Сборник заданий для выпускного экзамена по математике на уровне общего базового образования под редакцией Адамовича
Подождите немного. Документ загружается.
140
Раздел IV
141
5-й уровень
264**. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у =
1
3
1;x +
б) у =
1
3
–1 .x
265**. Найдите наименьшее значение функции, заданной
формулой:
а) у = (х − 1) (х − 2) (х − 5) (х − 6) + 9;
б) у = х(х + 1) (х + 2) (х + 3) − 35.
266*. Найдите нули функции, заданной формулой:
а) у = х
2
+ 2
1x −
− 2; б) у = х
2
+ 4
1x +
− 8.
267*. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у =
2
(2)x −
+
2
(2 ) ;x−
б) у =
2
(1)x −
+
2
(1 ) .x−
268**. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у =
2
21xx−+
+
2
44;xx−+
б) у =
2
69xx−+
+
2
44.xx−+
269**. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у =
22
4
(69)xx−+
+
22
4
(69);xx++
б) у =
23
6
(1025)xx++
−
23
6
(44).xx−+
270**. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у =
2
4
21;xx++
б) у =
2
4
69.xx−+
271*. Определите знаки коэффициентов уравнения пара-
болы у = ах
2
+ bx + с, если:
а) ветви параболы направлены вверх, абсцисса ее вер-
шины отрицательна, а ордината положительна;
б) ветви параболы направлены вниз, абсцисса и орди-
ната ее вершины отрицательны.
272*. а) При каком значении аргумента значение функции,
заданной формулой
у =
5
215
,
x
x +−
равно 2?
б) При каком значении аргумента значение функции,
заданной формулой
у =
1
32 2
,
xx+−−
равно 1?
273*. а) При каких значениях а гипербола у =
9
x
и прямая
у = а − х имеют только одну общую точку? Найдите эту
точку.
б) При каких значениях а гипербола у =
4
–
x
и прямая
у = х − а имеют только одну общую точку? Найдите эту
точку.
274**. Найдите множество значений функции:
а) ϕ(х) =
2
1
;
x
x +
б) f(х) =
2
2
1
.
x
x +
275*. а) Докажите, что функция, заданная формулой
у =
11,xx−− +
нечетная, и постройте ее график.
б) Докажите, что функция, заданная формулой
у =
22,xx++−
четная, и постройте ее график.
276**. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у =
21x +−
(х + 3);
б) у =
22x−+
(х + 4).
277**. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у =
3
2
2
2x
x
− 1;
б) у = 4х −
2
2
2
.
x
x
278**. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у = х
2
− 3х −
2
39;x −
б) у = х
2
− 3х −
2
(3 9) .x −
142
Раздел IV
143
5-й уровень
279**. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у = х
2
3x −
− 3х +8;
б) у = х
2
(3)x −
− 3х + 8.
280**. Постройте график уравнения:
а)
2
yx
yx
−
−
= 0; б)
2
xy
xy
+
−
= 0.
281**. Постройте график уравнения:
а)
y
=
2
3;xx−
б)
y
=
2
3.xx+
282**. а) При каких значениях параметра т уравнение
10x −
+
4x +
= т
имеет два корня?
б) При каких значениях параметра l уравнение
2x +
+
10x −
= l
имеет бесконечное множество корней?
283**. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у =
2
44
2
xx
x
++
+
−
2
4
;
xx
x
+
б) у =
2
69
3
xx
x
−+
−
−
2
5
.
xx
x
−
284**. Постройте график уравнения:
а)
yx+
= 2; б)
yx−
= 3.
285**. а) Сколько корней имеет уравнение
2
2xx−
= а
в зависимости от параметра а?
б) Сколько корней имеет уравнение
2
4xx−
= b в
зависимости от параметра b?
286**. Используя свойство монотонности функций, реши-
те уравнение:
а) х
5
+ 2х
3
+ 3х = 54; б) х
7
+ 3х
5
+ 5х
3
= 9.
