Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
Добывающая
^ скважина
Кровля
I пласта
Рис. 3.5а. Поток жидкости к добываю
щей скважине, едва вскрывшей продук
тивный пласт большой толщины
Точечный Непроницаемая
сток I граница
///////// ////////// / /
Рис. 3.56. Сечение сферического ради
ального потока жидкости к точечному
стоку в полупространстве
Плоский, прямолинейный и
точечный стоки-источники в
пространстве являются простей
шими стоками-источниками; их
включение вызывает соответст
венно прямолинейно-параллель
ный, плоско-радиальный и сфе
рический радиальный потоки.
Представление о стоках и
источниках впервые было введе
но в математическую физику
У. Томсоном (лордом Кельви
ном) [966]; им, а затем Рэлеем
(лордом Стрэттом) [944] были
рассмотрены поля, вызванные
работой мгновенных и непре
рывно действующих точечных,
линейных, поверхностных и объ
емных стоков и источников*.
Для перехода от мгновенных
стоков и источников к непре
рывно действующим и для пе
рехода от точечных стоков и
источников к линейным, повер
хностным и объемным Томсон и
Рэлей использовали интеграцию
решений соответственно либо
по времени, либо по координа
там. В § 7 гл. 1 уже упомина
лось, что соответствующий ме
тод в монографии Карслоу и
Егера [350] весьма удачно на
зван «методом интегрирования
стокообразных решений».
С помощью теории источни
ков-стоков и метода интегриро
вания стокообразных решений в
данной книге решены многие но
вые задачи (или обобщены преж
ние решения).
*
У. Томсон указывает [966], что понятия о стоках и источниках были впервые
использованы в его исследованиях в 1850 г., но эти исследования были им опубли
кованы лишь через 30 лет.
Т.к. многие важнейшие задачи технологии добычи нефти и
газа и динамики подземных вод удается решать на основе
изучения простейших одномерных потоков, а следовательно, и
с помощью теории стоков и источников, то, используя именно
эту теорию, уместно начать исследование неустановившихся
процессов с интегрирования уравнений пьезопроводности, выве
денных в первых двух главах.
В данной главе проводится исследование неустановившегося
одномерного фильтрационного потока, вызванного пуском лишь
мгновенно действовавшего стока или источника.
§ 2. Фундаментальные решения и их физический смысл
Логичнее всего было бы сначала найти решение дифференци
ального уравнения пьезопроводности применительно к одному
мгновенному точечному стоку в пространстве одного, двух, трех и
любого большего числа измерений. Однако, исходя из желания
сделать изложение более доступным для неспециалистов в области
математики, проще поступить по-другому: задаться фундаменталь
ными решениями и доказать, что они удовлетворяют дифферен
циальным уравнениям пьезопроводности*.
Итак, зададимся следующими выражениями для давления,
которые могут быть названы фундаментальными решениями диф
ференциальных уравнений пьезопроводности (2.5), (2.12) и (2.16)
для пространства одного, двух и трех измерений:
„ 1 .- й (3.1)
p = 4t '
1 -Й (3-2)
Р ~ t 6
I (3.3)
p= 7VTe •
Здесь следует сделать оговорку: формулы (3.1)— (3.3) в
математической физике иногда называют решениями Лапласа, а
В § 4 гл. 6 указывается, что рассматриваемые в данном параграфе задачи яв
ляются автомодельными. Приводимые без доказательства в данном параграфе фун
даментальные решения получают в § 4 гл. 6 строгий вывод. Кроме того,
фундаментальные решения получаются еще и с помощью операционного исчисления
в гл. 9.
иногда решениями Фурье. Неверны и то и другое названия. Решения
(3.2) и (3.3) вообще не были известны ни Лапласу, ни Фурье. На
то, что решение (3.1) было получено Лапласом, указывает сам
Фурье на стр. 414 своей монографии [836]: «В то время, когда в
1807 году я занимался теорией теплоты, этот интеграл еще не был
известен. В такой форме интеграл дифференциального уравнения
впервые был получен Лапласом в его мемуаре» [896].
Фундаментальное решение (3.3) впервые было получено (для
сферического радиального теплового потока к точечному стоку в
пространстве) Томсоном в 1850 г., но опубликовано им лишь в
1884 г. [966].
Фундаментальное решение (3.2) впервые было получено в 1911 г.
Рэлеем [944] при исследовании им теплового плоско-радиального
потока.
Тот факт, что перечисленные ученые (Лаплас, Фурье, Томсон,
Рэлей) решали уравнения температуропроводности, а не пьезопро
водности, не столь существенен; в § 6 гл. 1 было показано, что
упомянутые уравнения математически идентичны, а потому их
решения должны быть совершенно одинаковы.
