Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
гидродинамике называют уравнение (1.44) уравнением диффузии,
а коэффициент к — коэффициентом диффузии. Конечно, такая
терминология не подходит для процессов перераспределения
давления, изучаемых в подземной гидродинамике, в связи с теорией
упругого режима
Поясним причины, побудившие ввести термины «пьезопровод
ность», «денсопроводность».
«Пьезо» — русское начертание греческого слова к i е £ о, что
в переводе означает «давить». Поэтому термин пьезопроводность
можно истолковать как «проводимость давления».
Начало — «денсо» — термина денсопроводность взято от
латинского слова densere — уплотнять; английское слово density
означает плотность.
Уравнение (1.43) характеризует закономерности процесса пере
распределения со временем плотности жидкости в условиях
нестационарной фильтрации.
Итак, анализируемые два термина хорошо отражают сущность
тех физических процессов, к которым они относятся. Однако, с
этимологической точки зрения, эти термины не совсем удачные,
так как в каждом из них русское слово (проводить, проводимость)
объединяется с иностранным (греческим или латинским). Впрочем,
такого рода словосочетания (объединение в одном термине слов
из разных языков) распространены в научной терминологии.
Сокращенно уравнение пьезопроводности (1.44) записывают
в следующей форме:
<Ы 5>
р к Э f
Символ V читается так: «набла»*. Оператор V2, т.е. «набла в
квадрате», называют лапласианом и определяют символическим
равенством:
V2 _ ll 2111 (1.46)
~дх2 ду2 dz2 '
Равенство (1.46) вполне определяет совокупность действий
(операций), которые надо произвести над функцией, перед которой
поставлен символ лапласиана.
★
Символ V введен Гамильтоном. Название «набла» этого символа происходит
от греческого слова v а Р X а , что означает «арфа». Происхождение названия объ
ясняется тем, что начертание символа V несколько напоминает форму арфы.
При анализе только что проведенного вывода уравнения (1.44)
или (1.45) могут возникнуть такие вопросы: почему из равенства
(1.36) или (1.37) сначала исключали величину р, т.е. выражали р
через р, пользуясь равенствами (1.30)—(1.33)? Почему, далее, при
переходе от уравнения (1.43) к (1.44) использовали, наоборот,
приближенную линейную зависимость (1.27) р от р! Конечно,
можно было бы пойти другим путем, стремясь сразу исключить
не р, а р из равенства (1.36). Для этого надо предварительно так
преобразовать равенство (1.36):
к
+ Р
Эр др Эр др Эр ЭР
cbc Эх: + Эу Эу + dz dz
dx2 dy2 dz2
Эр dm
= т ы +р^Г -
Исключим теперь р из последнего уравнения с помощью тех
же равенств (1.30)—(1.33), какие были использованы в предшест
вующем выводе. В итоге получим:
+
&
dx
L\ /
Эу + Эг + Эх2 Эу2 dz2
= ( т Рж + Рс) •
(1.47)
Заметим, что
щ
2
feel
2
fa )
2"
dx
LV J
ду
V J
dz
\ )
е р ж igradp) 2« V 2p,
(1.48)
т.е. произведение коэффициента сжимаемости на квадрат гра
диента давления считаем пренебрежимо малым по сравнению с
лапласианом давления. В таком случае из уравнения (1.47) полу
чаем то же уравнение (1.44), что и в предыдущем способе вы
вода. Первый способ вывода уравнения (1.47) является, пожа
луй, более предпочтительным, т.к. использование приближен
ной линейной зависимости (1.27) дает более наглядное
представление о малости тех слагаемых, которыми допусти
мо пренебрегать в процессе вывода, чем использование соотно
шения (1.48) во втором способе вывода.
Следует отметить, что уточненный вывод дифференциаль
ного уравнения пьезопроводности был проведен в статье В. Я. Бу
лыгина [539].
Итак, основное дифференциальное уравнение (1.44) или (1.45)
движения упругой жидкости в упругой пористой среде получено
в результате синтеза уравнения неразрывности, динамического
уравнения фильтрации (в аналитической форме таких уравне
ний не одно, а три) и уравнений состояния жидкости и пористой
среды.
