Сборник заданий для выпускного экзамена по математике на уровне общего базового образования под редакцией Адамовича

Подождите немного. Документ загружается.

240

Раздел VI

241

3-й уровень

б) Сколько воды надо добавить к 0,1 л воды, содержа-

щей 40 % уксусной кислоты, чтобы получить 9-про-

центный раствор этой кислоты?

131**. а) Из 400 г 12-процентного раствора выпарили не-

которое количество воды и получили 16-процентный

раствор. Какое количество воды выпарили?

б) В 15-процентный апельсиновый сироп добавили

100 г воды и получили 10-процентный раствор. Сколь

ко было взято сиропа?

132. а) Первый насос заполняет бассейн за 10 ч, а вто-

рой — за 15 ч. За сколько часов будет наполнен бас-

сейн при одновременной работе двух насосов?

б) Два насоса, работая одновременно, заполняют бак

за 3 ч. Сколько времени понадобится, чтобы первый

насос заполнил бак, если одному второму насосу не

обходимо для этого 12 ч?

133*. а) Две бригады рабочих должны по плану изготовить

230 деталей. Первая бригада работала 3 ч, а вторая —

4 ч. Сколько деталей в час изготавливала каждая бри-

гада, если первая делала на 5 деталей в час меньше,

чем вторая?

б) Для распечатки 340 страниц текста было исполь-

зовано 2 копировальные машины. Первая

работала

10 мин, а вторая — 15 мин. Сколько страниц в минуту

копировала каждая машина, если первая копировала в

минуту на 4 страницы больше, чем вторая?

134*. а) Токарь должен был обработать 120 деталей к опре-

деленному сроку. Он обрабатывал в час на 2 детали

больше, чем было намечено по плану, и уже за 3 ч до

срока обработал на 16 деталей больше. Сколько дета-

лей в час должен был обрабатывать токарь по плану?

б) Мастер должен был покрасить 360 деталей к опре-

деленному сроку. Он красил в час на 20 деталей боль-

ше, чем было намечено по плану, и уже за 1,5 ч до сро-

ка закончил работу. Сколько деталей в

час должен был

красить мастер по плану?

135. а) Отправление междугородного автобуса было за-

держано на 1,5 ч. Чтобы прибыть по расписанию в

пункт назначения, находящийся на расстоянии 360 км,

водитель увеличил скорость автобуса, с которой дол-

жен был ехать, на 20

км

Какова скорость автобуса по

расписанию?

б) Отправление самолета было задержано на 3 ч. Что-

бы прибыть по расписанию в пункт назначения, нахо-

дящийся на расстоянии 3600 км, была увеличена его

скорость на 200

км

Какова должна быть скорость са-

молета при вылете по расписанию?

136*. а) Заказ на машины завод должен был выполнить

по плану за 20 дней. Но уже за два дня до срока завод

не только выполнил план, но и выпустил на 40 машин

больше, так как выпускал ежедневно 4 машины сверх

плана. Сколько машин выпустил

завод?

б) Заказ на выпуск изделий завод должен был выпол-

нить за 30 дней. Но за три дня до срока завод выпустил

на 30 изделий больше, так как выпускал ежедневно

3 из-

делия сверх плана. Сколько изделий выпустил завод?

137*. а) Весенний сев бригада наметила закончить за

16 дней. Но, увеличив норму сева на 50 га в день, бри-

гада закончила сев за 12 дней. Сколько гектаров засе-

вала ежедневно бригада и сколько гектаров всего было

засеяно?

б) Бригада школьников должна была высадить рассаду

за 8 дней. Но, увеличив дневную норму на 5 ящиков,

они

закончили высадку рассады за 6 дней. Сколько

ящиков рассады высаживали школьники ежедневно и

сколько всего ящиков рассады они высадили?

138*. а) Два автомобиля, работая вместе, перевезли груз

за 6 дней. Сколько дней понадобилось бы каждому

автомобилю в отдельности на перевозку всего груза,

если известно, что один из них мог бы перевезти весь

груз

на 5 дней быстрее, чем второй?

242

Раздел VI

243

3-й уровень

б) Две бригады учащихся, работая вместе, посадили

школьный сад за 2 дня. Сколько дней понадобилось бы

каждой бригаде в отдельности на посадку сада, если

известно, что одна из них могла бы закончить работу

на 3 дня быстрее, чем вторая?

139. а) Латунь представляет собой сплав меди и цинка,

массы которых пропорциональны соответственно чис-

лам 7 и 3. Сколько меди и цинка в 500 г латуни?

