Сборник заданий для выпускного экзамена по математике на уровне общего базового образования под редакцией Адамовича
Подождите немного. Документ загружается.
80
Ра з д е л III
81
3-й уровень
123. Решите уравнение:
а) (3x + 1)
2
− x (7x + 5) = 4;
б) (x + 1)
2
− 5 (1 + x) = 14.
124. Решите уравнение:
а) 5x(x + 1) − 2 (2x + 3) = 0;
б) 5u(u − 2) − (2 − u) = 0.
125. Найдите произведение корней уравнения:
а) x
2
− 5(x − 2)
2
= 1; б) x
2
− 3(x + 2)
2
= −2.
126. Решите уравнение:
а)
2
27
21
1;
xx
x
x
−
+
−
−=
б)
2
32
5
34.
x
x
x
+
+
−=
127. Решите уравнение:
а)
37
22
2;
xx+
−
−=
б)
510
11
5.
xx−+
+=
128. Решите уравнение:
а)
2
252
2
41;
xx
x
x
−+
−
=+
б)
2
21
1
31.
x
x
x
x
−
+
+
=+
129. Решите уравнение:
а) x
4
+ 2x
2
− 3 = 0; б) x
4
− 3x
2
− 4 = 0.
130. Решите уравнение:
а) x
4
− 7x
2
+ 12 = 0; б) x
4
− 3x
2
+ 2 = 0.
131. Решите уравнение:
а) 4x
3
− x
2
= 0; б) 2x
4
− x
3
= 0.
132. Решите уравнение:
а) x
4
− 5x
2
− 36 = 0; б) x
4
+ 8x
2
− 9 = 0.
133*. Решите уравнение:
а)
2;zz+=
б)
12 .tt+=
134*. Решите уравнение:
а)
2
3
14 8 2;tt++=
б)
2
3
12 27 3.mm−+=
135*. Решите уравнение:
а) 2(х − 2)
2
− 7(х − 2) + 6 = 0;
б) 5(х + 3)
2
+ 3(х + 3) − 2 = 0.
136**. При каких значениях параметра с уравнение имеет
два различных корня:
а) x
2
− 2x + с = 0; б) x
2
+ 2x − c = 0?
137**. При каких значениях параметра n уравнение не
имеет корней:
а) 2x
2
− 4x − n = 0; б) 3x
2
+ x + n = 0?
138**. При каких значениях параметра k уравнение имеет
два различных корня:
а) x
2
+ kx − 6 = 0; б) x
2
+ 2kx − 3 = 0?
139**. При каких значениях параметра t уравнение не
имеет корней:
а) x
2
− tx + 4 = 0; б) x
2
+ tx + 1 = 0?
140. Решите систему уравнений:
а)
35 21,
21;
xy
xy
+=
⎧
⎨
−=
⎩
б)
2515,
23.
xy
xy
+=
⎧
⎨
−=
⎩
141. Решите систему уравнений:
а)
317,
53 5;
yx
xy
−=−
⎧
⎨
+=−
⎩
б)
11 5 37,
4 25.
xy
yx
−=
⎧
⎨
−=
⎩
142. Решите систему уравнений:
а)
323,
420;
xy
x
+=
⎧
⎨
+=
⎩
б)
30,
230.
xy
xy
++=
⎧
⎨
+−=
⎩
143. Решите систему уравнений:
а)
339,
2;
xy
xy
+=
⎧
⎨
+=
⎩
б)
230,
2420.
xy
xy
+−=
⎧
⎨
++=
⎩
144. Решите систему уравнений:
а)
22
40,
30;
xy
yx
⎧
+=
⎪
⎨
−=
⎪
⎩
б)
22
25,
340.
xy
yx
⎧
+=
⎪
⎨
−=
⎪
⎩
82
Ра з д е л III
83
3-й уровень
145. Решите систему уравнений:
а)
7,
10;
xy
xy
−=
⎧
⎨
=−
⎩
б)
2,
15.
xy
xy
+=
⎧
⎨
=−
⎩
146. Решите нера венст во:
а) −3(2 − 2х) 5х + 1; б) −5(4 − х) 2х − 3.