Исключая 5 неизвестных — vx, vy,vz, р, т — из 6 уравнений
(1.45), (1.16), (1.22), (1.23), было получено уравнение пьезопровод
ности (1.44), содержащее одну неизвестную функцию — давление
р, зависящее от времени f и от текущих координат х, у, z «точки
наблюдения».
Уравнение пьезопроводности (1.44) справедливо при всех тех
(и только тех) ограничениях и допущениях, которые оговаривались
при выводе синтезируемых уравнений.
Все оговоренные ограничения и допущения характеризуют
определенную модель сплошной среды (или, как говорят в
реологии, модель тела), которую будем для краткости называть
«простейшей моделью упругого режима». Напомним важнейшие
свойства этой простейшей модели упругой жидкости, движущейся
в упругой пористой среде:
1. Пористая среда считается однородной и изотропной.
2. Однородная ньютоновская жидкость движется в пористой
среде, подчиняясь линейному закону фильтрации Дарси.
3. Жидкость и пористая среда упругие, причем объемная
деформация и жидкости и пористой среды подчиняется линейному
закону Гука.
4. Процесс деформации изотермический.
В простейшей модели упругого режима объединены, по суще
ству, свойства только тех моделей простейших тел, которые были
созданы основоположниками механики сплошных сред — модель
Ньютона вязкой жидкости и модель Гука упругого тела; к ним
лишь добавлена модель Дарси процесса фильтрации.
Особенно важно отметить, что выведенное для простейшей
модели упругого режима дифференциальное уравнение пьезопро
водности (1.44) оказалось линейным. Линейность дифференциаль
ного уравнения удобна тем, что, во-первых, для линейных
дифференциальных уравнений теория их интегрирования наиболее
разработана. Во-вторых, при решении линейных уравнений оказы
вается возможным применять метод суперпозиции, о чем дальше
будет сказано подробнее.
С другой стороны, линейность дифференциального уравнения
служит обычно несомненным признаком того, что реальные
процессы, отражаемые линейным уравнением, сильно схематизиро
ваны.
Действительно, допущения и ограничения, перечисленные при
выводе линейного уравнения пьезопроводности, конечно, подтвер
ждают значительную схематизацию изучаемых процессов. Поэтому
принятую простейшую модель упругого режима отнюдь нельзя
считать всеобъемлющей. Однако надо заметить, что движение
(фильтрация) жидкости в пористой среде, по существу, значительно
сложнее (хотя бы даже из-за большой сложности строения пористой
среды), чем движение жидкости в трубе или в открытом русле.
Поэтому при изучении фильтрационных потоков особенно важно
выделить в процессе главные его особенности. Оказывается, что
для очень многих условий разработки нефтяных и артезианских
пластов использование простейшей модели упругого режима
позволяет учесть существенные особенности разработки и хорошо
отражает наиболее важные закономерности процессов перераспре
деления пластового давления.
Познав сначала эти особенности и закономерности на основе
решений простейшего линейного уравнения пьезопроводности,
можно затем обобщить допущения, которые привели к линейности
исходного дифференциального уравнения, и, выведя и решив более
сложное нелинейное уравнение, оценить степень расхождения
решений линейного и нелинейного уравнений.
Приведем некоторые сведения из истории вывода дифферен
циального уравнения пьезопроводности. Именно описанная выше
модель движения упругой жидкости в упругой пористой среде,
которой соответствует уравнение пьезопроводности (1.44), разра
батывалась автором в начале сороковых годов в связи с анализом
проводимых им исследований скважин и пластов Октябрьского
(бывшего Ново-Грозненского) района Грознефти. Все эти иссле
дования автора были зафиксированы в ежегодных (с 1941 по 1943 г.)
его отчетах в Грозненском научно-исследовательском институте, в
брошюрах [717], [718], в лекциях, прочитанных в Москве по «Основам
подземной нефтяной гидравлики» на курсах для инженерно-тех
нических работников нефтяной промышленности и опубликованных
в 1945 г. [719]. В 1946 г. разработанная автором модель упругого
режима и вывод дифференциального уравнения пьезопроводности
были опубликованы в статье [725].
