Сборник заданий для выпускного экзамена по математике на уровне общего базового образования под редакцией Адамовича
Подождите немного. Документ загружается.
100
Ра з д е л III
101
5-й уровень
308*. а) Известно, что один из корней уравнения
ах
3
− 2х
2
− 5х + 6 = 0 равен −2. Найдите остальные кор-
ни этого уравнения.
б) Известно, что один из корней уравнения
х
3
+ ах
2
− 5х + 6 = 0 равен 3. Найдите остальные корни
этого уравнения.
309**. Решите уравнение:
а)
2
2
11
210;
х
х
хх+−+−=
б)
2
2
11
2310.
х
х
хх+−+−=
310**. Решите уравнение:
а)
2
2
2
(1)
3;
x
x
х
+
+=
б)
2
2
1
8.
x
x
х
−
+=
311**. Решите уравнение:
а)
22
23
7
8
25 25
;
xx
xx xx−+ ++
+=
б)
22
43
4874107
1.
xx
xx x x−+ − +
+=
312**. Решите уравнение:
а)
22
2
2
33
9
11
1
235;
xx
x
хх
x
−+
−
+−
−
+=
б)
22
2
2
22
4
11
1
347.
xx
x
хх
x
−+
−
+−
−
+=
313**. Решите уравнение:
а)
16 20
(6)(1)(2)(3)
1;
xx xx+− ++
−=
б)
68
( 1)( 2) ( 1)( 4)
1.
xx xx++ −+
+=
314**. Решите уравнение:
а) (х + 2) (х + 3) (х − 4) (х − 6) = 10х
2
;
б) (х − 8) (х − 2) (х + 1) (х + 4) = −20х
2
.
315**. Решите систему уравнений:
а)
2
2
215,
22;
у xx
xy x
⎧
=+−
⎪
⎨
−+ =−
⎪
⎩
б)
2
2
28,
11.
х yy
у xy
⎧
=−−
⎪
⎨
−+ =−
⎪
⎩
316**. Найдите целые решения уравнения:
а) х
2
+ у
2
− 4х + 2у = 0;
б) х
2
+ у
2
− 2х + 4у = 0.
317**. Решите уравнение:
а) (х − 3) (х + 9) (х + 3)
2
= −35;
б) (х − 4) (х + 12) (x + 4)
2
= −63.
318**. Решите уравнение:
а)
22
23
33
0,6;
xx
xx xx++ −+
−=−
б)
22
23
42 2
1,25.
xx
xx xx−+ ++
+=−
319**. Решите уравнение:
а)
2
2
2
9
(3 )
40;
x
x
x
−
+=
б)
2
2
2
9
(3 )
40.
x
x
x
+
+=
320**. а) При каких значениях параметра t система урав-
нений
22
(2)1,xy
yxt
⎧
+− =
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
имеет три решения?
б) При каких значениях параметра l система уравнений
22
2,
()1
yx
xyl
=+
⎧
⎪
⎨
++ =
⎪
⎩
имеет три решения?
321**. а) Найдите значения параметра а, при которых сис-
тема уравнений
22
1,xy
xya
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
не имеет решений.
б) Найдите значения параметра b, при которых система
уравнений
22
1,xy
xyb
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
имеет четыре решения.
102
Ра з д е л III
322**. Решите относительно х уравнение:
а) х
2
− 2х + а = 0; б) х
2
− 4х + b = 0.
323**. Решите уравнение:
а) (х − 4)
4
+ (х − 6)
4
= 82;
б) (х − 2)
4
+ (х − 4)
4
= 16.
324**. Для каждого значения параметра а решите нера-
венст во:
а) х
2
− (а + 2)х + 2а 0;
б) х
2
− (3 − а)х − 3а 0.
Раздел IV
КООРДИНАТЫ И ФУНКЦИИ
1-й уровень
1. Определите, какому координатному углу принадлежат
точки:
а) А(3; −3), В(−5; −4);
б) С(−5; 2), D(13; 5).
2. Определите, где на координатной плоскости находится
точка, если
а) ее абсцисса равна нулю, а ордината отрицательна;
б) ее абсцисса отрицательна, а ордината равна нулю.
