Сборник заданий для выпускного экзамена по математике на уровне общего базового образования под редакцией Адамовича
Подождите немного. Документ загружается.
40
Раздел II
41
1-й уровень
36. Выпишите верные равенства:
а) a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2
, a
2
+ b
2
= (a + b) (a + b);
б) a
2
− b
2
= (a − b) (a − b), a
2
−
2ab + b
2
= (a − b)
2
.
37. Запишите с помощью знака неравенства:
а) x меньше 8, y больше или равно 5, z меньше или
равно 10 и больше −12;
б) y больше 3, x меньше или равно 12, z меньше 15 и
больше или равно −4.
38*. а) Известно, что a 6. Укажите следствия этого не-
равенства: a 7, a 5, a 0,
a 11.
б) Известно, что a 3. Укажите следствия этого нера-
венства: a 4, a 0, a 2, a 10.
39. Верно ли ра венст во:
а)
x
= −x, если х 0; б)
x
= x, если х 0?
40. Укажите коэффициент каждого многочлена, записав
его в стандартном виде:
а)
1
3
1−
(a + b)
2
,
33
10
;
ab+
б)
2
5
1−
(a − b)
2
,
33
5
.
ab−
41. Укажите, какие из равенств являются тождествами:
а) 10 + (x + c) = 10 + x + c,
612
6
a +
= a + 2,
a + x = ax;
б) 8(n + k) = 8n + 8k, 4(a − 3) + 13 = 4a + 1, a
2
= 2a.
42*. Запишите многочлен в порядке возрастания степеней x:
а) 3a − 5a
3
x
4
+ 7ax − 8a
2
x
3
+ x
2
;
б) −3x
2
− 5ax
3
+ 7a
2
x
4
+ 8ax + a
3
.
43*. Запишите многочлен в порядке возрастания степеней x:
а) 0,2a
3
x
2
y − 0,6 −
3
4
ax
3
+
5
6
xy
2
;
б)
5
8
a
2
xy
2
−
5
9
ax
2
y
3
− 8y + 0,1 ax
3
.
44*. Запишите многочлен в порядке убывания степеней a:
а) −3a
2
− 13 + 15a − a
4
+ 7a
3
;
б) 3 + a
5
− 2a
2
− 7a
3
+ a − a
4
.
45*. Верно ли ра венст во:
а)
,ab a b=
если a 0, b 0;
б)
,ab a b=
если a 0, b 0?
46*. Верно ли ра венст во:
а)
,
a
a
b
b
=
если a 0, b 0;
б)
,
a
a
b
b
=
если a 0, b 0?
47*. Верно ли ра венст во:
а) a
2
− ab + 2a − 2b = (a − b) (a + 2);
б) c
2
− cm − 3m + 3c = (c − m) (c + 3)?
48*. Верно ли ра венст во:
а) (2a + b) (4a
2
+ b
2
) (2a − b) = 16a
4
− b
4
;
б) (m − 2n) (4n
2
+ m
2
) (m + 2n) = m
4
− 16n
4
?
49. Выпишите верные равенства:
а) a
3
a
5
= a
8
, (a
4
)
2
= a
6
;
б) b
7
b
2
= b
14
, (b
3
)
2
= b
6
.
50. Выпишите верные равенства:
а) a
−3
a
−5
= a
−8
, (a
−4
)
2
= a
−8
;
б) b
−7
b
−2
= b
−5
, (b
−3
)
2
= b
−1
.
51. Выпишите верные равенства:
а) sin (90° − α) = cos α, tg (180° − α) = tg α,
cos (90° + α) = sin α;
б) cos (180° − α) = sin α, ctg (90° − α) = ctg α,
sin (90° + α) = cos α.
52. Выпишите верные равенства:
а) cos (180° − α) = −sin α, tg (180° − α)
= tg α;
б) cos (180° − α) = tg α, tg (180° − α) = −tg α.
53. Выпишите тождества:
а) sin α + cos α = 1, sin
2
α + cos
2
α = 0, tg α ctg α = 1;
б) sin
2
α − cos
2
α = 1, tg α ctg α = 0, sin
2
α + cos
2
α = 1.
