Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Определяя из равенства (4.144) величину и подставляя ее

в равенство (4.139), получим следующую формулу для определения

зависимости дебита стока (галереи) от времени:

Судя по формулам (4.142) и (4.145), Qc =00 при t = 0, как и

должно быть, с учетом, что в момент 7 = 0 давление на стенке

галереи было мгновенно снижено на конечную величину Арс.

На основании формулы (4.145) можно определить количество

(объем) жидкости V c(t), которое за время t будет добыто из

галереи:

При выводе только что приведенных формул для прямолиней-

но-параллельного потока предполагалось, что жидкость притекает

к прямолинейной галерее с двух сторон из бесконечного пласта

Площадь стенки галереи с каждой стороны считалась равной

а ; поэтому суммарная площадь двух стенок с двух сторон галереи

равна 2а. Определяемые формулами (4.145) и (4.145 а) величины

дебита Qc и добытого из галереи количества жидкости V с

учитывали приток жидкости к галерее с двух сторон. Этот факт

здесь надо было подчеркнуть, так как при решении задачи об

одностороннем притоке жидкости к прямолинейной галерее из

полубесконечного пласта можно использовать для определения

дебита Qc галереи и количества добытой жидкости V c те же

формулы (4.145) и (4.145 а), но в первой из них множитель 2о

надо заменить на а , а во второй — множитель 4а заменить на 2а.

Заметим, что при а = 0 второй параметр в функциях Уиттекера

в формулах (4.127) и (4.128) становится равным а в этом

частном случае оказывается возможным перейти к функциям Вебера

(параболического цилиндра) и функциям Эрмита, обозначаемым

соответственно символами D и Н (см.§ 8 Приложения), и равенствам

(П.264), (П.265). Поэтому для прямолинейно-параллельного потока

вместо формул (4.127) и (4.128) можно пользоваться следующими

формулами [761]:

(4.145)

(4.145 а)

(4146)

(4147)

; * - . . ,( V S T ) . (4.148)

(4.149)

Формула (4.146) совпадает с полученной Нордоном [920].

Перейдем к рассмотрению плоско-радиального потока. Полагая

а - 1 и учитывая, что Лх = lib , Г (1) = 1 (см.равенства (3.20) и (П.8),

из формул (4.119) и (4.125) получаем:

Ар =

e g f« iir fr + i) -Ё

4nbk

1> 1 : 4 к*

_|!

Q l= Q ;^ r (s + l)e

s ,0 ;

4к*

(4.150)

(4.151)

Заметим, что из формулы (4.150) проще выводятся все те

результаты, которые иным способом были получены в статье [49].

Если s = 0, т.е. если дебит стока постоянный, то равенства

(4.150) и (4.151) примут вид:

Л СоД

Др = — — е V

4nfeJk

1 1 • -s—

’ ’ 4к*

l i

Q| = Goe

£ 2

°’°5Ь

(4.152)

(4.153)

Учитывая формулы (П.342) и (П.344) и полагая Q*0 = Qc, вместо

равенств (4.152) и (4.153) получим ранее выведенные формулы

(4.14) и (4.20).

По формулам (4.150) и (4.151) можно при любом значении

s > -1 подсчитать понижение давления и расход жидкости в

плоско-радиальном потоке, используя таблицы ВГФ II рода.

Учитывая, что в подземной гидродинамике изучение плоско

радиальных потоков имеет весьма важное значение, оказалось

целесообразным ввести в рассмотрение особые функции, упроща

ющие формулы, характеризующие плоско-радиальные потоки. Эти

функции автор предложил называть специальными кратными

интегральными показательными функциями или сокращенно СКИП-

функциями. Они были определены в статье [755] й затем более

улучшенным способом — в статье [76Ц. СКИП-функции имеют

такое же значение при исследовании плоско-радиальных потоков,

какое имеют кратные интегральные дополнительные функции

ошибок при исследовании прямолинейно-параллельных потоков.

Определения и свойства СКИП-функций приведены в § 11 При

ложения (см. особенные формулы (П.411)—(П.414).

