Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

уравнения пьезопроводности (1.45) наличием в левой части второго

слагаемого, отражающего влияние однородного поля силы тяжести.

В подавляющем большинстве практически интересных задач

теории упругого режима упомянутым вторым слагаемым в левой

части уравнения (1.113) можно пренебречь, т.к. в коэффициент

при этом слагаемом входит величина Р ж, которая обычно относи

тельно мала. Поэтому вместо уравнения (1.113) можно пользоваться

более простым уравнением пьезопроводности (1.45). Это означает,

что однородное поле силы тяжести практически не влияет на

процесс перераспределения давления. Следовательно, при изуче

нии процессов перераспределения пластового давления вполне

допустимо жидкость считать невесомой. Такой же вывод получен

и в специальной статье Н. Н. Веригина [127].

Кроме того, заметим, что реальные водоносные или нефтенос

ные пласты имеют в горизонтальном направлении гораздо большие

размеры, чем в вертикальном направлении. Поэтому реальные

пласты моделируются обычно горизонтальными, в которых движе

ние жидкости можно считать на большом протяжении плоско-па-

раллельным. При исследовании движения только в горизонтальной

плоскости учитывать влияние силы тяжести, конечно, не требуется,

т.е. в этом случае использование уравнения пьезопроводности (1.45)

вместо (1.113) не вносит совершенно никакой погрешности в

решения задач о перераспределении давления.

В простейшей типовой задаче теории упругого режима о

сферическом радиальном притоке жидкости к точечному стоку,

расположенному на непроницаемой горизонтальной кровле пласта

неограниченной толщины, считать движение плоско-параллельным,

конечно, нельзя. Однако, учитывая изложенное выше, при изучении

перераспределения давления в условиях сферического радиального

потока вполне допустимо пренебрегать влиянием тяжести.

Изложенное отнюдь не противоречит тому, что при подсчетах

величин пластовых давлений в различных точках пласта на разных

глубинах надо учитывать влияние силы тяжести.

Итак, окончательный вывод можно сформулировать так: сила

тяжести оказывает влияние на распределение пластового давления

с глубиной, но этой силой допустимо пренебрегать при исследо

вании перераспределения пластового давления в обычных условиях

упругого режима.

Приведенное выше рассмотрение трех частных случаев служит

хорошим подтверждением значительной общности исходного диф

ференциального уравнения (1.100) или (1.102). Однако общность

этого уравнения нельзя и переоценивать. Действительно, во-первых,

надо помнить об ограничениях, оговоренных при выводе уравнения

(1.100) или (1.102): пористая среда предполагалась изотропной,

процесс фильтрации считался изотермическим и удовлетворяющим

закону Дарси в несколько более общей форме, чем обычно, и т.д.

Во-вторых, на процесс фильтрации существенно влияют многие

физико-химические процессы, которые далеко не полностью еще

познаны и поэтому, естественно, пока недостаточно учитываются

и основных дифференциальных уравнениях теории фильтрации.

§ 9. Учет влияния сил инерции при выводе

основных уравнений

В § 3 было указано, что динамическое уравнение теории

фильтрации (1.17) можно обобщить, если учесть влияние сил

инерции и других сил. Учтем следующие 4 силы, действующие на

жидкость, движущуюся в пористой среде:

1. Массовую силу инерции (эту силу условно считаем дейст

вующей на движущуюся жидкость, т.к. будем пользоваться прин

ципом Даламбера).

2. Массовую силу тяжести.

3. Массовую силу сопротивления движению жидкости в пори

стой среде.

4. Поверхностные силы давления.

Тогда, применяя принцип Даламбера и выражая условие

равновесия упомянутых сил, выписывая их выражения в том порядке,

как они выше были перечислены, получаем*:

Щ + g j + т ^ v + -gradp = 0. (1-114)

dt к р р*

Обозначения сохранены те же, что и в равенствах (1.17), (1.93),

(1.94). В уравнении (1.114) все силы отнесены к единице массы

жидкости, но не реального потока, а изучаемого воображаемого

фильтрационного потока. Напомним, что в реальном фильтраци

онном потоке жидкость движется в поровых каналах, причем ее

действительная скорость отличается от скорости фильтрации.

В воображаемом фильтрационном потоке жидкость сплошь заполняет

все пространство (занятое в реальном потоке и жидкостью, и

пористой средой), но движется со скоростью, отличающейся от

Из инерционных членов сохранена только локальная производная, а членами,

содержащими конвективные производные, пренебрегаем как малыми величинами —

см. |27], [ 742]. В уравнении (1.114) предполагается, что ось у направлена вертикально

вниз, причем j — единичный вектор этой оси.