147. Решите нера венст во:
а) 4(1 − x) − 3(x + 2) 5; б) 3(x + 1) −2(2 −x) −11.
148. Решите нера венст во:
а) 5(x − 1) + 7
1 − 3(x + 2);
б) 6x − (x + 8) − 3(2 − x) 2.
149. Решите нера венст во:
а)
11
23
2;
xx
x
−
+
−
б)
11
32
.
xx
x
−
+
−
150. Решите нера венст во:
а)
12 3
23 4
;
xx x
−− −
−
б)
3
12
36 2
.
xx x
++
+
−
151. а)
При каких значениях x значения выражения 8x + 2
больше соответствующих значений выражения 10x − 1?
б) При каких значениях с значения выражения 15 − с
меньше соответствующих значений выражения 3с + 1?
152. а) При каких значениях а значения выражения 2(а −
−1,5) + 3(2а − 1) положительны?
б) При каких значениях b значения выражения 2b −
− 3(2b − 1) отрицательны?
153. а) При каких значениях n значения выражения 3n + 12
не больше 9?
б) При каких значениях m значения выражения 4m − 2
не меньше −6?
154.
а) При каких значениях y значения выражения 8 − 4y
не больше 2?
б) При каких значениях x значения выражения 2x − 15
не меньше −7?
155. Решите систему неравенств:
а)
31 5,
743;
xx
xx
−+
⎧
⎨
+
⎩
б)
23 1,
954.
xx
xx
+−
⎧
⎨
−
⎩
156. Решите систему неравенств:
а)
24( 1),
15 5;
y
yy
−
⎧
⎨
−−
⎩
б)
24 2 10,
32( 3).
yy
y
−−
⎧
⎨
+
⎩
157. Решите систему неравенств:
а)
2
10,
78;
y
y
⎧
−
⎪
⎨
⎪−
⎩
б)
2
20,
24.
y
y
⎧
−
⎪
⎨
⎪−
⎩
158**. При каких значениях параметра a уравнение
2a − 3x = 3a имеет:
а) положительный корень;
б) отрицательный корень?
159*. Решите нера венст во:
а)
22 8;x
б)
33 12.y
160. Решите нера венст во:
а)
515
36
0;
x
x
−
−
б)
39
24
0.
x
x
−
−
161. Решите нера венст во:
а) 4 − x
2
0; б) 36 − x
2
0.
162. Решите нера венст во:
а) 4x
2
− 1 0; б) 25x
2
−16 0.
163. Решите нера венст во:
а) x
2
+ x − 6 0; б) x
2
− 3x − 4 0.
164. Решите нера венст во:
а) x
2
+ 4x + 4 0; б) x
2
+ 6x + 9 0.
165**. Решите нера венст во:
а)
2
3
(3)(2)
(2)
0;
xx
x
−
+
−
б)
32
(1)(2)
4
0.
xx
x
−
+
−
84
Ра з д е л III
85
4-й уровень
166. Укажите все значения x, при которых дробь:
а)
2
1
1
x
x
−
+
отрицательна; б)
2
7
25
x
x
+
+
положительна.
167. Укажите все значения x, при которых положительна
дробь:
а)
2
4
2
;
x
x
−
−
б)
2
16
4
.
x
x
−
−
168**. Решите совокупность неравенств:
а)
3,
52 2(1 );
x
xx
⎡
⎢
−−
⎣
б)
2,
353(1).
x
xx
⎡
⎢
++
⎣
169**. Решите совокупность неравенств:
а)
25,
2;
x
x
⎡
⎢
⎣
б)
35,
5.
x
x
⎡
⎢
⎣
170**. Найдите все значения х, удовлетворяющие условиям:
а)
03,
1,
2;
x
x
x
⎧
⎪
⎡
⎨
⎢
⎪
⎣
⎩
б)
14,
1,
3.
x
x
x
−
⎧
⎪
−
⎡
⎨
⎢
⎪
⎣
⎩
171**. Решите нера венст во:
а)
22
29 12
34
0;
xx+−
−
б)
22
20 9 5
23
0.
xx−−
−=
172**. а) При каких значениях параметра а нера венст во
х
2
− 5х + а 0 имеет место при любых действительных
значениях х?