3. Дана точка N(х; у). Сравните с нулем ее
координаты,
если точка находится:
а) на положительной полуоси Ох;
б) на отрицательной полуоси Оу.
4. Функция задана формулой
у = 3 −
1
2
x
2
.
Верно ли ра венст во:
а) у(−2) = 1; б) у(−4) = 5?
5. Принадлежит ли число 7 области определения функ-
ции, заданной формулой:
а) у =
5
5
;
х−
б) у =
8?x−
6. Является ли число −4 нулем функции, заданной фор-
мулой:
а)
2
16
9
;
х
х
у
−
+
=
б)
2
16
1
?
х
х
у
+
+
=
7. Среди данных функций укажите те, которые являются
линейными:
а) у = х
2
+ 2, у = 3 − 3х, у =
4
х
+ 2, у =
3
,
х
у = 3;
б) у = 5, у = −х + 7, у =
2
7
х
+ 1, у =
2
3
7
,
х
5
.
x
y =
104
Раздел IV
105
1-й уровень
8. Среди данных функций укажите те, графиком которых
является парабола:
а) у = −4х; у =
1
2
х
2
; у = −3 + 5х
2
;
1
3
;
х
у
+
=
б) у = 2х
2
+ 3х − 5; у =
1
4
х + 7; у = 5; у = −7 − х
2
.
9. Является ли множество действительных чисел об-
ластью определения функции, заданной формулой:
а) 1) у = 3 − 5х
2
+ 2х; 2)
5
27
;
х
х
у
+
=
б) 1)
4
21
;
х
у
+
=
2) у = −5х − 7?
10. а) Из числовых промежутков [4; +); (−; 4]; (−; 4)
выберите тот, который является областью определе-
ния функции
4.ух=−
б) Из числовых промежутков (−; −5); (−; −5];
[−5; +) выберите тот, который является областью
определения функции
5.ух=+
11. а) На каком рисунке изображен график функции
у = х + 1?
б) На каком рисунке изображен график функции
у = −х + 2?
12. Принадлежит ли графику функции
5ух=+
точка:
а) А(−21; −4); б) В(4; 3)?
13. Верно ли, что множество действительных чисел явля-
ется областью определения функции, заданной форму-
лой:
а)
2
4
1
;
х
х
у
+
+
=
б)
2
5
1
?
х
х
у
−
−
=
14. Верно ли, что:
а) прямо пропорциональная зависимость между у и х
есть линейная функция у от х;
б) всякая линейная функция у от х есть прямо пропор-
циональная зависимость у от х?
15. Принадлежит ли графику функции у = f(x) точка А,
если:
а) у = −20х
2
, А(0,5; 5); б) у =
1
32
,
х +
−
А(1; −0,2)?
16. Какая из линий, изображенных на рисунке, является
графиком функции у?
106
Раздел IV
107
1-й уровень
17. Областью определения функции, заданной графиком
на рисунке, является промежуток [−1; 3].
Какие точки являются нулями функции:
а) (−1; 2), (−0,5; 0), (0; −1), (2; 0), (3; 1);
б) (−1; −2), (0; −1), (1; 0), (2; 2), (3; 0)?
18. а) Функция у возрастающая. Сравните:
1) y(3) и y(−4); 2)
1
8
y
и
1
5
.y
б) Функция у убывающая. Сравните:
1) у(2) и у(−2); 2)
1
3
y
и
2
5
.y
19. Какие из данных функций являются возрастающими:
а)
1
4
,y х=
,y х=
2
;
х
y =
б) у = 0,4х, у = х
3
,
4
?
х
у =−
20. а) Функции заданы графически. Укажите ту, которая
является возрастающей.
б) Функции заданы графически. Укажите ту, которая
является убывающей.
21. а) Из функций
1
3
,y х=
у = −5x;
3
x
y =
выберите те,
которые являются:
прямой пропорциональностью;
обратной пропорциональностью.
б) Из функций
4
,
х
y =−
у = 0,5x,
5
x
y =
выберите те,
которые являются:
прямой пропорциональностью;
обратной пропорциональностью.
22. Дана линейная функция у = −2,5х + 3. График какой из
функций не пересекает график данной:
а) у = 2,5х, у = −2,5х + 0,5;
б) у = −2,5х − 3, у = 2,5х + 1?