287**. а) Сколько решений в зависимости от значения па-
раметра а имеет уравнение
3x +
−
1x −
= а?
б) Сколько решений в зависимости от значения пара-
метра b имеет уравнение
4x +
+
2x −
= b?
288**. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у =
11;x −−
б) у =
11.x −−
289*. Найдите промежутки знакопостоянства функции,
заданной формулой:
а) у = х
3
+ х
2
− х; б) у = х
3
− х
2
+ х.
290**. Найдите область определения функции, заданной
формулой:
а)
2
2
443
273
;
xx
xx
y
−++
−+
=
б)
2
2
67 3
328
.
xx
xx
y
+−
−++
=
291**. Постройте график функции, заданной формулой:
а)
2
256
2
;
xxx
x
y
+−+
−
=
б)
2
22
2
.
xxx
x
y
+−−
−
=
292**. Постройте график функции, заданной формулой:
а)
2
2
2
(4);
x
x
yx
−
+
=−
б)
2
1
1
(1 ) .
x
x
yx
−
+
=−
293**. Изобразите на координатной плоскости множество
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
а)
2
65;yx x=−+
б)
2
82 .yxx=+ −
144
Раздел IV
Раздел V
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ИХ СВОЙСТВА.
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕ СКИХ ВЕЛИЧИН.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1-й уровень
1. а) Верно ли, что у па рал ле ло грамма:
1) противоположные углы равны; 2) углы, прилежащие
к одной стороне, равны; 3) все углы равны?
б) Верно ли, что в прямоугольнике:
1) все стороны равны; 2) смежные стороны равны;
3) все углы равны?
2. а) Основания трапеции MNPK — MK и NP, NH — вы-
сота трапеции. Площадь S
такой трапеции можно вы-
числить по формуле:
1) S =
1
2
(MN + PK) NH; 2) S =
1
2
(MK + NP) NH;
3) S = (MN + PK) NH; 4) S = (MK + PK) NH.
б) Основания трапеции MHPQ — MQ и HP, HK — вы-
сота трапеции. Площадь S такой трапеции можно вы-
числить по формуле:
1) S = (MQ + HP) HK; 2) S =
1
2
(MQ + HP) HK;
3) S =
1
2
(MH + PQ) HK; 4) S = (MH + PQ) HK.
3. Выберите формулу, по которой можно вычислить:
а) площадь ромба со стороной a, острым углом α и диа-
гоналями d
1
и d
2
:
1)
12
1
2
;Sdd=
2) S =
1
2
d
1
d
2
cos α;
3) S = a
2
; 4) S = a
2
sin α;
б) площадь па рал ле ло грамма со сторонами a, b, ост -
рым углом α, диагоналями d
1
и d
2
и углом ϕ между
ними:
1) S =
1
2
d
1
d
2
; 2) S = ab sin α;
3) S =
1
2
d
1
d
2
sin ϕ; 4) S =
1
2
d
1
d
2
cos ϕ.
294**. а) Найдите значения параметра а, при которых
функция
2
(3 ) 2( 3) 5yaxax= − −−−
определена
при всех действительных значениях х.
б) Найдите значения параметра b, при которых функ-
ция
2
(5) 2(5) 4ybx bx=+ ++−
определена при всех
действительных значениях b.
295**. Постройте график уравнения:
а)
22
4( )0;xyx−−=
б)
22 2
1( 4)0.xx y−+−=
296**. Постройте график функции, заданной формулой:
а)
1
1
2;
x
x
y
−
−
=−
б)
2
2
1.
x
x
y
+
+
=− −
297**. Постройте график функции, заданной формулой:
а)
2
2
2
1
1
21;
x
x
y
xx
−
−
=−+
б)
2
2
2
4
4
44.
x
x
yxx
−
−
=−+
146
Раздел V
147
1-й уровень
4. Выберите и запишите формулу, которая выражает
площадь:
а) тре уголь ника:
1) S =
1
5
ah; 2) S =
1
2
ah; 3) S = ah, где a — сто-
рона тре уголь ника, h — высота, проведенная к ней;
б) па рал ле ло грамма:
1) S =
1
3
ah; 2) S = ah; 3) S = a
2
h, где a — сторо-
на па рал ле ло грамма, h — высота, проведенная к ней.
