Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
Если бы вместо источников внутри элементарного параллеле
пипеда были стоки, поглощающие массу с производительностью
q'ci то полное уменьшение массы жидкости определялось бы вместо
(1/78) следующим выражением:
Э(ру*) Э(руу) d (p v2) П у9)
Эх Эу dz +Qc‘
Учитывая закон сохранения массы и предположение о сплош
ности потока, приравниваем друг к другу с противоположными
знаками величины (1.78) и (1.9), получаем уравнение неразрывности
при наличии источников:
d_(рух) Э(pvу) Э(pvг ) Э (рт ) (1.80)
Ас Эу dz Qu~ dt ■
При наличии стоков (вместо источников) получим вполне
аналогичное уравнение неразрывности:
Э(рул) Э(рУу) Э(руг) _ Э(рт) (
1
.
81
)
дх Эу dz q с~ dt •
Для простоты обозначений условимся в дальнейшем пропускать
индексы «м», «с» около буквы q т.е. массовую производительность
и источников и стоков будем обозначать одним и тем же символом
q Тогда уравнения неразрывности (1.80) и (1.81) можно переписать
так:
Э(рУл) Э(рУу) Э (pv ^) _ Э(рт) (1.82)
Эх Эу dz ~ dt ’
причем будем помнить, что верхний знак перед величиной qf соот
ветствует стокам, а нижний знак — источникам.
С помощью обозначений векторного анализа уравнение нераз
рывности (1.82) записывается короче:
d i v ( p v )± g '- ~ ^ ^ n^.
(1.83)
Уравнения неразрывности в форме (1.82) или (1.83), учитыва
ющие наличие в фильтрационном поле стоков и источников,
заменяют прежние, менее общие уравнения неразрывности (1.10)
и (1.11), отличаясь от них одним слагаемым ±#.
Рассуждаем далее точно так же, как и в начале § 5, т.е.
синтезируем (объединяем) уравнение неразрывности (1.82), три
динамических уравнения (1.16) и два уравнения состояния (1.22) и
(1.23). В итоге вместо равенства (1.38) получаем следующее
равенство, отличающееся от него также только одним слагаемым:
‘ f e * & + a i J =(m|Si+fu| ± M , (,.84,
f i [ a x 2 + Э у 2 + Э г 2 +
Переходя от р к р с учетом приближенной линейной зависимости
(1.27) между ними, приходим к уравнению пьезопроводности,
учитывающему наличие в фильтрационном поле непрерывно
распределенных стоков и источников:
V 2 , (1.85)
К dt fcpo
где, напоминаем, р 0 есть плотность жидкости при давлении ро. Кро
ме массовой производительности стоков или источников q\ можно
ввести величину q их объемной производительности, причем
q ' = Poq. (1*86)
Численно q равно объему жидкости (при давлении р0)>
исчезающему при наличии стоков или появляющемуся при наличии
источников за единицу времени в единице объема фильтрационного
поля. Пользуясь еще выражением (1.20) для динамического
коэффициента фильтрации, переписываем равенство (1.85):
° '87)
Дифференциальные уравнения пьезопроводности (1.85) и (1.87)
неоднородные, тогда как простейшее уравнение пьезопроводности
(1.45) было однородным.
Еще раз напомним, что верхние знаки около членов с двойными
знаками во всех формулах данного параграфа соответствуют стокам,
а нижние знаки — источникам.
Величина q, как и q ', вообще может быть функцией координат
точки х, у, z и времени L Однако в частном случае каждая из
величин q и q' может быть постоянной и одинаковой для всех
точек рассматриваемой области фильтрационного поля.
Размерности величин q и q' таковы:
Г ч - М
lq 1?Т' (1.88)
U 1 L3T т■
Если в какой-либо области фильтрационного поля нет источ
ников и стоков, то во всех точках этой области, очевидно, q = О
и ^' = 0 и уравнения (1.82) и (1.87) вырождаются соответственно
в уравнения (1.43) и (1.45).