Дифференцируя равенства (3.1)— (3.3) по координатам и вре
мени и подставляя производные в перечисленные выше уравнения
пьезопроводности, нетрудно убедиться в том, что эти уравнения
обращаются в тождества; следовательно, равенства (3.1)—(3.3)
действительно соответствуют решениям уравнений пьезопроводно
сти. Такого рода проверка будет проведена несколько ниже
(см. равенства (3.7)— (3.9), но для более общего решения, вклю
чающего решения (3.1)— (3.3) как частные случаи.
Сопоставление равенств (3.1)— (3.3) между собой указывает
на то, что они имеют некую единую структуру, т.е. могут быть
записаны в единой форме, справедливой для пространств не
только одного, двух и трех измерений, но и любого числа
измерений. Прежде чем провести такое обобщение, введем в
рассмотрение величину понижения давления Ар, которой часто
приходится пользоваться:
АР = Р о-Р . (3.4)
где ро — начальное давление (при t = 0) в какой-либо точке филь
трационного потока, р — текущее давление в любой момент t в той
же точке.
Если положить, что Pq одинаково для всех точек, т.е. считать
поле давлений в начальный момент времени невозмущенным, то
в дифференциальном уравнении пьезопроводности величину р
можно, конечно, заменить на Ар*. В таком случае уравнение
пьезопроводности (2.17) для простейшего одномерного потока в
пространстве ( а + 1 ) измерений примет вид:
а дАр__]_дАр_
Э£2 | Э§ к dt ’ ’ ’ ’ (3.5)
0<£<оо, t> 0.
Для уравнения пьезопроводности (3.5) фундаментальные реше
ния (3.1)— (3.3) можно обобщить и представить в следующей единой
форме:
= а = 0,1,2,3
.......
(3'6>
t 2
В отличие от равенств (3.1)— (3.3) в равенство (3.6) введен посто
янный множитель Dui по величине и размерности зависящий от зна
чения а. Это сделано для большей общности последующего анализа
Заметим, что Da> 0, если Ар>0, т.е. когда текущее давление
в любой точке поля ниже начального давления. Da < 0, если,
наоборот, Лр<0, т.е. когда текущее давление выше начального —
так бывает при закачке жидкости в пласт.
Полагая в равенстве (3.6) величину а, равной 0 или 1, или 2,
получим соответственно (с точностью до постоянного множителя
Da) фундаментальные решения (3.1)— (3.3).
Физический смысл множителя Da будет определен дальше.
Продифференцируем равенство (3.6) по времени t и координате
(3-7)
dt ' " “ 4к( 2 ' е ’
V J
J L f -ТГ е“!з (3-8)
dl - 2к е ’
*
Замену р на Ар можно провести в уравнении пьезопроводности и в более общем
случае, когда начальное давление ро не есть величина, одинаковая во всех точках
поля, а является функцией единственной координаты причем эта функция удов
летворяет соответствующему уравнению пьезопроводности, т.е. в начальный момент
времени распределение давления такое же, какое было бы в условиях установивше
гося поля.
Легко проверить, что если выражения производных из равенств
(3.7)— (3.9) подставить в уравнение пьезопроводности (3.5), то оно
обратится в тождество; следовательно, равенство (3.6) действи
тельно определяет решение уравнения пьезопроводности.
Заметим, что равенства (3.6)— (3.9) имеют смысл при любых
значениях t и за исключением единственного случая, когда обе
эти величины вместе равны нулю, т.е. в начальный момент времени
в начале координат.
Следует учитывать, что решение дифференциального уравнения
(3.5) находится для любого момента и для любой точки поля, за
исключением особой точки при ^ = 0 в момент t = 0; это отражено
в дополнительных записях к уравнению (3.5) по поводу возможных
значений £, и t.
Известно, что при t —> °о одночленная степенная функция вида
f растет медленнее, чем экспоненциальная функция е , где п и
В — любые положительны^ числа Поэтому при t —> 0 величина
Гп растет медленнее, чем ет , т.е.
т.е. понижение давления и скорость понижения давления, равны
нулю при t = 0 при всех значениях за исключением ^ = 0.
Следовательно, фундаментальное решение (3.6) соответствует
неустановившемуся процессу в поле давлений, которое в начальный
момент было невозмущенным во всех точках, кроме начала
координат. Как уже упоминалось, в начальный момент начало
координат является особой точкой поля давлений.