б) Для получения крахмала берут рис и ячмень: 4 части

ячменя и 1 часть риса (по массе). Сколько килограммов

риса и сколько килограммов ячменя надо взять, чтобы

получить 45 кг крахмала?

140. а) Сплав железа с углеродом — сталь. Массы железа

и углерода в сплаве пропорциональны

числам 49 и 1.

Сколько железа и углерода в 1,5 т стали?

б) Массы меди и никеля в сплаве пропорциональны

числам 8 и 3. Сколько меди и никеля в 1,21 т сплава?

141*. а) Два мастера изготавливали в час по одному и тому

же количеству деталей. При выполнении заказа на

115 деталей один из них изготавливал в час

на 2 детали

больше, чем обычно, и работал 5 ч. Другой изготавли-

вал в час на 3 детали меньше, чем обычно, и работал

4 ч. Сколько деталей изготавливал раньше каждый из

мастеров за один час, если полученный заказ был вы-

полнен?

б) Два токаря обрабатывали в час по одному и тому же

количеству деталей

. При выполнении задания по об-

работке 209 деталей один из них обрабатывал в час на

2 детали больше, чем обычно, и работал 4 ч. Второй

обрабатывал в час на 3 детали меньше, чем обычно,

и работал 3 ч. Сколько деталей обрабатывал раньше

каждый из токарей за один час, если полученный заказ

был выполнен?

142*. а)

При совместной работе двух подъемных кранов

баржа была загружена за 4 ч 12 мин. Сколько времени

потребуется на загрузку такой же баржи каждым кра-

ном, если одним краном баржу можно загрузить на 8 ч

быстрее, чем другим?

б) При совместной работе двух станков работа была

выполнена за 2 ч 6 мин. Сколько времени потребуется

для выполнения

этой работы каждым станком, если

один может выполнить работу на 4 ч быстрее другого?

143*. а) Бассейн заполняется через две трубы за 6 ч. Через

одну, первую, трубу бассейн заполняется на 5 ч быст-

рее, чем через вторую. За какое время может быть за-

полнен бассейн через каждую трубу в отдельности?

б) Бак заполняется

через две трубы за 2 ч. Через пер-

вую трубу он заполняется на 3 ч быстрее, чем через

вторую. За какое время может быть заполнен бак че-

рез каждую трубу в отдельности?

144. а) Периметр прямоугольника равен 170 см, а сумма

его диагоналей — 130 см. Найдите длины сторон пря-

моугольника.

б) Гипотенуза прямоугольного тре уголь

ника равна

125 см, а сумма его катетов — 175 см. Найдите длины

катетов.

145**. а) Известно, что одна сторона прямоугольника на

5 см меньше другой. Какой может быть эта сторона,

если площадь прямоугольника меньше 50 см

б) Известно, что одна сторона прямоугольника на 6 см

больше другой. Какой может быть эта сторона, если

площадь прямоугольника меньше 72 см

146. а) В прямоугольнике одна сторона в 3 раза меньше

другой, а его площадь равна 48 см

. Найдите площадь

квадрата, построенного на большей стороне прямо-

угольника.

б) В прямоугольнике одна сторона в 4 раза больше

другой, а его площадь равна 36 см

. Найдите площадь

квадрата, построенного на меньшей стороне прямо-

угольника.

244

Раздел VI

245

4-й уровень

147**. а) Известно, что одна сторона прямоугольника на

5 см больше другой. Какой может быть эта сторона,

если площадь прямоугольника больше 50 см

б) Известно, что одна сторона прямоугольника на 6 см

меньше другой. Какие размеры должен иметь прямо-

угольник, чтобы его площадь была больше 36 см

148. а) Площадь прямоугольника равна 480 дм

. Найди-

те его стороны, если периметр прямоугольника равен

94 дм.

б) Площадь прямоугольного тре уголь ника равна

180 см

. Найдите катеты тре уголь ника, если их сумма

равна 39 см.

149**. а) Одна из сторон равнобедренного тре уголь ника

равна 9 см. Каким может быть его основание, если пе-

риметр тре уголь ника больше 24 см?

б) Основание равнобедренного тре уголь ника равно

8 см. Какой может быть его боковая сторона, если пе-

риметр тре уголь ника меньше 22

см?

150*. а) Длина большей стороны прямоугольника равна

4 см. Какой должна быть длина его меньшей стороны,

чтобы периметр прямоугольника был меньше 20 см?

б) Длина меньшей стороны прямоугольника равна 3 см.