б) При каких значениях параметра b нера венст во х
2
+
+ 6х − b 0 имеет место при любых действительных
значениях х?
173. Докажите нера венст во:
а) (5а − 1) (5а + 1) 25а
2
; б) (1 − 6b) (1 + 6b) −36b
2
.
4-й уровень
174*. а) Укажите множество целых значений а, при кото-
рых корень уравнения ax = −10 — целое число.
б) Укажите множество целых значений а, при которых
корень уравнения ax + 3 = 0 — натуральное число.
175. Решите уравнение:
а) 2y
3
− 32y − y
2
+ 16 = 0; б) x
3
+ 3x
2
− 4x − 12 = 0.
176*. Напишите множество целых значений переменной x,
при которых верно нера венст во:
а)
38;x−
б)
27.x−
177. Решите нера венст во:
а)
11
23
2;
xx
x
−
+
−
б)
3
1
32
.
xx
x
−+
−
178*. Решите нера венст во:
а)
2
0,5;xx−
б)
2
0,5.xx+
179. Укажите область определения выражения:
а)
1
1
12 ;
x
x
+
−+
б)
1
2
10 .
x
x
−
++
180. Решите уравнение:
а)
4
81
33
;
x
xx
−−
=
б)
4
64
44
.
x
xx
++
=
181. Укажите область определения выражения:
а)
2
–3
–2 –80
;
x
xx
б)
2
3
.
2–
120
x
xx
+
+
182*. Решите уравнение:
а) (a + 1) x = a + 1, где а — параметр;
б) (a − 1) x = a − 1, где a — параметр.
183**. Решите систему уравнений:
а)
5
1
2
6,
6,
15;
xy
xy
yz
+
−
−
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
б)
8
2
3
15,
15,
10.
xy
xy
zy
+
−
−
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
184**. Решите относительно х и у систему уравнений:
а)
,
;
ab
xy
ba
xy
c
c
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
б)
32
2
33
1,
.
ac
xy
ac
xy
⎧
−=
⎪
⎨
−=
⎪
⎩
86
Ра з д е л III
87
4-й уровень
185**. Решите относительно х уравнение:
а)
(2 1) ( 2)
0;
ax bx axb
ab
ba
−−
+
−
−−=
a 0; b 0; a b;
б)
1
1
2
1;
mn
mn
nmmn
xx mn
++
+
++=++
m 0; n 0;
m −n.
186*. Решите уравнение:
а)
2
12 18;xx−− −=
б)
2
75 760.xx−− −+=
187*. При каких значениях а уравнение a(x − 1) = x − 2 име-
ет решение, удовлетворяющее условию:
а) x 1; б) x 2?
188. Решите нера венст во:
а) −2 3х
2
− 4х 0; б) 0 5х − 7х
2
1.
189. Решите нера венст во:
а) 2х
2
− 5х + 2 0; б) 3х
2
− 10х + 3 0.
190. Решите систему неравенств:
а)
2
1
320,
0;
x
x
xx
+
⎧
++
⎪
⎨
⎪
⎩
б)
2
3
420,
0.
x
x
xx
+
⎧
++
⎪
⎨
⎪
⎩
191. Решите систему неравенств:
а)
2
2
60,
230;
xx
xx
⎧
+−
⎪
⎨
−+ +
⎪
⎩
б)
2
2
450,
280.
xx
xx
⎧
+−
⎪
⎨
−−
⎪
⎩
192*. Решите нера венст во:
а)
2
2
2
3103
(3 ) (4 )
0;
xx
xx
++
−−
б)
2
2
2
232
()( )
29
0.
xx
xx
−
+
−−
193. Сколько натуральных решений имеет система нера-
венств:
а)
2
2
90,
20;
x
xx
⎧
−
⎪
⎨
+
⎪
⎩
б)
2
2
40,
20?
x
xx
⎧
−
⎪
⎨
−
⎪
⎩
194. Решите систему неравенств:
а)
2
231,
430;
x
xx
+
⎧
⎪
⎨
++
⎪
⎩
б)
2
231,
320.
x
xx
−
⎧
⎪
⎨
−+
⎪
⎩
195*. Решите уравнение:
а)
121;xx−+ − =
б)
121.xx−− − =
196*. Решите нера венст во:
а)
2
21 1;xx x−+ −
б)
2
21 1.xx x++ +
197*. Решите нера венст во при условии, что a и b — поло-
жительные числа:
а)
5;ax b+
б)
4.ax b−
198*. Решите нера венст во относительно переменной x:
а) (3x − 2a) (4a − x) 0; б) (2x − 3a) (5a −x) 0.