42
Раздел II
43
2-й уровень
54*. Верно ли:
а)
2
2
4
2
4
m
m
n
n
=
при m 0, n 0;
б)
2
2
4
3
9
b
b
c
c
=
при b 0, c 0?
55*. Верно ли:
а)
11 6 5
66
ab aba=
при b 0;
б)
47 3
44
mn mn n=
при m 0?
56*. Верно ли:
а)
67
6
6
ab ab b=−
при a 0;
б)
89
8
8
bc bc c=−
при b 0?
57*. Верно ли:
а)
62
44
162 3 2aaa=
при a 0;
б)
62
44
32 2 2bbb=
при b 0?
58**. Исследуйте, при каких значениях а, b, c верно ра-
венст во:
а)
6713 2
6
;abc abc bc−=
б)
495 2
4
.abc acb bc−=
59**. Исследуйте, при каких значениях а, b, c верно ра-
венст во:
а)
748 2 3
44
;abc abc a−=−−
б)
7612 2
6
6
.abc abc a−=−
60**. Исследуйте, при каких значениях а и b верно ра-
венст во:
а)
54
4
4
;ab ab a−=−
б)
67
6
6
.ab ab b−= −
2-й уровень
61. Упростите выражение:
а)
48
22
;
xa xa
yy
−−
−
б)
10
8
4
4
.
cd
cd
b
b
+
+
−
62. Упростите выражение:
а)
22
33
;
mn mn
dt dt
+−−
−
б)
22
44
.
ab ab
kt kt
−− +
−
63. Найдите произведение:
а)
3
3
2
81
14
9
21
;
y
x
y
x
−
б)
33
826
13 7
.
ac
ca
−
64. Найдите произведение:
а)
14
7;
c
p
p−
б)
12
3.
n
k
k−
65. Выполните деление:
а)
32
2
18
7
(9 );
ab
mn
ab
б)
35
25
2
30
11
(15 ) .
mn
k
mn
66. Выполните деление:
а)
24 5
2
4
8
;
ab ab
c
c
−
б)
34 32
5
2
21
27
.
ta at
c
c
−
67. Упростите выражение:
а) tg α ctg α − sin
2
α; б) 1 − cos
2
α tg α ctg α.
68. Упростите выражение:
а) sin
2
α − tg α ctg α; б) 5 − sin
2
α − cos
2
α.
69. Упростите выражение:
а) 1 − cos
2
α tg
2
α ctg
2
α; б) 1 − sin
2
α tg
2
α ctg
2
α.
70. Упростите выражение:
а)
34 ;aab+−
б)
32.ca c−+
71. Выполните умножение:
а)
;baba+−
б)
.cmcm−+
72. Выполните умножение:
а)
33;aa+−
б)
55.cc+−
44
Раздел II
45
2-й уровень
73. Раскройте скобки:
а)
2
3;a+
б)
2
7.m−
74. Укажите область определения выражения:
а)
2
13
1
;
x +
б)
2
17
9
.
d +
75*. При каких значениях m имеет смысл выражение:
а)
(2)(2);mm−−
б)
(8)(8)?mm−−
76. При каких значениях а равно нулю выражение:
а)
35
4
;
a −
б)
43
5
?
a −
77*. Существует ли такое значение переменной х, при ко-
тором значение выражения равно нулю:
а)
2
13
9
;
x −
б)
2
15
16
?
x −
78*. При каких значениях х равно нулю выражение:
а)
2
2
4
16
;
xx
x
−
−
б)
2
2
3
9
?
xx
x
−
−
79**. Имеет ли смысл выражение:
а)
3
3
;
a
a
−
−
б)
7
7
?
b
b
−
−
80**. При каких значениях m не имеет смысла выражение:
а)
3
;
k
m −
б)
6
?
a
m−
81. Упростите выражение:
а) 3(а − 2b) − 0,5(2а + 3b) − 4,5а;
б) 4(а − 3b) − 1,5(4а + 5b) + 6,5b.
82. а) Упростите выражение −3x(2х + у) − 4у(3x − 2у) и най-
дите значение полученного выражения при х = −1, у = 2.