Какой должна быть длина его большей стороны, чтобы

периметр прямоугольника был больше 30 см?

151. а) В трех поселках 6000 жителей. Во втором посел-

ке жителей вдвое больше, чем в первом, а в треть-

ем — на 400 жителей меньше, чем во втором. Сколько

жителей во втором поселке?

б) В первом цехе завода рабочих в полтора раза больше,

чем во втором, а во втором — на 200 человек больше,

чем в третьем. Всего рабочих в первом и третьем цехах

800. Сколько рабочих во втором цехе?

152. а) На первом участке было в 5 раз больше кус-

тов смородины, чем на втором. После того как на вто-

рой участок пересадили с первого 50 кустов и еще

посадили на нем 60 кустов, на обоих участках стало

кустов смородины поровну. Сколько кустов смородины

было на каждом

участке первоначально?

б) В двух сараях сложено сено, причем в первом са-

рае сена в 3 раза больше, чем во втором. После того

как из первого сарая перевезли во второй 20 т сена и

еще привезли в него 10 т, в обоих сараях сена стало

поровну. Сколько тонн сена было в каждом сарае пер

воначально?

153. а) Путешественник в первый день прошел 15 % все-

го пути, во второй день —

всего пути. Какой путь

прошел путешественник во второй день, если в первый

он прошел 21 км?

б) С молочной фермы 14 % всего молока отправили в

дет ский сад и

всего молока — в школу. Сколько молока

отправили в школу, если в детский сад отправили 49 л?

154. а) Число книг на одной полке в три раза меньше, чем

на другой. Если с первой полки взять 7 книг, а на вто-

рую поставить 9, то число книг на первой полке будет

в 5 раз меньше, чем на второй. Сколько книг было на

каждой полке первоначально?

б) В первом куске число метров ситца вдвое больше,

чем во втором. Если от каждого из них отрезать по

13 м, то в первом куске будет в 2,5 раза больше мет-

ров ткани, чем во втором. Сколько метров ситца было

первоначально в каждом куске?

4-й уровень

155. а) Сумма цифр двузначного числа равна 14. Если эти

цифры поменять местами, то полученное число будет

меньше исходного на 18. Найдите первоначальное число.

б) Цифра единиц двузначного числа вдвое больше циф-

ры его десятков. Если эти цифры поменять местами,

то полученное число будет больше первоначального на

27. Найдите первоначальное число.

246

Раздел VI

247

4-й уровень

156. а) Если приписать к двузначному числу цифру 7

сперва слева, а потом справа, то разность полученных

трехзначных чисел будет равна 351. Найдите это дву-

значное число.

б) Сумма цифр трехзначного числа равна 11, а сум-

ма квадратов его цифр равна 45. Если от этого числа

отнять 198, то получится число, записанное теми же

цифрами, но

в обратном порядке. Найдите это трех-

значное число.

157*. а) Если между цифрами двузначного числа поста-

вить цифру 0, то полученное трехзначное число будет

в 9 раз больше двузначного. Найдите это двузначное

число.

б) Первая цифра трехзначного числа равна 8. Если эту

цифру поставить на последнее место, то число увели-

чится на 18. Найдите это

трехзначное число.

158*. а) Если двузначное число разделить на произведение

его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 9. Если

же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть про-

изведение его цифр, то получится данное двузначное

число. Найдите это число.

б) Разность цифр двузначного числа равна 4, а сумма

квадратов его цифр

больше произведения его цифр на

37. Найдите это число.

159*. а) Возраст человека в 1887 г. был равен сумме цифр

года его рождения. Сколько тогда ему было лет?

б) Человеку, родившемуся в XX в., в 1996 г. исполни-

лось столько лет, какова сумма двух последних цифр

года его рождения. В каком году он родился?

160*.

а) Около дома посажены березы и липы, причем об-

щее их количество больше 14. Если количество лип

увеличить вдвое, а количество берез на 18, то берез

станет больше, чем лип. Если увеличить вдвое лишь

количество берез, то лип все равно будет больше.

Сколько берез и сколько лип было посажено?

б) В саду растут

яблони и вишни, причем общее их

количество больше 15. Если количество яблонь уве-

личить вдвое, а количество вишен на 19, то вишен ста-

нет больше, чем яблонь. Если вдвое увеличить лишь

количество вишен, то яблонь все равно будет больше.

Сколько яблонь и сколько вишен растет в саду?

161**. а) Сколько всего существует четырехзначных

чи-

сел, делящихся на 4, у которых сумма квадратов цифр

не превосходит 26?

