Сборник заданий для выпускного экзамена по математике на уровне общего базового образования под редакцией Адамовича

Подождите немного. Документ загружается.

160

Раздел V

161

2-й уровень

62. а) Найдите внутренние углы па рал ле ло грамма ABCD.

б) Найдите внутренние углы ромба MNKE.

63. а) В тре уголь нике DEF ∠ E = 90°, DE = 24 см, EF = 7 см.

Найдите DF.

б) В тре уголь нике KMT ∠ T = 90°, KM = 13 см, KT = 5 см.

Найдите MT.

64. а) В тре уголь никах MND и KTP ∠ M = ∠ K, ∠ N = ∠ T.

Найдите угол Т, если ∠ M = 46°, ∠ D = 73°.

б) В тре уголь никах ACD и BKE ∠А = ∠В, ∠С = ∠K. Най-

дите угол С, если ∠ B = 83°, ∠ E = 32°.

65*. а) Найдите площадь прямоугольника ABCD.

б) Найдите площадь прямоугольника MNPK.

66. Найдите среднюю линию MN трапеции ABCD, исполь-

зуя данные рисунка.

67. а) Из точки В к прямой a проведены наклонная ВА

и перпендикуляр ВС. Найдите ВС, если ∠ A = 60°,

АС = 12 см.

б) Из точки М к прямой b проведены наклонная МХ

и перпендикуляр МТ. Найдите МХ, если ∠ M = 45°,

ХТ = 20 см.

162

Раздел V

163

2-й уровень

68. По данным рисунка найдите х.

69. а) Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите гра-

дусные меры углов АОС и СОВ, если известно, что угол

АОС на 30° больше угла СОВ, а ∠ AOB = 132°.

б) Луч ОВ делит угол АОС на два угла. Найдите градус-

ную меру угла АОВ, если он на 10

° меньше угла ВОС,

а ∠ AOC = 150°.

70. а) Углы АОМ и СОМ — смежные. ОК — биссектриса

угла АОМ, причем угол АОК в 4 раза меньше угла СОМ.

Найдите угол КОМ.

б) Углы BOD и COD — смежные. ОЕ — биссектриса

угла BOD, причем угол COD на 21° больше угла DOE.

Найдите угол

ВОЕ.

71. а) Один из углов, полученных при пересечении двух

прямых, равен 115°. Найдите остальные углы.

б) Один из углов, полученных при пересечении двух

прямых, равен 37°. Найдите остальные углы.

72. Две параллельные прямые пересечены третьей пря-

мой. Найдите полученные углы, если известно, что:

а) внутренние односторонние углы относятся как

7  11;

б) один из внутренних односторонних углов меньше

другого на 18°.

73. а) Составьте уравнение окружности с центром в точке

А(2; −5) и диаметром 6.

б) Составьте уравнение окружности с центром в точке

В(−1; 4) и диаметром 8.

74. а) Найдите длину ребра куба, если его объем равен

б) Найдите длину ребра куба, если его объем равен

0,125 м

75. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного

параллелепипеда, если его измерения равны:

а) 4 см, 5 см и 6 см. б) 5 см, 7 см и 8 см.

76*. а) Длина диагонали грани куба равна 6 см. Найдите

объем куба.

б) Длина диагонали грани куба равна 10 см. Найдите

объем куба.

77. а) Вычислите периметр прямоугольника ABCD, если

АВ = 7 см

, а длина стороны ВС на 2 см больше длины

стороны АВ.

б) Вычислите периметр прямоугольника MNKP, если

NK = 17 см, а длина стороны KP на 7 см меньше длины

стороны NK.

78. а) Длина диагонали квадрата равна

см. Найдите

его площадь.

б) Длина диагонали квадрата равна

см. Найдите

его площадь.

79. а) Периметр ромба равен 24 см, его высота равна 4 см.

Найдите площадь ромба.

б) Площадь ромба равна 48 см

, а периметр равен

32 см. Найдите его высоту.