б) Упростите выражение
−2а(3а − b) − 3b(4а + 3b) и
найдите значение полученного выражения при а = 1,
b = −2.
83. Найдите значение выражения:
а)
2
2,5 3 ,
x
−+
если х = 3;
б)
8
1, 5 2 ,
x
−+
если х = 2.
84. Разложите на множители выражение:
а) т(а − b) − 3(а − b); б) 4(р − q) + а(р − q).
85. Вынесите общий множитель за скобки:
a) x
6
−
x
5
+ x
8
; б) а
5
+ а
4
−
а
3
.
86. Разложите на множители выражение:
а) 2а(х + у) + b(х + y); б) y(а − b) − x(а − b).
87. Упростите выражение:
а)
32
4
;
aa
a
−
б)
35
4
.
bb
b
−
−
88. Вынесите общий множитель за скобки:
а) 9а
3
b − 18a
2
b
2
; б) 24b
4
с − 8b
2
c
2
.
89. Разложите на множители выражение:
а) а
2
− 7; б) 5 − b
2
.
90. Упростите выражение:
а)
33
0,5 0,5 ;
yy
xx+−
б)
22
0,6 0,6 .
aa
bb+−
91. Раскройте скобки:
a)
2
2
0,4 ;
y
x−
б)
2
3
0,6 .
y
x−
92. Сократите дробь:
а)
22
22
2
;
xy xy
xy
+−
−
б)
22
22
2
.
ab ab
ab
++
−
93. Сократите дробь:
а)
22
2
()
;
mn
mn
−
+
б)
22
2
()
.
nm
nm
−
−
94. Чему равно значение выражения
,ab
если:
а) a 0 и b 0; б) а 0 и b 0.
95. Докажите, что ра венст во является тождеством:
а) (х − у)
2
= (у − х)
2
; б) (−р − q)
2
= (р + q)
2
.
96*. Докажите, что ра венст во является тождеством:
а)
;
a
a
bab−
=−
б)
.
ab
a
b
b
−
−=
46
Раздел II
47
2-й уровень
97. Упростите выражение:
а)
326
;
xxx
+−
б)
3126
.
aaa
+−
98. Приведите подобные члены в выражении:
а) a
2
b − 5a
2
− 3a
2
b + 6a
2
+2a
2
b;
б) 3y
2
x − y
2
− 5y
2
x + 4y
2
+ 2y
2
x.
99. Вместо многоточия запишите такой одночлен, чтобы
было верным ра венст во:
a) (−7a
2
) + … = 10a
2
; б) (−11x
4
) − … = 8x
4
.
100. Вместо многоточия запишите такой одночлен, чтобы
было верным ра венст во:
а) 12a
3
x
2
− … = −8а
3
x
2
; б) 23a
4
x
2
− … = −40а
4
x
2
.
101*. Вместо многоточий запишите такие одночлены, что-
бы было верным ра венст во:
а) (… − 3x)
2
= 49b
2
− … + … ;
б) (5x + …)
2
= … + 20xy + … .
102**. Вместо многоточий запишите такие одночлены,
чтобы было верным ра венст во:
а) (2а + …)
3
= … + 12а
2
b + … + … ;
б) (2x − …)
3
= … − … + 6xy
2
− … .
103. Упростите выражение:
а) (5а
2
+ с) (5а
2
− с); б) (10а
3
+ 1) (10а
3
−1).
104. Запишите в виде многочлена стандартного вида:
а) (n
3
− n
4
)
2
; б) (a
3
+ a
4
)
2
.
105. Сократите дробь:
а)
38
24
72
48
;
с y
cy
−
−
б)
48
34
60
48
.
ab
ab
−
−
106. Упростите выражение:
а) (а
5
у − а
4
y
2
) 2а
4
; б) (28b
3
y
6
+ by
5
) 4у
5
.
107. Разложите на множители выражение:
а) а(b + с) + b + с; б) b(а − с) + а − с.
108. Разложите на множители выражение:
а) nх − nу − р(х − y); б) kx + ky − n(x + у).
