Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

понижаться во всем пласте в момент включения стока), причем

тем позднее, чем болъте расстояние | от стока

Чтобы судить о форме пьезометрических линий, надо изучить

особенности функциональной зависимости понижения давления

Ар от координаты точки Для каждого из трех простейших

одномерных потоков пьезометрические линии в различные моменты

схематично изображены на рис. 4.4, 4.5, 4.6.

Уже было отмечено (см.соотношения (4.34) и (4.35), что при

§ = 0 понижение давления имеет конечную величину только в

условиях прямолинейно-параллельного потока; в условиях плоско-

радиального и сферического радиального потоков понижение

давления бесконечно велико. Следовательно, в условиях двух

последних упомянутых потоков пьезометрические линии, постро

енные для любого момента, имеют положительную полуось ординат

своей асимптотой (см* рис» 4.5 и 4.6).

Продифференцируем равенство (4.13), справедливое при

а - 0, по координате величия а этой производной при ^ = 0

оказывается не зависящей от времени и равной

jH &р)а=о _ _ Qji __ t (4-40)

Э| " 2ок ~ '

Следовательно, при ^ = 0 все касательные к пьезометрическим

линиям имеют (в условиях прямолинейно-параллельного потока)

одинаковые углы наклона к оси абсцисс Этого следовало

ожидать: ведь постоянство углов наклона касательных линий при

£> = 0 характеризует постоянство градиентов давления при % = т.е.

в месте расположения плоского стока с постоянным дебитом.

Судя по всем трем формулам (4.13)—(4.15),

Ар —> 0 при | оо, (4.41)

т.е. все пьезометрические линии имеют своей асимптотой положи

тельную полуось абсцисс | .

С течением времени все пьезометрические линии должны

Понижаться. На основании соотношения (4.32) процесс понижения

пьезометрических линий в условиях прямолинейно-параллельного

и плоско-радиального потоков ничем не ограничен*. В условиях

же сферического радиального потока процесс снижения пьезомет

рических линий ограничен тем, что эти линии, снижаясь, должны,

См. по этому поводу примечание в конце данного параграфа

Рис. 4.5. Схематичное изображение пьезометрических линий в различные моменты

в условиях плоско-радиального потока к линейному стоку с постоянным дебитом

Рис. 4.6. Схематичное изображение пьезометрических линий в различные моменты

в условиях сферического радиального потока к точечному стоку с постоянным

дебитом

судя по соотношению (4.3), асимптотически приближаться к своему

предельному положению — к гиперболической кривой, удовлет

воряющей уравнению:

(4.42)

Заметим, что формулы (4Л8)—(4.21) совершенно аналогичны

потока, вызванного работой стока с постоянным дебитом QCi в

точности равно отношению для условий потока, вызванного

V ж

включением стока, мгновенно отобравшего объем жидкости V ж.

Можно не проводить анализа зависимости величины от t

на основании формул (4.18)—(4.21), т.к. это было бы повторением

проведенного в § 4 гл. 3 анализа формул (3.48), (3.54)—(3.56).

Поэтому не требует дополнительных пояснений рис. 4.7, на котором

схематично изображены графики зависимости расхода Q\ от t;

достаточно сослаться на ранее выполненные в гл. 3 пояснения

графиков, изображенных на рис. 3.9.

Точки перегиба кривых линий отмечены на рис. 4.7 крестиками.

Эти точки лежат на прямой, параллельной оси абсцисс; координаты

этих точек определяются равенствами, вполне аналогичными

равенствам (3.52), (3.53).

Рис. 4.7. Схематичное изображение графиков изменения расходов жидкости,

перетекшей через различные сечения одномерного потока; * — точки перегиба

Из формул (4.18)—(4.21) следует, и это отображено на рис. 4.7,

что в любом сечении | = const одномерного потока величина Q|

расхода жидкости с течением времени монотонно возрастает от

нуля, асимптотически приближаясь к величине Qc постоянного

дебита стока.

Проанализируем особенности изменения величины в за

висимости от координаты Судя по формуле (4.18) Q^ = QC

при § = 0; то же получаем и по формулам (4.19)—(4.21), учитывая

частные значения неполной гамма-функции и дополнительной

функции ошибок, определяемые равенствами (П. 103) и (П.24).

Этот результат вытекает и из условий постановки рассматрива

емой задачи о работе стока с постоянным дебитом, причем

начало координат было помещено как раз в стоке. Кроме того,

из формул (4.18)—(4.21) следует, что для любого заданного

значения времени t величина Qg с увеличением §, т.е. с

удалением сечения от стока, монотонно убывает, асимптотически

стремясь к нулю. При t —> °° расход Qg 00 всех сечениях

одномерного потока, как уже упоминалось, асимптотически при

ближается к величине Qc.

