Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Жидкость называется ньютоновской, если внутреннее трение в

ней подчиняется известному (из физики и гидравлики) линейному

закону Ньютона. В этом законе реологические свойства жидкости

характеризуются одной величиной — динамическим коэффициен

том вязкости.

Линейный закон фильтрации Дарси выражается для пористой

среды следующей формулой*:

v . - b p u i p <1Л5>

или в аналитической форме:

к Эр

Vz li dz'

В этих равенствах приняты следующие обозначения: v — вектор

скорости фильтрации, — его проекции на оси координат;

— коэффициент проницаемости пористой среды, — динами

ческий коэффициент вязкости фильтрующейся ньютоновской

жидкости;

grad р

— вектор-градиент давления.

Формулу (1.15) можно переписать и так:

+gradp =0. О-17)

Равенство (1.17) выражает собой условие равновесия сил,

действующих на жидкость, движущуюся в пористой среде; все

В несколько более упрощенной форме, применительно к прямолинейно-парал

лельному потоку, этот закон был опубликован Дарси в 1856 г. на основании опытов,

проведенных им в 1852—1855 годах [818].

учитываемые силы отнесены к единице объема пористой среды.

Первое слагаемое в равенстве (1.17) характеризует силу сопротив

ления движению ньютоновской жидкости в пористой среде; второе

слагаемое — главный вектор поверхностных сил давления*.

Этим и объясняется, что уравнение (1.17) и эквивалентное ему

уравнение (1.15) называют, как уже ранее упоминалось, динамиче

ским уравнением теории фильтрации.

В более общем случае в левую часть уравнения (1.17) вводят,

используя принцип Даламбера, силы инерции и другие массовые

силы — см. по этому поводу [742] и § 9 данной главы. Р. Коллинз

[818] справедливо подчеркивает, что для практических целей закон

Дарси вполне можно считать справедливым не только в условиях

стационарной, но и нестационарной фильтрации. Теоретическому

обоснованию закона Дарси посвящена статья С. Ирмей [297].

Однако считать закон Дарси универсальным отнюдь нельзя.

Именно уместно напомнить, что при достаточно больших скоростях

фильтрации или, точнее говоря, при превышении соответствующих

значений параметра Рейнольдса уравнениями (1.15) и (1.17)

пользоваться уже нельзя.

Наиболее полные экспериментальные исследования, связанные

с установлением верхней границы применимости линейного закона

фильтрации Дарси, были проведены А. И. Абдулвагабовым [4, 5].

Статья [763] специально посвящена анализу формул, служащих

для определения параметра Рейнольдса в теории фильтрации, а

также анализу теоретических и экспериментальных исследований

верхней границы применимости линейного закона фильтрации

Дарси.

На существование нижней границы применимости линейного за

кона Дарси — при весьма малых скоростях фильтрации — впервые

указал еще в конце прошлого века Кинг [893]. Поразительно, что на

это указание Кинга длительное время не обращали внимание. Лишь

с тридцатых годов стали проводиться специальные исследования

фильтрации воды при очень малых скоростях (при весьма малых

градиентах давления), а затем и более общие исследования фильтра

ции неньютоновских жидкостей, в частности и с учетом явления

релаксации, когда использовать закон Дарси нельзя. К настоящему

времени этому посвящена большая литература. Ограничусь ссылкой

на книги А. Г. Арье [30], Г. И. Баренблатта, В. М. Ентова; В. М. Ры

жика [52], М. Г. Бернадинера, В. М. Ентова [69], А. Т. Горбунова [173],

В. В. Девликамова, 3. А. Хабибулина, М. М. Кабирова [251], В. М. До

брынина [271], В. Г. Левашкевича [409], А. X. Мирзаджанзаде,

Образно и точно это слагаемое Л. Г. Лойцянский [425] называет интенсивно

стью объемного действия поверхностных сил.

A. Г. Ковалева, Ю. В. Зайцева [446], Ю. М. Молоковича [454],

B. Н. Николаевского, К. С. Басниева, А. Т. Горбунова, Г. А. Зотова

[481]. В цитированных книгах в совокупности можно найти почти

исчерпывающую соответствующую библиографию, охватывающую

также и литературу по вопросам нелинейной теории упругого режима.

