Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Режим пласта (или отдельного его участка) называют упругим, если поведение

пласта в процессе его разработки существенно зависит от упругости (сжимаемости)

самого пласта и насыщающих его жидкостей — нефти и воды.

Величины коэффициентов сжимаемости пласта, нефти и воды приведены в

главе 25. Эти величины относительно малы, поэтому при поверхностном рассмот

рении иногда предполагают, что эффектом сжимаемости пласта (горной породы),

нефти и воды можно пренебречь. Однако это не так, что и побудило автора

поставить такой эпиграф — высказывание знаменитого естествоиспытателя Линнея

в книге [739]: «Natura in minimis maxime miranda* («Природа в самом малом наиболее

удивительна»).

Следующие два взаимосвязанные проявления оказываются весьма характерными

при разработке пласта в условиях упругого режима:

1. Длительные процессы перераспределения пластового давления после начала

разработки и после каждого изменения темпа добычи жидкости из пласта.

2. Извлечение упругого запаса жидкости из пласта при снижении в нем

пластового давления и, наоборот, накопление упругого запаса жидкости в пласте

при повышении в нем давления.

Примечание 2. При решении всех задач, рассматриваемых в данной

монографии, когда говорится о пластовом давлении или об одном и том же

давлении во всех точках пласта, следует подразумевать величину давления,

отнесенную к какой-либо определенной отметке, например к кровле пласта —

в простейшем случае, когда кровля горизонтальна.

Примечание 3. Ценный обзор опубликованной в США (за 50 лет — вплоть

до 1982 г.) литературы по неустановившимся процессам перераспределения

пластового давления приведен в специально этому посвященной статье X. Рэми

[943].

По вопросам неустановившейся фильтрации большой список литературы

(в основном гидрогеологической), опубликованной до 1962 г., приведен в моно

графии X. Шеллера [952].

Глава 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

§ 1. Общие замечания

В фильтрационном потоке часть пространства занята жидкостью

или газом, а часть пространства — скелетом пористой или

трещиноватой среды. Формы поровых каналов и трещин весьма

сложны, и практически невозможно определить их в реальных

условиях фильтрационных потоков. Поэтому в реальных условиях

не ставится задача об определении истинной скорости движения

в каждой точке порового канала или трещины.

Как известно из подземной гидромеханики, исследование

фильтрационных потоков существенно упрощается введением по

нятия о скорости фильтрации. Именно предполагается, что все

пространство, занятое фильтрационным потоком, как будто сплошь

заполнено только жидкостью (или газом), частицы которой

движутся со скоростями, равными скоростям фильтрации. Фильт

рационный поток рассматривается как непрерывное и, вообще

говоря, неустановившееся (нестационарное) поле скоростей филь

трации. Введение такой модели сплошной среды дает возможность

воспользоваться для исследования фильтрационного потока аппа

ратом дифференциальных уравнений в частных производных.

Основное дифференциальное уравнение движения упругой

жидкости в упругой пористой среде выводят, следуя обычным

правилам гидромеханики, на основе синтеза (объединения) урав

нения неразрывности, уравнения, характеризующего режим филь

трации, уравнений состояния жидкости и пористой среды.

Уравнение неразрывности отражает кинематические особенности

движения рассматриваемой сплошной среды и основывается на

законе сохранения массы.

Уравнение, характеризующее режим фильтрации, иногда назы

вают «динамическим уравнением» (в векторной форме оно одно).

Объясняется это название тем, что динамическое уравнение

отражает влияние учитываемых сил, действующих на фильтрую

щуюся жидкость.

Уравнения состояния (характеристические уравнения) отражают

учитываемые в исследуемом движении физические свойства жид

кости и пористой среды.

§ 2. Уравнение неразрывности

При выводе уравнения неразрывности будем строго придержи

ваться метода Эйлера. Этот метод связан с локальным способом

(пояснения будут даны ниже) изучения потока жидкости [376],

[402], [425], [557], [558].

Ту часть пространства, в которой движется фильтрационный

поток, будем рассматривать как векторное поле скоростей филь

трации и как скалярное поле плотности жидкости и давления.

В рассматриваемой части пространства выберем неподвижную

систему координат х, у, z (в большинстве задач подземной

гидродинамики эту систему координат можно считать неподвиж

ной относительно Земли) и произвольную неподвижную точку

Р, положение которой можно определять либо радиусом-векто

ром 7 по отношению к началу координат, либо координатами

х; у, z (рис. 1.1). Точку Р будем называть «точкой наблюдения».

В выбранной неподвижной точке наблюдения Р требуется оп

ределить скорость фильтрации, плотность жидкости, давление

и другие искомые величины в функции времени. Так как

изменения с течением времени характеристик фильтрационного

потока изучаются в определенном месте — в произвольно

выбранной точке пространства, то описываемый метод Эйлера

исследования потока называется локальным*.

