-параллельном потоке. Используя

закон Дарси и дифференцируя равенство (4.68), получим

или же

sin I (О

,f + e “ »2 к 1 -^

+ sin

ч п »~

-n -to t-E + V 2кЧ

Пользуясь известной формулой тригонометрии для преобразо

вания суммы синусов, перепишем последнее равенство так:

тс

V У

COS СО

/ + £ -V 2 k | - "

или же окончательно:

Qt-

Если в формуле (4.75) положить ^ = 0, то получим величину

одностороннего притока жидкости к плоскому стоку:

(G )|=o = ^ £sin(arf + £),

(4.76)

что вполне согласуется с формулой (4.54), которая для условий пло

ско-параллельного потока определяет дебит двустороннего притока

жидкости к плоскому стоку.

Судя по формуле (4.75), при работе плоского стока с дебитом,

изменяющимся по гармоническому закону, по всему прямоли

нейно-параллельному потоку распространяются волны изменения

расхода жидкости, которые Э. Б. Чекалюк [97] удачно назвал

«фильтрационными волнами». Сопоставляя формулы (4.68) и

(4.75), можно утверждать, что длина и скорость перемещения

фильтрационных волн и интенсивность их затухания оказываются

такими же, как и у волн изменения давления. Однако фаза

волн изменения давления отличается на ~ от фазы фильтра

ционных волн для любых фиксированных значений времени t и

координаты

Для сферического радиального потока расход жидкости через

сферу радиуса | с центром в точечном стоке можно найти по

закону Дарси:

Подставляя в формулу (4.77) величину производной, получаемой

при дифференцировании равенства (4.69), и выполняя тригономет

рические преобразования, аналогичные описанным выше при

подсчете Q| в условиях прямолинейно-параллельного потока, в

итоге получим:

Итак, судя по формуле (4.78), в условиях сферического

радиального потока от точечного стока распространяются две

фильтрационные волны с одинаковой длиной, но с разной

интенсивностью затухания и с разными сдвигами фаз по отношению

к фазе гармонического дебита стока Этот факт также был отмечен

в работе Чекалюка [673].

(4.77)

(4.78)

Перейдем к анализу плоско-радиального потока в рассматри

ваемом случае работы стока с дебитом, изменяющимся по

гармоническому закону.

Преобразуем формулу (4.70), введя две новые величины

А и а, зависящие от координаты | и определяемые следующими

равенствами:

Возводя обе части равенств в квадрат и складывая их, а затем

деля второе на первое, получим

Формулы (4.80) и (4.81) совпадают с формулами (П. 194) и

(П.195).

Пользуясь равенствами (4.79), перепишем формулу (4.70) в

таком виде:

Безразмерная величина А, определяемая равенством (4.80),

характеризует зависимость амплитуды изменения давления от

со, к , | . Так как функции кег и kei быстро убывают с ростом

аргумента, то очевидно, что амплитуда А интенсивно убывает

с расстоянием \ от стока; чем больше частота колебания дебита

стока, тем интенсивнее убывание амплитуды.

(4.79)

(4.80)

(4.81)

(4.82)

Величина а, определяемая равенством (4.81), равна

сдвигу фазы понижения давления по отношению к фазе дебита

стока.

Воспользуемся следующими упрощенными приближенными

формулами для подсчетов величин А и а (см.формулы (П.201) и

(П.202) в § 7 Приложения), которые дают тем меньшую погреш

ность, чем больше значение х:

. = V ( kerx) 2 + ( keix ) 2 = e ^

A keix x к

a = arCtgjte^ -V 2 -8 -

(4.83)

(4.84)

Как было доказано в § 7 Приложения, погрешность формулы

(4.83) составляет:

не более +1% при *>8,84,

+2,4% ” jc >5,

+4,3% ” х>2.

Погрешность формулы (4.84) составляет:

не более +0,4% при х>5,

+ 1,9% ” х>2.

Учитывая формулы (4.80), (4.81), (4.83), (4.84), перепишем

формулу (4.82):

А • Г , л/^fc Л

Ьр = -т~г7 V2l Vo) е sin шЛ-е-Л/Зк

ZKDK о

(4.85)

С погрешностью, соответствующей погрешности форму

лы (4.85), можно утверждать, что и для условий плоско-радиаль

ного потока длина и скорость перемещения волн изменения

давления определяются теми же равенствами (4.71)—(4.73), а фаза

изменения давления сдвинута на ~ по отношению к фазе дебита

стока.

Итак, выявляется интересная закономерность, характеризующая

особенность распространения волн изменения давления во всех

трех рассматриваемых потоках: прямолинейно-параллельном, пло

ско-радиальном и сферическом радиальном. Именно: длины волн

и скорости их перемещения во всех трех потоках одинаковы при

одинаковых значениях кио>.

Амплитуда волн изменения давления убывает с расстоянием с

интенсивностью, определяемой множителем:

е 2к — в условиях прямолинеино-параллельного потока,

1 _лДГь

щ е 2к — в условиях плоско-радиального потока,

— в условиях сферического радиального потока.

Сдвиг фазы изменения давления по отношению к фазе дебита

а раве!

j со

V 2к^-т — в условиях прямолинейно-параллельного пото-

стока равен:

/ у—— \

ка,

— в условиях плоско-радиального потока,

[ИГ ) '

V 2к ? — в условиях сферического радиального потока.

5ще раз необходимо подчеркнуть, что для условий плоско-ра-

диального потока эти закономерности выявлены на основе при

ближенной формулы (4.85), погрешность которой, связанная с

использованием приближенных равенств (4.83) и (4.84), выше была

оценена. Чем больше величина h / I i l , тем точнее выполняются

указанные закономерности в условиях плоско-радиального потока.

Заметим, что для определенных моментов времени формулу (4.70)

можно существенно упростить. Допустим для простоты, что е = 0,

Т 3

и рассмотрим следующие моменты: t - 0, —, Г, - Т, 2Т и т.д., т.е.

Z Z

f = Y ’ <4-86)

где п — любое целое число, включая нуль, Т — период изменения

дебита стока по гармоническому закону (см.равенства (4.55).

Вводя величину Ар безразмерного понижения давления, из

формулы (4.70) для моментов, определяемых равенством (4.86),

получим:

| Др |

2лЬк

QlV

Др

= kei

(4.87)