80*. а) В па рал ле ло грамме MNPK проведена высота NE,

причем угол NPK в 5 раз больше угла MNE. Найдите

угол MNP.

б) В па рал ле ло грамме ABCD проведена высота BE,

причем угол BCD в 4 раза больше угла АВЕ. Найдите

угол АВС.

164

Раздел V

165

2-й уровень

81. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания

равны:

а) 36 см и 58 см;

б) 19 см и 43 см.

82. а) Углы при меньшем основании трапеции равны 163°

и 137°. Найдите углы при большем основании трапе-

ции.

б) Углы при большем основании трапеции равны 43°

и 72°. Найдите углы при меньшем основании трапе-

ции

83. а) Найдите углы правильного восьмиугольника.

б) Найдите углы правильного двенадцатиугольника.

84. а) Один из внутренних углов правильного многоуголь-

ника равен 150°. Найдите число сторон многоуголь-

ника.

б) Один из внутренних углов правильного многоуголь-

ника равен 156°. Найдите число сторон многоуголь-

ника.

85. Как изменится объем куба, если:

а) его ребро увеличить

в 3 раза;

б) его ребро уменьшить в 5 раз?

86. Как изменится длина окружности, если:

а) радиус окружности увеличить в 3 раза;

б) радиус окружности уменьшить в 4 раза?

87. Как изменится площадь круга, если:

а) радиус его увеличить в 2 раза;

б) радиус его уменьшить в 3 раза?

88. а) Вычислите градусную меру угла D выпуклого

че-

ты рех уголь ника ABCD, если известно, что ∠ A = 60°,

∠ B = 120°, ∠ C = 150°.

б) Вычислите градусную меру угла А выпуклого че-

ты рех уголь ника ABCD, если известно, что ∠ B = 50°,

∠ C = 110°, ∠ D = 70°.

89. а) Площадь круга равна 8π

см

. Найдите диаметр этого

круга.

б) Площадь круга равна 12π см

. Найдите диаметр это-

го круга.

90. a) Длина окружности равна 18π см. Найдите диаметр

этой окружности.

б) Длина окружности равна 12π см. Найдите диаметр

этой окружности.

91. а) Найдите площадь круга, ограниченного окруж-

ностью, длина которой равна 60 см.

б) Найдите длину окружности, ограничивающей круг,

площадь которого равна 225π см

92*. а) К окружности радиусом 8 см c центром О из точ-

ки А проведена касательная АВ, причем расстоя-

ние между точками А и О равно 16 см. Найдите угол

АОВ.

б) К окружности с центром О из точки С проведена ка-

сательная СЕ. Найдите радиус окружности, если угол

СОЕ равен 60° и расстояние

между точками О и С рав-

но 18 см.

93*. Хорды AB и CD пересекаются в точке O. Найдите дли-

ну хорды CD, если известно, что:

а) AO = 30 см, OB = 12 см, CO = 18 см;

б) AO = 10 см, OB = 8 см, CO = 16 см.

94. В равнобедренном тре уголь нике найдите

неизвестные

стороны, если:

а) боковая сторона на 5 см больше основания, а пери-

метр равен 31 см;

б) основание составляет

боковой стороны, а пери-

метр равен 24 см.

95. а) В равнобедренном тре уголь нике угол, смежный с

углом при вершине, равен 110°. Найдите угол при ос-

новании.

166

Раздел V

167

2-й уровень

б) В равнобедренном тре уголь нике угол при основании

равен 40°. Найдите угол, смежный с углом при верши-

не этого тре уголь ника.

96. Найдите острые углы прямоугольного тре уголь ника,

если один из них:

а) в пять раз меньше второго;

б) в два раза больше второго.

97. Найдите гипотенузу прямоугольного тре уголь ника,

если его

катеты равны соответственно:

а) 60 см и 8 дм;

б) 4 дм и 30 см.