23. Какой промежуток является областью определения
функции,
график которой изображен на рисунке:
а) [−1; 3], [−2; 3], [−1; 2], [−1; 1];
б) [−1; 2], [−1; 3], [0; 2], [−2; 2]?
108
Раздел IV
109
1-й уровень
24. Какой промежуток является областью значений функ-
ции, график которой изображен на рисунке:
а) [−1; 3], [−1; 0], [−2; 2], [2; 3];
б) [−1; 2], [−1; 3], [0; 3], [1; 2]?
25. Укажите, какие из данных функций являются квадрат-
ными:
а) у =
1
2
−
х + 5, у = 2х − х
2
+
2,
у = х
2
− х
3
;
б) у = −х − х
2
+ х
3
, у = 5х + х
2
, у =
2−
+ 4х − 3х
3
.
26. а) Укажите, какие из чисел 0; −5; 5;
1
5
−
являются ну-
лями функции у, заданной формулой у = −5х + х
2
.
б) Укажите, какие из чисел −2; 0; 2;
1
3
являются нуля-
ми функции у, заданной формулой у = −3х
2
+ 6х.
27. а) Укажите, какие из чисел −3; 0,5; 1; 8 принадлежат
области определения функции, заданной формулой
2.ух=−
б) Укажите, какие из чисел 5; 2; 100; −8 принадлежат
области определения функции, заданной формулой
3.ух=−
28. Запишите четыре первых члена последовательности
(х
n
), заданной формулой:
а) x
n
= 2n − 2;
б) x
n
= 5 − 4n.
29. Последовательность (a
n
) задана формулой a
n
= 3n − 5.
Найдите член последовательности с номером:
а) 7; б) 5.
30. Какая из данных числовых последовательностей явля-
ется арифметической прогрессией:
а) 9; 6; 3; 0; …; 1;
11 1
3927
;; ;
…;
б) 1;
111
248
;;;
…; −3; 2; 7; 12; …?
31. Какая из указанных последовательностей (а
n
) являет-
ся геометрической прогрессией:
а) a
n
= 2n; a
n
= 2
n
; a
n
= 0;
б) a
n
= 2n − 1; a
n
= −1; a
n
= 3
n
?
32. Найдите разность арифметической прогрессии (а
п
),
если:
1) а
1
= 50; а
2
= 110;
2) а
1
= 70; а
2
= 150.
33*. В каких координатных четвертях находится график
функции, заданной формулой:
а)
13
1047
;ух=−
б)
15
2008
?у x=
34. Запишите по возрастанию значений выражения:
а) cos 30°, cos 85°, cos 50°, cos 115°;
б) cos 42°, cos 115°, cos 57°, cos 80°.
35. Запишите по убыванию значений выражения:
а) sin 45°, sin 30°, sin 92°;
б) sin 95°, sin 13°, sin 30°.
36. Запишите по возрастанию значений выражения:
а) tg 36°, tg 64°, tg 140°;
б) tg 115°, tg 170°, tg 42°.
37**. В каких координатных четвертях находится график
функции, заданной
формулой:
а)
2
;
х
у =
б)
3
?
х
у =−
110
Раздел IV
111
1-й уровень
38**. На каком из рисунков 1—4 изображен график функ-
ции, заданной формулой:
а) у = (х + 1)
2
; б) у = х
2
+ 1?
39*. а) Функция у = f(x) является четной, причем f(3) = 7;
f(12) = 6; f(−6) = 0. Найдите f(−3); f(−12); f(6).
б) Функция у = g(x) является нечетной, причем g(4) =
= −3; g(2) = −2,7; f(−1) = 0,3. Найдите g(−4); g(−2); g(1).
40. а) Среди заданных
функций укажите возрастающие:
у = 2х
2
; у = 5х − 1; у = 3 − х;
.ух=
б) Среди заданных функций укажите убывающие:
у = х
2
; у = 2х − 3; у = −х + 4;
.ух=−
41. Определите, пересекаются или параллельны прямые,
заданные формулами:
а) у = 5х + 3 и у = 5х − 8;
б)
1
2
7ух=−
и
1
2
0,8.ух=−
42. Определите, пересекаются или параллельны прямые,
заданные формулами:
а) у = 7х − 5 и у = −7х + 5;
б) у = 3t − 5 и y = −3t + 5.