Эти подробности своей работы автор счел необходимым здесь
сообщить, чтобы доказать полную независимость своих исследо
ваний от исследований Джэйкоба, о которых автор узнал в конце
сороковых годов, когда удалось после окончания войны ознако
миться со статьей Джэйкоба [881]. В цитируемой статье Джэйкоб
вывел дифференциальное уравнение движения жидкости в пласте
с учетом упругости и жидкости и пласта. Однако способ Джэйкоба
вывода этого уравнения был совершенно иной, чем вывод автором
уравнения пьезопроводности. Во-первых, Джэйкоб вывел свое
уравнение только для частного случая плоско-радиального движе
ния и, во-вторых, в процессе вывода допустил ряд математических
неточностей*.
В статье же автора [725] был дан воспроизведенный выше
строгий вывод уравнения пьезопроводности применительно к
общему случаю трехмерного движения упругой жидкости в упругой
пористой среде.
До работ автора данной книги и Джэйкоба рассматривались
более простые модели фильтрации, для которых составлялись
дифференциальные уравнения движения или несжимаемой, или
упругой жидкости, но только в жесткой пористой среде.
Уравнение пьезопроводности (1.44) является простым, и лежа
щая в его основе модель вполне удовлетворяет требованиям,
сформулированным акад. JI. И. Седовым [552]: «Новые модели
должны быть максимально простыми, рациональными и удобными
для теоретических исследований».
Ценность описанной выше модели движения упругой жидкости
в упругой пористой среде особо отметил акад. Л. С. Лейбензон в
двух последних написанных им статьях [414], [415] по вопросам
подземной гидродинамики.
Интересно отметить, что Херст и Маскет в первых своих работах
по теории упругого режима [868], [916] учитывали упругость только
жидкости, а в более поздних работах [972], [435] они уже упоминают
и о возможном влиянии упругости пористой среды.
Начиная с 60-х годов модель движения упругой жидкости в
упругой пористой среде стали описывать во многих обзорных
статьях и монографиях зарубежных ученых: Бэра [110], Георгицэ
[840], Кристеа [381], Крэцу [815], Хупера [863], [865], Шейдеггера
[953], Шеллера [952]. Еще раньше — с конца 40-х годов —
в отечественной литературе эта модель нашла отражение не только
в специальных статьях, но даже в учебниках и учебных пособиях
И. А. Чарного [661], В. Н. Щелкачева и Б. Б. Лапука [729], а потом
Неточности в выводе Джэйкоба отмечены и на стр. 83 монографии Бэра и со
авторов [110].
и многих других авторов, вплоть до последних из опубликованных
учебников по подземной гидравлике и гидромеханике К. С. Бас-
ниева и соавторов [55], [56].
Для выяснения физического смысла уравнения пьезопроводно-
др
сти заметим, что величина равна скорости изменения давления
от
в любой данной точке пространства, занятого фильтрационным
потоком, т.е. в «точке наблюдения». Физический смысл величины
V2/? (лапласиан давления), равной сумме частных производных
З е э ь а у
а У Эг2
Вебстер [119]:
Л,
, выяснить несколько труднее. По Стоксу — см.
V ^ = 101im ^ V ^
(1.49)
где р — значение давления и V2/? — значение лапласиана давления
в точке наблюдения, Лсф — радиус малой сферы с центром в точке
наблюдения, рср — среднее по объему значение давления внутри
упомянутой малой сферы*.
Учитывая равенство (1.49), Максвелл образно назвал лапласиан
«концентрацией», т.к. лапласиан характеризует, имеется ли в малой
окрестности данной точки избыток (или недостаток) в значении
величины, стоящей под знакбм лапласиана, по сравнению с ее
значением в данной точке. Если такого избытка (или недостатка)
нет, т.е. среднее значение в малой окрестности точки равно
истинному значению в самой точке, то концентрация равна нулю,
а следовательно, и лапласиан соответствующей величины равен
нулю в данной точке.
На основании вышеизложенного выясняется физический смысл
уравнения пьезопроводности (1.44) или (1.45): скорость изменения
др
давления в данной точке прямо пропорциональна концентрации
ot
давления V2p в малой окрестности той же точки; роль коэффи-
На основании равенства (1.49) можно утверждать, что разность (рср - р) должна
быть величиной второго порядка малости, т.е. с точностью до величин первого по
рядка малости включительно величины /?ср и р можно было бы считать равными.