109. Укажите область определения выражения
:
а)
2
1
9
;
b
b
−
−
б)
2
2
3
.
y
y
+
−
110 . Укажите область определения выражения:
а)
2
12 3
25
;
y
y
−
−
б)
2
4
9
.
y
y
−
−
111. Укажите все значения а, при которых дробь не име-
ет смысла:
а)
3
7
;
a
a
−
+
б)
4
9
.
a
a
−
−
112 . Укажите все значения а, при которых дробь не име-
ет смысла:
а)
43
(5)
;
a
aa
−
+
б)
45
(9)
.
a
aa
−
−
113 . Упростите выражение:
а) 2 sin (180° − α) cos (90° + α);
б) 2 sin (90° − α) cos (180° − α).
114 . Упростите выражение:
а) tg (180° − α) sin (90° − α);
б) ctg (90° + α) cos (180° − α).
115 . Докажите тождество:
а) tg (180° − α) = ctg (90° + α);
б) sin (180° − α) = −cos (90°
+ α).
116 . Преобразуйте выражение, используя определение мо-
дуля числа и тождество
2
:aa=
а)
6
,n
если n 0; б)
10
,c
если c 0.
117. Преобразуйте выражение, используя определение мо-
дуля числа и тождество
2
:aa=
а)
2
(),k−
если k 0; б)
2
(),c−
если c 0.
48
Раздел II
49
3-й уровень
118 . Преобразуйте выражение, используя определение мо-
дуля числа и тождество
2
:aa=
а)
2
(4)b−
при b 0; б)
2
(9)c−
при c 0.
119. Сократите дробь:
а)
;
ab
ab
+
−
б)
.
ab
ab
−
−
120. Сократите дробь:
а)
21
1
;
aa
a
++
−
б)
21
1
.
aa
a
−+
−
121. Сократите дробь:
а)
69
9
;
aa
a
−+
−
б)
4
44
.
m
mm
−
−+
122. Сократите дробь:
а)
7
27
7
;
a
a
a
−
−+
б)
5
25
5
.
b
b
b
−
−+
123**. Сократите дробь:
а)
3
2
3
4
;
ab
ab
−
−
б)
3
2
3
4
.
bc
bc
−
−
124**. Сократите дробь:
а)
3
4
;
ba
aa b
−
+
б)
3
4
.
ma
amm
−
+
125**. Используя формулу квадрата алгебраической сум-
мы нескольких слагаемых, возведите в квадрат выра-
жение:
а) с + n + 2; б) m + n + 1.
126**. Используя формулу квадрата алгебраической сум-
мы нескольких слагаемых, возведите в квадрат выра-
жение:
а) b − c + k; б) n − a + b.
127**. Используя
формулу квадрата алгебраической сум-
мы нескольких слагаемых, возведите в квадрат выра-
жение:
а) 2a − b + c; б) a − b + 2c.
128**. Используя формулу квадрата алгебраической сум-
мы нескольких слагаемых, возведите в квадрат выра-
жение:
а) 3a + b − 2c; б) 2m + n − 3p.
3-й уровень
129. Упростите выражение:
а)
2( 3 );xmxm xm+−−−
б)
5( 2 ).а ba b a b+−−−
130. Упростите выражение:
а)
2
2(2);pp+−+
б)
2
3(3).aa−−+
131. Упростите выражение:
а)
16 9 100 ;aa a+−
б)
81 49 16 .bbb−+
132*. Упростите выражение:
а)
2
25 10xx+−
при x 5;
б)
2
49 14xx++
при x −7.
133*. Упростите выражение:
а) (a + 2)
2
2
44aa++
при а −2;
б) (b − 3)
2
1
69bb−+
при b 3.
134*. Упростите выражение:
а) (a − b)
22
1
2aabb−+
при а − b 0;
б) (a + b)
22
1
2aabb++
при a + b 0.