199. Решите уравнение:
а)
1
58 36;x
−
−=
б)
1
37 16.x
−
−=
200*. Решите уравнение:
а) x
4
− 7x
2
+ 6x = 0; б) x
4
− 5x
2
+ 4x = 0.
201**. Решите уравнение относительно x:
а)
2
2
22
2
0;
b
bx
xax a
−
−− +=
б)
2
.
ax
xa ax
xbx b
−−
−− −=
202. Решите нера венст во:
а) 2х
2
+ 7х + 3 0; б) 3х
2
+ х − 2 0.
203*. Решите нера венст во:
а)
2
58;xx++
б)
2
67.xx++
204**. Найдите множество всех пар натуральных чисел,
которые являются решениями уравнения:
а) 49x + 51y = 602; б) 47x + 53y = 509.
88
Ра з д е л III
89
4-й уровень
205**. Решите уравнение в натуральных числах:
а) 2xy = x
2
+ 2y; б) 2xy = y
2
+ 2x.
206*. Решите нера венст во:
а)
2
12 12
66
;
x
x
x
+
+
б)
2
9–9
4–4
.
x
x
x
207*. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
а)
1
1
32;
x
x
+
−
−
б)
1
1
22.
x
x
−
+
−
208**. Решите нера венст во:
а)
312;xxx++++
б)
211.xxx+++−
209*. Найдите все значения а, при которых выполняется
нера венст во при любых значениях переменной:
а) (a − 2)x
2
+
23
x + a 0;
б) (a − 1) x
2
+
2
x + a 0.
210*. Решите нера венст во:
а)
(3)3 0;xx−−
б)
(3) 10.xx−−
211*. Решите нера венст во:
а)
2
2
53
21
52
1;
xx
x
+
−
+
б)
2
2
4
34
43
.
xx
x
−
−
212*. Решите систему неравенств:
а)
2
2
60,
230;
xx
xx
⎧
+−
⎪
⎨
−+ +
⎪
⎩
б)
2
2
60,
5240.
xx
xx
⎧
+−
⎪
⎨
−−
⎪
⎩
213**. Решите уравнение:
а) x
2
− 3x −
4 x
− 3 = 0; б) x
2
− 5x −
4 x
+ 13 = 0.
214*. Решите систему уравнений:
а)
22
2
2518 0,
12 0;
xxyy
xy y
⎧
+− =
⎪
⎨
+−=
⎪
⎩
б)
22
22
25,
3.
xxyy
xxyy
⎧
−−=
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩
215*. Решите систему уравнений:
а)
33
22
8,
4;
xy
xy
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
б)
22
20,
8.
xy
xy
⎧
−=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
216. Решите систему уравнений:
а)
3
12
,
5;
x
y
xy
⎧
=
⎪
⎨
⎪
+=
⎩
б)
324,
9.
xy
xy
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
217*. Найдите все значения параметра b, при которых сис-
тема уравнений
(1) 3,
2(2) 6:
bxy
xb y
++=
⎧
⎨
−− =
⎩
а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений.
218**. а) Найдите все значения параметра а, при которых
уравнение (a − 2)x
2
− 2(a + 3)x + 4a = 0 имеет два корня,
один из которых больше 3, а другой меньше 2.
б) Найдите все значения параметра а, при которых
уравнение (2a + 3)x
2
+ (a + 1) x + 4 = 0 имеет два корня,
которые заключены между −2 и 0.
219*. Решите уравнение:
а)
32;x+=
б)
81.x−=
220. Решите нера венст во:
а)
21
2;
x
x
+
б)
31
3.
x
x
−
221*. Решите относительно x уравнение:
а) 6x
2
+ 5ax + a
2
= 0; б) −x
2
+ 2ax + a
2
= 0.