43. Для линейной функции у = 4х запишите какую-либо
функцию, график которой:
а) не пересекает график этой функции;
б) пересекает график
этой функции.
44*. Из функций
1
,
х
у =
у = −х
2
, у = 2х, у = 2х + 1, у = х
2
+ 1
выберите те, которые не являются:
а) четными; б) нечетными.
45*. Из функций
,ух=
1
,
х
у =
у = х
2
, у = х
3
, у = 3х + 1
выберите те, которые являются:
а) четными; б) нечетными.
46*. Является ли функция у, график которой изображен
на рисунке, четной?
47**. Дана функция
2, 2 0;
4, 0 2;
7, 2.
если
если
если
х
y х
х
−−
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩
Найдите:
а) у(1), у(3,5), у(−1,5); б) у(−0,5), у(7),
1
3
1.y
48**. Дана функция
,12;
3, 2.
если
если
хх
y
х
−
⎧
=
⎨
⎩
Найдите:
а) у(0), у(1), у(5); б) у(−0,5), у(0,5), у(20).
112
Раздел IV
113
2-й уровень
49**. Даны точки А(2; 4), В(−3; 1), С(2; −4), D(−3; −5),
E(−2; 4), F(−2; −4), K(3; −5), Z(−3; −1). Выберите пары
точек, симметричных друг другу относительно:
а) оси Ох; б) оси Оу.
50**. Дана функция
2
2
, если 0;
, если 0.
хх
y
хх
⎧
⎪
=
⎨
−
⎪
⎩
Найдите:
а) у(3), у(−5); б) у(−2), у(6).
51**. Дана функция
1, если — рациональное число;
0, если — иррациональное число.
х
y
х
⎧
=
⎨
⎩
Найдите:
а)
3,y −
у(0,(17)); б)
2,y
у(0,(2)).
52**. а) Парабола у = х
2
сдвинута вниз на 5 единиц и впра-
во на 2 единицы. Является ли полученная парабола
графиком функции:
1) у = (х − 2)
2
− 5; 2) у = (х + 2)
2
− 5?
б) Парабола у = х
2
сдвинута вверх на 8 единиц и влево
на 6 единиц. Является ли полученная парабола графи-
ком функции:
1) у = (х − 6)
2
+ 8; 2) у = (х + 6)
2
+ 8?
53**. Какая из последовательностей является бесконечно
убывающей геометрической прогрессией:
а) 4; 2; 0; −2; …;
11 1 1 1
3927 2 4
; ; ; ...; 1; ; ; ...;−−
б)
11 1
4816
; ; ; ...;
8; 4; 0; −4; −8; ...;
11
327
; ; ...?
54**. Из данных равенств укажите те, которые задают
функциональную зависимость переменной у от пере-
менной х:
а)
1,yx=−
1,yx=+
ху = 1;
б)
1,yx=+
у
2
= х + 1, у
3
= х − 1.
55**. Какая из точек M или N является серединой отрезка
АВ, если:
а) А(2; 8), В(6; −2), M(4; 3), N(2; −5);
б) А(−4; 10), В(6; 4), M(5; −3), N(1; 7)?
2-й уровень
56. Из функций
1
2
,ух=−
у = 3х + 14,
8
,
х
у =−
у = 2х + 5,
2
х
у =−
выберите те, график которых:
а) проходит через точку N(−4; 2);
б) проходит через точку K(−2; 1).
57. а) Прямая у = kx проходит через точку М(−4; 6). Прохо-
дит ли эта прямая через точку Р(6; −9)?
б) Прямая у = kx проходит через точку N(−7; −3). Про-
ходит ли эта
прямая через точку K(3; 7)?
58. При каком значении k график функции
k
x
y =
проходит
через точку С:
а) С(2; −5); б) С(−4; 3)?
59. Функция задана формулой у = 60t, где у — путь (в ки-
лометрах) и t — время (в часах). Определите:
а) у(2), у(5), t, если у(t) = 240;
б) у(3), у(1), t, если у(t) = 180.