135. Упростите выражение:
а)
62 33 25
542
292
38 4
;
mn nt mn
tmt
б)
35 5 26
363
382
493
.
mn nt tn
tmm
136*. Вынесите множитель из-под знака корня:
а)
29
5
5
3
8
4
;
cd
d
c
б)
2
8
3
3
4
3
9
.
k
c
c
k
50
Раздел II
51
3-й уровень
137*. Вынесите множитель из-под знака корня:
а)
25
3
3
2
;
xy x y
z
z
б)
63 42
55
23
.
ab ab
tt
138. Упростите выражение:
а)
2
2
3
6
4
2
8
;
xy
y
x
xy
x
+
−
б)
22
3
8
7
2
14
.
mn
mn
mn
m
+
−
139. Упростите выражение:
а)
2
31
75
3121
41
;
x
xx
x
−
−−
−
−
б)
2
23
65
2321
41
.
x
xx
x
+
++
−
−
140*. Выполните умножение:
а)
;
tk
kt
ttk+−
б)
.
ab
ba
aab−+
141*. Выполните умножение:
а)
;
ba
ab
ab ab+−
б)
.
mn
nm
mn mn−+
142. Упростите выражение:
а)
2
7312
24 2
4
;
xx
x
−+
−
−+
б)
2
2
11
33 1
1
.
y
yy
y
−+
−
++
143. Упростите выражение:
а)
2
111
;
x
xyx
y
−+
б)
2
2
23 2
.
aa m
m
a
mm a
++
144. Упростите выражение:
а)
2
2
1
12
22
;
x
x
xx
xx
−
−−
−+
+
б)
2
233
12
233
.
xx
x
xx x
−−
−− −
+
145. Упростите выражение:
а)
222
();
mn nm
mmn mn
mn
−−
+−
++
б)
222
333
39
.
ba a b ba
b
aabab
−− +
+−
+
146. Разложите на множители выражение:
а) (a − b)x
2
+ 2(a − b)x + a − b;
б) (m + n) a
2
− 2(m + n)a + m + n.
147. Упростите выражение:
а) (a + b)
2
+ 2(a + b) (a − b) + (a − b)
2
;
б) (m − n)
2
− 2(m + n) (m − n) + (m + n)
2
.
148. Разложите на множители выражение:
а) 4x(m − n) + (m − n) − 4x
2
(n − m);
б) 4m(a − b) + 4(a − b) − m
2
(b − a).
149. Докажите тождество:
а)
22
22
()()
22
;
xy xy
xy
+−
+= +
б)
22 2 2
()()
244
.
mn mn mn+− +
=+
150. Докажите тождество:
а)
5331 2 1
81058
;
xxxx+++−
−=+
б)
17 2 7 3 1
65310
.
xx x x++− +
−=+
151. Докажите тождество:
а)
1
25 13 2 7
6
434
;
x
xxx
+
−−+
−= +
б)
27 175 62
343 8
.
xx xx+−+ +
+= −
152. Упростите выражение:
а)
1
;xyxy
−
+−
б)
1
.ab ab
−
−+
153. Упростите выражение:
а)
555
29872;aaa−+
б)
333
5180125.aaa−+
154*. Освободитесь от иррациональности в знаменателе
дроби:
а)
41
5
;
b
b
−
б)
31
2
.
a
a
+
155*. Освободитесь от иррациональности в знаменателе
дроби:
а)
;
b
ab−
б)
.
x
xy+
52
Раздел II
53
3-й уровень
156. Сократите дробь:
а)
3
3
;
x
x
+
−
б)
2
2
.
x
x
−
−
157*. Сократите дробь:
а)
;
xx yy
xy
−
−
б)
.
ab
aa bb
+
+
158**. Упростите выражение:
а)
5
2
22
6
3
3
7
;ab a b
−
−
б)
45 43
58 58
0,25 .xy xy
−−
159**. Упростите выражение:
а)
4
5
5
;yy
б)
6
7
7
.aa
160. Верно ли ра венст во:
а)
++=+−++
2
(3)(3)(3)( )(3)xy xxyy
при
=
1
2
5,x
y = 5,5;
б)
2
(1)(1)(1)( )(1)xy y xyy++=++− +
при
12
7
,
x
=−
y = 0,7?