222*. Найдите утроенную сумму корней уравнения:
а) x
4
− 6x
2
+ 5x = 0; б) x
4
− 4x
2
+ 3x = 0.
223*. а) Известно, что разность корней уравнения 3x
2
+
+ 23x + c = 0 равна
1
3
8.−
Найдите значение с.
б) Известно, что один из корней уравнения 2x
2
+
+ 9x + b = 0 на
1
2
больше другого. Найдите значение b.
90
Ра з д е л III
91
4-й уровень
224*. а) Найдите все значения параметра b, при которых
один из корней уравнения x
2
− bx + 8 = 0 на 2 больше,
чем второй.
б) Найдите все значения параметра a, при которых
один из корней уравнения x
2
− 9x + a = 0 вдвое больше
второго.
225**. а) Найдите все значения параметра c, при которых
оба корня уравнения x
2
− 2x + c
2
− 1 = 0 принадлежат
промежутку (−2; 4).
б) Найдите все значения параметра b, при которых оба
корня уравнения x
2
− bx + 4b
2
− 9 = 0 принадлежат про-
межутку (−1; 9).
226**. Решите уравнение, если известно, что его корни —
целые числа:
а) ax
2
− bx + b = 0; б) ax
2
+ bx − b = 0.
227*. Найдите корни уравнения с точностью до 0,1:
а) x
2
− 15x + 7 = 0; б) x
2
+ 24x + 11 = 0.
228. Решите систему уравнений:
а)
6,
5,
4;
xyz
xy
yz
++=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪
+=
⎩
б)
3,
5,
1.
xyz
xy
yz
+−=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪
−=−
⎩
229*. Решите систему уравнений:
а)
2
6,
328;
x
y
x
y
xy
xy
⎧
−=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
б)
5
10,
213.
y
x
y
x
xy
xy
⎧
+=−
⎪
⎨
⎪
−=
⎩
230*. Решите систему уравнений:
а)
33
22
91,
351;
xy
xy xy
⎧
−=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
б)
33
22
628,
53 8.
xy
xy xy
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
231*. Найдите все значения параметра а, при которых сис-
тема уравнений
(2)3 93,
(4) 2:
axy a
xa y
++=+
⎧
⎨
++ =
⎩
а) имеет единственное решение;
б) не имеет решений.
232*. Установите, равносильны ли уравнения:
а)
2xx+=
и x + 2 = x
2
;
б)
3
6xx+=
и x − 1 = x
3
.
233*. Установите, равносильны ли неравенства:
а)
6
9
0
x
x
+
−
и (x + 6) (x − 9) 0;
б)
4
1
0
x
x
+
−
и (x + 4) (x − 1) 0.
234**. Установите, равносильны ли неравенства:
а)
2
(9)0xx−
и
90;xx−
б)
30xx−
и
(3 ) 0.xx−
235. Решите нера венст во:
а)
1
9
9;
x
−
б)
1
8
8.
x
−
236. Решите систему уравнений:
а)
271 49 7,
33 77 25;
xy
xy
+=−
⎧
⎨
+=
⎩
б)
23 34 133,
47 29 42.
xy
xy
+=
⎧
⎨
−=
⎩
237. Решите уравнение:
а)
11
7
7;
x
x +=+
б)
11
8
8.
x
x −=−
238*. Установите, равносильны ли системы неравенств:
а)
2
2,
2
xx
x
⎧
+
⎪
⎨
−
⎪
⎩
и
(1)0,
2;
xx
x
+
⎧
⎨
−
⎩
б)
2
2,
2
xx
x
⎧
−
⎪
⎨
−
⎪
⎩
и
(1)0,
2.
xx
x
−
⎧
⎨
−
⎩
239*. Решите нера венст во:
а)
2
2
233
1
1;
xx
x
−
+
+
б)
2
33
2
1.
xx
x
−−
+
92
Ра з д е л III
93
5-й уровень
240*. Найдите сумму корней уравнения:
а)
2
43;x −=
б)
2
65.x −=
241*. Решите систему уравнений:
а)
3,
6,
1;
xy
yz
zx
+=−
⎧
⎪
+=
⎨
⎪
+=
⎩
б)
1,
1,
8.
xy
yz
zx
−=−
⎧
⎪
−=−
⎨
⎪
+=
⎩
242**. Решите уравнение:
а) х
4
− 6х
3
− 5х
2
− 6х + 1 = 0;
б) х
4
− 7х
3
− 6х
2
− 7х + 1 = 0.