98. а) В тре уголь нике МРЕ проведена медиана РК, причем

РК = МР и ∠ M = 54°. Найдите угол РКЕ.

б) В тре уголь нике CDE проведена медиана СА, причем

СА = АЕ и ∠ E = 69°. Найдите угол

DAC.

99. а) Две стороны тре уголь ника равны 7 см и 9 см, а угол

между ними равен 60°. Найдите третью сторону.

б) Две стороны тре уголь ника равны

м и 6 м, а

угол между ними равен 45°. Найдите третью сторону.

100*. а) В тре уголь нике АВС угол А равен углу С, а высо-

та AD делит сторону ВС пополам. Найдите длину АС,

если BD = 7,8 см.

б) В тре уголь нике MKP угол М равен углу Р, а биссек-

триса

РС делит сторону МК пополам. Найдите длину

МР, если МС = 9,6 см.

101*. а) Две стороны тре уголь ника равны 1,7 дм и

3,4 дм, а высота, проведенная к большей из них, равна

1,8 дм. Найдите высоту, проведенную к меньшей сто-

роне.

б) Две стороны тре уголь ника равны 9,6 м и 7,2 м, а

высота, проведенная

к большей из них, составляет

3,6 м. Найдите высоту, проведенную к меньшей сто-

роне.

102*. а) Большая сторона тре уголь ника равна 4,8 см. Най-

дите остальные стороны этого тре уголь ника, если сто-

роны подобного ему тре уголь ника равны 8 см, 12 см,

6 см.

б) Меньшая сторона тре уголь ника равна 5 см. Найди-

те остальные стороны

этого тре уголь ника, если сто-

роны подобного ему тре уголь ника равны 8 см, 2 см,

9 см.

103. а) Медиана прямоугольного тре уголь ника, проведен-

ная к гипотенузе, равна 14 см. Найдите диаметр опи-

санной окружности.

б) Диаметр окружности, описанной около прямоугольно-

го тре уголь ника, равен 18 см. Найдите медиану, прове-

денную из вершины прямого угла этого

тре уголь ника.

104. а) Радиус окружности, вписанной в равносторонний

тре уголь ник, равен

см. Вычислите периметр это-

го тре уголь ника.

б) Радиус окружности, описанной около равносторон-

него тре уголь ника, равен

см. Вычислите пери-

метр этого тре уголь ника.

105. При параллельном переносе точка А(2; 2) отобража-

ется на точку A

(8; 4). Найдите при этом переносе об-

раз точки:

а) R(4; −8);

б) Q(−8; 4).

106. Вычислите расстояние между точками:

а) А(5; −7) и В(2; −3);

б) С(−1; 4) и D(3; 5).

107. Задайте прямоугольную систему координат на плос-

кости. Постройте:

а) точку А(−4; 3) и точки В, С и D, симметричные точке

относительно оси абсцисс, оси ординат, начала коор-

динат соответственно;

168

Раздел V

169

3-й уровень

б) точку М(3; −2) и точки N, K и L, симметричные точке

М относительно оси абсцисс, оси ординат, начала ко-

ординат соответственно.

108. Дан тре уголь ник MNK. Постройте тре уголь ник, сим-

метричный данному относительно:

а) вершины К;

б) вершины N.

109. Дан тре уголь ник АВС. Постройте тре уголь ник, сим-

метричный данному относительно

а) прямой ВС;

б) прямой АВ.

110 **. Найдите длину вектора

,AB

JJJG

если:

а) А(2; 5); В(−2; −5);

б) А(1; 3); В(−4; −7).

111**. а) Найдите координаты вектора

34,ab+

если

(1; −3),

(4; 5).

б) Найдите координаты вектора

25,ab+

если

(2; 1),

(−4; 3).

112 **. а) Через точку A окружности с центром O прове-

дены касательные AM и хорда AB, ∠ AOB = 80°. Чему

равен угол MAB?

