Сборник заданий для выпускного экзамена по математике на уровне общего базового образования под редакцией Адамовича

Подождите немного. Документ загружается.

260

Раздел VI

261

5-й уровень

б) Два лыжника стартовали на дистанции 10 км друг за

другом с интервалом в 6 мин. Второй лыжник до гнал

первого в двух километрах от точки старта. Дойдя до

поворота на отметке 5 км, второй лыжник повернул

обратно и встретил первого на расстоянии 1 км от точ-

ки поворота. Найдите скорость первого лыжника.

213. а) Мальчик

сбежал вниз по движущемуся вниз эс-

калатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал

вверх по тому же эскалатору с той же скоростью отно-

сительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколь-

ко ступенек насчитал бы мальчик, спускаясь по непо-

движному эскалатору?

б) Дежурный монтер спустился по движущемуся вниз

эскалатору метро. Весь его

путь от верхней площад-

ки до нижней продолжался 24 с. Затем он поднялся

и в том же темпе спустился, но теперь уже по непо-

движному эскалатору. Известно, что спуск продол-

жался 42 с. За сколько секунд спустился бы мон-

тер по движущемуся вниз эскалатору, стоя на сту-

пеньке?

214. а) Расстояние от турбазы

до станции равно 18 км.

Чтобы попасть на поезд, туристы должны были прой-

ти это расстояние с определенной скоростью. Однако

половину пути они шли со скоростью на 1

км

меньше

намеченной, а вторую половину пути — со скоростью

на 1

км

больше намеченной. Успеют ли туристы на

поезд?

б) Первый велосипедист ехал из поселка в город и воз-

вращался обратно с одной и той же скоростью. Вто-

рой велосипедист ехал в город со скоростью на 2

км

больше скорости первого, а возвращался в поселок со

скоростью на 2

км

меньше скорости первого велоси-

педиста. Кто из них затратил на весь путь больше вре-

мени?

215. а) Окружность заднего колеса экипажа в 2 раза боль-

ше окружности переднего; если окружность заднего

колеса уменьшить на 2 дм, а переднего увеличить на

4 дм, то на расстоянии 120 м заднее колесо сделает на

20 оборотов меньше переднего

. Каковы длины окруж-

ностей колес?

б) Окружность переднего колеса экипажа в 3 раза

меньше окружности заднего; если окружность перед-

него колеса увеличить на 3 дм, а заднего на 2 дм, то

на расстоянии 140 м переднее колесо сделает на 60

оборотов больше заднего. Каковы длины окружностей

колес?

216*. а) Две точки движутся по окружности длиной 12 м

с постоянными скоростями. Если они движутся в раз-

ных направлениях, то встречаются через каждые 15 с.

При движении в одном направлении одна точка дого-

няет другую через каждые 60 с. Определите скорости

точек.

б) Две точки движутся с постоянной скоростью по ок-

ружности длиной 1 м. При движении в противополож-

ных направлениях они

встречаются через каждые 2 с.

При движении в одном направлении из одной точки

одна настигает другую через 6 с. Найдите их скоро-

сти.

217*. а) Две точки движутся по окружности. Если они

движутся в разных направлениях, то встречаются че-

рез каждые 6 с. При движении в одном направлении

одна точка догоняет другую через каждые 30

с. Най-

дите, за сколько секунд каждая точка проходит окруж-

ность.

б) Две точки движутся по окружности. Если они дви-

жутся в разных направлениях, то встречаются через

каждые 15 с. При движении в одном направлении одна

точка догоняет другую через каждые 60 с. Найдите, за

сколько секунд каждая точка проходит окружность.

262

Раздел VI

263

5-й уровень

218*. а) Расстояние между пристанями d км, скорость

течения реки b

км

Путь туда и обратно между при-

станями моторная лодка преодолевает за t ч. Найдите

собственную скорость лодки.

б) Поезду надо преодолеть путь а км. Если он увеличит

скорость на b

км

то пройдет этот путь на t ч раньше.