Используя равенства (П.392) и (П.393), связывающие СКИП-

функции I и II рода ф5и\^ с ВГФ II рода Ч*, вместо формул

(4.150) и (4.151) получим, считая, что s = 0, 1, 2, 3 ,...:

Ap = ® tSM k (?s

Q^=Qstssl\\rs

( jr2 >1

4кг

V /

QcVs !

ЛкЬк

4к*

= Qcs

4k# I’

1 1

4кt

(4.154)

(4.155)

Учитывая равенство (П.381), формулу (4.155) можно переписать

так:

(h = Q!tssi

Фж-1

( ^ 2 \

4кt

-S<Ps

111

4к*

(4.156)

Формулы (4.154)—(4.156) весьма компактны и просты именно

благодаря использованию СКИП-функций. Это дало основание

автору называть СКИП-функции характеристическими функциями

плоско-радиального потока [754]. Добиться компактности и про

стоты формул (4.154)—(4.156) важно было потому, что они имеют

особое значение не только в общей теории упругого режима,

позволяя исследовать особенности притока жидкости к точечному

стоку на плоскости или к линейному стоку в пространстве, но и

в приложениях. Ведь эти же формулы характеризуют простейшие

потоки жидкости к гидродинамически совершенным скважинам

(см.§ 1 главы 3).

В § 11 Приложения указывается, что СКИП-функции I рода

ф5 табулированы Ш. А. Гаджиевым [151] для значений

5 = 0 ,± 1 ,± 2 |± 3 |±4 (см. табл. П. 8)*.

Пользуясь равенствами (П.395), (П.396), (П.401), формулу (4.154)

можно преобразовать и представить в следующих различных

формах:

Ар =

ill

4к*

(4.157)

Др =

4itbk

i - ( - i ) vc ; £ ¥+1

v = 0

'l M

4кt

(4.158)

v = 0

-E i

.11

4kt

(4.159)

a* ! ,

^Р= лгаГ

4nbk

-Ю

.11

4kt

(4.160)

где Г

- v ,

4к/

4кt

— интег-

— неполная гамма-функция, Ev+i

ральнай показательная функция (см. соответственно § 4 и 5 Прило

жения); CJ — биномиальный коэффициент (см. формулу (П.117);

intv и Int* — обозначения, поясняемые равенствами (П.355) и

(П.398).

Заметим, во-первых, что в исследованиях плоско-радиального

потока В. А. Беркуном [66] были использованы функции, почти

В формулах (4.154)—(4Л56) используются функции ф, только с целыми поло

жительными индексами s (или еще при s = 0), но в дальнейшем будут выведены

другие формулы, в которых приходится использовать функции (ps с целыми отрица

тельными индексами s.

аналогичные СКИП-функциям q>s ; во-вторых, при а = 1 формула

(4,120) вырождается в формулу, выведенную В. Н. Беловым [63],

[64] и затем В. А. Беркуном [67].

Случай линейной зависимости дебита стока от времени был

исследован Ю. П. Борисовым [81], [84]; конечно, полагая s * 1 в

выведенных выше общих формулах, получаем возможность иссле

довать упомянутый частный случай.

Для рассмотрения случая сферического радиального потока

надо положить а ~2 в формулах (4.119),(4.120), (4.125), (4.126).

J 3 Л V7C

Тогда, учитывая еще, что Л2 = к ,Г ~

(П-8), получим:

(см.равенства (3.21) и

Ьр

-.е

87t 2/zk (кt) ’

2Q*s t* r(s+ l) - Ё Х j 1 Л 2

2 ’ 2 ’ 4к#

(4.161)

(4.162)

Допустим, что s — любое полуцелое или целое положительное

число, либо нуль, либо Vi, т.е. примем, что

1 л 1 > 3 9

s = -x,0,-, 1 ,-,2,....

(4.163)

2 ’ '2'

При условии (4.163) формулы (4.161) и (4.162) можно переписать,

учитывая равенства (П.336), (П.337) и функциональное соотношение

(П-308), в таком виде:

Ар

4л*|

Q^=22s + 1 Q jfs r (s+ 1)

4кt ’

1 .2(5-1) Л/1Г

7 1 erfc V 4K f-

(4.164)

(4.165)

Полагая в равенствах (4.164) и (4.165) s = 0 и учитывая

функциональное соотношение (П.46), получим ранее выведенные

формулы (4.15) и (4.21).