При применении локального метода Эйлера не интересуются,

какие именно частицы жидкости последовательно проходят через

каждую выбранную точку пространства и какова история их

движения**.

Следуя методу Эйлера, мысленно выделим в неподвижном

пространстве неизменный элементарный объем, имеющий форму

параллелепипеда, прямоугольные грани которого параллельны

координатным плоскостям. Длины ребер параллелепипеда равны

dx, dy, dzy которые считаем величинами первого порядка малости.

Выбранная точка Р(х, у, z) находится в его центре (рис. 1.1). Для

наглядности на рисунке оси координат и одно из ребер паралле

лепипеда отштрихованы, чтобы подчеркнуть их неподвижность.

От латинского слова locus, что значит место.

* *

Впрочем, как подчеркивает Ламб [402], и другой метод, приписываемый Лаг

ранжу и связанный с субстанциональным способом изучения потока жидкости, также

принадлежит Эйлеру. Для субстанционального способа характерно изучение истории

движения любой выбранной частицы жидкости; требуется определить: как меняются

с течением времени скорость, плотность и другие характеристики любой выбранной

частицы жидкости, либо как в данный момент времени изменяются все характери

стики при переходе от одной частицы жидкости к другой.

d y

Рис. 1.1. Элемент пространства с выделенной в нем точкой наблюдения Р

Размеры выделенного параллелепипеда хотя и считаются

малыми, но предполагается, что они достаточно велики по

сравнению с размерами отдельных пор и зёрен пористой среды.

Скорость фильтрации, плотность жидкости, давление в филь

трационном потоке и пористость в точке Р обозначим соответст

венно через

В рассматриваемом локальном методе исследования потока все

перечисленные величины будут, вообще говоря, функциями коор

динат х, у, z фиксированной в пространстве точки и времени L

Изменения с течением времени всех перечисленных величин

изучаются в любой зафиксированной точке пространства, что выше

уже подчеркивалось, либо при фиксированном времени исследу

ются изменения зависимых величин при переходе от одной точки

пространства к другим точкам.

Вывод уравнения неразрывности основывается, как уже было

упомянуто выше, на законе сохранения массы. При выводе будем

предполагать, что внутри всей рассматриваемой облает движения

(а следовательно, и внутри любого выделенного в этой области

элементарного объема) соблюдаются три условия.

1. Жидкость движется без разрывов в ее сплошности, т.е. без

образования полостей, каверн и т.п. Это предположение обычно

называют «гипотезой сплошности потока».

2. Все величины, характеризующие фильтрационный неустано-

вившийся поток жидкости, — vCv^v^vJ, р,р ,т — являются ко

v(yx,vy,vz), р,р, т.

нечными, непрерывными и дифференцируемыми функциями коор

динат и времени. Содержащиеся в этом условии предположения

необходимо объединить под названием (несколько условным)

«гипотезы о дифференцируемое™ функций, характеризующих

фильтрационный поток жидкости».

3. Отсутствуют источники и стоки. Это означает, что нет особых

точек (или особых линий, или участков поверхностей), в которых

жидкость могла бы возникать или исчезать, т.е. в которых линии

тока могли бы начинаться или заканчиваться.

О случае отсутствия в потоке стоков и источников, т.е. о снятии

ограничений, оговоренных в условии 3, более подробно будет

сказано в § 7 данной главы.

Для вывода уравнения неразрывности приходится подсчитывать

двумя способами изменение массы жидкости за малый промежуток

времени внутри неподвижного элементарного параллелепипеда.

В первом способе сначала подсчитывается масса жидкости,

протекающей через каждую грань параллелепипеда. Чтобы выпол

нить этот подсчет, заметим, что на I и II гранях, перпендикулярных

оси х, средние значения плотности жидкости и проекций скорости

фильтрации в направлении оси х будут, с точностью до малых

величин первого порядка включительно, соответственно равны:

1 Эр

2 Эх'

_1 Эр

dx ,

р + 2 & *

V«~2

1 <&х

vx + - -л ~с1х

x 2 дх

Масса жидкости, втекающей внутрь элементарного объема за

время dt через грань I с площадью dy ■ dz, может быть определена так:

I др.

Vv-

(К

Эх

dydzdt.