Сколько времени потребуется поезду на весь путь?

219**. а) По окружности, длина которой l м, движутся

равномерно две точки. Они встречаются через каждые

т с, двигаясь в противоположных направлениях, и че-

рез каждые п с, двигаясь в одном направлении. Най-

дите скорости этих точек

б) По одной и той же окружности движутся два тела

в одну и ту же сторону. Длина окружности равна а м.

Одно тело проходит окружность на р мин быстрее, чем

второе. Найдите, сколько метров в минуту проходит

каждое тело, если известно, что они при движении схо-

дятся каждые q мин.

220.

а) Сколько граммов 3-процентного и сколько граммов

8-процентного растворов соли нужно взять, чтобы по-

лучить 260 г 5-процентного раствора?

б) Сколько килограммов 25-процентного и сколько ки-

лограммов 50-процентного сплавов меди нужно взять,

чтобы получить 20 кг 40-процентного сплава?

221. а) После того как смешали 50-процентный и 20-про-

центный растворы кислоты, получили 900 г 30-про

центного раствора. Сколько граммов каждого раство-

ра смешали?

б) После того как смешали 60-процентный и 30-про-

центный растворы кислоты, получили 600 г 40-про-

центного раствора. Сколько граммов каждого раство-

ра смешали?

222. а) В первом бидоне было молоко жирностью 2 %, а во

втором — 5 %. Сколько надо взять молока из каждого

бидона, чтобы получить 12 л

молока жирностью 4 %?

б) В первом бидоне было молоко, жирность которо-

го составляла 3 %, а в другом — сливки жирностью

18 %. Сколько надо взять молока и сколько сливок,

чтобы получить 10 л молока жирностью 6 %?

223. а) Цену товара снизили на 10 %, а затем еще на

15 %. На сколько процентов снизилась первоначаль-

ная цена?

б) Цену товара повысили

на 10 %, затем еще на 15 %.

На сколько процентов увеличилась первоначальная

цена?

224. а) Скорость поезда увеличилась с 70

км

до 90

км

На

сколько процентов уменьшилось время, затрачиваемое

поездом на один и тот же путь?

б) Скорость автомобиля уменьшилась с 80

км

до

км

На сколько процентов увеличилось время, за-

трачиваемое автомобилем на один и тот же путь?

225*. а) Из бутыли с 12-процентным раствором соли отли-

ли 1 л и долили бутыль водой, затем отлили еще литр и

опять долили водой. В бутыли оказался 3-процентный

раствор соли. Какова вместимость бутыли?

б) Фляга наполнена 96-процентным раствором

соляной

кислоты. Из нее отлили 12 л кислоты и долили флягу

водой. Затем из фляги отлили еще 12 л и снова долили

ее водой, после чего концентрация кислоты во фляге

составила 6 %. Найдите объем фляги.

226*. а) В т л морской воды содержится п г соли. Как надо

изменить количество чистой воды, чтобы т

л раствора

содержали q г соли (n  q)?

б) Из молока, жирность которого k %, производят

творог жирностью т %, при этом остается сыворотка

жирностью п %. Сколько творога получается из l кг

молока (k  п, т  n)?

227*. а) 40 г золота одной пробы и 60 г золота другой

сплавили и получили

золото 62-й пробы. Какой про-

264

Раздел VI

265

5-й уровень

бы было взято золото первого и второго слитков, если

при сплаве их поровну получается золото 61-й пробы?

(Единица пробы — 1 %.)

б) Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля

5 % и 40 %. Сколько нужно взять каждого из этих

сортов стали, чтобы получить 140 т стали с содержа-

нием никеля 30 %?

228*. а) От двух сплавов с

различным процентным со-

держанием меди массами т кг и n кг, отрезано по

одинаковому куску. Каждый из отрезанных кусков

сплавлен с остатком другого сплава, после чего про-

центное содержание меди в обоих сплавах стало

одинаковым. Какова масса каждого из отрезанных

кусков?

