Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Учитывая равенство (1.41), связывающее коэффициенты пье

зопроводности и упругоемкости пласта, формулу (3.26) можно

преобразовать и представить в такой форме:

V ц е ^

Ар = ±

-----------

— \

----------

—гтсг . (3.27)

22<М„ Г

1+ а

к к 2 t

Функции, аналогичные определяемым формулой (3.27) и назы

ваемые «функциями распространения тепла от источника» (вспом

ним отмеченную в § 6 гл. 1 термо-гидродинамическую аналогию),

пояснены весьма наглядными графиками в книге [781].

В подземной гидродинамике фундаментальные решения пред

ставляют особый интерес для пространств только одного, двух и

трех измерений.

Полагая в (3.26) последовательно а = 0,1,2, беря значения

Аа из равенств (3.19)— (3.21) и учитывая формулы (П.7) и (П.8),

получим фундаментальные решения для каждого из трех простей

ших одномерных потоков.

Для пространства одного измерения (когда а = 0), т.е. для

прямолинейно-параллельного потока:

, Уж . У'ж

(3-28)

( АР ) «=о - ± Р * С ’

Для пространства двух измерений ( а = 1 ), т.е. для плоско-ра

диального потока:

, * ч . Уж - £ V Ж - ё (3.29)

(АР )а='

4Ьпк1$**

4лк/р *е

Для пространства трех измерений ( а = 2 ), т.е. для сферического

радиального потока:

,Лпч , Уж , (3.30)

(А р ) а-2 8 ( ЯК/)%р*

В равенстве (3.28) величины V ж и У ж равны соответственно объемам

жидкости, извлеченным через всю площадь 2о и через единицу

площади рассматриваемого участка мгновенного плоского стока.

В равенстве (3.29) величины У ж и У'ж равны соответственно

объемам жидкости, извлеченным через всю длину «Ь>► (т.е. по всей

толщине пласта) на единицу толщины пласта и через единицу

длины (т.е. на единицу толщины пласта) рассматриваемого участка

мгновенного прямолинейного стока.

Верхние знаки (плюсы) в формулах (3.25)— (3.30) соответствуют

стокам, а нижние (минусы) — источникам.

Если бы в пласте действовали только источники, то текущее

давление было бы всегда выше начального и выгоднее было бы

пользоваться не величиной понижения, а величиной повышения

пластового давления Ар, определяя ее аналогично (3.4), т.е. так:

=Р ~Ра • (3.31)

Если величину Ар определять при действии только стоков с

помощью соотношения (3.4), а при действии только источников —

с помощью соотношения (3.31), то коэффициент

D а в равенствах

(3.5)— (3.9) был бы всегда положительным и в формулах (3.25)— (3.29)

следовало бы сохранить только верхние (положительные) знаки.

Давление и понижение давления определяются, формулами

(3.1)— (3.3), (3.5), (3.26)— (3.29) как функции времени t и

координаты Выше отмечалось, что все эти функции и их

производные имеют особенность при t = 0, ^ = 0. Эта особенность

такова, что соответствующие функции должны быть отнесены к

специальному классу обобщенных функций — функций Дирака.

§ 3. Процесс перераспределения давления,

вызванный включением мгновенного стока или источника

Процесс перераспределения давления в одномерном фильтра

ционном потоке, вызванном включением мгновенно подействовав

шего стока или источника, будем анализировать с помощью

фундаментальных решений (3.26)— (3.30).

Для определенности терминологии будем рассматривать дей

ствие только стока. Поэтому в правых частях упомянутых равенств

будем удерживать только верхние знаки и величину Da во всех

формулах § 2 будем считать положительной.

На основании упомянутых формул можно утверждать, что

величина понижения давления Ар не будет равна нулю при любом

сколь угодно малом промежутке времени, прошедшего с момента

мгновенного включения стока (какой бы производительности не

был этот сток). Это утверждение справедливо для всех точек,

расположенных не только вблизи включенного стока, но и на сколь

угодно больших расстояниях | от него. Следовательно, процесс

перераспределения пластового давления, вызванный мгновенным

включением стока, мгновенно же и одновременно начинается во

всех точках пласта — во всем поле давлений.

Такое утверждение справедливо воспринимается как парадок

сальное. Оно является столь же парадоксальным, как и аналогичные

утверждения, которые приводятся в теориях теплопроводности и

диффузии на основе решений дифференциальных уравнений

температуропроводности и диффузии.

Чтобы резче подчеркнуть отмеченную парадоксальность, при

водится такой остроумно подобранный пример из теории диффузии:

допустим, что в море был опущен кусочек сахара. На основе теории

диффузии приходится утверждать, что «подслащение моря» бла

годаря процессу диффузии можно обнаружить, отбирая пробу

морской воды на берегу, противоположном тому, где был опущен

кусочек сахара, и начиная сразу же с того момента, когда он был

опущен.