Полагая в (3.6) ^ = 0, получим:
1
(ЗЛО)
Учитывая равенство (3.10), можно утверждать, что Ар и
(3.11)
t 2
Формула (3.11) позволяет утверждать, что с уменьшением
времени величина ( Ар ) ^ понижения давления в начале координат
неограниченно возрастает по гиперболическому закону; это возра
стание тем интенсивнее, чем больше число а.
По закону Дарси (см. формулы (1.15) и (1.16) имеем:
ц. Э| ’
к др к дАр
(3.12)
где V| — проекция скорости фильтрации на ось | . Так как рассмат
риваемый одномерный фильтрационный поток прямолинейный, при
чем р зависит только от | , то скорость фильтрации проектируется
на ось ^ в натуральную величину. Подставим выражение производ
ной из равенства (3.8) в (3.12), учитывая соотношение (1.41):
Судя по формуле (3.13), в любом изучаемом одномерном потоке
(т.е. при любом значении а) вектор скорости фильтрации направлен
к началу координат, если Da> 0, т.е. если текущее давление ниже
начального; если D a< 0, то вектор скорости фильтрации направлен
от начала координат. Кроме того,
Подсчитаем элементарное количество жидкости ^Уж» которое
извлекается из элемента объема dV пласта при снижении в нем
давления на величину Ар к моменту t. Для этого используем
формулу (1.34), которую прим'енительно к только что оговоренным
условиям и обозначениям перепишем так:
Интегрируя равенство (3.15) по всему объему пласта V , найдем
полный объем У ж жидкости, который извлекается из пласта (как
упругий запас) к моменту t:
Так как рассматривается прямолинейный поток жидкости в
пласте, то элемент объема пласта dV удобно выразить равенством
V| = 0 при % = 0, t > 0. (3.14)
d V x = FApd V .
(3.15)
(3.16)
dV=Sad l,
в котором через 5а обозначена площадь такого сечения, во всех точ
ках которого £ = const. Будем называть величину Sa площадью по
перечного сечения одномерного прямолинейного потока в простран
стве ( а + 1) измерений.
Очевидно, что в пространстве одного, двух или трех измерений
(т.е. при а = 0, 1, 2) рассматриваемое сечение будет соответственно
плоским, цилиндрическим и сферическим. Учитывая это, положим,
что
Sa = 2aAa%a (3.17)
и, следовательно,
dV = Sadt, = 2aAat « d l , (3.18)
где Ла — постоянная величина, значение и размерность которой за
висят от а ;
соответственно иметь:
t а+1
V = 2 a А а — 7 •
аа + 1
(3.18а)
одного, двух и трех измерений будем
Sb
о
II
*
(3.19)
•8
и
(3.20)
к
п
(N
(3.21)
В равенстве (3.19) через а обозначена площадь поперечного
сечения прямолинейно-параллельного потока. Так как приток к
плоскости ^ = 0 может быть с двух сторон, то в правую часть
равенства входит коэффициент 2. Введя этот коэффициент, будем
в дальнейшем считать, что величина | изменяется в условиях
прямолинейно-параллельного потока не от -оо до +<», а так же,
как и в остальных простейших одномерных потоках (плоско-ради
альном, сферическом радиальном), т.е. от 0 до + «>.
В равенстве (3.20) буквой «&» обозначена толщина пласта
(раньше употреблялся термин «мощность пласта») в условиях
плоско-радиального потока.
Учитывая соотношения (3.6) и (3.18), из равенства (3.16) получим,
считая пласт неограниченным, т.е. выполняя интеграцию по ^ во
всем диапазоне изменения этой координаты:
(322)
о
Интеграл в равенстве (3.22) может быть выражен через
гамма-функцию (см.§ 1 П.). На основании формулы (П. 1) получим*:
°r -It i l4<l
/ 1 + а Л
(3.23)
где Г — символ гамма-функции.
Учитывая равенство (3.23), перепишем формулу (3.22):
1+а /1
V ^ 2 ^ A a D a ^ K ~ ^ T [ 1 + а
(3.24)
Время t не входит в правую часть равенства (3.24). Следовательно,
количество жидкости V ^ извлеченное к моменту t из всего неогра
ниченного объема пласта, оказывается, во-первых, величиной, не за
висящей от времени t, и, во-вторых, величиной конечной.
Как можно объяснить этот результат?
Вспомним, что во всем поле давлений одномерного потока особая
точка была только в начале координат, причем именно в начальный
момент. Так как при t > 0 скорость фильтрации в этой точке ( ^ = 0 )
равна нулю, то в любой момент времени, кроме t = 0, жидкость из
пласта нигде не извлекается. Следовательно, определенный выше
конечный объем жидкости V ж мог быть извлечен из пласта только
*
Напоминаем, что буквой П, поставленной рядом с номером формулы, рисунка
и параграфа, указывается, что все они приведены в Приложении в конце данной
книги.