По поводу приведенного выше основного закона фильтрации

Дарси необходимо еще отметить, что в динамике подземных вод

и в гидрогеологических расчетах предпочитают обычно пользо

ваться величиной коэффициента фильтрации кф вместо коэффи

циента проницаемости к. Поэтому закон Дарси записывают вместо

формулы (1.15) в такой форме:

где у — вес единицы объема (удельный вес) жидкости. Конечно,

гидрогеологи под кф и у подразумевают коэффициент фильтрации

и вес единицы объема только для воды.

Учитывая проводимые в дальнейшем аналогии, закон Дарси

полезно переписать и так:

причем величина К, названная первоначально [725] динамическим

коэффициентом фильтрации, зависит от свойств пористой среды и

фильтрующейся в ней жидкости.

По определению

(1.18)

v = - Kgrad р ,

(1.19)

(1.20)

Коэффициенты, входящие в равенства (1.15)—(1.20), имеют

следующие размерности: (1.21)

r K] = k l = L H

FT M ’

где L, Т, М, F — соответственно символы единиц длины, времени,

массы и силы.

§ 4. Уравнения состояния жидкости и пористой среды

в простейших условиях

В простейших условиях уравнения состояния (характеристиче

ские уравнения) жидкости и пористой среды имеют вид:

<L22)

dm = рс dp . (1.23)

Постоянные величины р ж и Рс называются объемными коэф

фициентами упругости (или сжимаемости) жидкости и пористой

среды; они имеют размерность, обратную размерности давления, т.е.

1 1 , 1ч

чаще всего выражаются в —- или —- (ранее выражались в —).

Па МПа ат

Вместо величин коэффициентов упругости р ж и Р с часто используются

обратные им величины модулей упругости жидкости и пористой

среды Кж и Кс:

Уравнения (1.22) и (1.23) связывают линейными зависимостями

изменения в какой-либо точке пористой среды плотности жидкости

р и пористости m с изменением давления р. Линейность уравнений

(1.22) и (1.23) отражает предположения о том, что при изменении

давления деформация жидкости и пористой среды подчиняется

закону Гука. Процесс деформации считается изотермическим, что

вполне соответствует обычным условиям, в которых применяется

теория упругого режима.

Подчеркнем, что в рассматриваемых простейших условиях

только две величины — плотность жидкости и пористость —

считаются зависящими от давления. Проницаемость пористой среды

и вязкость жидкости предполагаются, как уже упоминалось в

предыдущем параграфе, не зависящими от давления постоянными

величинами.

Однако надо учитывать, что существует много практически

важных и теоретически интересных задач, при решении которых

недопустимо считать проницаемость и вязкость постоянными

величинами. Такие задачи относятся уже к нелинейной теории

упругого режима, которая в данной работе не рассматривается.

Проинтегрируем уравнение (1.22):

откуда после потенцирования

р = р 0е р»(р-р°) = рое"р*(р°"р), (1.25)

где начальная плотность жидкости р0 соответствует начальному

давлению ро в рассматриваемой одной и той же точке пористой сре

ды. Пользуясь разложением в ряд экспоненциальной функции, пе

реписываем последнее равенство:

Р = Р 0 [ 1-Эж(Ро-Р) + |Р ж(Ро-Р)2 --]- (1-26)

Величина объемного коэффициента упругости для нефти и

воды не более чем порядка 10 ~3 wl_ , т.е. Ю^4—. Изменения же

МПа ат

давления (Ро - р) ъ условиях разработки нефтяных и артезианских

пластов обычно меньше или в редких случаях несколько больше

(но того же порядка) чем 10 МПа, т.е. 102 ат. Поэтому величина

произведения рж(р 0-р ) по сравнению с единицей мала — обычно

не больше 0,01. Величина РжСРо-Р)2 еЩе меньше. Следовательно,

в квадратных скобках правой части равенства (1.26) с высокой

степенью точности можно пренебречь всеми членами разложения,

кроме первых двух; тогда получим

Р=Ро[1-Р*(Ро—Р )Ь

(1.27)

Продифференцируем равенство (1.27):

(1.28)

Сравнивая равенства (1.28) и (1.22), легко заметить, что в

знаменателе левой части равенства (1.22) текущее значение

плотности с высокой степенью точности можно заменить начальным

значением плотности, т.е. закон Гука для жидкости допустимо

записывать в форме (1.28).