Если фильтрационное поле состоит из двух областей, в первой
из которых имеются непрерывно распределенные стоки или
источники, а во второй области нет стоков и источников, то в
каждой из областей должно удовлетворяться свое уравнение
пьезопроводности, т.е. в I области — неоднородное уравнение
(1.87), а во второй — однородное уравнение (1.45). Конечно, на
границе I и II областей должны быть удовлетворены еще
соответствующие условия сопряжения, что в дальнейшем будет
пояснено на примере решения конкретных задач.
В последующих главах будут рассмотрены и такие случаи, когда
в фильтрационном поле имеются не непрерывно распределенные,
а дискретные точечные (или линейные или поверхностные) стоки
и источники. В таких случаях надо считать, что уравнение (1.45)
справедливо во всем поле, за исключением отдельных точек (или
линий, или поверхностей), в которых находятся стоки и источники.
Будет показано, что, имея решение задачи для поля с точечным
стоком или источником, возможно, пользуясь методом интегриро
вания (по координатам) стокообразных решений*, получить реше
ния задач с непрерывным распределением стоков или источников
вдоль линии, на поверхности или внутри какого-либо объема.
*
Название метода («метод интегрирования стокообразных решений») заимство
вано из монографии Карслоу и Егера [350].
Таким образом, возможно двумя способами получать решения
задач для области фильтрационного поля с непрерывным распре
делением стоков — источников: либо интегрируя уравнение типа
(1.87), либо используя метод интегрирования (по координатам)
стокообразных решений.
§ 8. Вывод основного дифференциального уравнения
теории упругого режима в более общей форме
Основное дифференциальное уравнение теории упругого ре
жима — уравнение пьезопроводности (1.44) или (1.45) — было
выведено в § 5 при самых простейших предположениях об условиях
состояния жидкости и пористой среды и при наиболее простой
форме закона фильтрации Дарси. В данном параграфе вывод и
окончательная форма основного дифференциального уравнения
будут несколько обобщены.
При выводе вновь будут синтезированы уравнение неразрывно
сти, динамические уравнения фильтрации и уравнения состояния
жидкости и пористой среды. Уравнение неразрывности (1.10)
останется тем же, а все остальные исходные уравнения будут взяты
в более общей форме, чем в § 3 и 4.
Пористую среду будем, как и раньше, считать изотропной, но
не будем предполагать ее однородной ни по пористости, ни по
проницаемости. Допустим, что пористость т и проницаемость к
являются явными функциями и координат, и давления*. Вязкость
и плотность жидкости также, пусть будут функциями давления.
Все эти функции предполагаем конечными дифференцируемыми,
но в остальном не связываем никакими ограничениями; деформация
пористой среды и жидкости может теперь не подчиняться закону
Гука и удовлетворять значительно более сложным зависимостям.
Процессы деформации считаются изотермическими; температуры
движущейся жидкости и пористой среды неизменны.
Итак, в рассматриваемых условиях:
k=fk(P,x,y,z), (1.89)
m = fm(p,x,y,z), (1.90)
*
В данной книге не рассматриваются другие факторы, могущие в некоторых ус
ловиях повлиять на изменения проницаемости и пористости; например, не рассмат
риваются явления суффозии, кольматажа, отложения на стенках поровых каналов
каких-либо веществ в процессе фильтрации жидкости и т.п.
Р=/ р О ),
(1.91)
Ц=/М(Р ), (1-92)
где/ь/т ,/р,/д — символы соответствующих упомянутых выше фун
кциональных зависимостей.
В динамических уравнениях будем учитывать не только повер
хностные силы давления и массовую силу сопротивления движению
жидкости в пористой среде, но и массовую силу тяжести, считая
поле силы тягжести однородным. Поэтому закон фильтрации Дарси
в обобщенной форме запишется так:
v~-~ (gradp + y j ), (1-93)
Н'
где v — вектор скорости фильтрации, / — единичный вектор оси
координат у, направленный по вертикали вверх, у — вес единицы
объема жидкости, g — ускорение силы тяжести, причем
7=fW- (194)
Остальные обозначения уже были пояснены.