Конечно, фундаментальные решения уравнений пьезопроводно

сти, диффузии и теплопроводности указывают на то, что чем

меньше была интенсивность мгновенного возмущения (например,

чем меньше величина V ж мгновенно отобранного количества

жидкости из пласта), тем пропорционально меньше будет изменение

давления, концентрации или температуры в любой точке того же

поля в любой момент времени. Кроме того, интенсивность реакции

на возмущение так быстро убывает по мере удаления от источника

возмущения, что на некотором достаточно большом расстоянии от

него, особенно в начальный период времени, никакой самый

чувствительный прибор практически не смог бы зафиксировать

соответствующего изменения. Так, например, даже при очень

мощном кратковременном выбросе жидкости из возмущающей

скважины самый чувствительный манометр, помещенный в реаги

рующей скважине, удаленной от возмущающей на расстояние

нескольких километров и даже нескольких сотен метров, не сможет

в течение первых нескольких секунд после выброса жидкости

зафиксировать изменения пластового давления. Так же, как никакой

из существующих приборов не сможет сразу зафиксировать

изменения в составе морской воды, если на значительном удалении

от этого прибора в море было сброшено большое количество

хорошо растворимого вещества.

Итак, сформулированы два утверждения:

I. Процесс перераспределения давления начинается одновре

менно во всем пласте сразу же после включения мгновенно

подействовавшего стока любой производительности (мощности);

иными словами, предполагается, что скорость распространения

возмущения давления по пласту бесконечно велика.

2. Интенсивность изменения пластового давления, вызванная

включением мгновенного стока любой производительности, ни

чтожно мала на достаточно большом расстоянии от стока

в первые моменты после его включения (более подробное

описание процесса перераспределения пластового давления будет

дано дальше).

Парадоксальность первого утверждения как бы несколько

смягчается вторым утверждением.

Однако реально не может быть бесконечно большой скорости

распространения возмущения ни в поле давления, ни в поле

температуры, ни в поле концентрации какого-либо вещества (за

счет диффузии). Кроме того, на достаточно большом расстоянии

от источника возмущения фактически может совсем не быть

никакой реакции, если возмущение очень мало. Следовательно,

первое утверждение отображает нереальность той модели явления,

которая была принята при выводе уравнения пьезопроводности,

диффузии или температуропроводности.

Тем не менее, хотя модели явлений оказались не вполне

совершенными и основанный на этих моделях вывод о бесконечно

большой скорости распространения возмущения нереален, все же

уравнения пьезопроводности, диффузии и температуропроводности

и их фундаментальные решения качественно и количественно

достаточно хорошо отражают большинство характерных особенно

стей нестационарных полей, которые приходится исследовать при

изучении процессов перераспределения давления, концентрации и

температуры.

Для анализа формы пьезометрических линий, построенных в

координатах (^ , Ар ) для*различных моментов времени, необходимо

определить положения характерных точек каждой из этих линий —

точки перегиба и критической точки, соответствующей максимуму

понижения давления.

На основании формул (3.8) и (3.9) можно утверждать, что

Щ = °, <0 при | = 0, />0, (3.32)

т.е. понижение давления имеет максимум в начале координат в каж

дый момент, отличный от начального. Максимальное значение по

нижения давления определяется, очевидно, равенством (3.11).

Координату ^ пер точки перегиба пьезометрической линии легко

определить, приравнивая нулю значение второй производной,

определяемой равенством (3.9):

(3.33)

Подставляя значение 5 пер из формулы (3.33) в (3.6) или (3.26),

найдем величину ( Ар ) пер, соответствующую точке перегиба:

( ) пер —

1+ а

(к*)

(3.34)

Формула (3.33) позволяет утверждать, что значение координаты

точки перегиба зависит от времени t, но не зависит от а, т.е.

значение упомянутой координаты одинаково для всех исследуемых

простейших одномерных потоков.

Из равенств (3.11) и (3.34) имеем:

( Ар ) пеР 1 ЛГЛ„ , (3.35)

— — г— ^ = -т— =0,6065= const,

( Ар ) |= о Ve

т.е. отношение понижения давления в точке перегиба пьезометри

ческой кривой к максимальному значению понижения давления (при

5 = 0) не зависит ни от а , ни от t, т.е. одинаково для всех пьезомет

рических кривых всех простейших одномерных потоков.