б) Через точку M окружности с центром O проведены

касательная MN и хорда MK, ∠ NMK = 58°. Чему равен

угол MOK?

113**. а) Из точки M к окружности с центром O прове-

дены касательные MA и MB (A и B — точки каса-

ния). Чему равна длина отрезка AB, если AM = 5 см,

∠ AMB = 60°?

б) Из точки K к окружности с центром O проведены

касательные KE и KF (E и F

— точки касания). Чему

равна длина отрезка KF, если EF = 7 см, ∠ EKF = 60°?

3-й уровень

114 . а) Общая длина ребер прямоугольного параллелепи-

педа равна 72 см. Найдите его измерения, учитывая,

что одно из них на 5 см меньше другого и на 5 см боль-

ше третьего.

б) Общая длина ребер прямоугольного параллелепи-

педа равна

56 см. Найдите его измерения, учитывая,

что одно из них в два раза меньше другого и в два раза

больше третьего.

115 . Все боковые ребра тре уголь ной пирамиды МАВС рав-

ны. Плоские углы при вершине М боковых граней рав-

ны. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды,

если:

а) МА = 4 см, ∠ AMB

= 45°;

б) МА = 6 см, ∠ AMB = 30°.

116 . а) Найдите длины диагоналей правильного шести-

угольника со стороной 5 см.

б) Найдите длины стороны и большей диагонали пра-

вильного шестиугольника, если его меньшая диаго-

наль равна

10 3

см.

117. а) Периметр прямоугольника равен 62 см, а точка пе-

ресечения диагоналей удалена от одной из его сторон

на 12 см. Найдите длину диагонали прямоугольника.

б) Одна сторона прямоугольника на 4 см больше дру-

гой, а сумма расстояний от точки пересечения диа-

170

Раздел V

171

3-й уровень

гоналей прямоугольника до этих сторон равна 14 см.

Найдите длину диагонали прямоугольника.

118 . а) Длины сторон па рал ле ло грамма равны 10 см и 6 см,

а высота, проведенная к большей стороне, равна 3 см.

Вычислите длину высоты, проведенной к меньшей сто-

роне па рал ле ло грамма.

б) Длины высот, проведенных к сторонам AD и АВ па-

рал ле ло грамма ABCD, равны 2 см и 3 см соответствен-

но. Вычислите длину стороны АВ, если AD = 9 см.

119. а) В па рал ле ло грамме ABCD угол В тупой. На продол-

жении стороны AD за вершину D выбрана точка Е так,

что ∠ CED = 90°, ∠ ECD = 60°, АВ = 4 см,

AD = 10 см.

Найдите площадь па рал ле ло грамма.

б) В па рал ле ло грамме МРКТ угол Р тупой. На стороне

МТ выбрана точка Е так, что ∠ PEM = 90°, ∠ EPT = 45°,

МЕ = 4 см, ЕТ = 7 см. Найдите площадь па рал ле ло-

грамма.

120. а) Угол па рал ле ло грамма равен

45°, а длины сто-

рон — 17 см и

см. Вычислите длину меньшей

диагонали па рал ле ло грамма.

б) Длины сторон па рал ле ло грамма равны 5 см и 8 см,

а острый угол — 60°. Вычислите длину меньшей диа-

гонали па рал ле ло грамма.

121. а) Периметр ромба составляет 68 см, а одна из его

диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диаго-

нали ромба.

б) Длины

диагоналей ромба равны 14 см и 48 см. Най-

дите периметр ромба.

122. а) Длина стороны ромба равна 20 см, а длина одной из

диагоналей равна 24 см. Найдите площадь ромба.

б) Длина стороны ромба равна 25 см, а длина одной из

диагоналей равна 48 см. Найдите площадь ромба.

123. Найдите углы ромба, если длины его диагоналей

равны:

а)

24 3

см и 72 см; б)

см и 12 см.