(i-i)

Аналогично подсчитаем массу жидкости, вытекающей из того

же элементарного объема за тот же промежуток времени dt через

грань II с такой же площадью dy ■ dz\

р + 2 а ^ Н ' < U )

V / V /

Вычитая величину (1.1) из величины (1.2), определяем: насколь

ко уменьшилась за время dt масса жидкости в элементарном объеме

за счет потока жидкости в направлении оси х. В результате

вычитания получаем:

д \х

Эх Эх

dxdydzdt,

1 Эр 3vх 7

пренебрегая величиной - -г— (dx) dydzdt, имеющей более

Z ох ох

высокий порядок малости (пятый, тогда как величина (1.3) имеет

четвертый порядок малости).

Разделим величину (1.3) на dxdydz dt, т.е. определим отнесенное

к единице объема и единице времени уменьшение массы жидкости

в элементарном параллелепипеде за счет потока в направлении оси х:

Э(рУ^) (1.4)

Эх

Учитывая аналогичным способом потоки жидкости через другие

грани параллелепипеда, перпендикулярные осям у и z, получаем

общее уменьшение массы жидкости внутри элементарного парал

лелепипеда, отнесенное к единице объема и за единицу времени:

Э(рУх) Э(руу) Э(руг) (15)

Эх Эу + dz

Итак, первый способ учета изменения массы жидкости внутри

элементарного параллелепипеда связан с подсчетом баланса при

тока и утечки жидкости через все шесть его граней.

Второй способ основан на сопоставлении массы жидкости внутри

элементарного параллелепипеда в разные моменты времени, причем

учитывается изменение в массе в результате изменения с течением

времени плотности жидкости и пористости среды. Сначала заметим,

что с точностью до величин первого порядка малости включительно

значения плотности жидкости р и пористости среды га в центре

рассматриваемого элементарного параллелепипеда можно считать

средними значениями для всего этого объема в рассматриваемый

момент времени t. То же можно сказать о значениях величин

для момента времени (t + d t). Поэтому допустимо считать, что в мо

менты t и (t + dt) величины масс жидкости внутри неизменного эле

ментарного объема будут соответственно равны:

тр dxdydz, (1.6)

( т + ~ dt) ( р + % Л ) dxdydz. (1*^)

ot at

Вычитая величину (1.6) из величины (1.7), получаем:

( т + р ^ )dxdydzdt, (1*8)

ot ot

если отбросим величину Щ dxdydz (d t2) более высокого поряд-

ot ot

ка малости (пятого).

Разделив величину (1.8) на dx dy dz dt, определим увеличение

массы жидкости внутри элементарного объема, отнесенное к

единице объема и к единице времени:

д (р п ) (1.9)

dt '

Учитывая закон сохранения массы, предположение о сплош

ности потока и отсутствие в потоке стоков и источников, можем

утверждать, что итоги подсчета изменения массы жидкости двумя

разными способами должны быть одинаковыми. Следует лишь

учесть, что при подсчете величины (1.5) определялось умень

шение массы (в результате предполагаемого превышения утечки

массы над ее притоком через все грани параллелепипеда), а

при подсчете величины (1.9) определялось увеличение массы за

счет предполагаемого увеличения плотности жидкости и пори

стости среды внутри того же элементарного объема. Поэтому

величины (1.5) и (1.9) необходимо приравнять друг к другу, но

с противоположными знаками, т.е.

д(рУх) Э(руу) Э(ру2) Э(рт) (1.10)

ate Эу дг ~ Эt '

Пользуясь символикой векторного анализа, равенство (1.10)

можно переписать в следующей форме:

Равенство (1.10) или (1.11) представляет собой так называемое

уравнение неразрывности. Оно было выведено для элемента объема.

Однако, в силу произвольности выбора точки р (jc, у,х ) (центра

элементарного объема), справедливость уравнения неразрывности

возможно распространить на всю ту часть пространства, занятую

фильтрационным потоком, в которой сохраняются оговоренные

выше три условия.

Производная по времени в правой части уравнения (1.10)

характеризует скорость изменения плотности жидкости и пористой

среды в фиксированной точке пространства. Производные по

координатам в левой части уравнения (1.10) характеризуют интен

сивность изменения плотности и скорости фильтрации жидкости

в окрестности фиксированной точки (т.е. при переходе от этой

точки к соседним).

При выводе уравнения неразрывности (1.10) предполагалось,

что сжимаемы и жидкость и пористая среда.