Согласно формуле (3.6) или (3.26) имеем:

Ар —> 0 при 5 00 • (3.36)

Следовательно, ось абсцисс служит асимптотой для всех

пьезометрических кривых. Кроме того,

Ар —> оо при 5 = 0» t —> 0. (3.37)

Учитывая определяемую формулой (3.26) зависимость

Ар от 5 и t, на рис. 3.6 схематично изобразим семейство пьезомет

рических линий для различных моментов f/, t2, после пуска

мгновенного стока: 0<*1<*2<*з<

___

Т Ар

Рис. 3.6. Схематичное изображение семейства пьезометрических линий в раз

личные моменты после включения мгновенного стока

Проведя на рис. 3.6 пунктирную линию, параллельную оси

ординат, и замечая последовательность пересекаемых этой линией

пьезометрических кривых, легко убедиться в том, что в любой

точке пласта с заданной координатой ^ понижение пластового

давления сначала растет до какого-то момента времени, а затем

убывает, стремясь к нулю. Более наглядно это будет обнаружено

при анализе графиков изменения пластового давления в разных

точках пласта.

Выясним интересные свойства, которыми обладают площади,

заключенные (при 0 < ^ < °о) между осью абсцисс и любой из

пьезометрических кривых, соответствующих различным моментам

времени (см. рис. 3.6). Учитывая равенства (3.16) и (3.18),

получим:

При а = 0, 1, 2 интеграл в левой части равенства (3.38) допускает

простую интерпретацию. Именно при а = 0 величина упомянутого

интеграла равна площади между осью абсцисс и любой из

пьезометрических кривых на всем ее протяжении. При а = 1

величина упомянутого интеграла равна статическому моменту этой

же площади по отношению к оси ординат. Наконец, при а = 2

величина упомянутого интеграла равна геометрическому

моменту инерции этой же площади относительно оси ординат.

(3.38)

Правая часть равенства (3.38) не зависит от времени. Поэтому

не зависит от времени и величина интеграла в левой части.

Следовательно, хотя форма и положение пьезометрических кри

вых с течением времени изменяются, но величина площади

между любой из пьезометрических кривых (на всем ее протя

жении, т.е. от | = 0 до 1 = °°) и осью абсцисс остается неиз

менной, если а = 0. При а = 1 или а = 2 неизменными оказываются

соответственно статические моменты или геометрические момен

ты инерции тех же площадей по отношению к оси ординат.

Сравним при а = 0 величину площади, ограниченной осью

абсцисс и пьезометрической кривой в интервале от ^ = 0 до

^ = е, где е — сколь угодно малое число, с величиной площади

между осью абсцисс и той же пьезометрической кривой, но во

всем интервале изменения ^ от 0 до <*>. Легко убедиться в том,

что различие в величинах сравниваемых площадей будет тем

меньше, чем меньше промежуток времени t, отсчитываемый с

момента включения мгновенного стока.

Для анализа формы графиков понижения давления в любой

точке пласта, которые надо строить в координатах (Ар >t),

необходимо определить из равенств (3.6) и (3.7) еще вторую

производную от понижения давления по времени:

Э 2 Ар

dt:

= Df

i i

4кt

(3 + a )l i + L ! ± « p j L !

4кt 4

_5+a %

2“ e-«3_

(3.39)

Приравнивая нулю правые части равенств (3.7) и (3.39),

находим соотношения, из которых определяются момент t,

соответствующий максимальному значению понижения давления,

и два момента tnep для двух точек перегиба* на графике

понижения давления в любой точке пласта с координатой

,|,р 2(1 + а ) к ’

(3.40)

пер 2(1+а) к

3 + а 3 + а

(3.41)

Приравнивая нулю выражение в квадратных скобках в формуле (3.39), получим

квадратное уравнение, имеющее два корня, что соответствует двум точкам перегиба

каждого графика.

Величины р и fnep, определяемые из последних двух равенств'

зависят от 5 и от а, но отношение этих величин (отношение абцисс

характерных точек) не зависит от Например, при а = 1 из равенств

(3.40) и (3.41) получим:

= 1 ± = 1 ± 0,707. (3‘42)

t кр

Из равенств (3.41) и (3.42) очевидно, что промежутки времени

(f«p-fnep.l) и ( ^ пер.2— ^ кр ) ДРУГ ДРУГУ раВНЫ, a t перЛ И t пс?2 —

моменты, соответствующие первой и второй точкам перегиба

Если значения t Kp и £пер подставить из (3.40) и (3.41) в (3.6)

или (3.26), то получим величины ординат соответствующих

характерных точек графиков понижения давления. Каждая из этих

величин зависит от 5, Н(> их отношение (т.е. отношение ординат

характерных точек каждого графика) не зависит от 5*

Из равенств (3.6) и (3.26) или (3.27) следует, что Ар 0, если

t —> °°,

При f —> Q ,% > 0 не только Ар 0, но, как это вытекает,

например, из равенств (3.7) и (3.39), величины производных по

времени любого порядка от понижения давления также стремятся

к нулю. Следовательно, в начале координат (при t = 0, Ар = 0) все

графики понижения давления касаются оси абсцисс, за исключе

нием графика понижения давления в мгновенном стоке, т.е. при

|=о.