Определим положение точек перегиба на кривых линиях,

изображающих графики зависимости от Для этого сначала

дважды продифференцируем по ^ величину определяемую

формулой (4.18), учитывая равенство (П.100):

ЭСе 2(2с

Э| ' „(1 + а

r j _

4кt

э 2&

26с

' 1 + а

4к*

а + 1

(4.44)

Приравнивая нулю величину второй производной, получим, что

координата ^пер точки перегиба будет определяться из следующего

равенства:

1пеР = 2ак1. (4.45)

Отсюда следует, что в условиях прямолинейно-параллельного

потока, т.е. при а = 0, точек перегиба на кривых линиях при

^ > 0 нет, т.к.

(4.46)

Для условий плоско-радиального потока, т.е. при а=1, из

равенства (4.45) и из формулы (4.18) получаем следующие

координаты точек перегиба, учитывая еще равенства (П. 108) и

(П.8):

(Sep)a=l=2Kf,

( Q% пер )а = 1 — Qc Г

’ 2

= Qc = 0,607 Qc = const.

(4.47)

Для условий сферического радиального потока, т.е. при a = 2,

из равенства (4.45) и из формулы (4.18) получаем, учитывая еще

равенства (П.110) и (П.9), следующие координаты точек перегиба:

( ?пер )а-2~ 4к£ ,

( Qg пер )а =

2QCJ 3 }

' - г‘

=е,

erfc 1 +

VrTe

= 0,572 Qc = const.

(4.48)

На основе всех выявленных особенностей зависимости расхода

от координаты ^ для различных фиксированных значений

времени t можно построить соответствующие графики. Такие

графики схематично изображены для условий прямолинейно-па

раллельного потока на рис. 4.8, а для условий плоско-радиального

и сферического радиального движений — на рис. 4.9. Единствен

ным существенным отличием графиков рис. 4.8 от графиков рис. 4.9

является то, что на кривых линиях рис. 4.8 нет точек перегиба, а

на кривых рис. 4.9 точки перегиба есть; они отмечены крестиками,

и все расположены на одной прямой, параллельной оси абсцисс.

Перейдем к анализу формул (4.27)—(4.30), определяющих

величину V g как в рассмотренном общем случае (при любом целом

положительном значении a , включая нуль), так и для трех

простейших одномерных потоков в пространстве одного, двух и

трех измерений. Оказывается, что

(V %\ =0 = Qet, (V|*.o = 0, (V%\.

, -» СО (4.49)

Следовательно, величина Vg монотонно возрастает с измене

нием времени t> и все кривые линии, изображающие графики

зависимости Vg от f, обладают следующими особенностями: они

не имеют точек перегиба, касаются оси абсцисс в начале

координат, асимптотически приближаются к прямым линиям,

углы наклона которых к оси абсцисс численно равны Qc. Эти

графики зависимости V g от t схематично изображены на

рис. 4.10, на котором пунктирными линиями представлены асим

птоты соответствующих кривых.

Необходимо еще отметить, что

Qct=Vc{t), (4.52)

где V с — переменная величина, равная объему жидкости, которая

была поглощена стоком с момента его включения (t =0) до момен

та L Поэтому во всех формулах (4.27)—(4.30) произведение ( Qc t)

можно заменить величиной V с.

Рис. 4.8. Схематичное изображение графиков расходов жидкости 3 перетекшей

через различные сечения прямолинейно-параллельного потока в каждый момент

времени

Рис. 4.9. Схематичное изображение графиков расходов жидкости перетекшей

через различные сечения в каждый момент времени для условий плоско-ради-

ального или сферического радиального потоков

Рис. 4.10. Схематичное изображение графиков изменения расходов жидкости,

перетекшей через различные сечения одномерного потока при работе стока с

постоянным дебитом

Примечание. Требуют пояснений следующие предельные

особенности изменения рассмотренных величин:

4Р(1»*Ь-» « =0, 1 ,

а = 0,1,2, (4.53)

а = 0,1.2.

Эти особенности функциональных зависимостей были обна

ружены при анализе формул, выведенных при точном соблюде

нии исходных условий идеальной модели упругого режима

пласта. В реальных же условиях, уже при некотором конечном

понижении пластового давления, условия идеальной модели

упругого режима могут нарушиться: упругий режим может

перейти в гравитационный или режим окклюдированного газа.