б) От двух кусков сплавов одинаковой массы с разным

содержанием

меди отрезали по куску равной массы.

Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком

другого куска, после чего процентное содержание меди

в каждом куске стало одинаковым. Найдите, во сколь-

ко раз масса отрезанного куска была меньше, чем мас-

са целого куска.

229. а) Бассейн заполняется водой при помощи двух на-

сосов. Когда

первый насос проработал 7 ч, включили

второй. Вместе они проработали 2 ч. За сколько часов

может заполнить бассейн каждый насос, работая от-

дельно, если первому нужно на это на 4 ч больше, чем

второму?

б) Один тракторист работал на вспашке поля 9 ч, после

чего к нему присоединился другой тракторист. После

7 ч совместной работы

они закончили вспашку поля.

За сколько часов мог бы вспахать поле каждый трак-

торист, работая самостоятельно, если первому нужно

для этого на 3 ч больше, чем второму?

230. а) Три цистерны одинакового объема начинают одно-

временно заполняться водой, причем в первую цистер-

ну поступает 100 л воды в минуту, во вторую — 60 л

в третью — 80 л. Известно, что в начальный момент

первая цистерна пуста, вторая и третья заполнены

частично и что все три цистерны будут заполнены од-

новременно. Во сколько раз количество воды в началь-

ный момент времени во второй цистерне больше, чем

в третьей?

б) Три цистерны одинакового объема начинают за-

полняться

водой, причем в первую цистерну за одну

минуту поступает воды больше, чем во вторую. В на-

чальный момент времени первая цистерна пуста, во

второй — 300 л воды, в третьей — 400 л. Все три

цистерны будут заполнены одновременно. Во сколько

раз количество воды, поступающей за одну минуту в

первую цистерну, больше количества воды, поступаю

щей за одну минуту в третью цистерну?

231. а) Теплоход загружается подъемными кранами. Сна-

чала в течение 2 ч работали четыре крана одинаковой

мощности, затем к ним присоединились еще два крана,

но меньшей мощности, и через 3 ч после этого погруз-

ка была закончена. Если бы все краны начали рабо-

тать одновременно, то

погрузка была бы закончена за

4,5 ч. За сколько времени выполнят погрузку один кран

большей и один кран меньшей мощности при совмест-

ной работе?

б) Трое рабочих выполнили работу за 10 дней, причем

первый работал только 3 дня, и за эти 3 дня было вы-

полнено 37 % всего задания. За сколько дней выпол-

нил бы

всю работу каждый рабочий, если известно,

что второй за 4 дня делает столько, сколько третий за

5 дней?

232. а) Два насоса различной мощности, работая вместе,

наполняют бассейн за 4 ч. Для заполнения половины

бассейна первому насосу требуется времени на 4 ч

больше, чем второму для заполнения трех четвертей

266

Раздел VI

267

5-й уровень

бассейна. За какое время может наполнить бассейн

каждый насос в отдельности?

б) Три обыкновенных и два широкозахватных плуга,

работая вместе, обрабатывают поле за 6 дней, а у 9

обыкновенных уйдет на эту работу на 5 дней больше,

чем у трех широкозахватных плугов. Во сколько раз

производительность широкозахватного плуга больше

производительности обыкновенного?

233*. а) На

заводе сначала работало 2 цеха, затем был

пущен третий цех, в результате чего завод увеличил

выпуск ежемесячной продукции в 1,6 раза. Во сколько

раз больше продукции дает третий цех по сравнению

со вторым, если известно, что за 2 месяца первый и

третий цеха вместе выпускают столько же продукции,

сколько второй за полгода?

б) На

угольной шахте сначала работали 2 участка, а

затем вступил в строй третий, в результате чего произ-

водительность шахты увеличилась в 1,5 раза. Сколько

процентов относительно производительности первого

участка составляет производительность второго, ко-

торый за год выдает столько угля, сколько первый и

третий участки за 4 месяца?

234**. а) Мастер и ученик, работая вместе, заканчива

ют задание на один час раньше, чем мастер, работая

один, но на полчаса позже, чем мастер и два ученика.