б) Сколько всего существует четырехзначных чисел,

делящихся на 45, у которых сумма квадратов цифр не

превосходит 35?

162**. а) Однозначное число увеличили на 10. Если полу-

ченное число увеличить на столько же процентов еще

раз, то получится 72. Найдите это число.

б) Сумма двух

положительных чисел равна 24. Най-

дите меньшее из этих чисел, если 35 % одного из них

равны 85 % другого.

163. а) Автобус первую половину пути из города А в го-

род В прошел со скоростью 40

км

а вторую половину

пути — со скоростью 60

км

Из города В в город А

автобус шел со скоростью 50

км

Найдите среднюю

скорость автобуса на всем пути.

б) Велосипедист первую половину пути из пункта А в

пункт В ехал со скоростью 15

км

а вторую полови-

ну пути — со скоростью 10

км

На обратном пути из

пункта В в пункт А велосипедист ехал со скоростью

км

Найдите среднюю скорость велосипедиста на

всем пути.

164*. а) Турист преодолел расстояние 18 км, двигаясь пол-

часа на велосипеде и полчаса пешком. На обратном

пути он ехал а мин на велосипеде, а пешком шел на 1 ч

меньше, чем ехал на велосипеде. Найдите скорость, с

которой турист ехал на обратном пути на велосипеде

248

Раздел VI

249

4-й уровень

б) Турист отправился из пункта А в пункт В, рассто-

яние между которыми 60 км. Он ехал на велосипеде

4 ч и шел пешком 3 ч. На обратном пути он ехал а ч на

велосипеде и шел на 2 ч дольше, чем ехал на велоси-

педе. Найдите, с какой скоростью турист шел пешком

на

обратном пути.

165. а) Первые 280 км дороги из пункта А в пункт В ав-

тобус проехал с некоторой скоростью, а оставшиеся

480 км — со скоростью на 10

км

большей. Найди-

те начальную скорость автобуса, если на весь путь из

пункта А в пункт В он затратил 10 ч.

б) Первые 200 км дороги из пункта А в пункт В автомо-

биль проехал с определенной скоростью, а последние

150 км — со скоростью на 20

км

меньшей. Найдите

скорость автомобиля, с которой он проехал последние

150 км, если на весь путь из пункта А в пункт В он

затратил 5 ч.

166. а) Расстояние между двумя станциями поезд проходит

по расписанию за 6 ч. После первых 5 ч пути поезд был

задержан на 12 мин. Поэтому, чтобы прибыть на стан-

цию

назначения вовремя, поезд увеличил скорость на

км

Найдите первоначальную скорость поезда.

б) Маршрутное такси путь между двумя городами про-

езжает за 5 ч. После 3 ч движения оно делает останов-

ку на 24 мин. Чтобы прибыть вовремя, водителю надо

увеличить скорость на 19

км

Найдите первоначаль-

ную скорость.

167. а) Из деревни в город, расстояние между которыми

5 км, отправился пешеход, а через 30 мин вслед за

ним выехал велосипедист, скорость которого на 10

км

больше скорости пешехода. В город велосипедист при-

ехал на 10 мин раньше пешехода. Найдите скорость

велосипедиста.

б) Из поселка в город, расстояние между которыми

10 км, отправился велосипедист, а через 30 мин вслед

за ним выехал мотоциклист, скорость которого на

км

больше скорости велосипедиста. В город мо-

тоциклист приехал на 10 мин раньше велосипедиста.

Найдите скорость мотоциклиста.

168. а) Расстояние MN пассажирский поезд проходит за

2 ч, а электропоезд — за 3 ч. Из M в N вышел пасса-

жирский поезд и одновременно из N в M — электро-

поезд. Через какое время после встречи пассажирский

поезд прибудет

в N?

б) Расстояние AB пассажирский поезд проходит за 2 ч,

а электропоезд — за 3 ч. Из А в В вышел пассажир-

ский поезд и одновременно из В в А — электропоезд.

Через какое время после встречи электропоезд прибу-

дет в А?

169*. а) Автомобиль едет из пункта А в пункт В сначала

5 мин

в гору, а затем 3 мин с горы. Обратный же путь

он проделывает за 16 мин. Во сколько раз быстрее ав-

томобиль едет с горы, чем в гору?

б) Автомобиль едет из пункта А в пункт В сначала

2 мин с горы, а затем 7 мин в гору. Обратный же путь

он проделывает за

15 мин. Во сколько раз быстрее ав-

томобиль едет с горы, чем в гору?