На рис. 3.7 схематично изображены графики понижения дав

ления для различных точек пласта с координатами

1 = 0. причем 0<^,<^2<1з<----

Анализ графиков, изображенных на рис. 3.7, позволяет наглядно

убедиться в том, что в любой точке пласта (при любом значении

5 > 0) понижение давления ‘после пуска мгновенного стока пренеб

режимо мало в течение некоторого промежутка времени. Чем

больше 5, тем больше начальный промежуток времени, в течение

которого понижение давления допустимо считать практически

незаметным. Затем рост понижения давления становится все более

интенсивным, и темп роста достигает максимума в момент,

соответствующий первой точке перегиба любого рассматриваемого

графика. На каждой кривой на рис. 3.7 имеется «критическая точка»

(наинизшая), в которой максимума достигает величина понижения

давления. Величины максимумов понижения пластового давления

тем большие, чем ближе соответствующие точки пласта (т.е. чем

меньше координата 5) к источнику возмущения — к мгновенному

стоку.

Рис. 3.7. Графики понижения пластового давления в различных точках пласта

после включения мгновенного стока

После перехода на каждом из графиков через вторую точку

перегиба понижение давления асимптотически стремится к нулю.

Итак, вызванный включением мгновенного стока процесс пере

распределения давления с течением времени затухает, и давление,

выравниваясь, асимптотически стремится к установившемуся состо

янию во всем пласте.

Обратим внимание на следующий факт: положение характерных

точек на любом графике понижения давления зависит не только

от величин а и ^ , но и от коэффициента пьезопроводности пласта

к; так, например, коэффициент к входит в равенства (3.40) и (3.41),

из которых определяются моменты /кр и f пер, соответствующие

вершине и точкам перегиба каждого графика понижения пластового

давления. Только что отмеченный факт служит основой гидроди

намического метода определения коллекторских свойств пласта

(его коэффициента пьезопроводности) по положению критических

точек на графиках понижения пластового давления в реагирующих

скважинах.

Сущность этого метода поясним на примере плоско-радиаль

ного потока, т.е. при а=1. Допустим, что нестационарный

процесс перераспределения пластового давления, вызванный

кратковременным отбором жидкости из гидродинамически совер

шенной возмущающей скважины, можно отождествить с процес

сом перераспределения давления в плоско-радиальном потоке

после включения мгновенного точечного стока на плоскости.

Имея фактический график изменения давления в реагирующей

скважине, находящейся на известном расстоянии ^ от возмуща

ющей, зафиксируем на графике характерные две точки перегиба

и точку максимума понижения давления, т.е. определим про

межутки Времени ^пер.Ь^пер.2 И tK р. Зная 5 > ^ кр » ^ пер.Ь ^ пер.2 и

считая а = 1, можно из равенства (3.40) или (3.41) найти искомую

величину коэффициента пьезопроводности пласта к. Найден

ное значение к будет тем более близким к реальному значению,

чем точнее удалось на графике понижения давления установить

положения характерных точек (наинизшей точки и точек пере

гиба), чем более однороден пласт и чем точнее допустимо

рассматривать кратковременный отбор жидкости из возмущающей

скважины как включение мгновенного точечного стока на пло

скости.

В дальнейшем будет доказано, что аналогичный метод определе

ния коллекторских свойств пласта по положению характерных точек

графиков понижения или восстановления пластового давления в ре

агирующих скважинах справедлив и в иных условиях. Например, тогда,

когда возмущающая скважина останавливается после длительного

срока установившегося отбора или пускается в эксплуатацию с по

стоянным или переменным дебитом, т.е. когда при гидродинамическом

анализе процесса перераспределения давления приходится пользо

ваться понятием непрерывно действующего, а не мгновенного стока

или источника.

§ 4. Дополнительные характеристики потока

В предыдущем параграфе исследовалась зависимость давления

как от времени, так и от координаты, что характеризовало процесс

перераспределения давления и картину распределения давления

(в каждый момент времени) в одномерном фильтрационном потоке

к мгновенному стоку.

Для более полной характеристики потока важно определить

расход жидкости Q| в любой момент через любое сечение

5= const фильтрационного потока, совпадающего с изобарой, а

также объем V ^ жидкости, которая перетекла через это сечение

за период времени с начального момента до любого заданного.

Так как фильтрационный поток, вызванный действием мгновен

ного стока или источника, будет неустановившимся, то каждая

из величин и V ^ будет функцией двух переменных —

координаты 5 и времени t.

В § 2 гл. 3 было введено обозначение Sa для площади

«поперечного» сечения потока в пространстве ( а + 1 ) измерений;

во всех точках этого сечения 5 = const Величина Sa определялась

равенством (3.17). Умножая площадь поперечного сечения 5а