243**. Решите уравнение:
а)
2
2
6
21
441
50;
xx
x
xx
+
++
−+=
б)
2
2
4
21
441
30.
x
x
x
x
x
−
−+
−+=
244**. Решите уравнение:
а) [2,75 + x] = [2,75]; б) [y − 0,36] = [2,4].
245**. Решите уравнение:
а) [х + 1,3] = −5; б) [х + 1,7] = −4.
246**. а) При каких значениях параметра t корни уравне-
ния 6х
2
− 3(t + 3)x + t
2
− 1 = 0 являются действительны-
ми и различными?
б) При каких значениях параметра р корни уравнения
3х
2
− 2(р − 1) x + р
2
− 1 = 0 являются действительными и
различными?
247**. Докажите, что при любом а имеет место нера-
венст во:
а)
2
41
2
2;
a
a
+
б)
2
1
2
1
.
a
a +
248**. а) При каких значениях параметра а нера венст во
х
2
− 2х + а 0 верно при любых значениях х?
б) При каких значениях параметра b нера венст во
−х
2
− 4х + b 0 верно при любых значениях х?
249**. Решите уравнение:
а)
2
12 1;xx x+−= −
б)
2
32.xx x−+ =+
250**. Решите уравнение:
а)
22
52 1 ;xx xx−−=+−
б)
22
12 3 .xx x x−−= −−
251**. Решите уравнение:
а)
231;x−−=
б)
321.x−−=
252*. Решите уравнение:
а)
2
7120;xx−+=
б)
2
650.xx−+=
253*. Найдите все пары простых чисел, являющихся ре-
шениями уравнения:
а) с + р = 29; б) с + р = 42.
254**. Решите уравнение:
а) х
2
−
62х −
− 8х + 12 = 0;
б) х
2
+ 6х +
2х +
+ 8 = 0.
255**. Решите уравнение:
а) 8х
3
− 26х
2
+ 23х − 6 = 0; б) 6х
3
− х
2
− 20х + 12 = 0.
5-й уровень
256*. Решите систему уравнений:
а)
2
2,
4;
ух
ух х
=
⎧
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
б)
2
5,
5.
ух
ух х
=+
⎧
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
257. Решите нера венст во:
а)
1
1;
х
−
б)
1
1.
х
258. Решите систему неравенств:
а)
13,
21;
х
х
−
⎧
⎪
⎨
+
⎪
⎩
б)
213,
4315.
х
х
−
⎧
⎪
⎨
−
⎪
⎩
94
Ра з д е л III
95
5-й уровень
259*. Решите систему уравнений:
а)
2
5,
5;
ух
ух х
=−
⎧
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
б)
2
6,
8.
ух
ух х
+=
⎧
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
260. Докажите нера венст во, если а ∈ R, b ∈ R:
а) а
4
+ b
4
a
3
b + ab
3
; б) 1 + 2a
4
a
2
+ 2a
3
.
261. а) Найдите наименьшее целое число с такое, чтобы
корнем уравнения 7(х − с) = −3 было число не мень-
ше 2.
б) Найдите наибольшее целое число р такое, чтобы
корнем уравнения 5х + 2 = 5р было число меньше −2.
262. Решите графически систему уравнений:
а)
22
1,
20;
ху
ху
⎧
+=
⎪
⎨
−=
⎪
⎩
б)
12,
2.
ху
ух
=
⎧
⎨
=−
⎩
263. Решите нера венст во:
а)
7
3
0;
х
х
−
−
б)
5
2
0.
х
х
−
−
264. Решите нера венст во:
а)
22 13(2)(2);x х xx++ +−−
б)
3156(1)(9).х xx x−+ ++ −
265. Решите уравнение:
а) х
2
+ 2х +
2
28хх++
= 12;
б) х
2
− 4х −
2
4413хх−+
= −8.