170. а) Сколько времени пассажир, сидящий у окна по-

езда, который идет со скоростью 54

км

будет видеть

проходящий мимо встречный поезд, скорость которого

км

а длина 250 м?

б) Какой длины должен быть товарный поезд, идущий

со скоростью 28

км

если пассажир, сидящий у окна

встречного поезда, который идет со скоростью 62

км

видит товарный поезд 5 с?

171**. а) Из пункта А в пункт В вышел пассажирский

поезд, в то же время из пункта В в пункт А вышел

250

Раздел VI

251

4-й уровень

товарный поезд. Скорость каждого на всем участке

движения постоянна. Через 2 ч после того, как по-

езда встретились, расстояние между ними составило

280 км. Пассажирский поезд прибыл в пункт В через

9 ч, а товарный — в пункт А через 16 ч. Найдите ско-

рость пассажирского поезда.

б) Из пункта А в пункт В вышел

пассажирский поезд,

в то же время из пункта В в пункт А вышел товарный

поезд. Скорость каждого на всем участке движения

постоянна. Через 2 ч после того, как поезда встрети-

лись, расстояние между ними составило 300 км. Пас-

сажирский поезд прибыл в пункт В через 4 ч, а товар-

ный — в пункт А

через 9 ч. Найдите скорость товар-

ного поезда.

172. а) В траве влага составляет 0,7 от общей массы, а в

сене — 0,1. Сколько надо скосить травы, чтобы заго-

товить 1 ц сена?

б) В свежих грибах влага составляет 0,9 от общей мас-

сы, а в сушеных — 0,1. Сколько нужно собрать свежих

грибов, чтобы заготовить 1 пуд сушеных?

173. а

) На элеватор поступило 1400 т пшеницы двух cop-

тов. При обработке пшеницы одного сорта оказалось

2 % отходов, другого сорта — 3 % отходов. Сколько

тонн пшеницы поступило на элеватор?

б) Применив передовую технологию, бригада стала

производить в час на 6 изделий больше, чем намечалось

по плану. В результате уже за 6 ч работы она выпол-

нила 120 % дневной (

восьмичасовой) нормы. Сколько

изделий в час должна была изготовить бригада по

плану?

174. а) При выполнении письменной работы по математике

27 % абитуриентов не решили ни одной задачи, 13 %

абитуриентов допустили в решении задач ошибки. Ос-

тавшиеся 60 человек решили все задачи верно. Сколь-

ко абитуриентов выполняло эту работу?

б) На вступительном экзамене по математике

15 %

абитуриентов не решили ни одной задачи, 144 абитури-

ента в решении задач допустили ошибки, а число верно

решивших все задачи относится к числу не решивших

ни одной задачи как 5  3. Сколько человек экзаменова-

лось по математике?

175. а) Население агрогородка увеличивается ежегодно на

15 % по сравнению с предыдущим годом. В настоящее

время

в нем 2000 жителей. Сколько жителей было в

агрогородке 3 года назад?

б) Население города увеличивается ежегодно по срав-

нению с предыдущим годом на 20 %. В настоящее вре-

мя в нем 450 000 жителей. Сколько жителей будет в

этом городе через 3 года?

176. а) Бригада лесорубов получила задание заготовить

180 м

дров, но она заготовила 207 м

дров. Верно ли,

что бригада перевыполнила задание не менее чем на

18 %?

б) Рабочий по плану должен был изготовить 120 дета-

лей, а он изготовил 138 деталей. Верно ли, что рабочий

перевыполнил план не более чем на 16 %?

177. а) Найдите число а, если его 42 % равны произведе-

нию 20 % числа b, равного 40, и 30 % числа с, равного

70.

б) Найдите число а, если его 84 % равны сумме 25 %

числа b, равного 80, и 5 % числа с, равного 20.

178*. а) Число а равно 70 % числа b. Это же число равно

40 % числа с. Найдите числа а, b и с, если известно,

что число с на 42 больше числа b.

б) Число а равно 80 % числа b, а число

с равно 140 %

числа b. Найдите числа а, b и с, если известно, что чис-

ло с на 72 больше числа а.

252

Раздел VI

253

4-й уровень

179. а) Население некоторой страны увеличивается еже-

годно на 5 %. На сколько процентов увеличится насе-

ление за 5 лет?

б) Пятилетний план развития отрасли рассчитан на

ежегодный прирост производительности труда на 4 %.

На сколько процентов повысится производительность

труда в отрасли за первые четыре года?