161*. Упростите выражение:
а)
54
33 2 2
25 10
66 999
;
aab
ab aabb−++
б)
33
23
2243
324
5
612 24 10
.
ab
ab
aabb ab
+
−+
162*. Упростите выражение:
а)
;
bc
a
bc
ac
b
ac
+
+
+
+
б)
.
yz
x
yz
xz
y
xz
−
−
−
−
163*. Сократите дробь:
а)
33
22
324
(2)(248)
;
xy
xyx xyy
−
−+ + +
б)
33
22
254
(3)(3 9 27)
.
ab
ab a ab b
+
+−+−
164. Сократите дробь:
а)
2
4
71414
(1)1
;
aa
a
++
+−
б)
4
2
(1)1
366
.
x
xx
−−
−+
165. Сократите дробь:
а)
2
2
9
43
;
a
aa
−
−+
б)
2
2
68
4
.
aa
a
−+
−
166. Сократите дробь:
а)
2
2
35 2
9
;
aa
a
−−
−
б)
2
2
43
1
.
nn
n
−−
−
167. Сократите дробь:
а)
2
2
25
10 3
;
a
aa
−
+−
б)
2
2
9
93 2
.
c
cc
−
+−
168. Сократите дробь:
а)
2
2
712
815
;
xx
xx
−+
−+
б)
2
2
310
514
.
xx
xx
−−
−−
169. Сократите дробь:
а)
2
2
12 35
10 2
5
;
xx
xx
−+
+
−
б)
2
2
12
816
.
xx
xx
+−
++
170. Сократите дробь:
а)
22
22
20 40 20
15 15
;
xxyy
xy
++
−
б)
22
22
20 20
15 30 15
.
mn
mmnn
−
−+
171. Упростите выражение:
а)
22
22
2
;
ab
ab
ab
ab
ab
−
+
+
+−
б)
22
22
2
.
ab
ab
ab
ab
ab
+
−
−
−+
172. Упростите выражение:
а)
2
1
;
mn
mn nm
mn n
−−
−
−
б)
2
1
.
nm
n
mn m
mmn
−
−
−
−
173. Упростите выражение:
а)
32 71
3
() ( )
;
aa
a
−−−
−
б)
24 32
2
()()
.
aa
a
−− −
−
174. Упростите выражение:
а)
3
2
58
3
;
a
b
ab
−
−
б)
2
3
73
2
.
a
b
ab
−
−
54
Раздел II
55
3-й уровень
175. Упростите выражение:
а)
1
2
2
3
5
2
3
4
;
a
a
b
b
−
−
−
−
−
б)
2
1
1
25
3
525
.
aa
bb
−
−
−
−
176. Упростите выражение:
а)
11
sin 1 sin 1
;
α− α+
−
б)
11
cos 1 1 cos
.
α+ − α
+
177. Упростите выражение:
а)
1sin
cos
tg ;
−α
α
+α
б)
cos 1
sin
ctg .
β−
β
β−
178. Упростите выражение:
а)
1cos
tg 1
;
−α
α−
б)
tg 1
1ctg
.
β+
+β
179. Упростите выражение:
а)
sin
sin
1cos
1cos
;
α
α
+α
−α
+
б)
cos
cos
1 sin 1 sin
.
α
α
+α −α
+
180. Упростите выражение:
а)
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
;
+α −α
−α +α
−
б)
1sin
1sin
1 sin 1 sin
.
−α
+α
+α −α
−
181. Упростите выражение:
а)
2
2
11
1tg
1ctg
;
−α
−α
+
б)
2
2
tg ctg
1tg
ctg 1
.
ββ
−β
β−
−
182. Упростите выражение:
а)
;
mmnn
mm nn
−+
+
б)
.
xx уу
ххуу
+
−+
183**. Упростите выражение:
а)
45 43
58 58
0,25 0,5 ;ab ab
−−
б)
22
13
33
24
0,3 0,6 .ab ab
−−
184**. Упростите выражение:
а)
2
6
13
2
2
1
1
2
2
;
ab
b
ba
ab a
b
b
−
+−
+
−
−
+
б)
2
10
1
5
2
1
1
2
.
xy
y
y
x
x
xy
y
y
+
−
−
−
−
+
−
185**. Разложите многочлен на множители:
а) х
6
− у
6
; б) a
7
− b
7
.