За какое время выполняют задание два мастера и уче-

ник?

б) Два насоса X и Y, эксплуатируемые вместе, выкачи-

вают воду из бассейна на один час быстрее, чем насос

X, работая

один, но на 36 мин медленнее, чем насос X

и два насоса Y одновременно. За какое время выполнят

данную работу два насоса X и один насос Y, работая

одновременно?

235**. а) Три сенокосилки косят траву на лугу площадью

25 га. За час первая скашивает 3 га, вторая — на а га

меньше первой, а третья —

на 2а га больше первой.

Сначала работали вместе первая и вторая сенокосилки

и скосили 11 га. Оставшуюся часть луга скосили вмес-

те первая и третья. При каком значении а (0  а  1)

будет скошен весь луг за 4 ч, если работу вести без

перерыва?

б) Три экскаватора роют котлован объемом 340 м

Первый вынимает за час 40 м

грунта, второй — на

а м

меньше первого, а третий — на 2а м

больше

первого. Сначала работали вместе первый и второй

и вынули 140 м

грунта. Оставшуюся часть котлова-

на вырыли вместе первый и третий экскаваторы. При

каком значении а (0  a  15) работа была закон-

чена за 4 ч, если известно, что она велась без пере-

рыва?

236. а) Площади трех участков земли относятся как

4  3  5. Средняя урожайность всех участков одинакова

и составляет 28 ц

с гектара. Известно, что с третьего

участка собрано на 84 ц зерна больше, чем с первого.

Определите площади участков.

б) Объемы трех сосудов относятся как 7  2  3. Сосу-

ды заполнены жидкостью, плотность которой 1,25

кг

Известно, что масса жидкости в первом сосуде на

0,75 кг больше, чем масса жидкости, содержащейся во

втором и третьем сосудах вместе. Определите объемы

сосудов.

237. Существует ли такой прямоугольный тре уголь ник,

стороны которого выражаются:

а) тремя последовательными четными числами;

б) тремя последовательными нечетными числами?

238. а) Существует ли такой выпуклый многоугольник, в

котором число всех диагоналей было бы равно 12?

б) В каком выпуклом многоугольнике число сторон

равно числу всех его диагоналей?

268

Раздел VI

269

5-й уровень

239**. а) Стадион имеет форму прямоугольника, завер-

шенного с двух противоположных сторон полукруга-

ми. Его периметр равен Р. При каких размерах прямо-

угольника площадь стадиона будет наибольшей?

б) Окно имеет форму прямоугольника, завершенного

с одной стороны полукругом. Периметр окна равен Р.

При каких размерах прямоугольника площадь окна бу-

дет наибольшей?

240. а

) На плоскости дано п точек, из которых никакие три

не лежат на одной прямой. Найдите число прямых, ко-

торые можно получить, соединяя точки попарно.

б) Из точки проведено п лучей. Установите, сколько

при этом образовалось углов.

241*. а) На плоскости отмечено несколько точек. Никакие

три из них не лежат на одной

прямой. Всякие две точ-

ки соединены отрезком. Таких отрезков оказалось 190.

Сколько отмечено точек на плоскости?

б) На плоскости дано несколько пересекающихся пря-

мых, каждые две из которых пересекаются и никакие

три из них не проходят через одну точку. При пересе-

чении прямых получилось всего 1275 точек. Сколько

было прямых?

242*. а) Для

сохранения зерна имеются мешки двух разме-

ров: одни вмещают по 60 кг зерна, другие — по 80 кг.

Сколько надо взять тех и других мешков, чтобы все они

были наполнены и всего в них было 400 кг зерна? Ка-

кое наименьшее количество мешков можно взять?

б) Соль хранится в упаковках двух видов: одни вмеща-

ют по 40 кг, другие — по 70 кг. Сколько надо взять

тех и других упаковок, чтобы все они были наполнены

и всего в них было 300 кг соли? Какое наименьшее ко-

личество упаковок можно взять?

