Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 2.5а. Точка наблюдения Р и от

резки координатных линий в системе

криволинейных координат q\,Q2tqrf

единичные векторы касательных

11, т i, т J в той же точке

Рис. 2.5б. Точка наблюдения Р нахо

дится в центре элементарного криво

линейного параллелепипеда с длинами

ребер ds\t ds% ds$

натами q \ , q причем на рис. 2.5а изображены отрезки

координатных линий вблизи точки Р и единичные векторы

*! > 1

, т з касательных к ним в той же точке. На рис. 2.56

изображен элементарный криволинейный параллелепипед, огра

ниченный поверхностями, на каждой из которых постоянно

соответственно одно из следующих значений координат:

9i±^d9 1

Точка Р находится в центре криволинейного параллелепипеда.

Длины его ребер обозначены через ds\, ds2y ds3. Вдоль ребра длины

dsi изменяется величина координаты qx (т.е.координаты с тем же

индексом), где i = 1, 2, 3.

Из дифференциальной геометрии известно следующее выра

жение в декартовых координатах для элемента дуги ds:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2. (2 23)

Учитывая, что вдоль любого изображенного на рис. 2.56

элемента дуги ds, меняется только одна криволинейная координата

qt с тем же индексом, и принимая во внимание соотношения (2.22),

вместо равенства (2.23), получим:

Коэффициентами Ламе Ht, Н2, Н3 называются величины,

определяемые равенствами:

а?,

\ У

а?,-

V У

(2.25)

На основании последнего определения из равенства (2.24)

получим:

ds i = H jdq i, /=1,2,3.

(2.26)

Рассмотрим сечение элементарного параллелепипеда поверхно

стью, определяемой уравнением qt - const (ее можно назвать

поверхностью уровня координаты qt)y причем сечение проведем

через центр Р. Площадь этого сечения на основании равенства

(2.26) определится так:

ds ids $ = Н г Н $dq idq ъ . (2.27)

Массовый расход жидкости через рассматриваемое сечение

будет равен (с точностью до малых высшего порядка):

pv \Н 2 ^ 2 dq2 dq^ 1 (2.28)

где р — плотность жидкости в центре параллелепипеда Л vi —

проекция на направление вектора т | скорости фильтрации в том же

центре, т.е. проекция на направление касательной к координатной

линии <

Применяя те же рассуждения, что и в § 2 главы 1, найдем,

пользуясь выражением (2.28), уменьшение массы жидкости в

элементарном параллелепипеде за время dt за счет разности

расходов через II и I грани параллелепипеда, совпадающие с

поверхностями уровня координаты qx:

Э ( pv 1#2# 3 ) , , . ,f

-------

dqt dq2 dq3 dt.

(2.2 9)

Полное уменьшение массы жидкости в параллелепипеде за

время Л за счет расходов через все 6 его граней будет, очевидно,

таково (с точностью до малых высшего порядка):

Э ( pv\Н2Н3 ) Э ( ру2ЯзЯ!) Э ( рУэР\Н2 )

dq | а^2 Э<?з

(2.30)

где v2 и v3 — проекции скорости фильтрации в центре Р на направ

ления векторов х 1 и х \ *

Объем рассматриваемого элементарного параллелепипеда равен:

ds \ds 7<is з = Н\ Н2Щ dq\ dq2dq3. (2.31)

Увеличение массы жидкости за время dt за счет изменения ее

плотности во всем объеме элементарного параллелепипеда опре

делится так же, как были получены выражения (1.7) и (1.8):

я, #2 Я3 dq, dq2 dq3 dt, (2.32)

где m — значение пористости в центре Р.

Приравнивая с противоположными знаками выражения (2.30) и

(2.32) и сокращая их на общие множители, получаем уравнение

неразрывности в криволинейных координатах:

Э (ру,Я2Я3) | Э (ру2ЯзЯ1) t Э (р^Щ

3(7) dq 2 Э(?з

_ _ Э (тр) (2.33)

dt '

Учитывая равенства (2.26), закон Дарси в проекциях на

касательные к координатным линиям можно записать в следующей

форме:

v = _ * ie .=_ j L i L t = 1

2 3

* fids, м ы 1,АЗ-

Подставим значение v,* из (2.34) в (2.33), считая к и ц постоянными

величинами:

к 1 ' э

Г Я з Я з _ Э ^

Г Я з Я , Ъ п \

ц Я , Я 2Я 3

Э <?1

Я , р э 9 ,

ч J

+ э ^ 2

Н г Р Э ? 2

V /

&1з

Я,Я2 А

(2.35)

Э(тр)

Эг

Из уравнений состояния (1.22) и (1.23) жидкости и пористой

среды получим следующие вспомогательные равенства, вполне

аналогичные (1.31)— (1.33):

о^~ - i - 1 2 3

РЭ*, РжЭ?,-' 1>2’ 3,

Эт „ » Рс Эр

ЭГ ~ Рс Э< ~ р ж Эг ‘

(2.36)

(2.37)

На основании равенств (2.36), (2.37) и (1.41) из (2.33) получим:

' Э ГЯгЯз Эр]

ГЯзЯ, Эр Л

(2.38)

Я^гЯз

Эдц Н\ дд.