Проинтегрировав уравнение (1.23), найдем:

где начальное значение пористости т0 соответствует начальному

пластовому давлению р0 в исследуемой одной и той же точке пори

стой среды.

На основании равенств (1.27) и (1.29) допустимо считать, что

в обычных интервалах изменения пластового давления плотность

жидкости и пористость среды линейно зависят от давления.

В дальнейшем понадобятся следующие соотношения, являющи

еся следствием уравнений состояния (1.22) и (1.23):

т = т 0 + $ с(р-Р о ) = т о~$с(Ро~Р ). 0-29)

gradp = P x pgradp,

(1.30)

(1.31)

(1.32)

dt ~ Рс dt -

(1.33)

Кроме коэффициентов р ж и Рс объемной сжимаемости жид

кости и пористой среды, в теории упругого режима важное значение

имеет еще один коэффициент р*, называемый коэффициентом

упругоемкости пласта. Такое название коэффициенту было дано

в статье автора [725]. Этот коэффициент входит в следующую

формулу:

dVx = $*V0dp, (1.34)

где V о — объем пространства, занятый выделенным объемом пла

ста, dV ж — изменение упругого запаса жидкости в этом объеме при

изменении в нем средневзвешенного пластового давления на вели

чину dp.

Следовательно, величина коэффициента упругоемкости пла

ста Р * численно равна изменению упругого запаса жидкости в

единице объема пласта при изменении на одну единицу (на

пример, на 1 Па, или на 1 МПа, или на 1 ат) пластового

давления. Размерность коэффициента Р * обратна размерности

1 1

давления и поэтому выражается в — или

Для связи коэффициента упругоемкости пласта с его пористо

стью и с коэффициентами сжимаемости жидкости и пористой

среды используют следующую формулу:

р*=трж + р с. (1.35)

Формулы (1.34) и (1.35) здесь приведены, так как они

необходимы для дальнейшего изложения. Подробное пояснение

и обоснование этих формул, связанных с использованием коэф

фициента упругоемкости пласта, будет дано далее, в главе 25.

§ 5. Выводы и анализ простейшего основного

дифференциального уравнения теории

упругого режима — уравнения пьезопроводности.

Историческая справка

Шесть уравнений (1.10), (1.16), (1.22), (1.23) представляют собой

замкнутую систему (число независимых уравнений равно числу

искомых функций) для определения шести неизвестных величин

ух Vy, vz> р, р, т в любой точке фильтрационного потока и в любой

момент.’ Следовательно, шесть перечисленных величин должны

быть определены как функции от х, у, z, t. Для вывода основного

дифференциального уравнения движения упругой жидкости в

упругой пористой среде надо объединить (синтезировать) упомя

нутые выше шесть уравнений.

Подставляем значения vxy Vy, vz из (1.16) в (1.10), считая, как

уже упоминалось в предыдущих параграфах, к и \i постоянными

величинами и соответственно одинаковыми во всех точках филь

трационного потока:

А Г Л ( Эё) А

^cfct + Эу ду

Ъг

Пользуясь символами векторного анализа, можно было бы

подставить значение вектора v из (1.15) в (1.11):

к . Эр дт

-d iv(pgradp) = m -£ + p-^-.

(1.37)

Уравнение (1.37) отличается от уравнения (1.36) только симво

ликой записи левой части.

Учитывая равенство (1.30) и (1.33), преобразовываем уравнения

(1.36) и (1.37), исключая из них величину р :

atc2 + oty2- + 3z2

к ч Эр Рс Эр

Два последних уравнения приводят к одному и тому же

результату:

>£> ЭЪ

etc2 Эу2 Эг2

= ( т рх + р с )^ .