124. а) ABCD — ромб, диагонали которого пересекают-

ся в точке О и ∠ BCD = 120°. Точки Т и F — середины

сторон АВ и ВС соответственно. Вычислите периметр

че ты рех уголь ника ATFO, если CD = 8 см.

б) В прямоугольнике ABCD диагональ BD делит угол

В так, что ∠

ABD = 2∠ CBD. Вычислите периметр че ты-

рех уголь ника, вершинами которого служат середины

сторон прямоугольника, если CD = 6 см.

125. а) Диагональ ромба образует со стороной угол 25°.

Найдите больший угол ромба.

б) Найдите больший угол ромба, сторона которого

равна диагонали.

126. а) Площадь ромба равна 60 см

, диагонали относятся

как 6  5. Найдите длину меньшей из них.

б) Найдите площадь ромба, сторона которого равна

10 см, а диагонали относятся как 3  4.

127*. а) Докажите, что че ты рех уголь ник является па рал-

ле ло граммом, если его противолежащие углы попарно

равны.

б) Докажите, что че ты рех уголь ник является ромбом,

если его диагонали

перпендикулярны и точкой пересе-

чения делятся пополам.

128. а) Основания трапеции относятся как 7  3, и их раз-

ность равна 3,2 м. Найдите длину средней линии этой

трапеции.

б) Разность оснований трапеции равна 12 дм, а сред-

няя линия — 20 дм. Найдите основания трапеции.

129. а) Че ты рех уголь ник ABCD — трапеция (BC  AD),

М —

точка пересечения диагоналей. Найдите АМ и

МС, если AD = 16 см, ВС = 12 см, АС = 18,2 см.

б) Че ты рех уголь ник MNKP — трапеция (NK  MP),

А — точка пересечения диагоналей. Найдите МА и

МК, если NK = 18 см, МР = 21 см, АК = 12,6 см.

172

Раздел V

173

3-й уровень

130. а) Площадь трапеции равна 36 см

, а длины ее осно-

ваний относятся как 2  1. Вычислите высоту трапеции,

если длина меньшего основания равна 4 см.

б) Длины оснований трапеции относятся как 3  1, а ее

высота равна 3 см. Вычислите длины оснований трапе-

ции, если ее площадь равна 24 см

131. а) Длины оснований трапеции равны 5 см и 7 см, а вы-

сота — 3 см. Найдите длину стороны квадрата, пло-

щадь которого в три раза больше площади трапеции.

б) Длины оснований трапеции равны 9 см и 3 см, а вы-

сота — 4 см. Найдите длину стороны квадрата, пло-

щадь которого в два раза меньше площади трапеции

132. а) В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°,

а длины меньшей боковой стороны и меньшего осно-

вания равны по 6 см. Вычислите длину средней линии

трапеции.

б) В прямоугольной трапеции ABCD острый угол BAD

равен 60°. Найдите длину средней линии трапеции,

если АВ = AD = 8 см.

133. а) В прямоугольной

трапеции длины оснований равны

5 см и 17 см, а длина большей боковой стороны равна

13 см. Найдите площадь трапеции.

б) В равнобедренной трапеции длины оснований равны

51 см и 69 см, а длина боковой стороны равна 41 см.

Найдите площадь трапеции.

134. а) Из круга, радиус которого 6 см, вырезан сектор с

дугой в 60°. Найдите

площадь оставшейся части круга.

б) Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с

дугой в 30°. Найдите площадь оставшейся части круга.

135. а) Площадь круга, вписанного в квадрат, равна

16π см

. Вычислите площадь квадрата.

б) Вычислите площадь круга, вписанного в квадрат,

длина диагонали которого равна 4 см.

136. а) Две точки окружности делят ее на две дуги, гра-

дусные меры которых относятся как 11  13. Найдите

длины этих дуг, если радиус окружности равен 8 см.

б) Две точки окружности делят ее на две дуги, разность

градусных мер которых равна 50°. Найдите длины этих

дуг, если радиус окружности равен 10 см.