действительной и равной скорости фильтрации V. В единице объема

такого воображаемого фильтрационного потока массу жидкости

следует считать равной сс плотности р; в единице же объема

реального фильтрационного потока масса жидкости равна т р, где

т — величина пористости.

Динамическое уравнение фильтрации (1.114) с учетом сил

инерции было впервые совершенно строго выведено Аравиным и

Нумеровым [27]. Значительно раньше динамическое уравнение

фильтрации с учетом сил инерции вывел Н. Е. Жуковский [290],

используя при выводе классические гидродинамические уравнения

Эйлера. Методом Н. Е. Жуковского пользовались в дальнейшем

Л. С. Лейбензон [411], П. Я. Полубаринова-Кочина [519], Б. Б. Де

висон [250] и другие. Однако у Н. Е. Жуковского и всех

последующих авторов, пользующихся тем же методом, в выводе

содержалась некоторая небольшая неточность, вскрытая в статье

[742]. Таким образом, в статье [742] динамическое уравнение

фильтрации (1.114) впервые было строго выведено тем методом,

который предлагал Н. Е. Жуковский, причем оно в точности

совпало с уравнением, выведенным Аравиным и Нумеровым [27]

иным методом.

Подробности обоснования динамического уравнения фильтра

ции в форме (1.114) также можно найти в цитированной выше

статье [742].

В аналитической форме уравнение (1.114) перепишется так:

Для вывода основного дифференциального уравнения теории

упругого режима с учетом сил инерции необходимо синтезировать

(объединить) динамические уравнения фильтрации (1.115) с урав

нением неразрывности (1.10) и уравнениями состояния (1.22) и

уравнений в § 5, т.к. в уравнения (1.115), в отличие от уравнений

(1.16), входят не только проекции скорости фильтрации vx, vyt v2,

но и их производные по времени. Чтобы исключить величины vx,

(1.115)

(1.23).

Сделать это не так просто, как раньше был выполнен синтез

Э (р V*)

Э (р Уу)

э (р V,)

Эх

+ Эу

dt + dz

Эг

vy, v2 из уравнений (1.115) и (1.10), удобно прибегнуть к

искусственному приему. Именно продифференцируем равенство

(1.10) по времени t и изменим порядок дифференцирования в левой

части:

J 2(mp) (1.116)

/ ’

Учтя равенство (1.32), заметим, что

э (р V Л) dvx п эр

~ з Г =

Второй член в правой части последнего равенства, содержащий

малый коэффициент р ж, значительно меньше первого члена;

поэтому

Э (р v х)

dvx

= p Э? !

d (p vy)

Э v y

dt = P df ’

^(PV2)

d vz

(1.117)

Учитывая равенства (1.32), (1.13) и (1.40), заметим, что

Э (т р)

{

т +

р,

dt ft, аг ’

Э 2 (т р) __ р* Э 2 р

dt2 ~ f c d t 2'

(1.118)

(1.119)

На основании равенств (1.117) и (1.119) уравнению (1.116) можно

придать вид: •

э_

Эх

dv.

Р а

d f э О

Эг

= <U20>

Ржй2’

_ dvx dvv dv.

Подставив выражения величин р -г - , р -rf, Р

^ 7

из равенств

at at dt

(1.115) в уравнение (1.120), получим

Перейдем в уравнении (1.121) от р к р на основании равенств

(1.31):

_Э_

Эх

+ Эг

\ (

ц 1 др

^PV, + —

Рж ^Х

L ie

+ ду

Ц- 2 . • 1 Эр

(1.122)

* pV‘ + P*3z

JT Э1£

Рж dt2'

С учетом равенства (1.27) можно с высокой степенью точности

заменить общий переменный множитель ~ в квадратных скобках

левой части уравнения (1.122) постоянным множителем, т.е. принять

JU -L

Р~Ро*

(1.123)

Тогда вместо (1.122) получим:

Ро *

d (pv,) Э (pvy) Э (руг)

dx dy dz

+_LV2.+. ^ L i : B > d.124)

ft. p 4 f t ,a r

Учитывая равенства (1.10) и (1.118), заменяем в уравнении (1.124)

выражение в квадратных скобках:

_1_

Ро

Др*Эр 1 „ 2 Эр2

- ifi ^ + F V Р+« Х

*Рж dt р;

Эу р* dt2

(1.125)

или же, принимая во внимание равенство (1.41), получаем

I Эр й „Эр* „ Э 2р (1.126)

Уравнение (1.126) нелинейное из-за члена, содержащего про-

Эо 2

изводную Линеаризуем уравнение (1.126,) воспользовавшись

ду

приближенным равенством (1.111):

Г7 2 1 Зр Эр q * Э2р (1.127)

Перейдем в уравнении (1.127) от р к р, учитывая линейную

зависимость (1.27):

Y7 2 п 1 Эр Оо др ,о - д 2р (1.128)

7 ',=; ¥ - 2fep»s ^ +s p«aF'

Уравнение (1.128) и есть дифференциальное уравнение теории

упругого режима, в котором учтены влияния не только тех сил,

которые были приняты во внимание при выводе простейшего

дифференциального уравнения пьезопроводности (L44) или (1.45),

но и влияние сил инерции и тяжести.