5. Выберите и запишите формулу, которая выражает:
а) площадь круга:
1) S = πR
2
; 2) S = 2πR; 3) S = 7πR
2
, где R — радиус
круга;
б) длину окружности:
1) C = 4πR
2
; 2) C = 2πR; 3) C = πR
2
, где R — радиус
окружности.
6. Верно ли ра венст во:
а) sin
2
145° + cos
2
145° = sin
2
32° + cos
2
32°;
б) tg 37° ctg 37° = tg 112° ctg 112°?
7. Лежат ли точки A, B и C на одной прямой, если:
а) AB = 25 см, BC = 38 см, AC = 13 см;
б) AB = 19 см, BC = 29 см, AC = 49 см?
8. а) Даны точки A, B и С, которые лежат на одной прямой,
причем АВ = 6 см 3 мм, ВС = 11 см 2 мм, АС = 4 см 9 мм.
Какая точка лежит между двумя другими?
б) Даны точки M, N и K, которые лежат на одной прямой,
причем MN = 3 см 8 мм, NK = 11 см 3 мм, MK = 7 см 5 мм.
Какая точка лежит между
двумя другими?
9. а) Назовите углы, которые не являются тупыми:
∠ A = 82°, ∠ B = 153°, ∠ C = 31°, ∠ D = 90°, ∠ E = 180°.
б) Назовите углы, которые не являются острыми:
∠ A = 82°, ∠ B = 153°, ∠ C = 31°, ∠ D
= 90°, ∠ E = 180°.
10. а) Сумма длин диагоналей прямоугольника равна 15 см.
Чему равна длина каждой диагонали?
б) Сумма длин диагоналей квадрата равна 21 см. Чему
равна длина каждой диагонали?
11. Используя свойство серединного перпендикуляра к от-
резку, найдите длину отрезка MB.
12. Сколько па рал ле ло граммов изображено на рисунке,
если: а) a b c, d e f; б) a b c d, e f?
13. а) Назовите общие точки плоскостей, содержащих гра-
ни куба:
1) ABCD, DD
1
C
1
C и AA
1
D
1
D;
2) A
1
B
1
C
1
D
1
и ABCD, если эти точки существуют.
б) Назовите общие точки плоскостей, содержащих гра-
ни параллелепипеда:
1) MNPK, MM
1
N
1
N и NPP
1
N
1
;
2) M
1
N
1
P
1
K
1
и MNPK, если эти точки существуют.
148
Раздел V
149
1-й уровень
14. а) Укажите точку, которая принадлежит прямой a, но
не принадлежит прямой b.
б) Укажите точку, которая принадлежит прямой b, но
не принадлежит прямой a.
15. Определите по рисунку, параллельны ли прямые a и b.
16. Является ли че ты рех уголь ник ABCD, изображенный
на рисунке, па рал ле ло граммом?
17. Укажите, какой из че ты рех уголь ников является па рал-
ле ло граммом.
18. ABCD — трапеция. Правильно ли указаны величины
углов на рисунке?
19. Какой отрезок является:
а) медианой тре уголь ника ABC;
б) биссектрисой тре уголь ника ABC?
20. Определите, будут ли прямые a и b параллельными,
если:
а) ∠ 3 = 42° и ∠ 5 = 138°;
б) ∠ 4 = 143° и ∠ 5 = 39°.
150
Раздел V
151
1-й уровень
21. Подобны ли тре уголь ники AOB и COD? Почему?
22. Известно, что х — градусная мера внешнего угла тре-
уголь ника. Верно ли, что x = 110°?