137. а) Найдите угол между хордой АВ, которая стягивает

дугу в 54°, и диаметром ВС.

б) Угол между хордой АВ и диаметром ВС равен 71°.

Чему равна градусная мера меньшей дуги с концами

А и В?

138.

а) Длина окружности равна

83π

дм. Найдите длину

хорды, которая стягивает дугу в 120°.

б) Найдите площадь круга, если хорда, длина которой

см, видна из центра окружности под углом 120°.

139. а) Хорды МК и PN пересекаются, ∠ NPM = 60°,

∠ NPK = 70°. Найдите угол MNK.

б) Хорды DT и LE пересекаются, ∠ TLE = 40°,

∠ ELD = 70°. Найдите угол DET.

140*. а) Хорды КЕ и MD пересекаются в

точке С. Найдите

КС и СЕ, если МС = 5 см, CD = 8 см, КЕ = 22 см.

б) Хорды АС и BD пересекаются в точке Е. Найдите ВЕ

и DE, если АЕ = 7 см, СЕ = 8 см, BD = 18 см.

141*. а) Из точки А к окружности с центром в точке О

проведены

две касательные. Вычислите расстояния от

точки A до точек касания, если радиус окружности ра-

вен 5 см, а длина хорды, соединяющей точки касания,

равна 8 см.

б) Точка А лежит вне окружности с центром в точке О

на расстоянии 13 см от центра. Из точки А проведены

две касательные, при этом радиус окружности

равен

213

см. Вычислите расстояние между точками каса-

ния.

174

Раздел V

175

3-й уровень

142. а) Запишите уравнение окружности радиусом

22,

которая проходит через точки С(−3; 3) и D(1; −1).

б) Запишите уравнение окружности радиусом

45,

которая проходит через точки Е(−12; −4) и F(4; −4).

143*. а) Вершины вписанного в окружность че ты рех уголь-

ника делят последовательно окружность на дуги, гра-

дусные меры которых пропорциональны числам 2; 5;

7; 4. Найдите углы этого че ты рех уголь ника.

б) Три угла вписанного в окружность че ты рех уголь ника

в последовательном порядке относятся как

1  2  3.

Найдите углы этого че ты рех уголь ника.

144*. а) Длины двух смежных сторон че ты рех уголь ника,

описанного около окружности, равны 18 см и 34 см, а

две другие относятся как 3  2. Найдите периметр че ты-

рех уголь ника.

б) Периметр че ты рех уголь ника, описанного около

окружности, равен 56 см. Найдите стороны че ты рех-

уголь

ника, учитывая, что две его смежные стороны

относятся как 2  3, а две другие — как 5  8.

145. а) Длина основания равнобедренного тре уголь ника

меньше длины боковой стороны на 9 см. Найдите дли-

ну боковой стороны этого тре уголь ника, если его пе-

риметр равен 51 см.

б) Длина боковой стороны равнобедренного тре уголь-

ника больше длины

основания на 6 см. Найдите длину

основания этого тре уголь ника, если его периметр ра-

вен 42 см.

146. а) В равнобедренном тре уголь нике длина основания

равна 24 см, а боковой стороны — 15 см. Вычислите

площадь тре уголь ника.

б) Площадь равнобедренного тре уголь ника АВС равна

48 см

, а длина его основания АС равна 12 см. Вычис-

лите длину боковой стороны тре уголь ника.

147. а) Периметр равнобедренного тре уголь ника равен

14 см. Найдите длину его боковой стороны, если она

втрое больше длины основания.

б) Периметр равнобедренного тре уголь ника равен

24 см. Найдите длину его боковой стороны, если она

на 3 см больше

длины основания.

148*. а) Даны два равнобедренных тре уголь ника с общим

основанием. Докажите, что их медианы, проведенные

к этому основанию, находятся на одной прямой.