180*. Выработка продукции за год работы предприятия:

а) возросла на 4 %, а

на следующий год еще на 8 %;

б) возросла на 5 %, а на следующий год еще увели-

чилась на 7 %. Найдите средний ежегодный прирост

продукции за 2 года.

181*. а) В раствор объемом 10 л, содержащий 50 % кис-

лоты, доливают раствор, содержащий 20 % такой же

кислоты. Сколько можно влить второго раствора в

первый, чтобы смесь содержала не менее 30 %, но

не

более 35 % кислоты?

б) В раствор объемом 5 л, содержащий 30 % кислоты,

доливают раствор, содержащий 70 % такой же кисло-

ты. Сколько можно влить второго раствора в первый,

чтобы смесь содержала не менее 60 %, но не более

65 % кислоты?

182*. а) Рабочий по плану должен изготовить к установ-

ленному сроку 150 деталей. Перевыполняя ежедневно

норму на 3 детали

, он уже за один день до намеченного

срока перевыполнил задание на 8 %. Сколько деталей

в день изготавливал рабочий?

б) Две бригады рабочих должны были изготовить к

определенному сроку по 240 изделий. Вторая бригада

выполнила задание точно в срок, а первая изготавли-

вала ежедневно на 3 изделия больше, чем вторая, и

уже за два

дня до намеченного срока перевыполнила

задание на 5 %. Сколько изделий в день изготавливала

первая бригада?

183*

*. а) В сообщении о лыжном кроссе сказано, что про-

цент числа членов группы, принявших участие в кроссе,

заключен в границах от 96,8 % до 97,2 %. Какое наи-

меньшее число членов может быть в этой группе?

б) В сообщении о реконструкции цеха указано, что в

результате реконструкции процент высвободившихся

рабочих заключен в границах от 1,7 % до 2,3 %. Най-

дите наименьшее возможное число рабочих, первона-

чально занятых в этом цехе.

184**. Цена на некоторый товар: а) сначала возросла на

n %, а затем упала на 3k %; б) сначала возросла на

n %,

а затем упала на 5k %. В результате цена оказа-

лась вдвое выше первоначальной. При каких наимень-

ших натуральных значениях n и k это возможно?

185. а) По плану колхоз каждый день должен был засевать

по 25 га. Начав сев, колхоз ежедневно засевал на 5 га

больше, чем было предусмотрено планом, а поэтому

сев был

закончен на три дня раньше срока. Определи-

те засеянную площадь.

б) На заводе после улучшения технологии производ -

ства на обработку одной детали стали тратить на один

час меньше, чем раньше. Теперь 30 деталей обрабаты-

вают за то же время, что раньше обрабатывали 24 де-

тали. Сколько времени расходуется теперь на обработ-

ку

одной детали?

186. а) Первая бригада выполняла задание 3 ч, а затем

вторая бригада завершила его за 4 ч. За сколько часов

может выполнить это задание при постоянной произ-

водительности труда каждая бригада в отдельности,

если первой бригаде на это понадобится на 1 ч меньше,

чем второй?

б) Две бригады должны были принять в

зернохрани-

лище по 50 т пшеницы. Первая бригада принимала за

1 ч на 6 т больше пшеницы, чем вторая, и поэтому за-

вершила работу на 1 ч раньше. Сколько тонн пшеницы

принимала за 1 ч каждая бригада?

254

Раздел VI

255

4-й уровень

187. а) Два каменщика сложили стену за 20 дней. За

сколько дней выполнил бы эту работу каждый из них

в одиночку, если известно, что первому пришлось бы

работать на 9 дней больше второго?

б) Двое рабочих выполнили некоторую работу за 12 ч.

Если бы сначала первый сделал половину этой работы,

а затем второй — остальную

ее часть, то вся работа

была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы вы-

полнить всю работу каждый рабочий?

188. а) Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч.

За сколько часов может вспахать поле каждая брига-

да, работая самостоятельно, если второй бригаде на

это нужно на 12 ч больше,

чем первой?

б) Двое рабочих, работая вместе, выполнили произ-

водственное задание за 12 ч. За сколько часов может

выполнить это задание каждый рабочий самостоятель-

но, если один из них может это сделать на 7 ч быстрее

другого?

189*. а) К танкеру присоединены две трубы: подводящая и

отводящая, причем заполнение танкера через подводя-

щую

трубу продолжается на 4 ч меньше, чем его пол-

ное освобождение через отводящую трубу. При каких

значениях времени заполнения танкера через первую

трубу пустой танкер будет заполнен не менее чем за

24 ч при открытых одновременно двух трубах?