23*. а) В какой из данных че ты рех уголь ников можно впи-
сать окружность?
б) Около какого из данных че ты рех уголь ников можно
описать окружность?
24. а) По данным рисунка определите, верно ли, что
tg A = 1.
б) По данным рисунка определите, верно ли, что
tg B = 1.
25. а) В па рал ле ло грамме МНРК сторона МК равна 8 см,
угол К равен 120°. Чему равны сторона НР и угол Н?
б) В па рал ле ло грамме ABCD сторона AD равна 6 см,
угол А равен 40°. Чему равны сторона ВС и угол С?
26. а) Чему равна сторона ромба, если его периметр равен
64 см?
б) Чему равна сторона квадрата, если его периметр ра-
вен 52 см?
27. а) Диагонали ромба равны 4 см и 8 см. Верно ли, что
площадь ромба равна:
1) 32 см
2
; 2) 16 см
2
; 3) 12 см
2
?
б) Сторона квадрата равна 8 см. Верно ли, что площадь
квадрата равна:
1) 16 см
2
; 2) 32 см
2
; 3) 64 см
2
?
28. Выберите верное утверждение:
а) центром окружности, вписанной в тре уголь ник, слу-
жит точка пересечения его:
1) медиан; 2) высот; 3) биссектрис; 4) серединных пер-
пендикуляров к сторонам тре уголь ника;
152
Раздел V
153
1-й уровень
б) центром окружности, описанной около тре уголь-
ника, служит точка пересечения его:
1) медиан; 2) высот; 3) биссектрис; 4) серединных пер-
пендикуляров к сторонам тре уголь ника.
29. а) Углы при большем основании трапеции равны 63° и
37°. Верно ли, что углы при меньшем основании трапе-
ции равны 117° и 143°?
б) Углы при меньшем основании
трапеции равны 163°
и 137°. Верно ли, что углы при большем основании тра-
пеции равны 17° и 43°?
30. Определите, можно ли образовать тре уголь ник из от-
резков, длины которых равны:
а) 13; 17; 29; б) 20; 30; 47.
31. а) Из какого набора отрезков нельзя составить тре-
уголь ник:
1) а = 5 см; b = 6 см; с
= 7 см;
2) а = 14,6 см; b = 7,9 см; с = 6,7 см;
3) а =
33
см; b =
33
см; с =
33
см?
б) Из какого набора отрезков можно составить тре-
уголь ник:
1) а = 6,3 см; b = 8,8 см; с = 14,1 см;
2) а =
43
см; b =
53
см; с =
10 3
см;
3) а = 1 см; b = 0,9 см; с = 2 см?
32. а) В тре уголь нике ABC ∠ A = 46°, ∠ B = 82°, ∠ C = 52°.
Назовите наибольшую сторону тре уголь ника.
б) В тре уголь нике MNP ∠ M = 68°, ∠ N = 39°, ∠ P = 73°.
Назовите наименьшую сторону тре уголь ника.
33. а) В тре уголь нике АВС АВ = 5 см, ВС = 10 см. Какой из
углов больший — А или С?
б) В тре уголь нике АВС ∠ A = 40°, ∠ B = 80°. Какая сто-
рона больше — AС или ВС?
34. а) Дан тре уголь ник ABC, ∠
A = 90°. Укажите верное ра-
венст во:
1) AB
2
+ BC
2
= AC
2
;
2) AB
2
+ AC
2
= BC
2
;
3) AC
2
+ BC
2
= AB
2
.
б) Дан тре уголь ник MNK, ∠ N = 90°. Укажите верное
ра венст во:
1) MN
2
+ NK
2
= MK
2
;
2) MN
2
+ MK
2
= NK
2
;
3) NK
2
+ MK
2
= MN
2
.
35. а) Тре уголь ник ABC — прямоугольный, ∠ C = 90°.