186**. Разложите многочлен на множители:
а) а
5
+ 1; б) m
7
+ 1.
187**. С помощью теоремы Безу найдите остаток от де-
ления:
а) х
3
− 2х
2
− 3х + 6 на х − 3;
б) х
4
− 2х
3
+ 6х
2
− х + 1 на х + 1.
188**. Разделите многочлен f(x) на многочлен g(x):
а) f(x) = x
4
+ 6x
3
+ 10x
2
+ 2x − 3, g(x) = x + 3;
б) f(x) = x
4
− 3x
3
− 7x
2
+ 2x − 8, g(x) = x + 2.
189**. Разделите многочлен f(x) на многочлен g(x):
а) f(x) = x
4
− 5x
2
+ 3x − 2, g(x) = x − 2;
б) f(x) = x
4
+ 2x
3
− 7x + 4, g(x) = x − 1.
190**. Найдите частное и остаток от деления многочлена
f(x) на многочлен g(x):
а) f(x) = 6x
3
+ x
2
− 20x − 12, g(x) = x − 3;
б) f(x) = 5x
3
− 26x
2
+ 25x − 4, g(x) = x − 5.
191**. Представьте в виде суммы или разности двух дро-
бей алгебраическую дробь:
а)
4
(1)(5)
;
xx−−
б)
6
(1)(7)
.
yy−−
192**. Докажите, что при любом натуральном n значение
выражения является натуральным числом:
а)
10 8
9
;
n
+
б)
10 2
6
.
n
+
4-й уровень
193. а) При каком значении а ра венст во 4(2z − 3) +
+ 6(z − 2) = az − 24 является тождеством?
б) При каком значении с ра венст во 4(7а + 2) −
− 3(а − 6) = 24a + с является тождеством?
56
Раздел II
57
4-й уровень
194. Упростите выражение:
а)
2
12 6
43
;
хх
хх
б)
2
10 4
74
.
хх
хх
195. Найдите х
2
+ у
2
, если:
а) х − у = 5, ху = 20;
б) х + у = 8, ху = 20.
196*. Сократите дробь:
а)
33 2 2
222
2
;
ху х хуу
ху
++ − +
++
б)
33 2 2
222
2
.
ху х ху у
ху
−+ + +
−+
197*. Упростите выражение:
a)
11
12 4
6
;
tt
t
−−
−
б)
11
10 4
20
.
tt
t
−−
−
198. Укажите область определения выражения:
а) х
0
−
15
6
;
х −
б) х
0
−
6
15
.
х +
199. Докажите, что:
а)
32
32
0,
xx−+
−
если х 12;
б)
12
1
232
,
xx−−
−
если х 2.
200*. Докажите тождество:
а)
22
22 22 2 2
;
aaba b ba
ab ab
ab ababb aab
−+
−+++
−+ =
б)
22
42
.
ab a b ab
ab ab ba
ab
ab ab
++−
−
+− − − = −
201*. Упростите выражение:
а)
8
;
xy x y y x
xy
xy
−+
+−
б)
5
.
ab b a a b
ab
ab
+−
+−
202**. Упростите выражение:
а)
2
3
3
3
2
3
3
4
2
;ab b a
−
б)
5
3
2
2
3
2
5
4
.xy x y
−
−
203*. Установите, верно ли при всех действительных зна-
чениях переменной х нера венст во:
а) х
8
− 2х
4
− 5х
2
+ 11 0;
б) х
4
+ 18 7х
2
+ 2х.
204**. Установите, верно ли при всех положительных зна-
чениях а и b нера венст во:
а)
22
2
;
ab
ab ab
ab
+
++
+
б)
22
2
.
ab
ab ab
ab
+
+−
+
205*. Установите, является ли тождеством ра венст во:
а) cos
4
α − sin
4
α = cos
2
α − sin
2
α;
б) sin
2
α cos
2
β − cos
2
α sin
2
β = sin
2
α − sin
2
β.