б) Танкер может заполняться через две трубы, при-

чем его заполнение через первую трубу

продолжа-

ется на 5 ч медленнее, чем через вторую. При каких

значениях времени заполнения танкера через первую

трубу его заполнение через обе трубы занимает не ме-

нее 6 ч?

190*. а) Два тракториста обязались вспахать участок. Пер-

вый тракторист выполнил часть задания за k дней, а

второй завершил его за р дней. За

сколько дней мог бы

выполнить всю работу каждый из них, если второму по-

надобилось для этого на b дней больше, чем первому?

б) Две бригады должны изготовить некоторое количе-

ство деталей. Первая бригада выполнила часть зада-

ния за n дней, а оставшуюся часть выполнила вторая

бригада за m дней. За сколько

дней могла выполнить

все задание каждая бригада, если известно, что первой

бригаде на это нужно на t дней меньше, чем второй?

191**. а) Из ведра с бензином взяли 1 л бензина и выли-

ли его в ведро со смазочным маслом. Затем из ведра с

маслом взяли 1 л смеси и вылили ее в

ведро с бензи-

ном. Найдите, чего после этого стало больше в этих

ведрах: масла в бензине или бензина в масле.

б) Из ведра с дизельным топливом взяли 2 л и пере-

лили в ведро с бензином. Затем из ведра с бензином

взяли 2 л смеси и перелили в ведро с дизельным топ-

ливом. Установите, чего после этого стало меньше в

этих ведрах: бензина в дизельном топливе или дизель-

ного топлива в бензине.

192. а) Длина основания прямоугольного параллелепипеда

12 дм, ширина 5 дм. Какой должна быть высота парал-

лелепипеда, чтобы его объем не превышал объем куба

с ребром 98 дм?

б) Диагональ квадрата основания прямоугольного па

раллелепипеда равна

см. Какой может быть вы-

сота параллелепипеда, чтобы его объем был меньше

объема куба с ребром 8 см?

193*. а) Имеется футбольное поле прямоугольной формы

площадью 0,64 га. Ширина поля не меньше 50 м, но

не больше 55 м. При каких размерах длины и ширины

поля его диагональ будет наибольшей?

б) Вокруг футбольного поля прямоугольной

формы

площадью 0,64 га идет дорожка. По периметру фут-

больное поле не больше 110 м, но не меньше 100 м. При

каких размерах поля длина дорожки наименьшая?

256

Раздел VI

257

5-й уровень

194*. а) Найдите длины катетов прямоугольного тре уголь-

ника, гипотенуза которого равна с, а площадь равна S.

б) Найдите площадь прямоугольника, диагональ кото-

рого равна d, а разность сторон равна l.

195. а) Через 5 лет возраст брата будет относиться к воз-

расту сестры как 7  5. Сколько лет каждому из них те-

перь,

если известно, что спустя год брат будет вдвое

старше сестры?

б) На вопрос, сколько сыну лет, отец ответил: «Если

его удвоенный настоящий возраст уменьшить на утро-

енный возраст, который у него будет шесть лет спустя,

то получится его возраст теперь». Сколько лет сыну?

196. а) Часы показывают 1 ч дня. Найдите ближайший

мо-

мент времени, когда часовая и минутная стрелки сов-

падут.

б) Найдите ближайший после 12 ч дня момент време-

ни, когда часовая и минутная стрелки часов перпенди-

кулярны.

197. Сколькими способами можно выбрать две разные

буквы — одну гласную и одну согласную из слова:

а) «ложка»; б) «белая»?

198. Сколько делителей имеет число:

) 2

 3

; б) 2

 3

199. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые

можно записать, используя цифры:

а) 1; 0; 5; б) 9; 0; 2.

200. Несколько мужчин приветствовали друг друга руко-

пожатиями. Сколько мужчин было, если всего рукопо-

жатий состоялось:

а) 6; б) 10?

201. Сколько четырехзначных чисел с разными цифрами

можно составить из цифр:

а) 1; 2; 3; 4; б) 5; 6; 7; 8?

202*. а) В классе 14 учащихся. Установите, найдется ли

месяц, в котором отмечают дни рождения не меньше

чем двое учащихся этого класса.

б) В школе 379 учащихся. Установите, найдутся ли

хотя бы двое учащихся, отмечающие день рождения в

один день.

203**. В ящике лежат карандаши: 10 красных, 8 синих,

8 зеленых, 4 желтых. Карандаши вынимают, не загля-

дывая в ящик. Какое наименьшее количество каранда-

шей

надо взять, чтобы среди них оказалось:

а) четыре карандаша одного цвета;

б) хотя бы один карандаш каждого цвета?

