Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

7 3 5 7

Выберем теперь другие моменты: t = --T ~ T - T и т.д., т.е.

4*44 94

(4.88)

где п — опять любое целое число, включая нуль. Тогда для момен

тов времени, определяемых равенством (4.88), из формулы (4.70)

получим:

Формулы (4.87) и (4.89) проще для подсчетов и анализа, чем

формула (4.70).

Судя по формуле (4.87), в моменты, определяемые равенством

(4.86), понижение давления обращается в нуль при нулях функции

kei. Очевидно, при нулях функции kei' — производной от функции

kei — величины изменения давления будут принимать экстремаль

ные значения в те же моменты, определяемые равенством (4.86).

В моменты, определяемые равенством (4.88), понижение давле

ния будет обращаться в нуль при нулях функции кег и будет

иметь экстремальные значения при нулях функции kef — произ

водной от функции кег.

Величины аргументов функций кег, kei и их производных

kef, kei' , при которых они принимают нулевые значения, т.е.

величины корней этих функций и их производных, приведены в

табл. П.З § 7 Приложения. В том же параграфе приведена

табл. П.4, в которой помещены величины разностей последова

тельных упомянутых корней, позволяющих судить о длинах

полуволн изменения давлений. Например, разности между

последовательными корнями функции kei характеризуют расстояния

между ближайшими точками пласта, в которых изменения давления

равны нулю в моменты, определяемые равенством (4.86). Анало

гично, разности между последовательными корнями функции kei'

характеризуют расстояния между ближайшими точками пласта, в

которых изменения давления принимают экстремальные значения

(расстояния между ближайшими точками с максимальным и

минимальным изменением давления) в те же моменты (4.86).

Если бы все эти разности между последовательными корнями

были одинаковы, то и длины последовательных полуволн были бы

одинаковы. Однако в § 7 Приложения доказано, что эти разности,

(4.89)

хотя и очень незначительно, но все же различаются между собой.

Следовательно, оказывается, что, во-первых, длины полуволн между

ближайшими точками с нулевыми значениями понижения давления

не равны длинам полуволн между ближайшими точками с

экстремальными значениями понижения давления. Во-вторых, дли

ны последовательных полуволн также несколько отличаются друг

от друга, стремясь к определенному пределу. Именно постепенно

увеличиваются длины последовательных полуволн между сосед

ними точками с нулевыми значениями понижения давления;

постепенно уменьшаются длины последовательных полуволн между

соседними точками с экстремальными значениями понижения

давления.

Все это указывает на то, что волновые процессы в условиях

плоско-радиального потока, строго говоря, значительно сложнее,

чем в условиях прямолинейно-параллельного и сферического

радиального потоков.

Однако в том же § 7 Приложения доказано, что упомянутые

различия в длинах полуволн малы и по мере удаления от стока

становятся практически незаметными; поэтому с достаточно высокой

степенью точности можно считать справедливым для всех полуволн

следующее приближенное равенство:

V i " ! = V2*, (4-90)

где — — длина полуволны.

Самая большая погрешность равенства (4.90) соответствует

ближайшей (первой) к стоку волне. Однако, как это видно из

табл. (П.6) § 7 Приложения, погрешность в оценке длины всей

первой волны не превышает 0,75%, а длины всей второй волны —

0,16%. Поэтому для практических подсчетов в подземной гидро

динамике равенством (4.90) всегда можно пользоваться.

При определении длины X волны из равенства (4.90) для

условий плоско-радиального потока получается полное совпаде

ние с определением из равенства (4.71) длин волн для-условий

прямолинейно-параллельного и сферического радиального пото

ков. Следовательно, равенство (4.90) подтверждает вывод, кото

рый уже был сделан выше при анализе формулы (4.85).

В § 7 Приложения указывается, что при малых значениях

аргументов функций кег и kei можно определять с помощью

следующих приближенных равенств:

ker Vk"£ = - In ГУк"| 1 + In 2 - Сэ,

где Сэ — постоянная Эйлера; Сэ = 0,57722. Или же

ter

VfisinfVl"iVo.1159-

/со (4.92)

tei V "к | - 0,7854.