На основании обобщенного закона Дарси (1.93) динамические урав
нения фильтрации в аналитической форме будут записываться так:
__
II дх’
vx = -
fc (1.95)
у IX Эу ц У’
к др
\l dz
Уравнения (1.95) и формула (1.93) отличаются соответственно от
уравнений (1.16) и формулы (1.17) не только тем, что добавилось
слагаемое, зависящее от силы тяжести, но и тем, что величины к и
ц считаются теперь переменными — см. равенства (1.89) и (1.92).
По поводу закона Дарси в обобщенной форме необходимо сделать
ряд замечаний. Именно этот закон записывается не всегда правильно.
Так, например, иногда закон Дарси записывается при движении жид
кости в неоднородной пористой среде в следующей форме:
Такая запись может привести к ошибкам. Действительно, пусть
р ~ const, pL~ const, но проницаемость к есть функция координат
точки х, у, z. Тогда из последнего равенства получается, что
т.е. v^O, чего не может быть, т.к. при р = const должно быть v = 0
в рассматриваемых условиях.
Встречается еще и такая форма записи закона Дарси:
И эта форма записи закона Дарси может привести к ошибочным
выводам, если равенство (1.97) используется для вывода диффе
ренциального уравнения движения сжимаемой жидкости и газа.
Ведь для газа и сжимаемой жидкости вес единицы объема у есть
величина переменная, зависящая от давления р и, следовательно,
меняющаяся и от точки к точке и с течением времени. Поэтому
равенство (1.97) справедливо лишь в частном случае несжимаемой
жидкости. Вносить величину у в равенство (1.93) под знак градиента,
т.е. пользоваться формулой (1.97) для сжимаемой жидкости, нельзя.
Подставим значения vx, v^, \г из (1.95) или значение v из (1.93)
в уравнение неразрывности (1.10) или (1.11):
(1.96)
(1.97)
или
div p^igradp + p g f ) = P ^ + m |^-
В равенствах (1.98) и (1.99) р, р, к, щ т суть неизвестные пере
менные величины. С помощью уравнений состояния (1.89)— (1.92)
выразим р,
к, через р. Тогда из (1.98) или из (1.99) получим:
Э_
Эх
/Р (р)
fk(P,x,y,z) Эр
/д(р)
Эу
^ Э I Jk(p,x,y,z)
+ “ W P)'
Л(Р)
% +s U<p )
э
+ dz
/р(Р)
fk(P,X,y,Z) Эр
Лс(р) 9z
=/р(р)
&m(P,X,y,Z)
dt
ч ЭГр (Р)
+/« (P.JC.y.Z)— .
Заметим, что, например,
_Э_
Эх
/р(Р)
fkip,x,y,z)
/и(Р)
j L
Эр
/р <Р)'
fk(p,x,y, Z)
/ц(Р)
Эх
/Р(р) Э/* (р.дс.у.г)
/м(Р)
Э>с
(1.100)
+
(1.101)
Аналогичные выражения можно получить и для производных
по другим координатам. Поэтому равенство (1.100) может быть
переписано так:
Уравнение (1.102) и есть более общее дифференциальное
уравнение теории упругого режима по сравнению с уравнением
(1.44) или (1.45). Уравнение (1.102) справедливо для фильтрации
в деформируемой пористой среде не только сжимаемой жидкости,
но и газа; оно представляет собой нелинейное дифференциальное
уравнение II порядка. Как будет показано дальше, уравнение (1.102)
является несколько более общим, чем аналогичное уравнение,
выведенное JI. С. Лейбензоном [411]*.
I частный случай. Допустим, что сжимаемая жидкость (или
газ) движется в недеформируемой, неоднородной изотропной
пористой среде, т.е. к и т не зависят от р. Это как раз, то
предположение, которое было положено Л. С. Лейбензоном в
основу выведенного им уравнения. При упомянутых условиях из
уравнения (1.100) получим:
Э_
obc
/ Р(р)
fk(x,y,z) Эр
/м(р) dx
ду
(р)
fk(x,y,z)
д
+ dz
fo(P)
fk(x,y,z)
/ц(Р)
✓ , Э/Р(р)
=fm(x,y,Z)
----
£
---
.