60. Сравните значения функции у(2) и
у(3), если:
а) у = (x − 1) (x − 5); б) у = (1 − x) (5 − x).
61. а) Принадлежат ли точки
2; 2A
и
2; 2 2B +
графику функции у = x
2
+
2
− 2?
б) Принадлежат ли точки
3; 3M
и
3; 6 3N +
графику функции у = x
2
+
3
− 3?
62. Дана функция у = −2х + 5. Верно ли, что:
а) у 0, при х 2,5; б) у 0, при х 2,5?
63. При каких значениях аргумента функция у принимает
положительные значения, если:
а) у = 3x + 1,2; б) у = −5x − 10,2?
114
Раздел IV
115
2-й уровень
64. При каких значениях аргумента функция у принимает
положительные значения, если:
а)
4
2
;
x
y
+
=−
б)
3
1
?
x
y
−
=
65. При каких значениях аргумента функция у принимает
отрицательные значения, если:
а)
5
3
;
х
y
−
=
б)
6
1
?
x
y
+
=−
66. Дана линейная функция у = ax + b, график которой
проходит через точки (х
1
; у
1
), (х
2
; у
2
). Найдите значения
а и b, если:
а) х
1
= 2, у
1
= 1 и х
2
= 1, у
2
= −2;
б) х
1
= 0, у
1
= −1 и х
2
= −2, у
2
= −9.
67. Задайте формулой прямую пропорциональную зависи-
мость, график которой проходит через точку А, если:
а) А(1; 0,5); б) А(1; −0,5).
68. Задайте формулой обратную пропорциональную за-
висимость, график которой проходит через точку С,
если:
а) С(−2; 6); б) С(−3; 5).
69. При каком значении аргумента равны значения функций:
а) у =
−3х + 4 и у = 5х − 12;
б) у = 3х − 8 и у = −2х + 7?
70. При каком значении аргумента равны значения функ-
ций:
а) у = 3х
2
− 5х + 6 и у = −4х + 5 + 3х
2
;
б) у = 2 −4х + 2х
2
и у = 2х
2
− 5х − 9?
71. Укажите две линейные функции, графики которых:
а) параллельные прямые;
б) пересекающиеся прямые.
72*. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функ-
ции у, если:
а) у = 9 + 6x; б) у = 4 − 1,5x.
73. Зная, что в арифметической прогрессии (b
n
) b
1
= 2,8,
b
2
= −0,3, найдите:
а) b
5
; б) b
4
.
74. Найдите сумму первых шести членов арифметической
прогрессии (a
n
), если:
а) а
1
= −1, d = 0,3, где d — разность прогрессии;
б) а
1
= −4, d = 0,6, где d — разность прогрессии.
75. Зная, что в геометрической прогрессии (c
n
) c
1
= 0,2,
c
2
= 1,2, найдите:
а) с
3
; б) с
4
.
76. Найдите сумму первых четырех членов геометрической
прогрессии (b
n
), если:
а) b
1
= 18,
1
3
,q =−
где q — знаменатель прогрессии;
б) b
1
= 16,
1
2
,q =−
где q — знаменатель прогрессии.
77. Выразите знаменатель геометрической прогрессии (b
n
),
все члены которой положительные числа, через:
а) b
1
и b
3
; б) b
2
и b
4
.
78. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у = 4х; б) у = 3х.
79. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у = −2х + 1; б) у = −3х − 1.
80*. Постройте график функции у = х
2
на отрезке:
а) [−1; 3]; б) [−3; 0].
81*. Задана функция
1
х
у =
с областью определения D.
Постройте ее график, если:
а) D = (−5; 5); б) D = [−8; 8].
82. Какие из графиков указанных функций не проходят че-
рез начало координат:
а) у = х − 5; у =
4
–;
x
у = х
3
;
б) у = −3х; у = 3 − х; у =
?x
116
Раздел IV
117
2-й уровень
83. Найдите точки пересечения графика функции с осями
координат:
а) у = 2х − 7; б) у = −3х + 2.
84. Найдите точки пересечения графика функции с осями
координат:
а) у = х
3
− 4х; б) у = 9х − х
3
.