Кроме того, исходные дифференциальные уравнения, а следо

вательно, и их решения были справедливы в предположении

постоянства коэффициентов ( к, т , рс, рж, к , ц ), характеризую

щих коллекторские свойства пласта и насыщающей его жидкости.

Упомянутое предположение вполне обоснованно лишь при не

слишком больших понижениях пластового давления*. Следова-

Рис. 4.11. Схематичное изображение графиков понижения пластового давления

в условиях прямолинейно-параллельного потока с учетом допустимого- снижения

пластового давления

Как известно, и в теории теплопроводности учитывается, что соответствующие

характеристики тел (коэффициенты теплопроводности, температуропроводности)

могут считаться постоянными лишь при не слишком больших изменениях темпера

туры. Такую же оговорку делают в теории диффузии по отношению к коэффициенту

диффузии.

тельно, желая практически использовать результаты проведенных

выше гидродинамических решений, надо накладывать ограниче

ние на допустимое снижение пластового давления. Предположим,

что такое ограничение принято, т.е. указана величина /?доп

допустимого пластового давления, а следовательно, и величина

ЛРдоп = (А)-Рдоп) допустимого снижения пластового давления,

ниже которого нарушаются условия исходной идеальной модели

упругого режима. Соответствующий промежуток времени, в

течение которого давление снижается до допустимого значения,

обозначим так — *доп. Естественно, что и изменения со временем

других характеристик потока — Qg, V ^ можно считать практи

чески допустимыми лишь при 7<*д0п-

С учетом только что сказанного, например, следовало бы

перестроить рис. 4.1, соответствующий прямолинейно-параллель

ному потоку, так, как это изображено на рис. 4.11. Именно на

рис. 4.11 отмечены величина Ардоп допустимого снижения пласто

вого давления и соответствующий ему момент £доп. Все графики

при t>tAon изображены пунктиром. Этим подчеркивается, что при

t>t^on полученные гидродинамические решения перестают отвечать

реальным условиям. Конечно, к моменту t = £доп давление снизилось

до величины Ардоп не во всем пласте, а только в начале координат —

на «стенке» плоского стока. Вдали от стока Ар < Ардоп, т.е. условия

идеальной модели упругого режима еще не нарушены. Поэтому

кривые линии на рис. 4.11, соответствующие графикам при

!> 0 , можно было бы изображать сплошными линиями не до

момента £доп, а до тех пор, пока эти линии не пересекутся с прямой

Ар = Дрдоп. Однако при t>tJxon нельзя допускать работу стока, а

следовательно, и всего пласта.

Если величина А/?доп задана, то, подставляя ее вместо Ар в

формулу (4.13), получаем возможность определить из этой формулы

величину tдоп, считая % = 0.

Строго говоря, для условий плоско-радиального и сфериче

ского радиального потоков ^ = 0, так как давление в стоке

снижается до бесконечности уже в начальный момент. В

последующих главах будет доказано, что решения, полученные

для линейного и точечного стоков, могут быть с высокой

степенью точности использованы, за исключением ближайшей

окрестности стоков, и при исследовании потоков к скважинам

конечного радиуса.

§ 3. Изучение стока, работающего с переменным дебитом,

изменяющимся по закону гармонического колебания

Допустим, что дебит Qc стока (или источника) изменяется со

временем по закону гармонического колебания:

Qc = Ql sin ( со t + e ), (4.54)

где Qc, со, e — постоянные величины, причем Q*c — амплитуда из

менения дебита стока (или источника), со — угловая частота, е —

начальная фаза Период Т и частота N изменения дебита:

N 1 »

со Т 2л

(4.55)

Будем считать, что с таким дебитом, изменяющимся со временем,

сток проработал неограниченно долгое время. Тогда, очевидно,

изменения давления в пласте станут установившимися и периоди

ческими, т.е. состояние поля давлений можно считать квазистаци-

онарным.

Подставим величину дебита стока, определяемую равенством

(4.54), в формулу (4.4), заменив в ней нижний предел интеграции:

2^АпТ

г 1 + а Л

J тта ат .

к 15 (t-f)

(4.56)

Заменим переменную величину f переменной величиной м,

полагая

t-t' = u,

(4-57)

откуда получим:

df = -d u ,

и = °о при f = - оо, (4.58)

и = О при f = t,

Sin((0f + £) = Sin((0f + £ - (0l/) =

= sin( COf + £ ) coscow - COS ( (Of+ £ ) sin COM .