243. а) Из двадцатирублевых и пятидесятирублевых монет

составлена сумма в 230 р. Сколько среди этих монет

двадцатирублевых?

б) Набор шоколада

в 220 г состоит из 25-граммовых и

40-граммовых шоколадок. Солько штук 40-граммовых

шоколадок в наборе?

244*. а) За п пар лыж и т пар коньков уплатили k тыс. р.

Сколько стоит пара лыж и сколько стоит пара коньков,

если известно, что р пар коньков на l тыс. р. дороже,

чем g пар лыж?

б) За а учебников и b альбомов уплатили с тыс. р.

Сколько стоит один учебник и сколько стоит один аль-

бом, если известно, что т альбомов на k тыс. р. дешев-

ле, чем п учебников?

245*. В зале размещены рядами п кресел. Если в каждом

ряду добавить по р кресел, а

число рядов уменьшить на

п, то общее количество кресел в зале останется преж-

ним. Составьте формулу, по которой можно найти:

а) сколько рядов кресел в этом зале;

б) сколько кресел в каждом ряду.

246**. а) В контейнер упакованы изделия двух типов. Стои-

мость и масса одного изделия составляют 300 000 р. и

15 кг

для первого типа и 400 000 р. и 18 кг для второго

типа. Общая масса изделий равна 279 т. Найдите наи-

меньшую и наибольшую возможную суммарную стои-

мость находящихся в контейнере изделий.

б) В контейнер упакованы изделия двух типов. Стои-

мость и масса одного изделия составляют 400 000 р. и

12 кг для первого типа и 600 000 р

. и 15 кг для второго

типа. Общая масса изделий равна 321 т. Найдите наи-

меньшую и наибольшую возможную суммарную стои-

мость находящихся в контейнере изделий.

247**. а) В городе 57 автобусных маршрутов. Известно,

что: 1) с любой остановки на любую другую остановку

можно попасть без пересадки; 2) для любой пары мар-

шрутов найдется единственная остановка, на

которой

можно пересесть с одного из этих маршрутов на дру-

270

Раздел VI

гой; 3) на каждом маршруте не менее трех остановок.

Сколько остановок на каждом из 57 маршрутов?

б) Автобусная сеть города устроена следующим обра-

зом: 1) с любой остановки на любую другую остановку

можно попасть без пересадки; 2) для любой пары мар-

шрутов найдется единственная остановка, на которой

можно пересесть с одного из этих маршрутов на дру-

гой; 3) на каждом маршруте ровно 3 остановки. Сколь-

ко автобусных маршрутов в этом городе?

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Раздел I. Числа и вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Раздел II. Выражения и их преобразования . . . . . . . . . 36

Раздел III. Уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . 67

Раздел IV. Координаты и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Раздел V. Геометрические фигуры и их свойства. Из-

мерение геометриче ских величин. Геометрические по-

строения и преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Раздел VI. Текстовые

задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Учебное издание

Сборник заданий

для выпускного экзамена

по учебному предмету

«Математика»

на уровне общего

базового образования

Авторы-составители:

Адамович Тамара Антоновна

Ананченко Константин Онуфриевич

Борисевич Ольга Борисовна и др.

Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редакторы К. М. Лукашевич, Н. М. Алга-

нова. Художественный редактор Л. И. Мелов. Тех ническ ий редактор

Е. В. Прудывус. Корректоры Е. П. Тхир, Т. Н. Ведерникова, Д. Р. Лосик,

В. С. Бабеня.

Подписано в печать

12.03.2008. Формат 84  108

. Бумага офсет-

ная. Гарнитура литературная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 14,28.

Уч.-изд. л. 9,8. Тираж 16 000 экз. Заказ .

Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная

асвета» Министерства информации Республики Беларусь.

ЛИ № 02330/0131732 от 01.04.2004.

220004, Минск, проспект Победителей, 11.

ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа».

ЛП № 02330/0056617 от 27.03.2004.

220600, Минск, Красная, 23.