мгновенно, в начальный момент, причем только из особой точки пласта
(из стока) в начале координат.
Если бы текущее пластовое давление было больше начального,
т.е. р >р0, Ар < 0, то равенства (3.15), (3.16), (3.18), (3.22), (3.24) опре
деляли бы объемы жидкости, не извлеченные из пласта (из фильт
рационного потока), а наоборот, поглощенные пластом при повыше
нии в нем давления за счет мгновенной закачки (инжекции) жидкости
в особой точке (в источнике). В этом случае (при Др < 0) перед правыми
частями перечисленных равенств надо было бы поставить знак минус.
Таким образом, фундаментальное решение (3.6) характеризует
поле давления одномерного потока при включении на одно
мгновение точечного стока или источника в начале координат
в пространстве ( а + 1 ) измерений. Сток или источник, который
действует лишь одно мгновение и из которого извлекается (или
через него инжектируется) за это мгновение конечное количество
жидкости, называется «мгновенным стоком» или «мгновенным
источником». В момент включения мгновенного точечного стока
(источника) давление в этой точке мгновенно снижается (повы
шается) на бесконечно большую величину.
Конечно, представление о мгновенном точечном стоке-источнике
является итогом абстракции. Однако это абстрактное представление
тем лучше характеризует неустановившееся поле давлений в реальном
пласте, чем меньше радиус добывающей (или нагнетательной) сква
жины и чем меньше промежуток времени, за который из этой скважины
произошло кратковременное извлечение (или кратковременная ин-
жекция) какого-то конечного количества жидкости.
Выше говорилось об особой точке и мгновенном точечном стоке
(или источнике) в начале координат в пространстве одного, двух и
трех измерений, т.е. при а = 0, 1,2. Имелась в виду особая точка при
% - 0 соответственно на прямой, на плоскости и в пространстве. Как
указывалось выше, могут быть и иные интерпретации. Именно при
а = 0, но в условиях пространственной задачи для прямолинейно
параллельного потока, фундаментальное решение (3.6) соответствует
мгновенному плоскому стоку или источнику при 5 = 0 (т.е. стокам или
источникам, равномерно распределенным на неограниченной плоско
сти). При том же значении а = 0 в условиях плоской задачи для
прямолинейно-параллельного потока следовало бы говорить о мгно
венном неограниченном прямолинейном стоке (или источнике) на
плоскости.
В условиях пространственной задачи при а = 1, т.е. в условиях
прямолинейно-осесимметричного потока, фундаментальное реше
ние (3.6) характеризует мгновенный неограниченный прямолиней
ный сток или источник в пространстве.
Возникает естественный вопрос: как можно представить себе
фильтрационный поток, вызванный именно мгновенным стоком —
например мгновенным прямолинейным стоком в пространстве?
Для ответа на этот вопрос предположим, что в простаивающую
гидродинамически совершенную скважину спущен под уровень
жидкости сваб (особый поршень для откачки жидкости). В какой-то
момент времени сваб быстро, рывком, поднимают на конечную
высоту. Из пласта в скважину при подъеме сваба быстро извлекается
какое-то количество жидкости. Чем короче промежуток времени,
за который был осуществлен подъем сваба, тем более допустимо
считать, что в момент начала подъема сваба в пласте подействовал
мгновенный прямолинейный сток, расположенный вдоль оси
скважины.
Если простаивала фонтанная скважина, то вместо процесса
свабирования можно вообразить, что на очень малый промежуток
времени фонтанная задвижка на устье скважины была открыта, а
затем быстро закрыта. Кратковременное открытие фонтанной
задвижки обеспечило кратковременный же выброс некоторого
количества жидкости из пласта в скважину. Вызванный этим
выбросом неустановившийся процесс перераспределения давления
в пласте приближенно можно опять интерпретировать как процесс,
вызванный действием мгновенного прямолинейного стока, распо
ложенного вдоль оси гидродинамически совершенной скважины.
Определим из (3.24) величину D a , памятуя сделанное выше
замечание об изменении знака правой части этого равенства при
условии Ар <0 :
Подставив найденное выражение D a из (3.25) в (3.26), перепишем
фундаментальное решение для уравнения пьезопроводности в
пространстве ( а + 1 ) измерений в следующей форме:
\ У
(3.25)
Ар = ±
(3.26)
\ //