Этим оправдываются замечания, сделанные перед определениями величин (1.6) и
(1.7) в § 2 данной главы.
циента пропорциональности играет коэффициент пьезопровод
ности к.
Уравнение пьезопроводности характеризует, вообще говоря,
неустановившийся процесс фильтрации упругой жидкости в
упругом пласте, т.е. характеризует неустановившийся процесс
перераспределения пластового давления.
Если движение упругой жидкости в упругом пласте установив
шееся, то давление (а также плотность жидкости, скорость
фильтрации и пористость) не зависит от времени; следовательно,
в каждой точке фильтрационного потока % = 0, и поэтому
ot
уравнения (1.44) и (1.45) приводят к выводу о том, что концентрация
давления равна нулю, т.е.
V2p = 0. (1.50)
Уравнение (1.50) является известным уравнением Лапласа; оно
характеризует установившееся поле давления.
Надо заметить, что уравнение Лапласа (1.50) получается из
уравнения пьезопроводности (1.44) или (1.45) и в том случае, когда
коэффициент пьезопроводности к = оо, т.е. когда жидкость и
пористая среда абсолютно несжимаемы. Действительно, в рассмат
риваемом случае (Зж = 0, Рс = 0 и давление должно перераспреде
ляться мгновенно.
Учитывая сделанные выше пояснения, легко установить физи
ческий смысл уравнения Лапласа (1.50): в той области поля, в
которой справедливо уравнение Лапласа, давление в каждой точке
равно среднему (по объему) значению давления в малой окрестности
этой точки. Отсюда следует, что в окрестности каждой точки
области должны быть значения давления и большие и меньшие,
чем давление в данной точке. Иными словами, в той области, в
которой давление подчиняется уравнению Лапласа, величина
давления не может достигать ни максимума, ни минимума.
Дифференциальное уравнение пьезопроводности необходимо
для решения всех задач, связанных с движением упругой жидкости
в упругом пласте, но оно недостаточно для решения конкретных
задач. Надо помнить, что (по самой природе дифференциального
уравнения) уравнение пьезопроводности (L44) отражает все те
общие закономерности, которым должна удовлетворять функция
р(х, у, z, t) в любой элементарный промежуток времени и в любом
элементарном объеме в каждом потоке упругой жидкости в
упругой пористой среде. Для решения же конкретной задачи
перераспределения давления во всем рассматриваемом потоке в
течение всего исследуемого промежутка времени необходимо
проинтегрировать дифференциальное уравнение пьезопроводности,
учитывая определенные дополнительные условия. Как известно из
теории дифференциальных уравнений в частных производных, к
ч^слу таких дополнительных условий надо отнести начальное и
граничные условия, а в некоторых случаях и условия на бесконеч
ности. Совокупность всех этих условий называют краевыми
условиями*. Задачу интегрирования дифференциального уравнения
в частных производных при заданных краевых условиях называют
в математической физике краевой задачей. Таким образом, задачи
интегрирования дифференциального уравнения пьезопроводности
при различных начальных и граничных условиях являются краевыми
задачами.
Граничные условия могут задаваться в разных формах, что
будет показано на конкретных примерах в последующих главах.
В теории фильтрации некоторые краевые задачи неустановив-
шегося поля, приводящиеся к интегрированию уравнения типа
уравнения температуропроводности, были впервые получены Бус
сине [952] в 70-х годах XIX века в связи с изучением неустано-
вившегося движения безнапорных грунтовых вод.
При изучении движения газа в пористой среде аналогичные
уравнения были выведены Л. С. Лейбензоном [412], [413] в начале
двадцатых годов нашего века.
Строго говоря, неустановивпгиеся движения газа в пористой
среде и безнапорных грунтовых вод подчиняются более сложным
нелинейным дифференциальным уравнениям. Однако при прове
дении приближенных исследований эти уравнения линеаризуются
и сводятся к простейшему уравнению типа уравнения температу
ропроводности**.
Задача неустановившегося движения упругой жидкости в
жестком пласте, сводящаяся к интегрированию уравнения пьезоп
роводности, математически тождественному уравнению температу
ропроводности, была поставлена и при некоторых условиях решена
сначала (в 1934 г.) Херстом [808], [912] и немного позже Маскетом
[916].