Площадь тре уголь ника ABC можно вычислить по фор-
муле:
1) S = AC BC; 2) S =
1
2
AC BC;
3) S = AB AC; 4) S =
1
2
AB AC.
б) В тре уголь нике ABC к стороне AC проведена высота
BK. Площадь тре уголь ника ABC можно вычислить по
формуле:
1) S = AC BK; 2) S =
1
2
AC BK;
3) S = 2AC BK; 4) S = AB AC.
36. а) В прямоугольном тре уголь нике sin α =
3
5
.
Верно ли,
что cos
2
α =
16
25
?
б) В прямоугольном тре уголь нике cos β =
5
13
.
Верно ли,
что sin
2
α =
144
169
?
37. а) Дан равнобедренный тре уголь ник ABC с основа-
нием AC, равным 10 см. Верно ли, что длина средней
линии тре уголь ника, параллельной основанию, рав-
на 7 см?
б) Дан равнобедренный тре уголь ник ABC с боковой
стороной AC. Средняя линия тре уголь ника, парал-
лельная этой стороне, равна 8 см. Верно ли, что длина
боковой
стороны равна 14 см?
38. а) У тре уголь ников ABC и MNK углы А и М, а также В
и N равны друг другу. В тре уголь нике ABC угол С равен
56°. Какой из углов тре уголь ника MNK равен 56°?
154
Раздел V
155
1-й уровень
б) У тре уголь ников DCE и KLM углы D и K, а также С
и L равны друг другу. В тре уголь нике DCE угол Е равен
96°. Какой из углов тре уголь ника KLM равен 96°?
39. а) Дан тре уголь ник ABC (∠ C = 90°). Укажите верное ра-
венст во:
1) tg B
ctg B = 1;
2) tg B + ctg B = 1.
б) Дан тре уголь ник ABC (∠ B = 90°). Укажите верное
ра венст во:
1) sin
2
C + cos
2
C = 1;
2) sin
2
C cos
2
C = 1.
40*. а) В прямоугольном тре уголь нике гипотенуза равна
15 см. Чему равен радиус окружности, описанной око-
ло этого тре уголь ника?
б) Радиус окружности, описанной около прямоуголь-
ного тре уголь ника, равен 5,5 см. Чему равна гипоте-
нуза этого тре уголь ника?
41*. Найдите длины основания и боковой стороны равно-
бедренного тре уголь ника, если
известно, что две его
стороны имеют длины:
а) 3 см и 7 см; б) 4 см и 9 см.
42. а) По данным рисунка определите, чему равна сторона
AB прямоугольного тре уголь ника ABC.
б) По данным рисунка найдите, чему равна сторона NK
прямоугольного тре уголь ника MNK.
43**. а) В тре уголь нике MKP медиана MC равна половине
стороны KP. Найдите угол M тре уголь ника MKP.
б) В тре уголь нике ABC медиана AD вдвое меньше сто-
роны BC. Найдите угол A тре уголь ника ABC.
44. а) Какое из уравнений задает окружность с центром в
точке A(−7; 1) и радиусом R
= 4:
1) (x + 7)
2
+ (y − 1)
2
= 4; 2) (x − 7)
2
+ (y + 1)
2
= 4;
3) (x − 7)
2
+ (y − 1)
2
= 16; 4) (x + 7)
2
+ (y − 1)
2
= 16?
б) Какое из уравнений задает окружность с центром в
точке D(6; −4) и радиусом R = 7:
1) (x − 6)
2
+ (y + 4)
2
= 7; 2) (x − 6)
2
+ (y + 4)
2
= 49;
3) (x + 6)
2
+ (y − 4)
2
= 49; 4) (x − 6)
2
+ (y − 4)
2
= 7?
45. Укажите координаты центра окружности, заданной
уравнением:
a) (x + 5)
2
+ (y − 3)
2
= 16; б) (x − 2)
2
+ (y + 4)
2
= 25.