266*. Решите уравнение:
а) (х
2
− 4х + 1)
2
510х
−
−
= 0;
б) (х
2
+ 6х − 3)
2
52х
−
−
= 0.
267*. Пусть х
1
и х
2
— корни уравнения 2х
2
+ 7х − 1 = 0.
Составьте квадратное уравнение, корнями которого
являются числа:
а) х
1
+ 1, х
2
+ 3; б)
1
1
,
х
2
1
.
х
268*. Решите уравнение:
а)
35 ;аа++=−
б)
11 .аа−+=−
269*. а) Докажите, что при а 0, b 0, с 0, d 0 верно
нера венст во
()() .асbd ab cd++ +
б) Докажите, что при а 0, b 0, с 0, d 0 верно
нера венст во (a
2
+ b
2
) (c
2
+ b
2
) (ac + bd)
2
.
270*. Докажите нера венст во:
а) х
3
− 3х
2
у + 4у
3
0 для всех х 0, у 0;
б) х
3
+ 2у
3
− 3ху
2
0 для всех х 0, у 0.
271*. Найдите область определения функции:
а)
2
2
273
443
;
хх
хх
у
−+
−++
=
б)
2
2
67 3
328
.
хх
хх
у
+−
−++
=
272*. а) Известно, что х
1
и х
2
— корни уравнения
х
2
− 10х + 12 = 0. Не решая это уравнение, найдите зна-
чение выражения
21
12
.
хх
хх
+
б) Известно, что х
1
и х
2
— корни уравнения х
2
+ 3х − 5 = 0.
Не решая это уравнение, найдите значение выражения
21
12
.
хх
хх
+
273*. Решите уравнение:
а)
2
25
5
1
х
х
−
−
+
= 9; б)
2
36
6
1
х
х
−
−
+
= 1.
274*. Решите уравнение:
а)
4
1х −
+ (х
2
− 1)
2
+ (х + 1)
2
= 0;
б)
4
81х −
+ (х
2
− 9)
2
+ (х + 3)
2
= 0.
275. Решите уравнение:
а) (х + 2)
2
=
22х +
+ 3; б) (х + 1)
2
=
41х +
+ 5.
276. Решите уравнение:
а) х
2
+
2
3 х−
− 4 = 0; б) х
2
+
2
х−
− 30 = 0.
96
Ра з д е л III
97
5-й уровень
277. Решите уравнение:
а) х
2
−
2
5х
х
= 6; б) х
2
+
2
4х
х
= 12.
278*. Решите нера венст во:
а)
2
4
1
0;
х
х
−
−
б)
2
9
2
0.
х
х
−
+
279*. Решите уравнение:
а)
12 2;х++ =
б)
21 3.х++ =
280**. Для каждого значения параметра t найдите коли-
чество решений системы уравнений:
а)
22
4,
;
xy
хуt
−=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
б)
22
6,
.
xy
хуt
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
281*. Решите уравнение:
а)
7127111;хх−− −=
б)
51365 7.хх−−− =
282*. Решите нера венст во:
а)
13 2 2;хх−−+
б)
35 15.хх−++
283**. Решите уравнение:
а)
12 7;хх+=+ −
б)
520 7.хх++ −=
284**. Решите систему уравнений:
а)
2
6,
1;
ху
ух
=
⎧
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
б)
2
3
,
2.
х
у
ух х
⎧
=−
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
285**. Решите нера венст во:
а)
2
0,25 2 6 4 2 ;хх−+ − −
б)
2
0,25 2 11 6 2 .хх++ + +
286**. Решите относительно х уравнение:
а)
() ( )
,
cx c pp x
pc
x
−−
−=
c ≠ 0, p ≠ 0;
б)
()()
2,
ax b bx a
ba
x
−+
+=
a ≠ 0, b ≠ 0.
287**. Решите уравнение:
а) х
4
+ 2х
3
− х + 18 = 0;
б) х
4
+ 3х
3
+ 24 = 0.
288**. Решите нера венст во:
а)
3
2
1;
хх
х
++
+
б)
2
2.