Сравнение формул (4.137), (4.160) и (4.164) позволяет установить

некоторую аналогию: понижение давления в условиях прямолиней

но-параллельного, плоско-радиального и сферического радиального

потоков выражается с помощью специальных трансцендентных фун

кций, определяемых с помощью последовательного n-кратного интег

рирования, либо дополнительной функции ошибок, либо упрощенной

интегральной показательной функции. Поэтому функции, получае

мые n-кратным интегрированием дополнительной функции ошибок,

могут с таким же правом называться характеристическими функциями

прямолинейно-параллельного и сферического радиального потоков

(или даже одномерных потоков в любом пространстве нечетного числа

измерений), как и функции, получаемые n-кратным интегрированием

упрощенной интегральной показательной функции, называемые ха

рактеристическими функциями плоско-радиального потока (или даже

одномерных потоков в любом пространстве четного числа измерений).

В заключение поясним причину, по которой, как было отмечено

в начале данного параграфа, в формуле (4.110) на величину

показателя степени наложено ограничение: всегда должно быть

5> - 1 . Действительно, количество жидкости V , которое за время

t извлекается из стока, определяется с учетом равенства (4.110)

по формуле

Количество жидкости У, добитое из стока за конечный

промежуток времени £, всегда должно быть величиной положи

тельной и конечной. Величина же интеграла, входящего в правую

часть равенства (4.166), может бы^гь положительной и конечной

только при условии: s > - 1.

Общие формулы (4.119), (4.120), (4.125), (4.126) применимы для

одномерных потоков в любом многомерном пространстве. Полагая

в этих формулах а = 0,1,2, полумили формулы (4Л35), (4Л36),

(4.150), (4.151), (4.161), (4.162), характеризующие простейшие потоки

соответственно в пространстве одного, двух, трех измерений, т.е.

прямолинейно-параллельный, плоско-радиальный и радиально

(4.166)

§ 5. Упрощение формул* характеризующих

три простейших одномерных потока

при различных частных предположениях

относительно закона изменения дебита стока

сферический. Во все перечисленные формулы входят ВГФ II рода,

первый аргумент которых содержит величину 5, которая может

быть равна любому действительному числу, но при условии,

что s > - 1.

Величина s представляет собой показатель степени в одночлен

ной степенной зависимости дебита стока Qc от времени (см. ра

венство (4.110).

Если считать, что величина 5, большая -1, равна не любому

действительному числу, а равна, например, только любому полуцелому

или целому числу, включая нуль, то ВГФ вырождаются в более

простые трансцендентные функции.

В предыдущем параграфе уже было доказано, что при

1 1 3

5 = - - , 0 ,- , 1 , —,2,... вместо формул (4.135), (4.136) получаются

Zd Zt

более простые формулы (4.137), (4.138) для прямолинейно-парал

лельного потока и вместо формул (4.161), (4.162) получаются более

простые формулы (4.164) и (4.165) для радиально-сферического

потока. Там же было доказано, что при 5 = 0,1,2,3,... для

плоско-радиального потока вместо формул (4.150), (4.151) оказы

ваются справедливыми более простые формулы (4.154), (4.155).

Во все упрощенные формулы ВГФ уже не входят.

Приведем далее упрощенные формулы для каждого из трех

простейших одномерных потоков при нескольких частных значениях

величины 5.

Четырех значений величины s, равных -~ ,0 ,^ , 1, достаточно,

Z Z

чтобы, во-первых, понять характерные особенности расчетных формул,

сравнивая их между собой. Во-вторых, выбор именно этих значений

величины 5 представляет особый интерес и для практики. Дейст

вительно, значение 5 = 0 соответствует случаю постоянного дебита

стока; значение s = 1 соответствует случаю линейно изменяющегося

и именно растущего со временем дебита; значение же s = - ^

соответствует случаю уменьшающегося со временем дебита стока.