Если в уравнении (1.128) пренебречь влиянием силы тяжести

и упругостью пористой среды, т.е. принять т » const,

рс = 0, р* -т Рж, то получим более частное уравнение, выведенное

впервые Т. Оровяну и Г. Пабсалом [923]. Полученное в этом

частном случае уравнение Оровяну — Паскала будет отличаться

множителем т в одном из слагаемых от соответствующих уравнений

И. А. Чарного [661] и П. Я. Полубариновой-Кочиной [519]. При

чина упомянутого расхождения была пояснена в цитированной

выше статье [742]; см. еще [370].

Если в уравнении (1.128) пренебречь влиянием сил инерции,

отражаемым последним членом правой части, то получим ранее

выведенное уравнение (1.113).

Если, наконец, в уравнении (1.128) пренебречь влиянием силы

тяжести, отражаемым предпоследним членом правой части, то

получим типовое, так называемое телеграфное уравнение:

13р R . Э’р (1.129)

Р» г р

Проведенный И. А. Чарным [661] и М. И. Швидлером [586]

анализ привел этих авторов к выводу о том, что пренебрежение

силами инерции не вносит заметных погрешностей в результаты

решения задач теории упругого режима.

Однако в работе Р. Г. Шагиева [687] приведены критические

замечания по поводу только что сделанного вывода. Р. Г, Шагиев

основывается на исследовании влияния сил инерции в позднее

опубликованной статье Т. Оровяну и Е. Сильвяну [924] и на

собственных проведенных расчетах. Авторы двух последних работ

указывают, что при определенных условиях пренебрежение силами

инерции приводит к заметным погрешностям, например, при

результатах обработки кривых восстановления давления в скважинах

после их остановки.

§ 10. Учет анизотропии пласта

Во всех предшествующих параграфах при выводе уравнений

пористая среда считалась изотропной и либо однородной, либо

неоднородной как по проницаемости, так и по пористости. В

условиях однородной изотропной пористой среды величина про

ницаемости одинакова для всех точек и во всех направлениях (т.е.

при любом направлении скорости фильтрации). В условиях же

неоднородной изотропной пористой среды величина проницаемости

рассматривается, вообще говоря, как скалярная функция координат

точек среды (среда, конечно, считается сплошной — см. § 1).

В неоднородной анизотропной пористой среде ее проницаемость

меняется не только от точки к точке, но и различна в различных

направлениях. В этих условиях проницаемость следует рассматри

вать как тензорную величину — см. по этому поводу работы,

например, [27], [299], [369], [519], [774], [833], [834], [840], [926],

[953].

Если жидкость движется в анизотропной пористой среде, то

нельзя считать, что в любой точке среды вектор скорости

фильтрации совпадает по направлению с вектором градиента

давления.

Рассмотрим здесь сравнительно простой, но наиболее интерес

ный для большинства практических задач случай ортотропной

пористой среды.

Напомним, что анизотропная пористая среда называется орто

тропной, если существуют три такие взаимно перпендикулярные

направления (одинаковые для всех точек среды), вдоль которых

направления векторов скоростей фильтрации и градиентов давления

совпадают. Упомянутые три направления называются осями ортотрогти.

Не вдаваясь в подробности, укажем, что оси ортотропии

совпадают в каждой точке ортотропной пористой среды с главными

осями проницаемости, т.е. с осями симметрии эллипсоида прони

цаемости*.

По определению ортотропной пористой среды динамические

уравнения фильтрации записывают для нее в следующей форме,

считая, что прямоугольные декартовы оси координат х, у, z

совмещены с осями ортотропии:

где кХь ку, кг — проницаемости в направлении осей ортотропии.

Можно дать другое определение ортотропности пористой среды.

Именно пористая среда называется ортотропной, если существуют

три такие взаимно перпендикулярные направления, что, совместив

с ними оси декартовых координат, закон Дарси при любом движении

можно записать в форме уравнений (1.130).

Для нефтеносных или водоносных (за исключением, например,

лессовых) пористых пластов чаще всего можно принимать, что

считая ось у, направленной перпендикулярно плоскости напласто

вания, а оси х и z, расположенными в этой плоскости как угодно.