б) Даны два равнобедренных тре уголь ника с общим ос-

нованием. Докажите, что их биссектрисы, проведенные

из вершин углов, противолежащих этому основанию,

находятся на одной прямой.

149**. а)

Длина одной стороны тре уголь ника равна 36 см,

другой — 18 см. На какие части биссектриса угла, рас-

положенного между этими сторонами, делит третью

сторону тре уголь ника длиной в 24 см?

б) Длины сторон тре уголь ника равны 40 дм, 60 дм и

80 дм. На какие части делит биссектриса большего

угла тре уголь ника противолежащую сторону?

150. а) Длины

двух сходственных сторон подобных тре -

уголь ников равны 3 см и 9 см. Вычислите площадь вто-

рого тре уголь ника, если площадь первого равна 7 см

б) Площади двух подобных тре уголь ников равны 9 см

и 16 см

. Длина одной из сторон первого тре уголь ника

равна 3 см. Вычислите длину сходственной стороны

другого тре уголь ника.

151. а) Площадь правильного тре уголь ника равна

см

Вычислите длину окружности, описанной около этого

тре уголь ника.

б) Площадь равностороннего тре уголь ника равна

см

. Вычислите длину окружности, вписанной в

этот тре уголь ник.

176

Раздел V

177

3-й уровень

152. а)

Длина боковой стороны равнобедренного тре уголь-

ника равна 10 см, а высота, проведенная из его верши-

ны к основанию, — 8 см. Вычислите радиус окружнос-

ти, описанной около этого тре уголь ника.

б) Вычислите радиус окружности, описанной около

равнобедренного тре уголь ника, если длина его ос-

нования равна 10 см, а длина боковой стороны равна

13 см.

153*.

а) В прямоугольном тре уголь нике MNK с прямым

углом N внешний угол при вершине М равен 150°, а

гипотенуза MK и катет KN вместе составляют 21 см.

Найдите длины сторон тре уголь ника.

б) В прямоугольном тре уголь нике RST с прямым углом

R внешний угол при вершине Т равен 120°, а гипоте-

нуза

ST и катет TR вместе составляют 15 дм. Найдите

длины сторон тре уголь ника.

154. а) Найдите площадь прямоугольного тре уголь ника,

если его высота делит гипотенузу на отрезки, длины

которых равны 8 см и 18 см.

б) Найдите площадь прямоугольного тре уголь ника,

если его высота делит гипотенузу на отрезки, длины

которых равны 6 см и 54 см.

155. а) Гипотенуза прямоугольного тре уголь ника равна

26 см, а катеты относятся как 5 12. Найдите площадь

тре уголь ника.

б) Найдите площадь прямоугольного тре уголь ника,

если его катеты относятся как 3  4, а гипотенуза рав-

на 25 см.

156. а) Длины сторон тре уголь ника равны 7 см, 8 см и

10 см. Найдите косинус наибольшего угла этого тре

уголь ника.

б) Длины сторон тре уголь ника равны 5 см, 6 см и 8 см.

Найдите косинус наименьшего угла этого тре уголь ника.

157. а) Найдите площадь равнобедренного тре уголь ника с

углом α при основании, если боковая сторона равна b.

б) Найдите площадь равнобедренного тре уголь ника с

углом α при основании, если основание равно a.

158*. а) Докажите, что высоты равнобедренного тре уголь-

ника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

б) Докажите, что отрезки серединных перпендикуля-

ров, проведенных к боковым сторонам равнобедренно-

го тре уголь ника, которые находятся внутри тре уголь-

ника, равны.

159**. а) Найдите наименьший угол прямоугольного тре-

уголь ника, в котором медиана, проведенная к гипоте-

нузе,

делит прямой угол в отношении 2  1.

б) В тре уголь нике АВС угол С прямой. Биссектрисы

AD и BF пересекаются в точке О. Найдите угол AOF.

160. а) С помощью циркуля и линейки без делений по строй-

те ромб по двум его диагоналям.