Погрешность приближенных равенств (4.91), (4.92) не превышает

1,1%, если

V T | . V I | , 0 , 1 . <4 * >

Использование приближенных равенств (4.91), (4.92) может

значительно упростить формулы (4.70), (4.79)—(4.81), но следует

помнить, что условие (4.93) существенно ограничивает возможность

такого использования. Действительно, примем, что

м2

71 = 1 сут = 86400 с , к=1 — .

Тогда

/271

V7k s8r

528- 10-3-

и, следовательно, условие (4.93) будет удовлетворено при

£< 11,73м.

При меньшем значении периода Т допустимая величина %

оказалась бы еще меньшей.

Поэтому оказывается невозможным использовать приближенные

равенства (4.91) и (4.92), если понижение давления измеряется в

реагирующей скважине, так как расстояния между возмущающей

и реагирующей скважинами на нефтяных месторождениях превос

ходят обычно 100—200 м.

Наоборот, условие (4.93) будет вполне удовлетворяться, если

принять величину ^ порядка 10 см, что соответствует радиусу

гидродинамически совершенной скважины (не говоря уже о

значительно меньших значениях приведенных радиусов гидроди

намически несовершенных скважин). Следовательно, принимая

^=10см, предполагаем, что понижение давления определяется в

самой возмущающей скважине, дебит которой изменяется по

гармоническому закону.

Однако возникает вопрос: допустимо ли формулы (4.70),

(4.79)—(4.82), выведенные выше для плоско-радиального притока

жидкости к прямолинейному стоку в пространстве, использовать

для плоско-радиального притока жидкости к гидродинамически

совершенной скважине, радиус которой хотя и мал (порядка 10 см),

но все же конечен?

Из физических соображений очевидно, что это вполне допу

стимо, учитывая обычные малые величины радиусов скважин. Все

же важно количественно оценить соответствующую возможную

погрешность. Для этого следовало бы сравнить формулы (4.70),

(4.79)—(4.82) с аналогичными формулами, выведенными Э. Б. Че-

калюком [673] для плоско-радиального притока жидкости к

скважине конечного радиуса. Но такие формулы довольно громоз

дки, и поэтому ниже будет использован другой способ оценки

упомянутой возможной погрешности.

Выведем сначала формулу для определения расхода Q| жид

кости через сечение § = const плоско-радиального потока, т.е. через

боковую поверхность цилиндра радиуса % и высоты Ь. Для этого

воспользуемся законом Дарси и продифференцируем равенство

(4.70):

где через kef и kei' опять обозначены производные от функций кег

и кеи Введем две новые величины В и р, зависящие от \ и опреде

ляемые равенствами:

( [Ш~ 'I

kef V к 1 = - В cos р,

г IW 1

kei' v к 1 = - В sin Р .

Следовательно,

В =

в , 4 4

Р = arctg

-----I д з Н

* И V k J

(4.96)

(4.97)

Учитывая равенства (4.95), перепишем формулу (4.94) в следу

ющем виде:

б? = С?с|

V k"® sin (

о*+ e + p ) .

При малых значениях величины i V T i ) <

щие приближенные равенства:

(4.98)

справедливы следую-

kef

Щ - Щ .

ш Ш и

(4.99)

(4.100)

Подставляя соотношения (4.99) и (4.100) в формулы (4.96) и

(4.97), получаем:

_JE “ i J i k i

= Vco г= \/2л fc.

3 = o.

(4.101)

(4.102)

Погрешность приближенных равенств (4.101) и (4.102) не

превышает 0,02%, если

Учитывая приближенные равенства (4.101) и (4.102), вместо

формулы (4.98) получим:

т.е. расход Qg через сечение ^ = const оказывается приблизительно

равным дебиту стока, причем с погрешностью, не превышающей

0,02%, если выполняется условие (4.103) ,и с погрешностью менее

1%, если выполняется следующее менее жесткое условие:

при Г>625с, а условие (4.106) — при Г>6,25с.