Пока не будем учитывать соотношений (1Л 31), т.е. для большей

общности последующих рассуждений будем считать величины кх,

ку, кг, вообще говоря, различными.

Для вывода в рассматриваемых условиях дифференциального

уравнения пьезопроводности необходимо, как и в аналогичных

предыдущих случаях, синтезировать динамические уравнения филь

трации с уравнениями неразрывности и состояния.

Заметим попутно, что авторы некоторых (довольно многих) статей, моногра

фий, учебников, в которых рассматриваются вопросы фильтрации в анизотропной

пористой среде, без всякого специального обоснования и дополнительных оговорок

считают тензор проницаемости обязательно симметричным. На самом же деле соот

ветствующие обоснования и оговорки нужны. Смотреть, например, по этому поводу

вполне строгое изложение родственных вопросов теплопроводности в анизотропных

твердых телах в § 17—20 главы I второго издания монографии Карслоу и Егера [350].

(1.130)

kz dp

ц dz'

(1.131)

Подставим значения v*, Vy, v2 из динамических уравнений (1.130)

в уравнение неразрывности (1.10):

Э_

Эх

г кхдр_

Эу

ч :

kz Э^

’

(1.132)

Учитывая уравнения состояния для жидкости и пористой среды*

(1.22), (1.23) и вытекающие из них соотношения (1.31)— (1.33),

принимая постоянными не только величины кх, ку, к2у но и

коэффициент вязкости [J, вместо (1.132) получаем:

кх Э2-

<1,33)

м. Эх2 Ц- Эу2 U dz

Памятуя приближенную линейную зависимость (1.27) плотности

жидкости р от давления р и равенство (1.40), перепишем последнее

уравнение (1.133) в следующей форме:

f c a i = R* & <1Л34>

M-cbc2 R Эу 2 p. 3z 2 ЭГ

Уравнения (1.133) и (1.134) для ортотропной пористой среды

несколько сложнее соответствующих уравнений (1.38), (1.43), (1.44)

для однородной изотропной пористой среды. Однако уравнения

(1.133) и (1.134) можно с помощью преобразования координат

упростить и привести к виду только что упомянутых более простых

уравнений.

Введем для этого новые координаты т|, £, связанные со старыми

координатами х, у, z соотношениями**:

t л Л Г л Л Г r J T (1.135)

1 = *т ;х ,1 \= ч т ;у . £,= v-irz z,

где к какая-то величина, имеющая размерность проницаемости. Зна~

чение к можно выбрать произвольно; например, к можно принять

Даже для ортотропной пористой среды можно было бы принять более сложное

уравнение состояния, чем уравнение (1.23). Однако основная цель данного параграфа

состоит в том, чтобы показать, как учитывается анизотропия пласта по проницаемо

сти. Поэтому не будем усложнять выкладки кторостсисмкыми деталями и сохраним

для ортотропной пористой среди уравнение состояния в простейшей форме (1.23).

ф*

Преобразование (1.135) ппервые было выполнено Самсио.

равным одной из величин lcXi ку, kz или равным среднеарифметиче

ской из этих величин и т.п.

На основании первого равенства (1.135) будем иметь;

д 2Р к

a*2 dt2[dxj Э| 2кх

(1.136)

и аналогичные соотношения для производных по другим координатам.

Поэтому, учитывая преобразование координат, определяемое

равенствами (1.135), вместо (1.134) получим:

Итак, действительно, уравнение (1.137) имеет форму простей

шего дифференциального уравнения пьезопроводности (1.44).

Таким образом, совершая преобразование координат (1.135), можно

для ортотропной пористой среды использовать решения, найденные

для родственных задач однородной изотропной пористой среды.

Однако Карслоу и Егер [350] справедливо отмечают, что

преобразованием координат и, следовательно, уравнением (1.137)

удобно пользоваться лишь в тех случаях, когда решается задача

или для неограниченной пористой среды, или когда пористая среда

ограничена плоскостями, перпендикулярными осям ортотропии, или,

если справедливо соотношение (1.131), причем границей пористой

среды служит боковая поверхность круглого цилиндра с осью у.

Последнее условие вполне приемлемо при решении многих

практически важных задач подземной гидродинамики. Во всех

других случаях граничные условия в преобразованных координатах

записываются столь сложно, что пользоваться преобразованными

координатами и уравнением (1.137) не имеет смысла и поэтому

для ортотропной среды приходится решать более сложное диф

ференциальное уравнение (1.134).

к (д 2р Э2р Э2И Эр

^ * | ^ 2 + dn2 + ac2J эг

(1.137)