206. Укажите область определения выражения:
а)
21;xx−−
б)
21.xx+−
207. Укажите область определения выражения:
а)
3
26
;
x
x
+
−
б)
2
315
.
x
x
+
−
208. Сократите дробь:
а)
36
2
;
x
x
−
+
б)
24
2
.
a
a
−
+
209*. Сократите дробь:
а)
3
3
;
xy
xy
−
−
б)
3
3
.
xy
xy
+
+
210. Разложите на множители выражение:
а) x
4m + 2
− 36x
2m + 4
, m ∈ N;
б) y
2m + 2
− 25y
6m + 4
, m ∈ N.
211*. Докажите тождество:
а) (1 + ctg
2
α) (1 − sin
2
α) = ctg
2
α;
б) (1 + tg
2
α) (1 − cos
2
α) = tg
2
α.
212. Упростите выражение:
а)
2
44
15
;
nn+
−
б)
2
55
24
.
nn+
−
58
Раздел II
59
4-й уровень
213*. Представьте выражение в виде произведения двух
многочленов:
а) 1 + 3а
3
; б) 1 − 2а
3
.
214*. Представьте выражение в виде разности квадратов
двух многочленов:
а) а
4
+ 4; б) b
4
+ 2.
215. Упростите выражение:
а)
222
39
326
;
y
xy x y
xxyxy xy
−
−+−
−+− −
б)
2
22
22 2
22
4
.
xxyxy
xy
xy x y x xy x y
−+−
−
++++
216*. а) Представьте одночлен 24ху в виде разности квад-
ратов двух многочленов.
б) Представьте одночлен 12аb в виде разности квадра-
тов двух многочленов.
217**. Установите, при каких значениях п сократима
дробь:
а)
23
54
,
n
n
+
+
n ∈ N; б)
14 3
21 4
,
n
n
+
+
n ∈ N.
218*. Разложите на множители:
а) n
5
− 10n
3
+ 9п; б) n
5
− 5n
3
+ 4n.
219*. а) Докажите, что если
,xy xy+=+
то ху = 0.
Установите, верно ли обратное утверждение.
б) Докажите, что если
,xy xy−=+
то ху = 0.
Установите, верно ли обратное утверждение.
220*. Докажите нера венст во:
а) а
4
+ 5а
2
− 9а + 5 0;
б) b
4
+ 4b
2
− 7b + 11 0.
221*. а) Запишите многочлен x
4
+ 4x − 1 в виде разности
квадратов двух многочленов.
б) Представьте многочлен
4
1
2
xx−+
в виде суммы
квадратов двух многочленов.
222. а) Найдите наименьшее значение выражения
x
4
− 10x
2
+ 4.
б) Найдите наибольшее значение выражения
−x
4
− 12x
2
+ 3.
223. Упростите выражение:
а)
910
910
;
xx
xx
−−
+
+
б)
11 12
11 12
.
aa
aa
−−
−
−
224. Значение выражения a − b равно 8 при некоторых зна-
чениях а и b. Какое значение при тех же а и b имеет
выражение:
а) (b − a)
−2
; б)
2
16
()
?
ba−
225. Зная, что
2
7,
ab
b
−
=
найдите значение:
а)
;
a
b
б)
.
b
a
226. а) Из двух городов, находящихся на расстоянии s км,
вышли одновременно навстречу друг другу два поезда.
Скорость одного из них равна v
км
ч
,
а скорость другого
на а
км
ч
меньше скорости первого. Составьте выраже-
ние, с помощью которого можно найти, через сколько
часов поезда встретятся.
б) Для отопления здания сделан запас угля в m т. Из
этого запаса израсходовали n т. Составьте выражение,
с помощью которого можно найти ежедневный расход
угля, чтобы оставшегося угля хватило на t дней.
227. Вынесите
множитель из под знака корня:
а)
2
12
1;
x
x
−
+
б)
2
12
1.
y
y
−
+
228. Внесите множитель под знак корня и упростите вы-
ражение:
а)
3
4
9
x
x−⋅
; б)
3
4
16
b
b−⋅
.
229**. Запишите многочлен в виде произведения двух
многочленов:
а) a
4
− 3a
3
− a + 4; б) b
4
+ 3b
3
+ b − 4.