Итак, если дебит скважины с обычно малым радиусом изменя

ется по гармоническому закону, то оказывается возможным при

менять, с высокой степенью точности, все выведенные в данном

параграфе формулы для плоско-радиального потока, считая, что

по тому же гармоническому закону изменяется дебит линейного

стока, расположенного вдоль оси скважины.

В монографии [350] указывается, что в теории теплопроводности

давно стали использовать метод периодического нагрева твердых

тел для определения их теплофизических характеристик с помощью

формул, аналогичных выведенным выше.

Весьма рациональная идея исследования нефтеводоносных

пластов с помощью волн давления была предложена В. П. Яков

левым еще в конце тридцатых годов, а соответствующая методика

(4.103)

Ql = Ql sin ( otf + е ).

(4.104)

Поэтому

(4.105)

(4.106)

Если принять к = 1 — , ^ = 0,1м, то условие (4.103) выполняется

исследований пластов им же была развита в монографии [780], в

которой есть ссылки на все предшествующие его работы.

Гидродинамически строгое исследование особенностей распро

странения волн давления и фильтрационных волн в пористой среде

впервые начал проводить с 1947 г. Э. Б. Чекалюк, затем система

тизировавший и обобщивший теоретические и практические ре

зультаты своих исследований в монографии [673].

Приближенный способ исследования распространения волн

давления по пласту при изменении дебита скважины по гармони

ческому закону был разработан Г. П. Гусейновым и его учениками

[21]].

Метод периодического возбуждения возмущающей скважины

для определения коллекторских свойств пластов тщательно раз

работали и стали широко применять С. Н. Бузинов и И. Д. Ум-

рихин [105], [106]. Эти авторы подробно исследовали переходный

процесс от невозмущенного состояния к квазистационарному после

того, как начинается периодическое возбуждение возмущающей

скважины. Ими было доказано, что с высокой степенью точности

квазистационарный процесс наступает уже после нескольких

периодов изменения дебита возмущающей скважины.

Метод многократного импульсирования пласта с целью его

исследования был описан Ю. А. Балакировым [39].

Поясним основную идею метода определения коллекторских

характеристик пласта с помощью периодического возбуждения

возмущающей скважины.

Любое периодическое изменение дебита скважины можно

математически выразить тригонометрическим рядом Фурье. Как

уже было доказано выше, при больших значениях частот колебаний

дебита соответствующие распространяющиеся по пласту волны

давления имеют малые амплитуды и быстро затухают. Поэтому в

ряде Фурье практически достаточно ограничиться первым или

первыми двумя его членами. Следовательно, оказывается возмож

ным использовать выведенные выше формулы для случая изменения

дебита скважины по гармоническому закону.

Допустим для простоты (желая, как уже было оговорено выше,

выяснить только основную идею метода), что в процессе промыс

ловых исследований дебит Qc возмущающей скважины изменяют

по гармоническому закону(4.54). Величины Q*c, со и е , входящие в

формулу (4.54), оказываются заданными. Проводят в различные

фиксируемые моменты множество замеров понижения давления

Др в возмущающей скважине. На стенке скважины величину |

полагают равной ее радиусу Rc. Тогда, используя, например,

формулу (4.70) и подставляя в нее заданные величины

Q*c,<o,e,Rc и замеренные величины Ар в различные моменты t,

получают столько уравнений, сколько было замеров понижения

давления. В каждое уравнение будут входить две неизвестные

величины: коэффициенты гидропроводности ^ и пьезопроводно

сти к. Теоретически достаточно двух таких уравнений, чтобы

определить указанные неизвестные величины. Практически исполь

зуют несколько пар уравнений, чтобы убедиться в правильности

определения двух неизвестных величин.

Формула (4.70) громоздка и неудобна, так как требует исполь

зования таблиц функций Томсона kernkei. Поэтому при замерах

давления в возмущающей скважине формулу (4.70) упрощают,

заменяя в ней функции kernkei их приближенными выражениями,

определяемыми равенствами (4.92). Упрощенная формула имеет

вид:

где Арс — понижение давления именно в возмущающей скважине.