Формулы для прямолинейно-параллельного потока

Случай I. s = ~2 -Этот случай пуска плоского стока с постоян

ным понижением давления Ар на плоской стенке стока уже был

рассмотрен в предыдущем параграфе, и там были выведены и

проанализированы соответствующие расчетные формулы (4.140) и

(4.142).

Случай II. s = 0. Этот случай пуска плоского стока с

постоянным дебитом был исследован в § 1 данной главы; там же

были выведены соответствующие расчетные формулы (4.13) и (4.19).

Случай III. $ = Подставив это значение s в формулы (4.137)

и (4.138), получим:

0 V 4 * f c Qvif VVratf ..

Ар =

---------

--------i zerfcr-rr =

------------------

ok 2vkt 2ok

+2* i) eTfc2 h -4 Z 2 h *

(4.167)

(4.168)

Чтобы получить формулы для плоской стенки стока, надо

положить в предыдущих равенствах | = 0 и еще учесть соотношения

(П.35) и (П.36 а):

((h\=o = Qvit Vl = Qc,

(4.169)

(4.170)

где Qc — дебит стока (см.формулу (4.110).

В рассматриваемом случае понижение давления на стенке

стока пропорционально времени t, а дебит стока пропорцио

нален VF.

Случай IV. s = 1. Подставив это значение s в формулы (4.137)

и (4.138), получим:

4Qif|xVKf., ■% 2Q\tvrfKt

ok 1 erfc2 ^ = Ъок ’

Vit"

£ 2

i + т -

4кt

2 ' -Ы 1

е —

2 2Vkt

3 + 2

1 1

4кt

erfc

(4.171)

Q| = 4Qtri2erfc^=0f||

VnT 2i/k F

I + 2 I 3 I erfc - , .

4i<t 2Vi

На плоской стенке стока | = О, учитывая еще и формулу (П.36 а),

будем иметь:

(4.173)

<2^о = <2?* = <2с

(4.174)

Такого рода точные формулы, характеризующие нестационарный

прямолинейно-параллельный поток жидкости к галерее с линейно

изменяющимся дебитом, были выведены и проанализированы

О. Н. Хариным [617].

Формулы для плоско-радиального потока

Случай I. s = ~2 ' Для этого случая нельзя пользоваться

простыми формулами (4.154) и (4.155), так как они справедливы

при значениях s, равных лишь целым положительным числам,

включая нуль. Поэтому значение s = -h надо подставить в более

общие формулы (4.150) и (4.151), справедливые, когда s равно

любому действительному числу, но большему, чем -1.

Итак, подставляя значение s = -~ в формулы (4.150) и (4.151),

получим:

Ар

= Q* и t е ^ wf - 1 •

4яbk

4кt

(4.175)

2 ’ ’ 4кt

(4.176)

В § 10 Приложения приведено функциональное соотношение

(П.349), связывающее ВГФ и модифицированную функцию Бесселя

II рода Kv. Воспользуемся этим функциональным соотношением,

Ё2

полагая в нем v = 0, 2х = -f- :

4кt

2 ’ ’ 4к1

V71

• <

8к/

(4.177)

Учитывая равенство (4.177), перепишем формулу (4.175):

(4.178)

Автору неизвестно функциональное соотношение, с помощью

которого можно было бы выразить ВГФ, входящую в формулу

(4.176) через более простые трансцендентные функции. Поэтому

подсчитаем расход Q не по формуле (4.176), а используя равенство

(3.43) и формулу (4.175):

Выполняя операцию дифференцирования в последнем равенст

ве, учтем формулу (П. 166):

Q%=Q-'bt

-* 1 1 е-Щ

8к*

fc 2 ^ fc 2 N

+КI -£-

8к*

(4.179)

Итак, в рассматриваемом случае плоско-радиального потока при

s = - ^ получены расчетные формулы (4.178) и (4.179), с помощью

которых понижение давления и расход жидкости выражены через

модифицированные функции Бесселя II рода.

Между прочим, сопоставляя формулы (4.176) и (4.179), получаем

косвенный способ установления такой функциональной зависимо-

: 2

сти, полагая :

4к£