хх
х
+−
289*. Известно, что квадратное уравнение ах
2
−bx + c = 0
имеет корни х
1
и х
2
. Найдите корни уравнения:
а) ах
2
+ bx + c = 0; б) cx
2
− bx + a = 0.
290**. Решите уравнение:
а) х
2
+
2
2
81
(9)
х
х +
= 4; б) х
2
+
2
2
9
(3)
х
х +
= 27.
291*. Решите уравнение, левая часть которого является
суммой членов арифметической прогрессии:
а) 1 + 5 + 9 + … + х = 861;
б) 1 + 4 + 7 + … + х = 117.
292**. Решите уравнение:
а)
22
2
326
710
0;
хх хх
хх
−++−−
−+
=
б)
22
2
5476
253
0.
хх хх
хх
++++−
++
=
293**. Решите уравнение:
а)
22
612320;ххх хх++−+−+=
б)
22
4 3 10 15 2 0.ххх хх++−+−−=
294**. Изобразите на координатной плоскости множество
точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют систе-
ме неравенств:
а)
2
22
21,
(1) 1;
ух х
ху
⎧
−+
⎪
⎨
−+
⎪
⎩
б)
2
22
21,
(1) 1.
ух х
ху
⎧
++
⎪
⎨
++
⎪
⎩
98
Ра з д е л III
99
5-й уровень
295**. Решите уравнение:
а)
2
22
2
4
22
11
1
437;
х
хх
хх
х
−
+−
−+
−
+=
б)
2
22
2
9
33
11
1
32 5.
х
хх
хх
х
−
+−
−+
−
+=
296**. Решите уравнение:
а)
2
2
2
4
(2 )
5;
х
х
х
−
+=
б)
2
2
2
4
(2 )
5.
х
х
х
+
+=
297**. Решите уравнение:
а)
212 61106;хх хх+++++++=
б)
221 4225.хх хх+−−++−+=
298**. Решите уравнение:
а)
2
2
2
(3 )
6
1
6
3
6
2;
х
х
х
х
х
х
−
−
−
−
+=+
б)
2
2
2
(8 )
3
1
6
8
3
2.
х
х
х
х
х
х
−
−
−
−
+=+
299**. Решите уравнение:
а)
2
2
42
23130;
х
х
хх+−−−=
б)
2
2
93
34220.
х
х
хх+−−−=
300**. Решите уравнение:
а)
431
( 2) ( 4) ( 1) ( 3) 2
;
хх хх−+ −+
−=
б)
111
( 1) ( 4) ( 1) ( 2) 4
.
хх хх−+ ++
+=
301*. Решите уравнение:
а)
2
2
27
725
1
25 2
7
7
;
х
хх
х
х
х
−
+−
−
−
+
+=+
б)
2
2
21
385
2
85 3
1
3
.
х
хх
х
х
х
−
++
+
−
+
−=+
302**. Решите относительно х нера венст во:
а) (а
2
− 9)х а + 3; б) (а
2
− 4)х а − 2.
303**. а) Определите количество корней уравнения
1 ха−=
в зависимости от значений параметра а.
б) Определите количество корней уравнения
2 х b−=
в зависимости от значений параметра b.
304**. а) При каких значениях параметра а уравнение
26ха−=
имеет три решения?
б) При каких значениях параметра а уравнение
312ха−−=
имеет два решения?
305**. а) При каких значениях параметра а система урав-
нений
22
1,
()1
ух
хуа
=+
⎧
⎪
⎨
+− =
⎪
⎩
имеет ровно три решения?
б) При каких значениях параметра b система уравне-
ний
22
2,
()1
ух
хуb
=+
⎧
⎪
⎨
+− =
⎪
⎩
имеет ровно три решения?
306**. а) При каких значениях параметров а и b система
уравнений
()612,
2
abx y
xyb
+−=
⎧
⎨
+=
⎩
имеет бесконечно много решений?
б) При каких значениях параметров а и b система урав-
нений
()824,
3
abx y
xyb
++=
⎧
⎨
−=
⎩
имеет бесконечно много решений?
307**. Решите систему уравнений:
а)
2
22
54,
36,
20;
ху
у
х z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪
−=
⎩
б)
2
22
12,
6,
20.
ху
у
у z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪
+=
⎩