85. Для функции у найдите значение аргумента х, при ко-
тором у = 1:
а) у = −0,5х + 2; б) у = −1,5х − 3,5.
86. Функция задана формулой у = 8 −
1
7
.t
Найдите значе-
ние аргумента t, при котором у равно:
а) 6; б) 5.
87. Определите координаты точки А, если известно, что
она принадлежит графикам функций:
а) у = 2х и у = −3х; б) у = 3х и у = −2х.
88. Оцените значения функции у = 2х + 6, если:
а) −1 х 13; б)
−15 х 0.
89. Оцените значения функции у = х
3
, если:
а) −2 х 1; б) −1 х 2.
90. На рисунке показаны графики движения Саши и Нины.
Найдите по ним скорость движения каждой девочки и
запишите формулы, выражающие зависимость прой-
денного пути от времени.
91. Найдите область определения функции, заданной фор-
мулой:
а) у =
5– ;x
б) у =
7– .x
92. Найдите область определения функции, заданной фор-
мулой:
а) у =
5
28
;
x +
б) у =
7
312
.
x +
93. Определите координаты вершины параболы:
а) у = −х
2
− 4х + 5; б) у = −х
2
− 6х + 7.
94*. а) Дана функция у = 2х − х
2
. Найдите значения аргу-
мента, при которых функция принимает наибольшее и
наименьшее значения.
б) Дана функция у = х
2
+ 2х. Найдите значения аргу-
мента, при которых функция принимает наибольшее и
наименьшее значения.
95*. Укажите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции у = х
2
на промежутке:
а) [−7; 2]; б) [−3; 5].
96**. а) При каком значении а осью симметрии параболы
у = ах
2
− 6х + 2 является прямая х = 2?
б) При каком значении с осью симметрии параболы
у = 2х
2
+ сх − 4 является прямая х = −4?
97**. При каком значении а графики функций у = а и
у = х
2
+ 2 имеют:
а) две общие точки; б) не имеют общих точек?
98. При каком значении с график функции у проходит че-
рез точку А(2; 1), если:
а) у = х
2
+ 5х + с; б) у = х
2
+ сх + 1?
99*. Найдите k, если график функции у = kx проходит че-
рез точку:
а) В(−30; 3); б) А(4; −80).
100*. а) Функция задана формулой р = х
2
− 1. Найдите зна-
чения х, при которых р = 0, р = 8, р = 11.
б) Функция задана формулой р = х
2
− 4. Найдите значе-
ния х, при которых р = 0, р = 5, р = 6.
118
Раздел IV
119
3-й уровень
101*. Каким числом, положительным или отрицательным,
является коэффициент а, если известно, что график
функции у = ах
2
проходит через точку:
а) А(−27; 243); б) В(32; −128)?
102*. а) Укажите график функции, заданной формулой
у = −х
2
− 2х − 3.
б) Укажите график функции, заданной формулой
у = −х
2
+ 2х + 3.
103**. Совпадают ли области определения функций, за-
данных формулами:
а) f =
(2)(3)xx−+
и h =
23;xx−+
б) р =
1
4
x
x
−
+
и q =
1
4
?
x
x
−
+
104*. а) Принадлежат ли графику функции у =
4
x
точки
F(81; 3), K(−16; −2)?
б) Принадлежат ли графику функции у =
3
x
точки
В(216; 6), С(27; − 3)?
105**. Укажите область определения функции, заданной
формулой:
а) у =
4
3
;
x −
б) у =
1
2
.
x−
106**. Покажите на координатной прямой множество зна-
чений переменной х, если:
а) [x] = −2; б) [x] = −3.
107**. Найдите значения функции y = [x], если аргумент х
принимает значения:
а) 0,15, −0,27,
1
3
2;
б) 0,52, −0,22,
3
7
3.
108**. Найдите значения функции y = {x}, если аргумент х
принимает значения:
а) 0,27, −0,35,
3
8
4,
−1,76;
б) 0,35, −0,15,
2
3
2,
−1,14.
3-й уровень
109. Укажите область определения функции, заданной
формулой:
а) у =
51
24
;
x
x
+
+
б) у =
31
824
.
x
x
−
−
110 . Укажите область определения функции, заданной
формулой:
а) у =
520;x−+
б) у =
318.x−+