5-й уровень

204. а) Трехзначное число оканчивается цифрой 9. Если

эту цифру записать первой, то первоначальное число,

умноженное на 9, будет больше полученного числа

на 71. Найдите новое число.

б) Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту

цифру

записать первой, то новое число будет больше

утроенного первоначального числа на 1. Найдите ис-

ходное число.

205. а) Если двузначное число разделить на сумму его

цифр, то в частном получится 7 и в остатке 6. Если

это же двузначное число разделить на произведение

его цифр, то в частном получится 3, а в остатке число,

равное

сумме цифр исходного числа. Найдите исходное

число.

б) Если двузначное число разделить на сумму его

цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если

же это число разделить на произведение его цифр, то

получится в частном 3 и в остатке 5. Найдите исходное

число.

206. а) Сумма трех чисел, составляющих арифметичес-

кую прогрессию,

равна 15. Если к ним прибавить со-

258

Раздел VI

259

5-й уровень

ответственно числа 1, 4 и 19, то получатся три числа,

составляющие геометрическую прогрессию. Найдите

эти числа.

б) Сумма трех чисел, являющихся последовательными

членами арифметической прогрессии, равна 21. Если

второе число уменьшить на единицу, а третье уве-

личить на единицу, то получатся три последователь-

ных члена геометрической прогрессии. Найдите эти

числа.

207. а) Сумма трех чисел,

составляющих убывающую

арифметическую прогрессию, равна 3. Если третье

число увеличить на

то полученные три числа со-

ставят геометрическую прогрессию. Сколько членов

арифметической прогрессии надо взять, чтобы их сум-

ма была равна 2,2?

б) Три числа, сумма которых равна 7, составляют

возрастающую геометрическую прогрессию. Если

бы большее из этих чисел было на единицу меньше,

то числа составили бы арифметическую прогрессию.

Сколько членов геометрической прогрессии

надо взять,

чтобы их сумма была равна 255?

208**. а) Найдите трехзначное число, цифры которого об-

разуют арифметическую прогрессию и которое делит-

ся на 45.

б) Найдите трехзначное число, цифры которого обра-

зуют арифметическую прогрессию и которое делится

на 15.

209. а) Группа школьников выехала из города A на экс-

курсию в город В по

железной дороге, протяженность

которой составляет 200 км. Через некоторое время

школьники возвратились в город А на автобусе, затра-

тив на обратный путь на 1 ч меньше, чем на путь в го-

род В. Найдите скорость автобуса, если она на 20

км

больше скорости поезда, а длина шоссе между города-

ми А и В составляет 240 км.

б) Из пункта А в пункт В автомобиль ехал по шоссе

протяженностью 210 км, а возвращался из пункта В в

пункт А по грунтовой дороге протяженностью 160 км,

затратив на обратный путь на 1 ч больше, чем на путь

из пункта А в пункт В. Найдите, с какой скоростью

ехал автомобиль по грунтовой дороге, если она на

км

меньше, чем его скорость по шоссе.

210. а) По течению реки от пристани отошел плот. Через

4 ч от этой пристани в том же направлении отошла

лодка, которая догнала плот на расстоянии 15 км от

пристани. Найдите скорость течения реки, если соб-

ственная скорость лодки составляет 12

км

б) По течению реки от пристани отошел плот. Через 9 ч

от этой пристани в том же направлении отошел катер,

который догнал плот на расстоянии 20 км от пристани.

Найдите скорость течения реки, если собственная ско-

рость катера составляет 18

км

211. а) Две точки, двигаясь по окружности в одном направ-

лении, встречаются через каждые 56 мин, а двигаясь

в противоположных направлениях, — через каждые

8 мин. Найдите скорость каждой точки и длину окруж-

ности, если известно, что за 1 с первая точка проходит

на

м больше второй.

б) По окружности длиной 360 м движутся две точки,

причем первая проходит окружность на 1 с быстрее.

Найдите скорость каждой точки, если известно, что

первая точка проходит за 1 с на 4 м больше второй.

212. а) Два бегуна стартовали один за другим с интерва-

лом в 2 мин. Второй бегун догнал первого

на рассто-

янии 1 км от точки старта, а пробежав от точки стар-

та 5 км, он повернул обратно и встретился с первым

бегуном. Эта встреча произошла через 20 мин пос-

ле старта первого бегуна. Найдите скорость второго

бегуна.