+ Э<?2

я 2 Ъя2

Э ГЯ|Я2 Эр

Э?3 Я 3 Э<7з

а г ’

откуда с учетом линейной зависимости (1.27) между плотностью р

и давлением р получим дифференциальное уравнение пьезопровод

ности в криволинейных координатах:

r H J l

f Я з Я , э П

d q i

^ я , a g ,

+ * 1 2

H 2 d q 2

\ J

дд3

Я,Я2 др

Я 3 dq3

J lL

д t '

Уравнение (2.39) обладает большой общностью, и на его оснопе

можно сделать много интересных выводов.

Пример 1. Рассмотрим прямоугольную декартову систему ко

ординат xy,z. Положим, что

Я\=х, q2=y, <7з = 2, (2.40)

но тогда, использовав формулу (2.25) для определения коэффици

ентов Ламе, найдем:

Я, = Нг - Я 3 = 1. (2.41)

Из уравнения (2.39), учитывая (2.40) и (2.41), сразу получаем

дифференциальное уравнение пьезопроводности в декартовых

координатах:

+ = <2-42)

а *2 Ьуг dz2 Kdt'

совпадающее с (1.43).

Итак, вывод уравнения (2.42) из (2.39) не представляет никаких

затруднений. Наоборот, применение метода Ламе, т.е. вывод

уравнения (2.39) из (2.42), приводит, как выше уже упоминалось,

к весьма трудоемким выкладкам.

Пример 2. Будем определять положение произвольной точки

Р с помощью системы сферических координат г, <р, 8 (см. рис. 2.4).

Примем

<?!=/-, <?2 = ф, 9з = б- (2.43)

Декартовы и сферические координаты одной и той же точки

Р связаны соотношениями (2.13). Пользуясь этими соотношениями

(2.13), равенствами (2.43) и (2.25), найдем коэффициенты Ламе для

системы сферических координат:

Н [ = V sin 20cos 2ф + sin ^sin 2<p + cos ^ - 1,

H 2 = V r 2sin ^sin 2ф + r 2sin 20cos 2ф = rsin0,

Я з = V r

2cos ^cos 2ф + г 2cos ^sin 2ф + r ^in ^ = r .

Учтя равенства (2.43) и (2.44), перепишем дифференциальное

уравнение пьезопроводности (2.39) применительно к системе

сферических координат:

•Чтв

sinO^r

дг

Ъ2р э

Эг

+ sme э<р2 + эе

sm Эе dt'

(2.45)

Если давление р не зависит от координат ф и 9, т.е. если

поток сферический радиальный, то уравнение (2.45) вырождается

в (2.16).

Пример 3. Для системы цилиндрических координат г, <р, z

(см.рис. 2.3) примем:

q\=r, Чг = <Р, Qs = z.

(2.46)

Пользуясь формулами (1.3) преобразования координат, находим

коэффициенты Ламе для системы цилиндрических координат,

учитывая равенства (2.46) и (2.25):

H i - V cos 2ф + sin 2ф = 1,

Н 2 = Vr^sinV+/-2cos2<p =r,

(2.47)

Используя найденные значения коэффициентов Ламе и соот

ношения (2.46) из (2.39), получим дифференциальное уравнение

пьезопроводности в цилиндрических координатах:

Эг Эг г Эф2 dz2

(2.48)

Если давление р не зависит от координат <)> и z, как это имеет

место в случае прямолинейно-осесимметричного (плоско-радиаль

ного) потока, то уравнение (2.48) вырождается в ранее выведенное

(2.12).

В заключение отметим, что успех решения многих задач

математической физики, и в частности подземной гидродинамики,

существенно зависит от удачного (наиболее соответствующего

условиям задачи) выбора системы координат. На это обстоятельство

особое внимание обратил еще Ламе [895]. Было бы, например,

неразумно использовать декартовы координаты при исследовании

потока с осевой или центральной симметрией. Выбор соответст

венно цилиндрических или сферических координат при решении

только что упомянутых задач значительно упрощает исходные

дифференциальные уравнения и последующие выкладки при их

решении.

Глава 3

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ПЬЕЗОПРОВОДНОСТИ К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОТОКОВ,

ВЫЗВАННЫХ ВКЛЮЧЕНИЕМ МГНОВЕННЫХ ПРОСТЕЙШИХ СТОКОВ

ИЛИ ИСТОЧНИКОВ

§ 1. Обоснование использования представлений о простейших

стоках и источниках при изучении одномерных потоков

В подземной гидродинамике фильтрационные потоки, вызванные

работой добывающих (эксплуатационных) или нагнетательных

скважин, во многих случаях схематизируют и заменяют более

простыми потоками к стокам или от источников. Представления о

стоках и источниках в подземной гидродинамике более наглядны

и близки к тому, что называют стоками и источниками в обыденной

жизни, чем те же представления в других областях математической

физики. Действительно, в обыденной жизни стоками и источниками

на поверхности земли называют как раз те места, куда жидкость

стекает или откуда она появляется из недр земли.