Еще проще можно поступать так: замерять понижения давления

в возмущающей скважине только в моменты, определяемые

равенствами (4.86) или (4.88), когда можно пользоваться формулами

(4.87) и (4.89), значительно более простыми, чем (4.70). Формулы

(4.87) и (4.89) принимают еще более простой вид, если для замены

функций кег и kei воспользоваться приближенными равенствами

(4.92), считая ^ = 0. Именно для понижений давления Арс в моменты

(4.86) будет следующая упрощенная формула:

А для моментов, определяемых равенствами (4.88), будет

справедлива другая упрощенная формула:

к I

\п +0,1159 sin (erf+ в)-

(4.107)

(4.108)

коэффициент гидропроводности — . Подставляя его в уравнение

М'

(4.109), можно определить второе неизвестное — коэффициент

пьезопроводности к.

При любом способе обработки результатов исследования

возмущающей скважины всегда возникает осложнение: скважины

бывают обычно гидродинамически несовершенными и их приве

денные радиусы нельзя считать известными величинами. Поэтому

во всех формулах (4.70), (4.107)—(4.109), кроме коэффициента

гидропроводности, оказываются неизвестными еще две величины:

к и Rc. Раздельно определить каждую из этих величин нельзя;

приходится определять лишь величину отношения — .

Чтобы избежать необходимости учитывать приведенный радиус

гидродинамически несовершенной возмущающей скважины и желая

иметь осредненные характеристики коллекторских свойств пласта

на значительном его протяжении, предпочитают вести исследования

одновременно и возмущающей и одной или нескольких реагиру

ющих скважин.

Считая известными величины Q*,co,r,e в формуле (4.54)

изменения дебита возмущающей скважины, зная расстояние | от

нее до реагирующей скважины и определяя величины понижения

давления Ар в различные моменты t в реагирующей скважине,

получаем возможность найти по формуле (4.70) две оставшиеся в

формуле (4.70) неизвестные величины: коэффициенты гидропро-

водности и пьезопроводности пласта — соответственно, — и к .

Учитывая опять громоздкость формулы (4.70), предпочитают ее

упрощать, используя асимптотические представления функций кег

и kei, приведенные в § 7 Приложения. Такие упрощения были

выполнены С. Н. Бузиновым и И. Д. Умрихиным [105], [106], и к

их монографиям следует обратиться читателю, интересующемуся

подробностями техники исследования скважин и результатами

обработки исследований в том случае, когда в возмущающей

скважине проводят периодические изменения ее дебита.

Весьма замечательные по точности замеров исследования

скважин уникальными приборами проводила в течение многих лет

группа работников Казанского университета под руководством

заведующего кафедрой радиоэлектроники проф. Н. Н. Неприме-

рова [450], [471], [473], [484]. При периодическом возбуждении

возмущающей скважины одновременно велись наблюдения и в

нескольких окружающих реагирующих скважинах; все эти скважины

оборудовались датчиками на забоях и устьях. По показаниям

датчиков, передаваемым на пульт управления, автоматически

строились графики изменения дебита и давления в возмущающей

скважине и графики изменения давления в реагирующих скважинах.

Используя расчетные формулы и обрабатывая по ним графики, с

помощью ЭВМ определялись коллекторские характеристики пласта.

В процессе такого рода тщательных, многократно повторявшихся

исследований с воспроизводимыми результатами Н. Н. Непримеров

и его сотрудники обнаружили много новых эффектов, связанных

с релаксационными процессами. Обсуждение этих вопросов, опи

санных в монографии [454], выходит за рамки данной книги.

§ 4. Исследование работы стока или источника,

дебит которого выражается одночленной

степенной функцией времени

Предположим, что дебит точечного стока (или источника)

выражается с помощью одночленной степенной функции времени:

где s — любое действительное число, но s > - 1. Диктуемая физи

ческими соображениями причина, по которой приходится предпола

гать, что s > - 1, пояснена в конце данного параграфа. — посто

янная величина, размерность которой определяется значением по

казателя степени s, который при решении практических задач

обычно берется равным целому или дробному (рациональному) числу.

Подставим выражение дебита стока Qc, определяемое равен

ством (4.110), в формулу (4.4):

Qc = (£t*,

(4.110)

Введем вместо f новую переменную и, полагая