(1.103)
Уравнение (1.103) совпадает с уравнением (4.7) на стр. 75
монографии Л. С. Лейбензона [411].
II частный случай. Движение идеального газа в недеформи
руемой неоднородной изотропной пористой среде при изотерми
ческом процессе. Силой тяжести пренебрегаем. Согласно закону
Бойля-Мариотта:
р = ср,
(1.104)
где с = const.
На основании (1.104) заметим, что
р а*-сра*“ 2 а*
(1.105)
*
Уравнение (1.102) было выведено автором при чтении в 1962 г. в МИНХиГП
факультативного курса. Со ссылкой на автора слушатель этого курса Ш. А. Гаджиев
впервые опубликовал уравнение (1.102) в своих работах [152], [153]. Значительно по
зже аналогичные уравнения были опубликованы другими авторами, которые, очевид
но, не были знакомы с только что цитированными статьями Ш. А. Гаджи ева.
и аналогичные выражения получим для производных по двум другим
координатам. При этих условиях из равенства (1.100) получим:
_Э
etc
fk(x,y,z) д (р 2)
2^ (р ) дх
д
+ Эу
Л (Х,У, 2 )д (р г)
2U (P) Эу
(1.106)
э
+ dz
fk(x,y,z)d(p2)
Уц (р) dz
д/У
— тл - * ■
= т
Если дополнительно принять, что к = const и jx = const, то
уравнение (1.106) упростится и примет вид:
JL
2Ц
д 2ф 2) д 2(р 2) д 2(р2
дх2 ду2 dz2
др
~ m dt
(1.107)
или же
у2Г-2у Ш]1д (р 2) (1.108)
(Р ’ кр dt •
Уравнение (1.108) изотермического движения газа в пористой
среде впервые было выведено JI. С. Лейбензоном в 1923 году [412]
и воспроизведено под номером (6.20) в несколько иных обозначениях
в цитированной выше монографии [411].
Дифференциальное уравнение (1.107) нелинейное. Оно не имеет
непосредственного отношения к теории упругого режима, но в
дальнейшем на него придется ссылаться, т.к. будет показано, что
при приближенном решении, связанном с линеаризацией, уравнение
(1.108) сводится к уравнению типа пьезопроводности (1.45).
III частный случай. Движение однородной тяжелой упругой
жидкости в однородной и изотропной пористой среде.
Будем считать, что к = const, |i = const, а величины пористости
т и плотности жидкости р изменяются с изменением давления р,
причем справедливы уравнения состояния (1.22) и (1.23), т.е.
деформации пористой среды и жидкости подчиняются закону Гука.
При этих условиях из уравнения (1.100) получим, учитывая
зависимости (1.31) — (1.33):
к
HP;
Э ^ + Э ^ + Э ^ i£ i
2 + Л.2 + gz2 +« P
Эу
m +
Pc
Эе (i.io9)
dt
или
^(тРж + Рс)
V 2p+gP>
2Л
э ^
: Эу
= э е
dt'
(1.110)
Уравнение (1.110) является нелинейным. Однако легко доказать,
что это уравнение можно считать линейным с высокой степенью
точности. Действительно, во-первых, в § 5 для аналогичных условий
уже было доказано, что величину т в уравнении (1.110) допустимо
принимать постоянной и равной, например, ее начальному или
среднему начальному значению. Во-вторых, преобразуем и упростим
член с производной от квадрата плотности, учтя приближенную
зависимость (1.27):
8 Рж ^Эу""^ = 3£Ржр|^г 2&РоРж|^ + 3£РоРж(Р ~Ро)
Следовательно, пренебрегая слагаемым, содержащим величину
получаем:
h . . * £ L * p . 3 . * < U U )
где ро — постоянная величина плотности жидкости при начальном
или среднем начальном пластовом давлении. На основании равенств
(1.111) и (1.41) уравнение (1.110) примет вид:
Перейдем в уравнении (1.112) от р к р, вновь используя
приближенную линейную зависимость (1.27):
Уравнения (1.112) и (1.113) являются линейными дифференци
альными уравнениями. Уравнение (1.113) отличается от простейшего