(1.38)

В коэффициент перед производной ^ в правой части равенства

(1.38) входит величина пористости т , зависящая от давления

(оказывающего влияние на плотность жидкости). Поэтому уравне-

ние (1.38) надо, строго говоря, считать нелинейным. Однако, с

учетом равенства (1.29), оказывается, что

"1Рж + Рс = "*оРж + Рс-РжРс(Р0-Р)- (1-39)

В равенстве (1.39) последний член правой части значительно

меньше (примерно на два порядка) первых двух, так как величина

т 0 порядка 10'1, величина Вс порядка 10"4 . (или 10"5—), а о

МПа ат

порядке величин Эж и (Ро Р) говорилось в предыдущем

параграфе. Следовательно,

Р = 171 рх + рс = /ПоРж + рс , (1.40)

где р* — введенный выше коэффициент упругоемкости пласта.

Итак, в правой части равенства (1.38) переменную величину т можно

(с достаточной степенью точности) заменить постоянной величиной

то, и, тем самым, допустимо считать уравнение (1.38) линейным.

Если в равенствах (1.29) и (1.39) под р0 подразумевать среднее

значение начального пластового давления, то и величину т0 надо

всюду считать средним значением начальной пористости.

Введем новый коэффициент к, названный автором в 1946 г. коэффици

ентом пьезопроводности пласта [725]; этот коэффициент служит важ

нейшей характеристикой процесса выравнивания в теории нестацио

нарной фильтрации (величина коэффициента пьезопроводности ха

рактеризует темп процесса, перераспределения давления, т.е. темп

процесса его выравнивания) и определяется равенством*:

______

________

_______

_____

(1.41)

К - ц (т рж + рс) ~ (J. р* " Р* = ц (т 0 р ж + Рс) ‘

Объяснение термина «пьезопроводность» будет дано в этом же

параграфе ниже.

В рассматриваемых условиях коэффициент пьезопроводности

имеет постоянную величину.

С учетом размерности величин к, |i и р*, размерность коэффи

циента пьезопроводности, определяемого равенством (1.41), такова:

Коэффициент пьезоггроводности обозначается всегда греческой буквой «кап

па», которая здесь изображается буквой к, её надо отличать от латинской буквы к.

где L и Т — символы единиц длины и времени.

Обычно коэффициент пьезопроводности измеряется в см2/с или

м2/с, но иногда и в м2/сут. Учитывая равенство (1.41), перепишем

уравнение (1.38):

= (1.43)

Эх2 Эу2 3z2 к ЭГ

Это и есть искомое дифференциальное уравнение. Однако в

теории упругого режима его предпочитают записывать в иной

форме, учитывая, что р и р связаны приближенной линейной

зависимостью. Подставляя в уравнение (1.43) вместо плотности р

ее выражение через давление р из равенства (1.27), получаем:

*JL + # R + *Jl = L*IL (1.44)

obe2 dy2 dz2 к dt'

Уравнения (1.43) и (1.44) представляют собой линейные

дифференциальные уравнения в частных производных второго

порядка с постоянными коэффициентами. По принятой классифи

кации дифференциальных уравнений с частными производными

уравнения (1.43) и (1.44) принадлежат к параболическому типу.

В отличие от дифференциальных уравнений равновесного состо

яния и колебаний уравнения параболического типа называют

«уравнениями выравнивания». Причина такого общего названия

станет ясной на основании анализа решений уравнений (1.43) и (1.44).

По общему виду эти уравнения в точности совпадают с

дифференциальным уравнением теплопроводности, выведенным

Фурье в 1807 г. [836].

Уравнение (1.44) было названо автором [725] уравнением

пьезопроводности, так как с его помощью решаются задачи о

перераспределении давления в пласте в условиях нестационарной

фильтрации. Так же называют и уравнение (1.43), хотя точнее его

следовало бы назвать уравнением денсопроводности.

Так как дифференциальное уравнение пьезопроводности сов

падает по общему виду не только с уравнением теплопроводности

Фурье, но и с дифференциальным уравнением диффузии, выве

денным Фиком, некоторые авторы в статьях и книгах по подземной