Если считать, что пористая среда жесткая, т.е. т = const, но

жидкость сжимаема, то уравнение (1.10) несколько упростится и

примет вид:

Если же и пористую среду и жидкость считать несжимаемыми,

т. е. принять, что т = const и р =const, то из формулы (1.10) или

(1.11) получим наиболее простую форму уравнения неразрывности:

Допустим, что т = 1; это равносильно допущению, что пористой

среды совсем нет и мы имеем дело не с фильтрационным, а с

, -ч Э('р т )

rftv(pv) = -- -

(1.11)

d(pv*) d(pvy) 3(pvz) Эр (1.12)

—т^^

-----

— — т -г“.

cbc ду dz d t'

cbc ду dz

(1.13)

обычным потоком жидкости; при этом уравнение (1.10) обращается

в хорошо известное из гидродинамики уравнение неразрывности в

форме Эйлера для сжимаемой жидкости:

Э(рУх) | Э(рУу) Э(руг)_ эр (1.14)

дх ду dz dt '

Эйлер впервые вывел уравнение неразрывности в форме (1.14)

в 1755 г.* Уравнение же неразрывности для фильтрационного

потока сжимаемой жидкости в сжимаемой пористой среде было

выведено в форме (1.10) впервые акад. Н. Н. Павловским в 1922 г.

[494]. Однако Н. Н. Павловский не придавал особенного значения

полученному им уравнению в форме (1.10), пользовался уравнением

неразрывности только в форме (1.13), считая, по-видимому, что в

задачах подземной гидродинамики нет практической необходимости

учитывать сжимаемость жидкости и сжимаемость пористой среды.

Такую точку зрения можно объяснить тем, что Н. Н. Павловский

занимался в основном приложением подземной гидродинамики к

решению задач о фильтрации жидкости под плотинами и через

их тела. В подавляющем большинстве такого рода гидродинами

ческих задач вполне допустимо пренебрегать упругостью и

жидкости, и пористой среды.

Однако уравнение неразрывности в форме (1.10) оказалось

совершенно необходимым при построении теории упругого режима.

А теорию упругого режима пришлось развивать для решения задач

технологии добычи нефти и задач динамики артезианских вод.

Примечание I. Для вывода только уравнения неразрывности

достаточно было, строго говоря, предположить конечность и

непрерывность лишь первых производных по координатам и времени

от входящих в это уравнение величин плотности, давления,

пористости и скоростей фильтрации. Однако для последующего

вывода основного дифференциального уравнения движения необ

ходимо считать, что р и

р еще имеют конечные и непрерывные

производные второго порядка по координатам. Если рассматривать

краевые задачи (см. дальше) без разрывных начальных условий,

то надо считать все перечисленные величины непрерывными не

только внутри, но и на границе изучаемой области движения

фильтрационного потока. Об этом подробнее см. в книге акад.

А. Н. Тихонова и акад. А. А. Самарского [586].

♦

Милн-Томсон [442] указывает, что уравнение неразрывности было до Эйлера

выведено Даламбером, впервые предложившим использовать закон сохранения массы

для исследования движения жидкости.

Обратим внимание еще на следующее обстоятельство: во всех

задачах, которые будут далее рассматриваться, величины р и т

изменяются с течением времени потому, что они зависят от давления

р, которое является функцией времени в условиях нестационарных

потоков. Оговорив соответствующие ограничения, накладываемые

на функциональные зависимости от времени всех перечисленных

величин, будем считать, что аналогичным ограничениям подчиня

ются явные функциональные зависимости р и т от давления р,

устанавливаемые с помощью тех уравнений состояния, которые

будут приведены в § 4 и § 8 данной главы.

Примечание II. Часто пользуются несколько иным способом

вывода уравнения неразрывности. Именно вместо элементарного

объема в пространстве выделяется конечный объем любой формы,

ограниченный замкнутой поверхностью. При подсчете баланса

притока-утечки жидкости через всю граничную поверхность берется

соответствующий интеграл, распространенный по всей этой повер

хности. Далее, по теореме Гаусса-Остроградского совершается

переход от поверхностного интеграла к объемному. При втором

способе учета изменения массы в объеме (за счет изменения

плотности жидкости и пористости) соответствующая величина

определяется интегралом, распространенным также по всему

выделенному объему. Приравнивая друг к другу подынтегральные

величины в двух полученных объемных интегралах, распространен

ных на один и тот же объем, получают искомое уравнение

неразрывности, совпадающее с равенством (1.10).

§ 3. Основной линейный закон фильтрации;

динамическое уравнение фильтрации

Предположим, что пористая среда однородна и изотропна,

жидкость ньютоновская и однородная.

Поясним эти свойства пористой среды и жидкости, учитывая,

что для установления основного закона фильтрации Дарси доста

точно характеризовать пористую среду только ее проницаемостью,

а жидкость — только ее вязкостью. Предположения об однород

ности пористой среды и жидкости означают, что проницаемость и

вязкость одинаковы во всех точках фильтрационного потока. Будем

пока считать, что проницаемость и вязкость не зависят от давления,

т.е. являются постоянными величинами (при постоянной темпера

туре).

Предположение об изотропности пористой среды означает, что

ее проницаемость в каждой точке одинакова во всех направлениях.