46. Стороны угла ABC пересечены параллельными прямы-
ми. Используя теорему Фалеса, определите x.
47. а) Сколько общих точек имеют прямая и окружность,
если r = 50 см, d = 50 см (r — радиус окружности, d —
расстояние от центра окружности до прямой)?
б) Сколько общих точек имеют прямая и окружность,
если r = 60 мм, d = 50 мм (r — радиус окружности, d —
расстояние от центра окружности до прямой)?
48. Даны точки: M
1
(3; 7), M
2
(−3; −7), M
3
(3; −7), M
4
(−7; 3),
M
5
(7; 3). Какая из перечисленных точек является:
а) образом точки M(−3; 7) при симметрии относительно
начала координат;
156
Раздел V
157
2-й уровень
б) образом точки M(−7; −3) при симметрии относитель-
но начала координат?
49. Даны точки: K
1
(5; 11), K
2
(−5; −11), K
3
(−5; 11), K
4
(−11; 5),
K
5
(11; −5). Какая из перечисленных точек является:
а) образом точки K(5; −11) при симметрии относитель-
но оси абсцисс;
б) образом точки K(−11; −5) при симметрии относи-
тельно оси абсцисс?
50. Даны точки: D
1
(−2; 8), D
2
(−8; 2), D
3
(8; 2), D
4
(−2; −8),
D
5
(8; −2). Какая из перечисленных точек является:
а) образом точки D(−8; −2) при симметрии относитель-
но оси ординат;
б) образом точки D(2; 8) при симметрии относительно
оси ординат?
51. а) AB и AC — касательные к окружности, B и C — точ-
ки касания. Верно ли, что AC = 14,6?
б) MN и MK — касательные
к окружности, N и K —
точки касания. Верно ли, что MN = 5,4?
52*. а) Дана окружность с центром O, AB и CD — хор-
ды, F — точка их пересечения, CF = 3, FD = 12, AF = 6,
FB = 8. Верно ли указаны длины отрезков?
б) Дана окружность с центром O, MN и KL — хорды,
D — точка их пересечения, MD = 5, DN = 6, KD = 3,
DL = 6. Верно ли указаны длины отрезков?
53*. Из внешней точки A к
окружности с центром О
проведены касательная АВ
и секущая AD, которая пе-
ресекает окружность в точ-
ке С
. Правильно ли указаны
длины отрезков, если:
а) AB = 6, AC = 3, DC = 9;
б) AB = 8, AC = 4, CD = 12?
2-й уровень
54. а) Найдите углы 7 и 6, если ∠ 1 = 40°, a b.
б) Найдите углы 1 и 4, если ∠ 7 = 140°, a b.
55. а) Найдите угол BOC, если известно, что ∠ AOC = 66°,
∠ AOB = 45°.
б) Найдите угол EDF, если известно, что ∠ EDK = 83°,
∠ FDK = 25°.
158
Раздел V
159
2-й уровень
56. Найдите неизвестные углы тре уголь ника АВС.
57. Найдите х (О — центр окружности).
58. Дано изображение прямоугольного параллелепипеда.
а) Угол BDA равен 43°. Найдите углы DBC и DBA.
б) Угол ACD равен 62°. Найдите углы CAB и CAD.
59. а) Угол ACB на 38° меньше угла AOB. Найдите сумму
углов AOB и ACB.
б) Угол МСК на 34° меньше угла МОК. Найдите сумму
углов МСК и МОК.
60. а) Известно, что тре уголь ник ABC подобен тре уголь-
нику A
1
B
1
C
1
, ∠ B = 25°. Найдите угол C
1
.
б) Известно, что тре уголь ник ABC подобен тре уголь-
нику A
1
B
1
C
1
, ∠ A = 42°. Найдите угол B
1
.
61. а) В прямоугольном тре уголь нике АВС найдите ка-
тет ВС.
б) В прямоугольном тре уголь нике MNK найдите ка-
тет MN.