б) С помощью циркуля и линейки без делений по строй-

те квадрат по его диагоналям.

161. а) С помощью циркуля и линейки без делений по строй-

те тре уголь ник АВС по двум сторонам и углу между

ними, если АВ = 5 см, АС = 6 см, ∠ A = 40°.

б) С помощью циркуля и линейки без делений по строй-

те тре уголь ник АВС

по стороне и двум прилежащим

углам, если АВ = 4 см, ∠ A = 45°, ∠ B = 60°.

162. С помощью циркуля и линейки без делений по строй те

острый угол:

а) косинус которого равен

;

б) синус которого равен

163. а) С помощью циркуля и линейки без делений по-

строй те равнобедренный тре уголь ник по основанию и

высоте, опущенной на основание.

178

Раздел V

179

4-й уровень

б) С помощью циркуля и линейки без делений по строй-

те прямоугольный тре уголь ник по гипотенузе и остро-

му углу.

164*. а) Постройте че ты рех уголь ник, вершины которого

находятся в точке М(3; −4) и точках, симметричных

ей относительно осей координат и начала координат.

Какой че ты рех уголь ник получился? Найдите его пло-

щадь

и периметр.

б) Постройте че ты рех уголь ник, вершины которого на-

ходятся в точке А(−2; 5) и точках, симметричных ей от-

носительно осей координат и начала координат. Какой

че ты рех уголь ник получился? Найдите его площадь и

периметр.

165. а) По одну сторону от данной прямой даны две точки

А и В на

расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите рас-

стояние от середины отрезка АВ до данной прямой.

б) По одну сторону от данной прямой даны две точки М

и N на расстояниях 15 см и 25 см от нее. Найдите рас-

стояние от середины отрезка МN до данной прямой.

166. а) Вершины прямоугольника

ABCD имеют координа-

ты А(−5; 1), В(−2; 5), С(6; −1). Найдите координаты вер-

шины D и площадь прямоугольника.

б) Дан па рал ле ло грамм ABCD: А(0; 0), В(2; 6), D(1; 2).

Найдите координаты вершины С и периметр па рал ле-

ло грамма.

167**. а) Вычислите длину медианы AF тре уголь ника АВС,

если А(−4; 2), В(0; −2), С(2; 6).

б) В тре уголь нике АВС координаты вершин А(−1; 3),

В(3; 7), С(5; 2). Вычислите длину медианы CF.

168**. Найдите длину вектора

2(3),ab+−

если:

а)

(1; −3),

(4; 5); б)

(0,5; −3);

(0; −1).

169**. а) Найдите координаты конца вектора, если коор-

динаты вектора и его начала соответственно равны:

JJJG

(2; −2), А(2; 5).

б) Найдите координаты начала вектора, если коор-

динаты вектора и его конца соответственно равны:

JJJG

(6; 2), В(−4; 7).

170**. Найдите скалярное произведение векторов

если известны разложения этих векторов по коорди-

натным векторам:

а)

23;ai j=+

34;bij=− +

б)

42;aij=− +

53.bi j=+

4-й уровень

171**. Установите, верно ли следующее утверждение:

а) че ты рех уголь ник является па рал ле ло граммом тогда

и только тогда, когда в нем одна диагональ делит вто-

рую пополам;

б) че ты рех уголь ник является па рал ле ло граммом тогда

и только тогда, когда противоположные стороны его

равны.

172. Длины сторон па рал ле ло грамма, отличного

от прямо-

угольника, равны 6 см и 10 см. На отрезки какой дли-

ны делит сторону па рал ле ло грамма биссектриса:

а) его острого угла; б) его тупого угла?

173. Найдите площадь трапеции, диагонали которой вза-

имно перпендикулярны и равны:

а) 4 см и 8 см; б) 6 см и 12 см.

174*. Как связаны между собой градусные

меры острых уг-

лов α и β, если:

а) sin

α + cos

β = 1;

б) sin α = cos β и sin β = cos α?