Те особые точки фильтрационных потоков, к которым линии

токов сходятся или из которых они расходятся, рассматривают

соответственно как точечные стоки или источники. Линейными и

поверхностными называют стоки и источники, непрерывно распре

деленные вдоль линий или на поверхностях.

Во многих задачах технологии добычи нефти и газа и

гидрогеологии радиусы добывающих и нагнетательных скважин

можно считать пренебрежимо малыми не только по сравнению с

размерами (протяжением) продуктивных пластов по их простиранию,

но даже в сотни и тысячи раз меньшими расстояний между

соседними скважинами. Кроме того, в большинстве практически

интересных задач толщина (мощность) продуктивного пласта

превосходит радиусы скважин по крайней мере в десятки раз, а

часто в сто раз и более. Поэтому, например, при изучении

распределения давления или процесса перераспределения давления

во всем пласте (за исключением самой ближайшей окрестности

скважин) оказывается вполне допустимым представлять отдельные

добывающие скважины в условиях плоских задач как точечные

стоки на плоскости, а в условиях пространственных задач — как

линейные стоки, расположенные вдоль осей скважин. Аналогично

и нагнетательные скважины заменяют точечными (на плоскости)

или линейными (в пространстве) источниками.

Рассмотрим пример вполне обоснованной замены скважины

линейным или точечным стоком. На рис. 3.1 изображен вертикаль

ный разрез фильтрационного потока к добывающей вертикальной

гидродинамически совершенной скважине, вскрывшей горизонталь

но залегающий однородный пласт с непроницаемыми кровлей и

подошвой. В этих условиях поток жидкости к скважине будет

прямолинейно-осесимметричным и в каждом горизонтальном сече

нии плоско-радиальным. Конечно, с полным основанием можно

интерпретировать такой поток как поток к прямолинейному стоку,

расположенному вдоль оси скважины. Соответствующий поток уже

был рассмотрен в § 1 гл. 2 и изображен там на рис. 2.2.

Батарею добывающих или нагнетательных скважин часто

мысленно (при гидродинамических расчетах) заменяют галереей —

см. соответственно вид в плане на рис. 3.2 и 3.3. Дебит галереи

берут равным суммарному дебиту всех скважин батареи. Чем ближе

расположены скважины друг к другу и чем они равнодебитнее,

тем точнее замена батареи скважин галереей. Стенка прямолиней

ной добывающей галереи в однородном пласте служит плоским

двусторонним стоком, а в случае нагнетательной галереи —

двусторонним источником.

Если поток в пласте плоскопараллельный, то можно ограни

читься рассмотрением лишь одной из плоскостей течения, парал

лельной кровле и подошве пласта; сечение галереи упомянутой

плоскостью (например, линия АВ на рис. 3.3) будет в этих условиях

представлять собой линейный сток на плоскости. В столь простых

условиях задача сводится по существу к двустороннему притоку

Кровля пласта

S.4XA// /

Добывающая скважина

С/ / / /-У / S /,/,//Л

7//////

Подошва пласта

Рис. 3.1. Поток жидкости к гидродинамически

совершенной скважине

к точечному стоку, рас

положенному на любой

из параллельных пря

молинейных траекторий

(рис. 3.4).

Предположим, что

добывающая (или нагне

тательная) скважина ед

ва вскрыла однородный

продуктивный пласт не

посредственно у его

кровли, причем толщина

пласта очень велика

(рис. 3.5а). При многих

расчетах скважину в

этом случае допустимо

представлять точечным стоком (или

источником), помещенным на кровле

пласта (рис. 3.56).

На основании только что при

веденных объяснений каждый из

рассмотренных в гл. 2 трех про

стейших одномерных потоков допу

скает такие, например, интерпрета

ции (в связи с потоками к стокам

или от источников), которые ниже

описываются.

Прямолинейно-параллельный

поток. Это поток к неограничен

ному плоскому стоку в неограни

ченном пространстве либо поток к

неограниченному прямолинейному

стоку на неограниченной плоско

сти, либо поток к точечному стоку

на неограниченной линии, т.е. в

пространстве одного измерения.

Плоско-радиальный поток.

Это поток (прямолинейно-осе-

симметричный) к неограниченному

прямолинейному стоку в неогра

ниченном пространстве либо по

ток к точечному стоку на неогра

ниченной плоскости, т.е. в про

странстве двух измерений. ‘

Сферический радиальный по

ток. Это поток к точечному стоку

в неограниченном пространстве.

Выше перечислены простейшие

интерпретации каждого из трех

простейших одномерных потоков;

однако эти интерпретации не един

ственные. Например, плоско-ради-

альный поток может быть вызван

однородным поверхностным цилин

дрическим стоком или источником

неограниченной длины; сфериче

ский радиальный поток может

быть вызван однородным поверхност

ным сферическим стоком или источ

ником и т.п.

° А

о в

Рис. 3.2. Прямолинейная батарея

скважин

1 W

4 X

Рис. 3.3. Прямолинейно-параллель-

ный поток жидкости к прямолиней

ной галерее

Точечный сток

Рис. 3.4. Поток жидкости к точеч

ному стоку, расположенному на

любой из параллельных прямоли

нейных траекторий