Следует заметить, что иногда пользуются иной терминологией. Именно те ус
ловия, которые здесь названы граничными, называют краевыми, или предельными;
те условия, которые здесь названы краевыми, именуют граничными.
* *
См. по этому поводу основополагающую работу Л. С. Лейбензона [440], спе
циальную статью И. А. Чарного [662]. Кроме того, вопросы линеаризации упомянутых
уравнений рассматриваются во всех общих монографиях и учебниках, посвященных
подземной гидродинамике.
Уравнение пьезопроводности несколько более общее (за счет
более общего выражения коэффициента пьезопроводности) для
движения упругой жидкости в упругом пласте было опубликовано
автором, как выше уже упоминалось, в 1946 г. [725].
Итак, в теории упругого режима уравнение пьезопроводности
было выведено на 130—140 лет позже, чем Фурье в 1807 г. вывел
уравнение температуропроводности.
Приведенные исторические справки были необходимы и для
ответа на следующий естественно возникающий вопрос: если
уравнением пьезопроводности стали пользоваться на 130—140 лет
позже, чем аналогичным уравнением температуропроводности, то
не означает ли это, что для всех задач теории упругого режима
уже имелись готовые решения в теплопроводности и в других
родственных областях математической физики (например, в теории
диффузии)?
Конечно, решения многих простейших типовых задач теорий
теплопроводности и диффузии можно было непосредственно
заимствовать и сразу использовать для решения родственных задач
теории упругого режима. Однако это было далеко не всегда
возможно. Во-первых, в теории упругого режима имеются такие
краевые задачи, для которых не было полных аналогов в других
областях математической физики.
Во-вторых, решения некоторых хорошо известных задач теории
теплопроводности хотя и были получены, но оказались неудобными
для подсчетов и неэффективными.
На основании сделанных замечаний должно быть понятно, что
в теории упругого режима приходится иметь дело с задачами трех
таких типов:
1. Задачи, для которых имеются готовые эффективные решения,
ранее полученные в других разделах математической физики. Эти
решения, не изменяя их формы, надо только «перевести на язык
теории фильтрации».
2. Задачи, для которых имелись готовые решения в других
разделах математической физики, но они были неэффективны и
неудобны.
Для многих из таких задач в данной книге приводятся новые,
более эффективные решения, полученные за последние не более
чем 30 лет при разработке теории упругого режима.
3. Задачи, которые имеют элементы новизны в самой поста
новке — либо благодаря более общим, либо благодаря специфич
ным краевым условиям. Для задач этого типа до сих пор не было
готовых решений в родственных разделах математической физики.
Решения некоторых задач второго и третьего типов заимствованы
во многом из статей сотрудников кафедры теоретической механики
Московского института нефтехимической и газовой промышленно
сти; обзор большинства этих работ был дан в докладах [756], [764],
[958]; см. также историческую справку в главе 10.
Примечание. Выше было дано пояснение физического
смысла уравнения пьезопроводности (1.45) на основе его сопостав
ления с соотношением (1.49). Заметим, что для простейшего случая
одномерного прямолинейно-параллельного потока физический
смысл уравнения пьезопроводности
можно охарактеризовать проще. Именно судя по уравнению (1.50 а),
(говоря точнее — изменения его модуля) вдоль потока, пропорцио-
пература) правильнее назвать «интенсивностью изменения градиен
та температуры вдоль потока», а не «кривизной температурного по
ля» («Der Knimmung des Temperaturfeldes», как это сформулировано
в немецком оригинале книги [182]).
§ 6. Аналогии теорий фильтрации с теориями
теплопроводности и диффузии*
Основной закон теплопроводности — закон Фурье — имеет вид:
где q* — вектор теплового потока в данной точке температурного
поля. Величина теплового потока q* численно равна количеству теп
ла, проходящему за единицу времени через единицу площади эле
мента поверхности; предполагается, что элемент поверхности про
веден через выбранную точку температурного поля так, что нормаль
Изложение аналитической теории теплопроводности и диффузии см., напри
мер, в книгах [350], [427], [111], [814], в которых шяшо получить дальнейшие биб
лиографические указания.
Э2/? 1 др
Эх2 К dt
(1.50 а)
q* = -XgradQ,
(1.51)